Bài giảng số 3: Một số bài toán thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Nếu 2 đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì trục đẳng phương của 2 đường tròn chính là đường tiếp tuyến chung của 2 đường tròn tại điểm A... Hai đường tròn này nằm ngoài nhau.[r]

(1)

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng lớp 10 ôn thi đại học

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

Bài giảng số 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương trình

 Phương trình tắc đường tròn tâm I a b ; , bán kính R:

 2  2

x a  y b R  Phương trình tổng quát đường tròn:

2

x y  Ax By C  Ở tâm IA;B, bán kính 2

R A B C

 Phương trình tham số đường trịn tâm I a b ; , bán kính R:

 

cos

sin

x a R t

t

y b R t

  

 

  



 Phương tích

 Định nghĩa: Cho đường trịn  C :x2y22Ax2ByC0 Khi PM/ C MA MB  không phụ thuộc vào phương cát tuyến MAB đường tròn mà phụ thuộc vào vị trí điểm M Cụ thể điểm M x y 0; 0  

2

0 0

/ 2

M C

P x y  Ax  By C  Trục đẳng phương: Cho đường tròn  C1  C2 , đó:

Tập     

1

/ /

| M C M C

d  M P P đường thẳng gọi trục đẳng phương đường tròn

Nếu  C1 :x2y2 2A x1 2B y1 C10  C2 :x2y22A x2 2B y2 C2 0 phương trình trục đẳng phương là: 2A1A x2 2B1B2yC1C2 0

(2)

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Xác định tâm bán kính đường trịn Ví dụ 1: Tìm tâm bán kính đường trịn sau:

a)   C : x12y32  5 b)  C :x2y23x2y 1

Lời giải: a) Tâm I1; 3 , bán kính R 

b) Tâm 3; I  

 , bán kính  

2

3 17

1

2

R      

 

Ví dụ 2: Tìm điều kiện tham số m để phương trình sau

2x2 + 2y2 – 5x – 4y + + m2 = (1) phương trình đường trịn Khi tìm tâm bán kính đường trịn Lời giải

Phương trình (1) viết lại dạng:

2

m x y  x y  

Điều kiện để (1) phương trình đường trịn

2

25 41 8

0 0

16 16

33

8

m m

a b c

m m

  

        

    

Khi tâm bán kính đường trịn

I( ; ),

33

R  m

Dạng 2: Viết phương trình đường trịn

Ví dụ 3: Viết phương trình đường trịn  C , tìm tâm bán kính biết: a)  C qua điểm A4; 2, B1;3, C  3;1

b)  C qua điểm A  1;5, B0; 2 tiếp xúc với đường thẳng   : 2x y 20

c)  C qua điểm A4; 7  tiếp xúc với đường thẳng  1 : 3x4y420 2:y 8 0 d)  C tiếp xúc ngồi với đường trịn  C1 :x2 y24x2y40 qua điểm A1;5, B0; 2 

(3)

a) Gọi phương trình đường trịn  C : x2y2ax by   Do c  C qua điểm A B C nên ta có , ,

hệ phương trình:

  2

2

2 2

4

1 3

3

a b c

a b c

                      

4 20

3 10

a b c

                 20 a b c           Từ ta phương trình đường trịn là: x2y22x4y20 Tâm I1; 2 , bán kính R  12   2 2  20 5

b) Gọi phương trình đường trịn  C : x2y22ax2by c  C qua điểm A  1;5, B0; 2 nên ta có hệ phương trình:

 2 2

1 10

0

a b c

b c               

2 10 26

4

a b c

c b             4 10 26 11 c b b c a b              

Do  C tiếp xúc với   nên ta có: d I ,  R 2 2

a b

a b c

  

   

 

2 2

4a b 4ab 4b 8a a b c

         a24b24ab4b8a5c 

 2      

3b 11 4b 4b 3b 11 4b 3b 11 4b 4

            

25b 150b 225

   

2

6

b b

    b 3a2 và c

Vậy phương trình đường trịn  C là: x2y24x6y  c) Gọi phương trình đường trịn  C : x2y2 2ax2by c

Do điểm A4; 7    C nên ta có: 42  7 28a14b c 0c 8a14b65  1 Tâm bán kính  C : Ia;b, R a2b2c

Vì  1  2 tiếp xúc với  C nên ta được: d I ,1d I ,2R

 

  2

3 42

2

5

8

3

a b b

b

a b c

(4)

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng lớp 10 ơn thi đại học

 2 42 40

3 42 40

a b b

     

  

    



3 82

3 a b a b            82 a b b a          

  2

3 b 16b64a b c ca216b64  4

Từ    1 , a216b64 8a14b65  

8

a a b

    

+) Với 82 a

b  thay vào  5 ta được: 26 173

3

a  a  (vô nghiệm)

+) Với b 3a2 thay vào  5 ta được:

2

a  a  143

3 57

a b c

       

        

Vậy ta đường tròn thỏa mãn là:

  2

1 : 10 143

C x y  x y  với I 1 1;5, R 1 13

  2

2 : 14 57

C x y  x y  với I23; 7 , R  2

d) Gọi phương trình đường trịn  C : x2y22ax2by c

Do  C qua điểm A B nên ta có: ,  

2

1 10

2

a b c

b c               4 10 26 11 c b b c a b               

Tâm bán kính  C1 là: I 1 2;1, R 1  2 2124 1

Tâm bán kính  C là: Ia;b, 2

R a b c

Vì đường trịn tiếp xúc ngồi nên II1R1R  a22b12  1 a2b2c

2 2 2

4

a b a b a b c a b c

             4a2b c  4 a2b2c Thay a c, giải vào ta có: 47b112b4b 4 7b112b2  4b4

2

34b 44 50b 150b 125

    

 2

17 22 50 150 125

22 17

b b b

b            

239 598 359

22 17 b b b               

1

359 239

b tm a c

(5)

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 Vậy phương trình đường trịn  C là: x2y28x2y  với tâm 8 I4;1, bán kính R 5

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn qua A  1; 2và cắt : 3x4y 7 0 theo đường kính BC

cho tam giác ABC có diện tích 4 5

Lời giải

Ta có:     2

3 4.2 4

;

5

3

d A      



,

 

1 4

,

2 5

ABC

S  d A  BC   BC BC

Gọi R bán kính đường tròn BC R AI

   

Vì : ;3

4 a I  x y   I a  

 

:3x-4y+7=0

C

B I

A

H

 

2

2 2

1

1 3

1 ; 1 25 26 1

4

25 a

a a

IA a a a a

a   

 

    

             

  

   

 

Với : a  1 I1;1  C : x12y12 1

Với :  

2

1 43 43

; :

25 25 25 25 25

a  I  C x  y  

     

Ví dụ 5: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc ngồi với hai đường trịn

(x -1)2 +(y -3)2 = (x -4)2 + y2= có tâm nằm đường thẳng x – y =

Lời giải:

Đường trịn (C1) có tâm I1(1; 3), R = 1, đường trịn (C2) có tâm I2(4; 0), R2 =

Hai đường tròn nằm ngồi

Vì tâm đường trịn cần tìm I thuộc đường thẳng x – y = nên I(t; t), gọi bán kính đường trịn r >

(6)

2

1

2

3

1 2 8 10 2 1 2

2 2 8 16 4 4 34

2 4

r

II r t t r r

t

  

       

 

 

  

      

    

 

Vậy ta có hai đường trịn:

2

34 34

2

4 4

x y

   

     

   

   

2

34 34 9

2 2

4 4 4

x y

   

     

   

   

Dạng 3: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 6: Cho đường trịn  C :x2y24x2y  có tâm I đường thẳng4 d x: y 1 0.Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho từ M kẻ hai tiếp tuyến với  C tứ giác IMAB hình vng với A B hai tiếp điểm

Lời giải

Đường trịn  C có tâm I2;1 bán kính R  3 Vì tứ giác IMAB hình vuông nên MI 3 Gọi  C đường trịn tâm I bán kính '

'

R IM   C' : x22y12 18

M giao điểm đường thẳng d  C nên tọa ' độ M nghiệm hệ phương trình sau :

 2  2

1 2

2 2

2 18

1 2

2 2 x

y

x y

x y x

y    

       

 

  

   

   

 

 

  

 

B I

M

d A

(7)

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 Vậy :M1 2; 2 2   M1 2; 2 2  

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(3; -7) trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Xác định tọa độ điểm C biết C có hồnh độ dương

Lời giải

Kéo dài AI cắt đường tròn D, I trung điểm

của AD nên tọa độ D(-7; 7)

Theo tính chất hình học dễ thấy tứ giác BHCD

hình bình hành Gọi K giao điểm HD BC suy K trung điểm HD, tọa độ

K(-2; 3)

Do tính chất đường kính dây cung ta có IK

vng góc với BC phương trình đường thẳng

BC qua K(-2; 3) nhận véc tơ IK(0; 3) có dạng: y – =

Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

 2 2 2  2 2

2 74

x y IA  x y 

K H

I A

B C

D

Tọa độ B C nghiệm hệ phương trình

 2 2

3

2 74

y

x y

    

  

 

Giải hệ phương trình ta có B( 2  65; 3),C( 2  65; 3)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Xác định tâm bán kính đường trịn sau:

a) x12y42  ĐS: I1; , R1 b) x22y2  ĐS: I2; , R c) 2

8

(8)

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 d) 2

3x 3y 4x  ĐS: 2; ,

3

I  R

 

e) 2x522y32  ĐS: 3; , 2

I  R

 

Bài 2: Viết phương trình đường trịn:

a) Đường kính AB với A3;1, B2; 2  ĐS: 2x522y12 10

b) Có tâm I1; 2  tiếp xúc với đường thẳng   :xy 2 ĐS:  12  22

x  y 

c) Có bán kính 5, tâm thuộc Ox qua điểm A2; 4 ĐS:  

 

2 2

1 25

5 25

x y

   



   



d) Có tâm I2; 1  tiếp xúc ngồi với đường tròn x52y32 

ĐS: x22y12  e) Tiếp xúc với trục tọa độ có tâm nằm đường thẳng   : 2x  y

ĐS:    

   

2

3

1 1

x y

    



    



Bài 3: Viết phương trình đường trịn:

a) Qua điểm A   2; 1, B  1; 4, C4;3 ĐS: x2y22x2y11 b) Qua A0; 2, B  1;1 có tâm nằm đường thẳng 2x3y

ĐS: 2

6 12

x y  x y  c) Qua điểm A5;3 tiếp xúc với đường thẳng  d :x3y 2 điểm T1; 1 

ĐS: x2y24x4y 2 Bài 4:

a) Viết phương trình đường trịn qua điểm A0;1, B2; 2  có tâm nằm đường thẳng

 d :x  y ĐS: 2

5

(9)

Biên soạn: ThS.Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400 ĐS:

2

6

10

x y x y

     



    



c) Viết phương trình đường trịn qua gốc tọa độ, có bán kính R  có tâm nằm đường thẳng

 d :xy 1 ĐS:

2

4

2

x y x y

    



   



Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho ABC có A0; 2, B   2; 2 C4; 2  Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình

đường trịn qua điểm H M N , , ĐS: 2

2 x y  x y 

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , xét ABC vng A, phương trình đường thẳng BC là:

3

3x y  , đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G ABC

ĐS:

7 ;

3

4 ;

3

G

    

  

  



    



 



 



Bài 7: Cho hai đường thẳng d1: 4x3y14 , d2: 3x4y13 điểm M  2; 2 Viết phương trình đường trịn  C qua M tiếp xuc với d cắt 1 d theo dây cung 2 AB 8

Đáp số:   C : x22y12 25   C : x62y52 25

Bài 8: Cho hai đường thẳng d1: 3xy , d2: 3xy Gọi  C đường tròn tiếp xúc với d 1 A, cắt d B C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình đường trịn 2  C biết tam giác

ABC có diện tích

2 điểm A có hồnh độ dương

Đáp số:

2

1

1 2

x y

   

    

 

 

(10)

Bài 9: Cho đường tròn 2

( ) :C x y 2x4y20 Gọi  C đường trịn có tâm ' I5;1 cắt  C hai điểm M, N cho MN  Hãy viết phương trình  C '

Đáp số:  C' : x52 y12 28 7

Bài 10: Lập phương trình đường trịn có bán kính 2, tâm I thuộc đường thẳng d1:xy  cắt đường thẳng d2: 3x4y 6 hai điểm A, B cho AIB120

Đáp số:   C : x112y82  4   C : x12y22 4

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vng A có: B(−3;0), C(3;0) Biết tâm đường tròn

nội tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng y = x Tìm tâm I bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

biết I có tung độ dương Đáp số: ( 3 3; 3 3), ( 3 3; 3 3)

2 2

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	593,85 KB