www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Tọa độ các giao điểm của C và C' là nghiệm của hệ phương trình:.. Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm của đườn[r]
(1)www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Chuyên đề: Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I- LÝ THUYẾT: Phương trình đường tròn: Dạng 1: Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > : ( x - a) + ( y - b) = R 2 R I Dạng 2: Phương trình tổng quát: x + y - 2ax - 2by + c = (*) có tâm I (a; b) , bán kính R = a + b - c Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình đường tròn là: a + b - c > THUẬT TOÁN Lập phương trình đường tròn Bước 1: Bước 2: Kết luận: Xác định tâm I (a; b) ( C ) Xác định bán kính R > Phương trình đường tròn ( C ) có tâm I (a; b) , bán kính R > : ( x - a) + ( y - b) = R2 Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định biết các hệ số a, b, c Như chúng ta cần giả thiết để xác định a, b, c 2 Tiếp tuyến đường tròn: x + y - 2ax - 2by + c = a Tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; y0 ) ( M : tiếp điểm) Tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; y0 ) có phương trình: R I xx0 + yy0 - a ( x + x0 ) - b( y + y0 ) + c = M0 (CT phân đôi toạ độ) D Nhận xét: Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua M ( x0 ; y0 ) vµ cã vect¬ ph¸p IM ( x0 a; y0 b) : (a x0 ) x x0 (b y0 )( y y0 ) b Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng D : ax + by + c = là tiếp tuyến ( C ) Û d ( I ; D ) = R Lưu ý: Để tiện việc tìm phương trình tiếp tuyến ( C ) , chúng ta không nên xét phương trình đường thẳng dạng y = kx + m (tồn hệ số góc k ) Vì dẫn đến sót trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x = C (không có hệ số góc) Nhắc: * §êng th¼ng y kx m cã hÖ sè gãc k * §êng th¼ng x C (vu«ng gãc Ox) kh«ng cã hÖ sè gãc Do đó, quá trình viết pt tiếp tuyến với (C) từ điểm M ( x0 ; y0 ) (ngoài (C)) ta có thể thùc hiÖn b»ng p.ph¸p: * Phương pháp 1: Gọi đường thẳng bất kì qua M ( x0 ; y0 ) và có h.s.g k: y y0 k ( x x0 ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (2) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY ¸p dông ®k tiÕp xóc, gi¶i ®îc k Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Nếu kết hệ số góc k (tương ứng t.tuyến), bài toán giải xong * NÕu gi¶i ®îc h.g.gãc k, th× xÐt ®êng th¼ng x x (®©y lµ tiÕp tuyÕn thø hai) * Phương pháp 2: Gọi n (a; b) a b là v.t pháp đ.thẳng qua M ( x0 ; y0 ) a ( x x0 ) b( y y0 ) áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b Nhận xột: Phương pháp tỏ hiệu và khoa học Vị trí tương đối hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: Cho hai đường tròn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 và ( C2 ) có tâm I , bán kính R2 Trường hợp I1 R R Kết luận ( C1 ) không cắt ( C2 ) (ngoài nhau) Số tiếp tuyến chung I2 R1 + R2 < I1I ( C1 ) I1 R1 R2 I2 R1 + R2 = I1I I1 R2 R1 I2 R1 + R2 > I1I > R1 - R2 R I1 I2 R ( C1 ) tiếp xúc ngoài với ( C2 ) cắt ( C2 ) hai điểm phân biệt ( C1 ) tiếp xúc với ( C2 ) 2 R1 - R2 = I1I Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (3) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY ( C1 ) không cắt ( C2 ) (lồng vào nhau) Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 R1 I1 R I2 R1 - R2 < I1I VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính đường tròn Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình dạng x + y - 2ax - 2by + c = (1) ìïT©m I (a; b) Kiểm tra, biểu thức: a + b - c > thì (1) là phương trình đường tròn í 2 îï R = a + b - c Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = m và kết luận LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn Tìm tâm và bán hính có: a) x + y - x + y + 10 = b) x + y + x - y - 12 = c) x + y + x + y + = d ) 2x + y - x + 8y - = e) x + y - y = f ) x + y - x + 8y + = g ) x + y + xy + y - = Bài tập 2: Cho phương trình x + y - mx + my + m - = (1) a Với giá trị nào m thì pt(1) là phương trình đường tròn? b Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m Bài tập 3: Cho phương tr×nh : x + y + 6mx - 2(m - 1) y + 11m + 2m - = a Tìm điều kiện m để pt trên là l phương trình đường tròn b T×m quỹ tÝch t©m đường trßn Bài tập 4: Cho phương trình: x y 2(cosa 1) x 2(sin a 1) y 2 a Với giá trị nào a thì phương trình trên là p.trình đường tròn b Tìm giá trị a để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, a thay đổi trên đoạn 0 ;1800 2 Bài tập 5: Cho phương tr×nh (Cm ) : x + y + 2(m - 1) x - 2(m - 3) y + = a T×m m để (Cm ) là phương tr×nh đường trßn b T×m m để (Cm ) là đường trßn t©m I (1; -3) Viết phương tr×nh đường trßn c T×m m để (Cm ) là đường trßn cã b¸n kÝnh R = Viết phương tr×nh đường trßn d T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn (Cm ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (4) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY VẤN ĐỀ 2: Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp: Cách 1: Tìm tâm I (a; b) , bán kính R > Suy (C) : ( x - a ) + ( y - b ) = R 2 Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: x + y - 2ax - 2by + c = - Từ điều kiện đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c - Giải hệ phương trình tìm a, b, c LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) có tâm I (-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x - y + = b (C) có đường kính là AB với A(1;1), B(7;5) Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm với A(1;4), B (-7;4), C(2; -5) Bài tập 3: Cho điểm A(1;2), B (5;2), C(1; -3) a Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC b Xác định tâm và bán kính (C) Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1;5), B (4; -1), C(-4; -5) Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm I (2;3) các trường hợp sau: a (C) có bkính là b (C) qua điểm A(1;5) c (C) tiếp xúc với trục Ox d (C) tiếp xúc với trục Oy e (C) tiếp xúc với đường thẳng D : x + 3y - 12 = Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(-1;2), B (-2;3) và có tâm trên đường thẳng D : x - y + 10 = Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;3a + 10) Î Δ Do (C) qua A, B nên IA = IB ( = R ) Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB Bước 2: Tâm I (C) là giao điểm d và Δ Bài tập 7: Lập phương trình đường tròn (C) qua điểm A(1;2), B (3;4) và tiếp xúc với đường thẳng D : 3x + y - = Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a; b) là tâm đường tròn ìï IA = IB Þ giải I Theo giả thiết: í îïd ( I ;Δ ) = IA Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d đoạn AB Bước 2: Gọi tâm (C) là I Î d (tọa độ ẩn) Do Δ tiếp xúc với (C) nên d ( I ;Δ ) = IA Þ giải I Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) điểm M (4;2) và tiếp xúc với các trục toạ độ Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (5) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Gọi I (a; b) là tâm (C) Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b = R TH 1: a = b Þ I (a; a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y - a ) = a 2 éa = 2 Do M (4;2) Î ( C ) Û ( - a ) + ( - a ) = a Û a2 - 12 a + 20 = Û ê ë a = 10 Vậy có đường tròn: ( C1 ) : ( x - ) + ( y - ) = và ( C2 ) : ( x - 10 ) + ( y - 10 ) = 100 TH 2: a = -b Þ I (a; - a ), R = a Phương trình (C): ( x - a ) + ( y + a ) = a 2 Do M (4;2) Î ( C ) Û ( - a ) + ( + a ) = a Û a - a + 20 = v« nghiÖm 2 Bài tập 9: Cho đường thẳng: D1 : x + y - = 0, D : x + y - = 0, d : x + y - = Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với D1 , D Gợi ý: Cách 1: Gọi I (a;1 - 2a ) Î d là tâm đường tròn (C) Do D1 , D là các tiếp tuyến (C) nên suy ra: d ( I ; D1 ) = d ( I ; D ) Þ giải I Cách 2: Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác góc tạo hai đường thẳng D1 và D2 3x + y - x + 3y - Û 3x + y - = x + 3y - 32 + 42 42 + 32 é3 x + y - = x + y - éT : x - y - = Ûê Ûê ë T2 : x - y - = ë3 x + y - = - ( x + y - ) Bước 2: Tâm I đường tròn tương ứng là giao điểm d và T1, T2 Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A(0;1), B(2; 3) và có bán kính R5 Gợi ý: Cách 1: ì IA = IB Gọi I (a; b) là tâm đường tròn (C) Theo giả thiết í î IA = R = Cách 2: Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d AB Bước 2: Gọi I Î d (tọa độ ẩn) Theo giả thiết IA = Þ giải I Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I (1;1) , biết đường thẳng : x 4 y cắt (C) theo dây cung AB với AB Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO = Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (6) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 AB Dễ thấy R = éë d ( I ;Δ ) ûù + Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) và C (4; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N là trung điểm AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N Gợi ý: Bước 1: Xác định tọa độ M, N Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d MN Dễ thấy tâm I (C) thuộc d Bước 3: Tâm I (C) là giao điểm BH và d Suy IM = R Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn qua điểm A(1;1) và có bán kính R 10 , tâm (C) nằm trên Ox Gợi ý: Gọi I (a;0) Î Ox là tâm (C) Theo giả thiết, IA = 10 , từ đây giải I Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn qua điểm M (2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai đường thẳng 1 : x 4 y 0, 2 : x y 7 Gợi ý: ìï IM = d ( I ;Δ1 ) ( = R ) Þ giải I Gọi I (a; b) là tâm (C) Theo giả thiết í ïîd ( I ;Δ1 ) = d ( I ;Δ ) Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn qua gốc toạ độ, bán kính R và tiếp xúc với đường thẳng : 2x y Gợi ý: ìïOI = ( = R ) Gọi I (a; b) là tâm (C) Theo giả thiết í Þ giải I ïîd ( I ;Δ ) = Bài tập 16: Cho đường thẳng d : x y 3 và đường tròn (C ) : x y 7 x y Chứng minh d cắt (C ) Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua M (3;0) và các giao điểm d và (C ) Gợi ý: x y 3 y x 3 (1) Xét hệ phương trình: 2 x y 7 x y x y 7 x y (2) é x = Þ y = -2 A(1; -2) Thay (1) vào (2): x - x + = Û ê ë x = Þ y = -3 B (0; -3) Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm A(1; -2), B(0; -3) và M (3;0) (Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x + y - 2ax - 2by + c = và thay tọa độ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (7) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 17: Cho đường thẳng d : x y 3 và đường tròn (C ) : x y x 7 y Chứng minh d cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Hãy viết phương trình đường tròn (C ') qua A, B và có bán kính R Gợi ý: Xác định các giao điểm A, B d và (C) ì IA = IB Gọi I (a; b) là tâm (C ') Theo giả thiết: í IA = î Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm P(1; 1), Q(3;1) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y Gợi ý: (C ') : x y có tâm O(0;0), R = Lập phương trình đường trung trực Δ PQ Gọi I Î Δ (tọa độ ẩn) là tâm (C) Xét trường hợp: TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI = R1 + R2 Û OI = + IA Þ giải I TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI = R1 - R2 Û OI = - IA Þ giải I Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , qua M (2;0) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y Gợi ý: ì IM = R Gọi I (a; b) là tâm (C ) Theo giả thiết: í Từ đây, giải I î IO = R + Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x y vµ ®êng th¼ng y Gợi ý: Gọi I (a; b) là tâm (C ) éb = Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên R = b Û b = Û ê ëb = -2 TH 1: b = Þ I (a;2) Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 Từ đây, giải I TH 2: b = -2 Þ I (a; -2) Theo giả thiết IO ' = R1 + R2 Từ đây, giải I Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d : y 2 điểm M (4;2) và tiếp xúc với đường tròn (C ') : x ( y 2) Gợi ý: Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d Lúc đó, tâm I Î Δ (tọa độ ẩn) Dễ thấy R = IM TH 1: II ' = R + R ' Û II ' = IM + R ' Từ đây, giải I TH 2: II ' = R - R ' Û II ' = IM - R ' Từ đây, giải I Bài tập 22: Cho đường tròn (C ') : x y Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng : x 3 và đường tròn (C’) điểm M (2;2) Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (8) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Lập phương trình đường thẳng I ' M Tâm I Î I ' M (tọa độ ẩn) Ta có: II ' = IM + I ' M Û II ' = d ( I , x - 3) + I ' M Từ đây, giải I Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - y + 10 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : x + y = và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) Gợi ý: Tâm I Î Δ (tọa độ ẩn) Theo giả thiết IA = d ( I , d ) Từ đây, giải I VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN Bài tập 1: Cho đường tròn (C): ( x - ) + ( y - 1) = 25 Viết phương trình tiếp tuyến (C) các trường hợp sau: a Tại điểm M (5; -3) b Biết tiếp tuyến song song D : x - 12 y + = c Biết tiếp tuyến vuông góc D : 3x + y + = d Biết tiếp tuyến qua A(3;6) Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): x + y - x - y = giao điểm (C) và đường thẳng D : x + y = 2 Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y - x - y = xuất phát từ A(3; -2) Gợi ý: (C) có tâm I (2;1) và R = Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) là vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm: D : a( x - 3) + b( y + 2) = Û ax + by - 3a + 2b = 2a + b - 3a + 2b D là tiếp tuyến (C) Û d ( I ; D ) = R Û = Û 3b - a = ( a2 + b2 ) 2 a +b éb ê a = Û b = 2a 2 2 2 Û 9b - 6ab + a = ( a + b ) Û 2b - 3ab - 2a = Û ê êb = - Û b = - a êë a 2 TH 1: b = 2a D : a( x - 3) + 2a( y + 2) = Û x - + 2( y + 2) = Û x + y + = (do a ¹ ) Lúc đó: TH 2: b = - a 1 D : a( x - 3) - a( y + 2) = Û x - - ( y + 2) = Û x - y - = (do a ¹ ) Lúc đó: 2 Kết luận: Vậy có tiếp tuyến (C) xuất phát từ A D1 : x + y + = , D : x - y - = Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C) ìï x02 + y02 - x0 - y0 = ì M0 Î (C ) Û í Suy ra: í Từ đây, giải hai tiếp điểm… M A ^ M I î ïî M0 A.M0 I = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (9) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Bài tập 4: Cho đường tròn (C): x + y - x + y + = và điểm A(1;3) a Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C) b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A Bài tập 5: Cho đường tròn (C): ( x + 1) + ( y - ) = và điểm M (2; -1) 2 a Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến D1 và D với (C) Hãy viết phương trình D1 và D b Gọi M1 và M2 là hai tiếp điểm D1 và D với (C), hãy viết phương trình M1 M2 Gợi ý: (C) có tâm I (-1;2) và R = a Ta có IM (3; -3) Þ IM = > = R nên M nằm ngoài (C) Vậy từ M tồn tiếp tuyến với (C) Cách 1: Gọi n = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) là vectơ pháp tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên) Cách 2: Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm Lúc đó, tiếp tuyến (C) M có dạng D : ( x + 1) ( x0 + 1) + ( y - ) ( y0 - ) = Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x0 + 1) + ( -1 - ) ( y0 - ) = Û x0 - y0 = (1) Do M ( x0 ; y0 ) Î (C ) Û ( x0 + 1) + ( y0 - ) = (2) 2 ìï x0 - y0 = é x0 = -1, y0 = -1 Ûê Từ (1) và (2), giải hệ: í 2 ë x0 = -2, y0 = -2 ïî( x0 + 1) + ( y0 - ) = Suy hai tiếp điểm M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) TH 1: Tiếp tuyến D1 qua M (2; -1) và M1 (-1; -1) có phương trình: y = -1 TH 2: Tiếp tuyến D qua M (2; -1) và M2 (-2; -2) có phương trình: x -2 y +1 = Û x - 4y - = -2 - -2 + b) Theo trên, hai tiếp điểm là M1 (-1; -1), M2 (-2; -2) x+2 y+2 = Û x - y = Cách 1: Phương trình M1 M2 : -1 + -1 + Cách 2: (Không cần xác định tọa độ M1 , M2 ) Gọi M1 ( x1; y1 ) , M2 ( x2 ; y2 ) Tiếp tuyến (C) M1 : ( x + 1) ( x1 + 1) + ( y - ) ( y1 - ) = Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x1 + 1) + ( -1 - ) ( y1 - ) = Û x1 - y1 = (3) Tương tự, tiếp tuyến (C) M1 : ( x + 1) ( x2 + 1) + ( y - ) ( y2 - ) = Mặt khác D qua M (2; -1) nên: ( + 1) ( x2 + 1) + ( -1 - ) ( y2 - ) = Û x2 - y2 = (4) Từ (3), (4) dễ thấy: M1 , M2 Î D : x - y = hay đường thẳng M1 M2 : x - y = Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: a) (C1 ) : x + y - x + = và (C2 ) : x + y - 12 x - y + 44 = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (10) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b) (C1 ) : x + y - x - = và (C2 ) : x + y - x - y + 28 = c) (C1 ) : x + y + x - y - = và (C2 ) : x + y - 16 x - 20 y + 21 = d) (C1 ) : x + y = và (C2 ) : x + y - y - = Gợi ý: 6b) (C1 ) : x + y - x - = và (C2 ) : x + y - x - y + 28 = ìïT©m I1 (1;0 ) ìïT©m I ( 4;4 ) Ta có ( C1 ) có í và ( C2 ) có í ïîB¸n kÝnh R1 = ïîB¸n kÝnh R2 = Ta có: I1I = (3;4) Þ I1I = > = R1 + R2 Vậy ( C1 ) và ( C1 ) ngoài nên tồn tiếp tuyến chung cần tìm Gọi D : ax + by + c = ( a2 + b2 > ) là tiếp tuyến chung ( C1 ) và ( C2 ) ì a+c =2 ï 2 ì (1) ïìd ( I1; D ) = R1 ï a2 + b2 ïa+c =2 a +b Ûí Ûí Lúc đó, theo giả thiết: í ïîd ( I ; D ) = R2 ï 4a + 4b + c = ïî 4a + 4b + c = a2 + b2 (2) ï a2 + b2 î é3a + 4b = é a + c = 4a + 4b + c Ûê Từ (1) và (2) suy ra: a + c = 4a + 4b + c Û ê = + + a + c a b c ( ) êc = -5a - 4b ë ë TH 1: 3a + 4b = Û a = - b é 14 c= b 16 10b b +b Û c- b = Ûê Lúc đó, (1) trở thành: c - b = ê 3 ëc = -2b 14 4 14 * Với c = b, a = - b tiếp tuyến D1 : - bx + by + b = Û -4 x + 3y + 14 = 3 3 4 * Với c = -2b, a = - b tiếp tuyến D : - bx + by - 2b = Û -4 x + 3y - = 3 -5a - 4b TH 2: c = Lúc đó, (1) trở thành: -5a - 4b a+ = a2 + b2 Û 3a + 4b = a2 + b2 Û ( 3a + 4b ) = ( a2 + b2 ) é a = Þ c = -2b Û 9a + 24ab + 16b = 16a + 16b Û a ( 7a - 24b ) = Û ê ê a = 24 b Þ c = - 74 b 7 ë * Với c = -2b, a = tiếp tuyến D : by - 2b = Û y - = 74 24 24 74 bx + by + b = Û 24 x + y - 74 = b tiếp tuyến D : * Với c = - b, a = 7 7 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 2 2 www.VNMATH.com (11) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Kết luận: Vậy tồn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: D1 : - x + 3y + 14 = , D : - x + 3y - = , D : y - = , D : 24 x + y - 74 = Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : x y 25 , biết tiếp tuyến đó hợp với đường thẳng : x y 1 mét gãc a mµ cosa = Gợi ý: (C) có tâm O(0;0) và R = Gọi nd = ( a; b ) ( a2 + b2 > ) là vectơ pháp đường thẳng d cần tìm Đường thẳng D có vectơ pháp là nD (1;2) nên suy ra: Do góc đường thẳng d và D là a với cosa nd nD a + 2b = Û a + 2b = a2 + b2 cosa = Û 2 nd nD a +b éa = Û a + 4ab + 4b = ( a + b ) Û a(4b - 3a) = Û ê êb = a ë TH 1: a = Þ nd = (0; b) ( b ¹ ) , chọn nd (0;1) Þ d : y + m = 2 2 ém = =5Û ê ë m = -5 Vậy trường hợp này có tiếp tuyến: d1 : y + = 0, d2 : y - = Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û m æ ö a Þ nd = ç a; a ÷ ( a ¹ ) , chọn nd (4;3) Þ d : x + 3y + n = è ø n é n = 25 Mặt khác, d tiếp xúc với (C) nên: d ( O; d ) = R Û = Û ê ë n = -25 Vậy trường hợp này có tiếp tuyến: d3 : x + 3y + 25 = 0, d4 : x + 3y - 25 = TH 2: b = MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1) (ĐH A-2002) Cho tam giác ABC vuông A, phương trình đường thẳng BC là: x - y - = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC Gợi ý: Ta cã BC Ç Ox = B (1;0) §Æt x A = a ta cã: A(a;0) vµ xC = a Þ yC = 3a - ( ) VËy C a; 3a - ì ïï xG = ( x A + xB + xC ) æ 2a + 3(a - 1) ö Tõ c«ng thøc í Ta cã G ç ; ÷ 3 è ø ïy = ( y + y + y ) G A B C îï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (12) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Cách 1: Ta cã: AB = a - , AC = a - , BC = a - Do đó: SΔABC = Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 AB AC = ( a - 1) 2 a -1 ( a - 1) 2S = = = Ta cã: r = AB + AB + BC a - + a - +1 VËy a - = + y æ7+4 6+2 ö TH 1: a1 = + Þ G1 ç ; ÷ 3 ø è æ -1 - -6 - ö TH 1: a2 = -2 - Þ G2 ç ; ÷ 3 ø è O B Cách 2: Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ΔABC V× r = Þ yI = ±2 x -1 Þ xI = ± Phương trình BI: y = ( tan 300 ) ( x - 1) = TH 1: Nếu A và O khác phía B thì xI = + Từ d ( I ; AC ) = C I x A æ7+4 6+2 ö Þ a = xI + = + Þ G1 ç ; ÷ ø è TH 2: Nếu A và O cùng phía B thì xI = - Từ d ( I ; AC ) = æ -1 - -6 - ö Þ a = xI - = -1 - Þ G2 ç ; ÷ 3 è ø æ1 ö 2) (ĐH B-2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ç ;0 ÷ , phương trình đường thẳng AB là: è2 ø x - y + = và AB= 2AD Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hoành độ âm Gợi ý: 5 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB Þ AD = vµ IA = IB = 2 Do đó A, B là các giao điểm đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính R = Vậy tọa độ A, B là nghiệm hệ phương trình: ìx - y + = ï 2 íæ 1ö æ ö Gi¶i hÖ ®îc A(-2;0), B (2;2) (v× x A < 0) ïç x - ÷ + y = ç ÷ 2ø è2ø îè Þ C (3;0), D(-1; -2) Lưu ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (13) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu I trên đường thẳng AB Sau đó tìm A, B là giao điểm đường tròn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB 3) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y - 10 x = 0, a ( C2 ) : x + y + x - y - 20 = Viết phương trình đường tròn qua giao điểm ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng x + y - = b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) 4) (Đề dự bị 2002) Cho hai đường tròn: ( C1 ) : x + y - y - = 0, ( C2 ) : x + y - x + y + 16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) 5) (Đề dự bị 2002) Cho đường thẳng d : x - y + = và đường tròn ( C ) : x + y + x - y = Tìm toạ độ điểm M thuộc d mà qua đó ta kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C ) A và B cho góc AMB 600 6) (ĐH B-2003) Cho tam giác ABC vuông A và AB= AC Biết M (1; -1) là trung điểm cạnh æ2 ö BC và G ç ;0 ÷ là trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C è3 ø 7) (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng d : x - y + 10 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng D : x + y = và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A(4; 2) 8) (ĐH D-2003) Cho đường thẳng d : x - y - = và đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y - ) = 2 Viết phương trình đường tròn ( C / ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao điểm ( C / ) và ( C ) Gợi ý: 2 Tõ (C): ( x - 1) + ( y - ) = suy (C) cã t©m I (1;2) vµ b¸n kÝnh R = Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (1; -1) Do đó đường thẳng Δ qua x -1 y - = Û x + y - = -1 Tọa độ giao điểm H d và Δ là nghiệm hệ phương trình: I (1;2) và vuông góc với d có phương trình: ìx - y -1 = ìx = Ûí Þ H (2;1) í îx + y - = îy =1 Gọi J là điểm đối xứng với I (1;2) qua d Khi đó: ì x J = xH - xI = Þ J (3;0) í y y y = = H I î J Vì (C') đối xứng với (C) qua d nên (C') có tâm là J (3;0) và bán kính R = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (14) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Tọa độ các giao điểm (C) và (C') là nghiệm hệ phương trình: ìï( x - 1) + ( y - ) = ìï x - y - = ì y = x -1 é x = 1, y = Û Û Û í í í ê x = 3, y = 2 2 ë î2 x - x + = ïî( x - 3) + y = îï( x - 3) + y = Vậy tọa độ giao điểm (C) và (C') là A(1;0), B (3;2) 9) (ĐH A-2004) Cho hai điểm A(0; 2), B (- 3; -1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Gợi ý: + Đường thẳng qua O, vuông góc với BA ( 3;3) có phương trình x + y = Đường thẳng qua B, vuông góc với OA (0; 2) có phương trình y = -1 Đường thẳng qua A, vuông góc với BO( 3;1) có phương trình x + y - = ( ) Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta trực tâm H( 3; -1) + Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = Đường trung trực cạnh OB có phương trình x + y + = (Đường trung trực cạnh AB có phương trình 3x + y = ) Giải hệ hai (trong ba) phương trình trên ta tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOAB lµ I( - 3;1) 10) (ĐH A-2005) Cho hai đường thẳng d1 : x - y = 0, d : x + y - = Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Gợi ý: V× A Î d1 Þ A ( t ; t ) Vì A và C đối xứng qua BD và B, D ẻ Ox nên C (t ; -t ) V× C Î d nªn 2t - t - = Û t = VËy A(1;1), C (1; -1) ì IB = IA = Trung ®iÓm AC lµ I (1;0) V× I lµ t©m cña h×nh vu«ng nªn: í î ID = IA = ìï b - = ì B Î Ox ì B (b;0) ìb = 0, d = MÆt kh¸c: í Ûí Þí Ûí î D Î Ox î D(d ;0) ïî d - = îd = 0, d = Suy ra, B (0;0) vµ D(2;0) hoÆc B (2;0) vµ D(0;0) Vậy bốn đỉnh hình vuông là: A(1;1), B (0;0), C (1; -1), D(2;0) hoÆc A(1;1), B (2;0), C (1; -1), D(0;0) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (15) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 11) (ĐH B-2005) Cho hai điểm A(2;0), B (6;4) Viết phương trình đường tròn ( C ) tiếp xúc với trục hoành A và khoảng cách từ tâm ( C ) đến điểm B Gợi ý: Gäi t©m cña (C) lµ I (a; b) vµ b¸n kÝnh cña (C) lµ R Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A Þ a=2 vµ b = R éb = 2 IB = Û ( - ) + ( - b ) = 25 Û b - 8b + = Û ê ëb = * Víi a = 2, b = ta cã ®êng trßn ( C1 ) : ( x - ) + ( y - 1) = 2 * Víi a = 2, b = ta cã ®êng trßn (C1 ) : (x - ) + ( y - ) = 49 12) (Đề dự bị 2005) Cho đường tròn ( C ) : x + y - 12 x - y + 36 = Viết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc hai trục toạ độ Ox, Oy đồng thời tiếp ngoài với (C) 2 phương trình Gợi ý: ( C ) Û x + y - 12 x - y + 36 = Û ( x - ) + ( y - ) = Vaäy (C) coù taâm I ( 6,2 ) vaø R=2 Vì đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với trục Ox, Oy nên tâm I1 nằm trên đường thẳng y = ± x vaøvì (C) coù taâm I ( 6,2 ) ,R = nên tâm I1 ( x ; ± x ) với x > TH 1: Tâm I1 Ỵ đường thẳng y = x Þ I ( x , x ) , bán kính R1 = x ( C1 ) tiếp xúc ngoài với (C) Û I I1 = R + R1 Û ( x - 6)2 + ( x - 2)2 =2+ x Û ( x - ) + ( x - ) = + x + x Û x - 16 x - x + 36 = éx = Ứng với R1 = hay R2 = 18 Û x - 20 x + 36 = Û ê ë x = 18 2 ( x - 18) + ( y - 18) = 18 y = - x Þ I ( x , - x ) ; R1 = x Có đường tròn là: ( x - ) + ( y - ) = ; TH 2: Tâm I1 Ỵ đường thẳng Tương tự trên, ta có x= 2 Có đường tròn là ( x - ) + ( y + ) = 36 Kết luận: Tóm lại ta có đường tròn thỏa ycbt là: ( x - ) + ( y - ) = 4; ( x - 18) + ( y - 18) = 18; ( x - ) + ( y + ) = 36 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (16) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 13) (Đề dự bị 2005) Cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y = 9, ( C2 ) : x + y - x - y - 23 = Viết phương trình trục đẳng phương d ( C1 ) và ( C2 ) Chứng minh K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm ( C1 ) nhỏ khoảng cách từ K đến tâm ( C2 ) Gợi ý: Đường tròn ( C1 ) có tâm O ( 0,0 ) bán kính R1 = Đường tròn ( C2 ) có tâm I (1,1) , bán kính R = Phương trình trục đẳng phương đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) là (x ) ( ) + y - - x + y - x - y - 23 = Û x + y + = (d) Goïi K ( xk , yk ) Î ( d ) Û yk = - xk - 2 OK = ( xk - ) + ( yk - ) = xk2 + yk2 = xk2 + ( - xk - ) = xk2 + 14 xk + 49 2 2 IK = ( xk - 1) + ( yk - 1) = ( xk - 1) + ( - xk - 8) = xk2 + 14 xk + 65 ) ( ( ) Ta xeùt IK - OK = xk2 + 14 xk + 65 - xk2 + 14 xk + 49 = 16 > Vaäy IK > OK Û IK > OK (ñpcm) (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (C): x2 + y2 -4 x - y - 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : x - y + = cho MI = 2R , đó I là tâm và R là bán kính đường tròn (C) Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I ( 2,3) , R=5 M ( x M ,y M ) Î ( d ) Û 2x M - y M + = Û y M = 2x M + IM = Û ( x M - ) + ( y M - 3) = 10 ( x M - ) + ( 2x M + - 3) = 10 Û 5x2M - 4x M - 96 = é x M = -4 Þ y M = -5 Þ M ( -4, -5) ê Ûê 24 63 æ 24 63 ö Þ yM = Þ Mç , ÷ xM = êë 5 è 5 ø (Đề dự bị 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 Gợi ý: Gọi I ( a, b ) là tâm đường tròn (C) 2 Pt (C), tâm I, bán kính R = 10 là ( x - a ) + ( y - b ) = 10 2 A Î ( C ) Û ( - a ) + ( - b ) = 10 Û a2 + b2 - 10b + 15 = (1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (17) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 B Î ( C ) Û ( - a ) + ( - b ) = 10 Û a2 + b2 - 4a - 6b + = (2) (1) và ( 2) ìa = -1 ìa = ïìa2 + b2 - 10b + 15 = Ûí Ûí hay í ïî4a - 4b + 12 = îb = îb = Vậy ta có đường tròn thỏa ycbt là ( x + 1) + ( y - ) = 10 ( x - 3) + ( y - ) = 10 14) (ĐH D-2006) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = và đường thẳng d : x - y + = Tìm toạ độ điểm M trên d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn ( C ) , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( C ) Gợi ý: §êng trßn (C) cã t©m I (1;1) vµ b¸n kÝnh R = V× M Î d nªn M ( x; x + 3) Yêu cầu bài toán tương đương với: éx = MI = R + R Û ( x - 1) + ( x + ) = Û ê ë x = -2 VËy, cã hai ®iÓm M tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: M1 (1;4), M (-2;1) 15) (Đề dự bị 2006) Cho đường thẳng d : x - y + - = và điểm A(-1;1) Viết phương trình đường tròn ( C ) qua A, gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d Gợi ý: Vì (C) qua O nên phương trình (C): x + y + ax + by = MÆt kh¸c, A(-1;1) Î (C): - a + b = Û b = a - Lúc đó, phương trình (C), viết lại: x + y + ax + 2(a - 1) y = Þ (C) cã t©m I (- a;1 - a) vµ b¸n kÝnh R = a - a + Do (C) tiÕp xóc víi ®êng th¼ng d : x - y + - = nªn R = d (I ; d ) Û 2a2 - 2a + = - a - (1 - a) + - 2 = = éa = Û 2a2 - 2a = Û ê a = ë VËy cã hai ®êng trßn tháa y.c.b.t lµ (C1 ) : x + y - y = 0, (C ) : x + y + x = 0, 16) (ĐH B-2006) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = và điểm M (-3;1) Gọi T1 , T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C ) Viết phương trình đường thẳng T1T2 Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (18) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 §êng trßn (C) cã t©m I(1;3) vµ b¸n kÝnh R = 2, MI = > R nªn M n»m ngoµi (C) Nếu T ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì: ìïT Î (C ) ìïT Î (C ) í Þ í îï MT ^ IT îï MT IT = Ta có: MT = (x0 + 3; y0 - 1), IT = (x0 - 1; y0 - 3) Do đó, ta có: ìï x02 + y02 - x0 - y0 + = Þ x0 + y0 - = (1) í 2 x + y + x y = ïî 0 0 Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thỏa mãn đẳng thức (1) Do đó, phương trình đường thẳng T1T2 : x + y - = 17) (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có A(0;2), B (-2; -2) và C (4; -2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N là trung điểm AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H, M, N Gợi ý: Ta cã M (-1;0), N (1; -2), AC = (4; -4) Gi¶ sö H ( x; y ), ta cã: ìï BH ^ AC ìx = ì4( x + 2) - 4( y + 2) = Ûí Þ H (1;1) Ûí í î4 x + 4( y - 2) = îy = îï H Î AC Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x + y + 2ax + 2by + c = (1) Thay tọa độ M, N, H vào phương trình (1) ta có hệ phương trình: ì a = ï ì2 a - c = ï ï ï í2a - 4b + c = -5 Û íb = ï2a + 2b + c = -2 ï î ïc = -2 ï î Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x + y - x + y - = 18) (ĐH D-2007) Cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + ( y + ) = và đường thẳng d : x - y + m = Tìm m để trên d có điểm P mà từ P có thể kẻ hai tiếp tuyên PA, PB (A, B là các tiếp điểm) cho tam giác PAB Gợi ý: (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = Ta có DPAB nên IP = IA = R = Û P thuộc 2 ®êng trßn (C') t©m I b¸n kÝnh R ' = Nhận xét: Điểm P là điểm chung (C’) và d Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (19) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Trªn d cã nhÊt mét ®iÓm P tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n vµ chØ d tiÕp xóc víi (C') t¹i P é m = 19 Û d ( I; d ) = Û ê ë m = -41 19) (Đề dự bị 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x + y = Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) các điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB Gợi ý: Cách 1: Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') là đường phân giác y = x Do đó, đường AB ^ đường y = x Þ hệ số góc đường thẳng AB -1 Vì AB = Þ A, B phải là giao điểm (C) với Ox, Oy é A(0,1); B(1,0) Suy ê ë A '(-1,0); B'(0, -1) Suy phương trình AB: y = - x + y = - x - Cách 2: Phương trình AB có dạng: y = - x + m Pt hoành độ giao điểm AB là: x + (- x + m)2 = Û x - 2mx + m - = (2) (2) có D / = - m2 , gọi x1 , x2 là nghiệm (2) ta có : A AB = Û 2( x1 - x2 )2 = Û ( x1 - x2 )2 = R ém = 4D / = Û - m2 = Û ê a ë m = -1 Vậy phương trình AB : y = - x + y = - x - Cách 3: Phương trình AB có dạng: y = - x + m O Û H B Gọi H là trung điểm AB Suy ra: OI = d ( O; AB ) = R - AH = R Từ đó giải phương trình OI = d ( O; AB ) AB 20) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x + y - x + y + 21 = và đường thẳng d: x + y - = Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y - = Vậy I Î d Vậy AI là đường chéo hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = , x = và x = là tiếp tuyến (C) nên - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = Þ A(2, –1) - Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = Þ A(6, –5) - Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) - Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (20) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 21) (Đề dự bị 2007) Cho đường tròn (C): x + y - x + y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) các điểm A, B cho AB = Gợi ý: Phương trình đường tròn (C): x + y - x + y + = có tâm I(1, –2) R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ^ IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH = BH = AB = Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I 2 Gọi A'B' là vị trí thứ AB Gọi H' là trung điểm A'B' æ 3ö Ta có: IH ' = IH = IA - AH = - ç ÷ = è ø 2 Ta có: MI = ( - 1) và MH = MI - HI = - + (1 + ) = = 2 MH ' = MI + H ' I = + 13 = 2 Ta có: R12 = MA2 = AH + MH = R 22 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = 49 52 + = = 13 4 169 172 + = = 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( x - 5) + ( y - 1) = 13 hay ( x - 5) + ( y - 1) = 43 2 2 22) (ĐH A-2009) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = và đường thẳng Δ : x + my - 2m + = Gọi I là tâm đường tròn (C), tìm m để Δ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho IAB có diện tích lớn Gợi ý: ïìT©m I ( -2; -2 ) Đường tròn ( C ) có í îïB¸n kÝnh R = * Ta có: x + my - 2m + = Û x = - ( my - 2m + 3) thay vào phương trình ( C ) , ta được: ( my - 2m + 3) + y - ( my - 2m + 3) + y + = (*) và rõ lúc đó, phương trình (*) có nghiệm phân biệt Hai giao điểm A ( - my A + 2m - 3; y A ) và B ( - my B + 2m - 3; yB ) , với y A , yB là nghiệm phương trình (*) = R sin AIB = 2sin AIB * Để ý rằng, SIAB = IA.IB.sin AIB 2 = Û AIB max Û sin AIB = 900 Û IA ^ IB (**) Lập luận SIAB max Û 2sin AIB Ta có: IA = ( -my A + 2m - 1; y A + ) , IB = ( -myB + 2m - 1; yB + ) ( Giáo viên: LÊ BÁ BẢO ) Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (21) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 Từ (**) suy ra: IA.IB = Û ( -my A + 2m - 1) ( -myB + 2m - 1) + ( y A + ) ( yB + ) = Sử dụng định lí Vi-et phương trình (*), suy kết 23) (ĐH B-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - ) + y = và hai đường thẳng Δ1 : x - y = 0, Δ : x - y = Xác định tâm K và bán kính đường tròn ( C1 ) , biết đường tròn ( C1 ) tiếp xúc với Δ1, Δ và tâm K thuộc đường tròn (C) Gợi ý: (1) tiếp xúc với Δ1, Δ Û d ( K ; D1 ) = d ( K ; D ) ( = R1 ) Gọi tâm ( C1 ) là K (a; b) Î ( C ) Û Theo giả thiết, đường tròn ( C1 ) ( a - 2) + b2 = é a=- b é5a - 5b = a - 7b ê = Û a - b = a - 7b Û ê Û Û ê 50 ë5a - 5b = 7b - a ë a = 2b Thay vào (1), giải kết a-b a - 7b 24) (ĐH D-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x - 1) + y = Gọi I là = 300 tâm (C) Xác định điểm M thuộc (C) cho IMO Gợi ý: Cách 1: Gọi M ( x; y ) Î ( C ) : ( x - 1) + y = (1) Û x + y = + - 2cos1200 Xét tam giác IAB : OM = IM + OI - IM OI cos MIO Û x + y = (2) Giải hệ (1) và (2), đưa kết bài toán = 30 Cách 2: Để ý rằng, với các giả thiết đã cho bài toán, thấy MOI Lúc đó, điểm M là giao điểm đường thẳng D1 , D qua O và có các hệ số góc tương ứng 1 và k1 = tan150 = k1 = tan 30 = 3 1 Ta có D1 : y = x và D1 : y = x 3 Kết hợp với giả thiết M ( x; y ) Î ( C ) : ( x - 1) + y = (1) , giải hệ và đưa kết 25) (ĐH A-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = và d : 3x - y = Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T) biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương Gợi ý: (*) Để ý rằng: SABC = AB.BC = 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (22) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 ) ( Do A Î d1 : x + y = Þ A a; - 3a Mặt khác, (T) cắt d hai điểm B, C nên gọi ( ) ( ( ) B b; 3b , C c; 3c Ta có: AC = c - a; 3c + 3a và d1 có vectơ phương ad1 = 1; - ) ( ) Do DABC vuông B nên tâm I (T) là trung điểm AC Và (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 A nên suy ra: AC ad1 = Û ( c - a ) - 3c + 3a = Û c = -2a ( ( ) ) Lúc đó: C -2a; -2 3a Từ (*) giải tọa độ A, chọn hoành độ dương XEM LẠI TÍ!!!! x2 y + = 26) (ĐH B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2; và elip ( E ) : Gọi F1, F2 là các tiêu điểm (E) ( F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E), N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 ( Gợi ý: Nhận thấy F1 (-1;0) và F2 (1;0) Đường thẳng AF1 có phương trình: ) x +1 y = 3 M là giao điểm có tung độ dương AF1 với (E), suy ra: æ 3ö M ç 1; ÷ Þ MA = MF2 = è ø Do N là điểm đối xứng F2 qua M nên MF2 = MN , suy ra: MA = MF2 = MN æ 3ö Phương trình (T): (x - 1) + ỗ y ữ = 3 ø è 27) (ĐH D-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -7) , trực tâm H (3; -1) , tâm đường tròn ngoại tiếp I (-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C biết đỉnh C có hoành độ dương Gợi ý: Lấy điểm A’ đối xứng với điểm A qua I Gọi C ( x; y ) : AC A / C = (1) Để ý rằng, BHCA’ là hình bình hành nên IA = IC (2) Từ (1) và (2) suy ra, kết luận bài toán 28) (ĐHDLHV) Cho điểm A ( 8; -1) và đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = a Viết các phương trình các tiếp tuyến ( C ) kẻ từ A b Gọi M, N là các tiếp điểm Tính độ dài MN 29) (CĐMGTW3-2004) Cho đường tròn ( C ) : x + y + x - y = và đường thẳng d : x - y +1 = a Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và tiếp xúc ( C ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (23) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 b Viết phương trình đuờng thẳng song song với d và cắt đường tròn hai điểm M, N cho độ dài MN c Tìm toạ độ điểm T trên d cho qua T kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với ( C ) hai điểm A, Bvà góc ATB 600 30) (CĐCNHN 2004) Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phương trình x + y - = và x + y + = , cạnh BC có trung điểm M (-1;1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 31) (CĐCNHN 2005) Cho tam giác ABC, biết phương trình các cạnh AB, BC, CA là x + y - = 0, x + y + = 0, x - y + = Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 32)(CĐSPQB 2005) Viết phương trình đường tròn ( C ) qua điểm A(2;3), B(4;5), C (4;1) Chứng tỏ điểm K (5;2) thuộc miền ( C ) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm K cho d cắt ( C ) theo dây cung AB nhận K làm trung điểm 33) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y - = a Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm M (4;0) b Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm N (4;6) 34) Cho đường tròn ( C ) : ( x - ) + ( y - ) = và điểm M (3;4) 2 a Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm M b Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến đó hợp với chiều dương trục Ox góc 450 35) (ĐHGTVT) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y - = và điểm A(2; 2) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm A Giả sử hai tiếp điểm là MN, tính S AMN Gợi ý: Cách 1: Viết phương trình tiếp tuyến D1 , D (C) qua A trên Xác định tọa độ M, N tương ứng là các tiếp điểm D1 , D và (C) Tính S AMN Cách 2: Dùng công thức phân đôi tọa độ, suy phương trình MN là: x + = Xét DIMH : MH = IM - éë d ( I ; MN ) ùû 2 = R - ëé d ( I ; MN ) ûù Þ MN = MH Từ đó suy ra: S AMN = d ( A; MN ) MN D1 M I N = R sin MAN MA.NA.sin MAN D2 2 = IM : sin MAI = MAI Tính MAI Với MAN IA 2 36) Cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y - x - y + 11 = và ( C2 ) : x + y - x - y - = Cách 3: Dùng công thức SDAMN = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com A (24) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY a Xét vị trí tương đối hai đường tròn b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 37) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x - 1) + ( y + 3) = và đường thẳng d : x - y + = Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d cho O là trung điểm MN Tìm M, N Gợi ý: Gọi N (t ; t + 1) Î d Do M, N đối xứng qua O nên M (-t ; -t - 1) ét = -1 2 Mặt khác, M Î (C ) Û ( -t - 1) + ( -t - + 3) = Û t - t - = Û ê ët = Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán M (1;0), N (-1;0) và M (-2; -3), N (2;3) 2 38) (Đề thi đề xuất 2010) Cho ( C ) : ( x + 1) + ( y - 1) = và đường thẳng d : x - y - = Trên (C) lấy điểm M và lấy điểm N trên d cho M, N đối xứng qua Ox Tìm M, N Gợi ý: Gọi N (t ; t - 1) Î d Do M, N đối xứng qua Ox nên M (t ; -t + 1) ét = -1 2 Mặt khác, M Î (C ) Û ( t + 1) + ( -t + - 1) = Û t + t = Û ê ët = Kết luận: Vậy có hai cặp điểm M, N thỏa yêu cầu bài toán M (-1;2), N (-1; -2) và M (0;1), N (0; -1) 39) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho tam giác ABC có A(1;0) , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C tam giác thứ tự có phương trình: x - y + = và 3x + y - = Viết phương trình đường tròn ngoại tiế p tam giác ABC Gợi ý: Phương trình AB : x - y = Þ B (-5; -2) Phương trình AC : 2x + y = Þ C (-1;4) Sử dụng kỹ gọi đường tròn qua điểm A(1;0) , B (-5; -2) và C (-1;4) ta tìm 36 10 43 = phương trình ( C ) : x + y + x - y 7 40) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( C ) : x + y = và parabol ( P ) : y = x Tìm trên (P) điểm M cho từ M có thể kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với góc 600 Gợi ý: Cách 1: Gọi M ( x02 ; x0 ) Î ( P ) và A, B là hai tiếp điểm Dễ thấy yêu cầu bài toán và AMB = 600 Û OM = 2OA = Từ đó ta tìm x0 Î { } 2; - ( ) ( ) Vậy có hai điểm thỏa y.c.b.t là M 2; , M 2; - Cách 2: Tương tự tính AMB = 600 Û OM = 2OA = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (25) www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY ( ) Suy M Î ( C / ) º O; điểm M là giao điểm hai đường: (C ) : x / Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 + y = và ( P ) : y = x … 41) (Toán học Tuổi trẻ 2010) Cho đường tròn ( C ) : x + y - x - y + = và đường thẳng d : x - y + = Tìm tọa độ điểm M trên (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d có giá trị nhỏ Gợi ý: Đường tròn (C) có tâm I (3;2) , bán kính R = Hai tiếp tuyến (C) song song với d là Δ1 : x - y + = và Δ : x - y - = Xác định các tiếp điểm M , M tương ứng Δ1 và Δ với (C) So sánh d ( M ; d ) và d ( M 2; d ) Đáp số: M (1;3) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền www.VNMATH.com (26)