Bài giảng toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Trị riêng, véctơ riêng ma trận Ví dụ  −1 u=  1 3 −2  A=    2 v=  1  Tính A u A v Hãy cho biết nhận xét Av u v Au Số λ gọi trị riêng A, tồn véctơ x khác không, cho Ax = λ x Khi đó, véctơ x gọi véctơ riêng ma trận vuông A tương ứng với trị riêng λ Trị riêng, véctơ riêng ma trận Ví dụ 1  A=    6 u=   −5 3 v=   −2  Véctơ véctơ riêng A? Giải     −24  6 Au =  = = −4  ÷ = −4.u ÷ ÷ ÷   −5   20   −5  Ta có A u = −4.u ⇒ u véctơ riêng     −9  Av =  = ÷ ÷ ÷   −2   11  Không tồn số λ để A v = λv ⇒ v không véctơ riêng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Ví dụ 3 4 A=    λ1 = −1; λ2 = Số trị riêng A? Giải Xét hệ phương trình Ax = λ1 x  x1   4x + 4x   x1  ⇔ = −1 ÷ ⇔   ÷ ÷ 6 5 x  x2   6x + 6x = = Hệ có vô số nghiệm, nên tồn nghiệm khác không, 1 ví dụ x =  ÷ Ax = λ1 x  −1  Vậy λ1 trị riêng Kiểm tra tương tự thấy λ2 không trị riêng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Giả sử λ0 trị riêng ma trận A ⇔ ∃x ≠ : A x = λ0x ⇔ A x − λ0x = ⇔ (A − λ0I )x = Hệ có nghiệm khác không ⇔ det(A − λ0I ) = det(A − λ I ) = gọi phương trình đặc trưng ma trận vuông A Đa thức PA (λ ) = det( A − λ I ) gọi đa thức đặc trưng A Vậy λ trị riêng λ nghiệm phương trình đặc trưng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Tìm trị riêng, véctơ riêng ma trận vuông A cấp n Bước Lập phương trình đặc trưng det( A − λ I ) = (Tính định thức vế trái, ta có phương trình bậc n theo λ ) Bước Giải phương trình đặc trưng Tất nghiệm phương trình đặc trưng trị riêng A ngược lại Bước Tìm VTR A tương ứng TR λ1 (chẳng hạn) cách giải hệ phương trình ( A − λ1I ) X = Tất nghiệm khác không hệ VTR A ứng với trị riêng λ1 Trị riêng, véctơ riêng ma trận Định nghĩa Bội đại số trị riêng λ bội trị riêng λ trình đặc trưng phương Định nghĩa Không gian nghiệm hệ (A − λ1I )X = gọi không gian riêng ứng với TR λ1 , ký hiệu E λ1 Định nghĩa Bội hình học trị riêng số chiều không gian riêng tương ứng với trị riêng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Định lý Bội hình học trị riêng nhỏ bội đại số Chú ý Bội hình học trị riêng lớn ( ≠ 0) Định lý Các véctơ riêng ứng với trị riêng khác độc lập tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng ma trận 3 1  ÷ Tìm trị riêng; sở, chiều A = Ví dụ  ÷ kgian riêng ứng 1 3÷   Lập phương trình đặc trưng A: 3−λ ⇔ det(A − λ I ) = 1 4−λ = ⇔ (λ − 2)2 (λ − 6)1 = 3−λ Trị riêng λ1 = BĐS = BHH chưa biết? Trị riêng λ2 = BĐS = BHH = Trị riêng, véctơ riêng ma trận Tìm sở, chiều kgian riêng ứng với λ1 = ( A − λ1I ) X = 1  x  3− ⇔ 4−2 ÷ x ÷ =  ÷ ÷  ÷ x ÷ −    Giải hệ cách biến đổi ma trận hệ số ta nghiệm tổng quát      sở kgian  x1  1 0  x ÷ = x  ÷+ x  ÷ ⇒  ÷,  ÷ riêng E λ = E  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  −1÷  −1÷  −1÷  −1÷ dim( E ) = x ÷ λ1      3      Hoàn toàn tương tự ta tìm sở chiều không gian riêng ứng với trị riêng λ2 = Trị riêng, véctơ riêng ma trận Ví dụ  1 A= L 1  1 L L L L L 1 ÷ Tìm trị riêng; sở, chiều ÷ kgian riêng ứng L ÷ ma trận vuông cấp n 1÷  Xét phương trình đặc trưng: det(A − λ I ) = Nhận xét thấy det (A) = nên A có trị riêng λ1 = Tính vế trái pt đặc trưng cách cộng tất hàng lên hàng 1, ta có thừa số chung ( n − λ ) suy λ2 = n trị riêng thứ Tương ứng với TR λ1 = xét hệ (A − λ1I )X = Dễ thấy không gian nghiệm có chiều n-1, BHH TR n – 1, suy BĐS λ1 lớn n -1 Tổng BĐS n, không TR khác nữa! ... −1  Vậy λ1 trị riêng Kiểm tra tương tự thấy λ2 không trị riêng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Giả sử λ0 trị riêng ma trận A ⇔ ∃x... gian riêng tương ứng với trị riêng Trị riêng, véctơ riêng ma trận Định lý Bội hình học trị riêng nhỏ bội đại số Chú ý Bội hình học trị. .. riêng nhỏ bội đại số Chú ý Bội hình học trị riêng lớn ( ≠ 0) Định lý Các véctơ riêng ứng với trị riêng khác độc lập tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng ma trận