Bài tập Toán cao cấp Đại học Ngoại Thương

TS PHÙNG DUY QUANG BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG, 2019 LỜI NĨI ĐẦU Sách “Bài tập Tốn cao cấp ứng dụng kinh tế” biên soạn tương ứng chương trình Tốn cao cấp chương trình đào tạo ngành Kinh tế, Tài Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế trường Đại học Ngoại thương Sách ñược biên soạn với mục ñích rèn luyện tư suy luận tri thức toán học cao cấp trang bị lý thuyết, kỹ giải tốn cơng cụ tốn học cao cấp tiếp cận tập Nhằm mục đích đổi việc giảng dạy học tập toán cao cấp sinh viên Đại học Ngoại thương theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp ñỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Với mục đích chúng tơi cố gắng đưa vào khối lượng tương đối lớn tập Tốn cao cấp ứng dụng kinh ñể người ñọc thấy ñược mạch ứng dụng toán học cao cấp lĩnh vực kinh tế Ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; sách ñược kết cấu sau: Chương Ma trận định thức Chương Khơng gian véc tơ Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Một số mơ hình tuyến tính ứng dụng phân tích kinh tế Chương Phép tính vi phân, tích phân hàm biến số Chương Ứng dụng phép tính vi phân, tích phân hàm biến số kinh tế Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Chương Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến kinh tế Sách lần ñầu tiên mắt bạn đọc nên khơng thể tránh sai sót Mọi góp ý xin gửi TS Phùng Duy Quang, Trưởng Khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại thương, ñịa email: quangpd@ftu.edu.vn Trân trọng giới thiệu bạn ñọc Hà nội, ngày 04 tháng 09 năm 2019 Chủ biên TS Phùng Duy Quang Phụ trách mơn Tốn, Trưởng Khoa Cơ Trường Đại học Ngoại thương MỤC LỤC Trang Chương Ma trận Định thức Chương Không gian véc tơ 10 Chương Hệ phương trình tuyến tính 15 Chương Một số mơ hình tuyến tính ứng dụng phân tích kinh tế 20 Chương Phép tính vi phân, tích phân hàm biến số 30 Chương Ứng dụng phép tính vi phân, tích phân hàm biến số 36 kinh tế Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 45 Chương Ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến kinh tế 47 Tài liệu tham khảo 54 PHẦN TOÁN CAO CẤP Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1.1 Tính định thức sau −7 b) − 12 a) − 2010 −1 e) −3 f) − −4 −2 4 −2 −9 c) 3 d) −5 − 13 g) − 1 3 −3 −3 −1 h) − 1 Bài 1.2 Tính định thức sau a) −1 −2 −3 b) − −1 −6 −1 c) − −3 4 −3 − 2 −1 −5 −5 −4 −1 − − 3 −1 − d) − − − −1 −2 −1 −1 −4 −5 2 Bài 1.3 Chứng minh ñịnh thức : D = chia hết cho 17 Bài 1.4 Chứng minh ñịnh thức D = chia hết cho 19 Bài 1.5 Chứng minh ñồng thức sau: a b a) a1 b1 b2 a2 ax + by + c a b c a1 x + b1 y + c1 = a1 a x + b2 y + c a2 b1 b2 c1 c2 a bc b) b ca = (b − a)(c − a)(c − b) c ab a a2 1 c) a b b3 c = (a + b + c)(b − a )(c − a )(c − b) d) b ca = b b c3 c ab c c a3 a bc Bài 1.6 Trong ñịnh thức cấp n, xác định dấu a) Tích phần tử nằm đường chéo b) Tích phần tử nằm ñường chéo phụ Bài 1.7 Định thức cấp n thay ñổi nếu: a) Đổi dấu tất phần tử b) Viết cột theo thứ tự ngược lại Bài 1.8 Tìm giá trị lớn định thức cấp nhận phần tử a) b) -1 Bài 1.9 Giải phương trình sau − 3x − x x −2 −4 =0 −3 −2 18 Bài 1.10 1) Tính AB BA (nếu tồn tại), biết rằng: 1 3 a) A =  ; B = 0 −  0 − 1 2    4  −  b) A =  − 1 ; B =  − 1  1 − 2  2 − 1  3 −  2) Tính cos x − sin x  cos x  a)   sin x n  1 b)   0 3 n a  c) 0 a 1 0 a  100 Bài 1.11 Tìm tất ma trận B giao hốn với ma trận A, nghĩa AB = BA, biết: 1 2 1 − 1   a) A =   3 4 b) A =  Bài 1.12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1 2 a)   3 4 − 2 c)  3   a b  b)   c d    −1 − −   e)  1 − 2    −1  −1  d) − − 1   1 0 f)  0  0 −1 3 − 6 −2   0 − 1 1 2 Bài 1.13 Giải phương trình A × X = B, biết:  − 3 5  5 −  a) A =   ; B = 7   − 4   1 c) A =  − 1 0  d) A =   0 0 − 3 ;B=  b) A =   ; B =  − 3  − 3    3 1    1 1  0 1  ; B =    1 0 0 1 n − 1 n  n − n − 1     Bài 1.14 a) Cho A ma trận vng thỏa mãn điều kiện: A − 2010 A + E = Tìm ma trận nghịch ñảo A-1 A (nếu tồn tại) (E ma trận ñơn vị) b) Cho A ma trận vng cấp n có r (A) ≠ n − Tìm r( A ) Bài 1.15 Tìm hạng ma trận sau:  −1  0 − 1 A=  ; − 2   7 2 1 2 B=  1  2 2 −  1 −    D = 3 1  ; E =   2 − 4  8 − 10 − 1 −  ; −2   0  − − 2 − −  C=  ; 3 − − 1   − − 2 4 − − 4  − 2 ; F =    −  − 4 1 −   1 10 −    − − −  Bài 1.16 Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 1 m −  2 − m    1 10 −  a b  thoả mãn: X − (a + d)X + ad − bc =  c d  Bài 1.17 a) Chứng minh rằng, ma trận A =  b) Giả sử A ma trận vuông cấp k số nguyên lớn Chứng minh Ak = A2 = Bài 1.18 a) Giả sử Ak = (k số nguyên lớn 2) Chứng minh (E – A)-1 = E + A + A2 + … + Ak -1 b) Cho A ma trận vng cấp n có phần tử đường chéo 0, phần tử lại 2000 Chứng minh r (A) ≥ n − Bài 1.19 a) Cho A ma trận vng cấp n có A-1 = 3A Tính det(A2009 – A) b) Chứng minh không tồn ma trận A, B vuông cấp n cho AB – BA = E Bài 1.20 Tính định thức cấp n sau n −1 n 1+ a n b) − − − 0 0 + a a) − − x −y c) x 1 0 − y 0 x 0 x −y a a + a 0 a 1 a d) 0 a n − 0 0 a n −1 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ Bài 2.1 Tìm véc tơ x = 2x1 – x2 + x3 biết: a) x1 = (2; 1; -1; 3); x2 = (- 2; 1; 3; 4); x3 = (-3; 1; 4; 5) b) x1 = (a; 1; 2; -1); x2 = (- 2; - a; 1; -1);x3 = (- 2; 4; a; 3) Bài 2.2 Xét ñộc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau a) U = {x1 = (2; 1; -1); x2 = (- 2; 3; -4); x3 = (3; - 1; 2)} b) U = {x1 = (3; -2; 4); x2 = (- 2; 2; 0); x3 =(- 1; 2; 4)} c) U = {x1 =(1;1;0); x2 =(0;1;1); x3 = (1;0;1); x4 =(2;-2; 2)} d) U = {x1 = (1; -1; 2); x2 = (2; 0; 1)} e) U = {x1 =(1;-1;2;3); x2 = (2;3;- 2;- 4); x3 = (3;2; 0; -1)} Bài 2.3 Biểu diễn véc tơ a qua véc tơ u1, u2, u3 a) a = (4; 9; -3; -1); u1 = (1; 2; -1; 1); u2 = (0; - 1; 2; 2); u3 = (2; 4; 1; -1) b) a = (3; 0; 4) ; u1 = (1; -1; 2); u2 = (2; -1; 4); u3 = (0; 1; -1) Bài 2.4 Trong R3, hệ véc tơ sau ñây sở R3 a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)} b) U = {u1 = (1 ; -1 ; -2) ; u2 = (3 ; ; 1)} c) U = {u1 =(1 ; -2 ; 1) ;u2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u3 = (2 ; -5 ; - 3) } d) U = {u1 = (1 ; -1 ; -3) ;u2 = (0 ; ; 0); u3 = (5 ; -4 ; 0)} e) U = {u1 = (1 ; ; 0) ; u2 = (-1 ; ; 2); u2 = (2 ; ; 1) ; u3 = (1 ; ; 3)} f) U = {u1 = (1 ; ; -2) ; u2 = (0 ; -1 ; 1) ; u3 = (0 ; ; 2)} Bài 2.5 Tìm hạng hệ véc tơ sau a) U = {u1 = (3 ; ; -2) ; u2 = (-2 ; ; 3) ; u3 = (-1 ; ; 4)} b) U = {u1 = (-1 ; ; 2) ; u2 = (2 ; - ; -1) ; u3 = (-3 ; ; 6)} c) U = {u1 = (2 ; ; ; 2) ; u2 = (3 ; ; ; 7) ; u3= (2 ; ; ; 3) ; u4= (1 ; ; ; 3)} d) U = {u1 = (1;2 ;3 ; -3) ; u2 = (2 ; ; -2 ; 3) ; u3 = (-3 ; ; ; 1) ; u4 = (-3 ; ; ; 2)} e) U = {u1 = (1 ; ; ; -2) ; u2 = (1 ; ; ; -2) ; u3 = (2 ; ; ; -1) ; u4=(1 ; -1 ; ; 4)} 10 Bài 6.33 Gọi p giá hàng A, q giá hàng B, M thu nhập, T thuế Mơ hình thị trường có dạng Da = 0,8M0,4p-0,5q0,1 Sa = 5,4p0,3T-0,05 1) Cho biết quan hệ hàng hố A, B 2) Phân tích tác động M, T tới giá cân mặt hàng A 3) Lượng cung Sa thay ñổi giá hàng A tăng 7% thuế tăng 7% Bài 6.34 Cho hàm tổng chi phí: TC = Q3 – 5Q2 + 14Q +75 với Q sản lượng (Q>0) 1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC 2) Tìm hệ số co giãn C theo Q mức Qo=10 giải thích ý nghĩa ktế 3) Tìm hàm MC AC, chứng minh MC cắt AC ñiểm AC cực tiểu Bài 6.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 – 3Q Tìm hàm MR, chứng minh AR, MR có tung độ gốc, độ dốc MR gấp đơi độ dốc AR Bài 6.36 Cho hàm tổng chi phí: TC(Q) = Q3 – 4Q2 + 1800Q + 150 ( Q ≥ ) Hàm cầu sản phẩm công ty Q = 9000 – p 1) Viết hàm tổng doanh thu hàm Q (là hàm p) 2) Tìm MC MR theo Q 3) Tìm Q* ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Bài 6.37 Cho hàm lợi nhuận π = −Q + 3Q + 1320Q − 10 (Q ≥ 0) 1) Tính π(0) giải thích ý nghĩa kinh tế 2) Tìm mức sản lượng Q* ñể lợi nhuận ñạt cực ñại Bài 6.38 Cho hàm sản xuất Q = −2 L + 10L2 Trong đó: Q- sản lượng, L – số đơn vị lao động sử dụng 1) Tìm tập xác định thực tế hàm 2) Tìm hàm sản phẩm trung bình AQ hàm sản phẩm biên MQ Chứng minh AQ =MQ mức sản lượng Q mà AQ đạt cực đại 3) Tìm mức sử dụng lao động L* Q đạt giá trị lớn 4) Tìm hệ số co giãn Q theo L mức L = giải thích ý nghĩa kinh tế 41 Bài 6.39 Một công ty có hàm tổng doanh thu TR = 60Q – 1,5Q2 hàm tổng chi phí Q3 TC = − 9,5Q + 101Q + FC 1) Cho FC = 3, tìm mức cung Q* để lợi nhuận đạt cực ñại 2) Gọi π * mức lợi nhuận cực đại Phân tích ảnh hưởng FC tới Q* π * Bài 6.40 Hàm cầu ngược p = 200- Q; TC = Q2 Trong đó: P –giá; Q – sản lượng 1) Tìm mức sản lượng mức giá cho lợi nhuận cực đại 2) Tìm hệ số co giãn cầu mức tối ña lợi nhuận 3) Giả sử phủ đánh lượng thuế t vào sản phẩm bán Tìm mức cung tối đa hóa lợi nhuận; sản lượng thay ñổi t thay ñổi Bài 6.41 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800- 1,8Q2 1) cho biết mức sản lượng Qo =10 mà doanh nghiệp giảm giá 1% mức cầu biến ñộng nào? 2) Nếu doanh nghiệp định giá bán po = 50 tổng doanh thu bao nhiêu? 3) Nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng cung từ 10 lên 20 tổng doanh thu tăng lên bao nhiêu? Bài 6.42 Cho hàm lợi nhuận bậc hai: π(Q) = hQ + jQ + k (Q ≥ 0) Hãy cho biết ñiều kiện ñối với hệ số h, j, k ñể hàm lợi nhuận thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện kinh tế sau: 1) Khi sản lượng bán Q = lợi nhuận âm 2) Lợi nhuận π(Q) ñạt cực ñại Q* > Bài 6.43 Cho hàm chi phí TC(Q) = aQ2 + bQ + c ( a > 0; Q > −b ) 2a 1) Cho biết ñiều kiện ñối với a, b, c để hàm TC(Q) hàm chi phí hợp lý mặt kinh tế; lập hàm AC MC 2) Cho hàm cầu ngược sản phẩm công ty p = p(Q) có p’(Q) < Hãy lập hàm doanh thu, doanh thu bình quân, doanh thu cận biên 3) Hãy lập hàm lợi nhuận; ñiều kiện ñể hàm lợi nhuận ñạt cực ñại Bài 6.44 Tìm hàm tổng chi phí, hàm chi phí bình qn trường hợp sau: 42 1) MC = 15Q2 + 8Q + 3; FC = 100 2) MC = 3Qe0,5Q; FC = 30 3) MC = 2e0,2Q; FC = 90 Bài 6.45 Tìm hàm tổng doanh thu TR(Q) trường hợp sau: 1) MR = 28Q – e0,3Q 2) MR = 10(1 + Q)-2 Bài 6.46 Tìm hàm tổng nhập M(Y) với Y thu nhập quốc dân khuynh hướng nhập biên M’(Y) = 0,1 M = 20 Y = Bài 6.47 Biết tiêu dùng C thu nhập Y Y = 100$ khuynh hướng tiêu dùng là: C’(Y) = MPC(Y) = 0,8 + 0,1Y-0,5 1) Tìm hàm tiêu dùng 2) Cho biết mức tăng lên tiêu dùng thu nhập tăng từ 100$ lên 200$ 3) Tính số co giãn tiêu dùng mức thu nhập Y = 200$, giải thích ý nghĩa Bài 6.48 Cho hàm ñầu tư I( t ) = 12t (trong t biến thời gian) 1) Xác ñịnh hàm vốn K(t) K(0) = 25 2) Xác định tổng lượng vốn tích lũy khoảng thời gian t ∈ [0;1] Bài 6.49 Cho cầu loại hàng hóa (Q) phụ thuộc vào giá hàng hóa (p) thu nhập (Y) dạng: Q = 4Y0,5 – lnp + 1) Tính giải thích ý nghĩa kinh tế hệ số co giãn riêng Q theo p, theo Y 2) Tại mức cầu Qo cho trước, mức giá po: giá p tăng đơn vị thu nhập Y phải tăng cầu khơng đổi Bài 6.50 Cho biết hàm cung hàm cầu ñối với loại sản phẩm: Q d = 113 − p ; Q s = p − Hãy tính thặng dự nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng Bài 6.51 Cho QS QD hàm cung hàm cầu loại hàng hóa: QS = 50p2 – 20 QD= 0,5p-2M2 43 Với p giá ñơn vị hàng hóa, M thu nhập người tiêu dùng (M>0) 1) Tìm điều kiện p cho hàm cung hàm cầu ñều nhận giá trị dương Với điều kiện viết mơ hình cân thị trường, viết hàm dư cung xét tính đơn điệu hàm theo p 2) Cho p giá cân Q lượng cân Nếu thu nhập M giảm tác động tới p; Q Bài 6.52 Y thu nhập, S tiết kiệm Biết mức tiết kiệm S = -7,42 thu nhập Y = 1) Hãy xác ñịnh hàm tiết kiệm biết khuynh hướng tiết kiệm cận biên MPS = Y – 0,4 2) Kể từ mức thu nhập dương trở lên có tiết kiệm dương? 44 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 7.1 Tìm tập xác ñịnh hàm số sau: a) y = − x + y − b) y = − x − y c) d) y = ln( y − x − 8) ( x + y − a )(b − x − y ) e) y = R − x − y − z + (0 < r < R ) x + y + z2 − r2 2 Bài 7.2 Tính giới hạn: lim lim f ( x , y) , lim lim f ( x , y) , lim f ( x , y) x →0 y →0 a) f ( x , y) = x−y x+y x →0 y →0 y →0 x →0 b) f ( x , y) = ( x + y) sin 1 sin x y x y2 c) f ( x , y) = 2 x y + ( x − y) + x + y2 − d) f ( x , y) = x + y2 sin(x y ) e) f ( x , y) = (x + y2 )2 f) f ( x , y) = ( x + y ) x y 2 Bài 7.3 Tính giới hạn sau: x + y2 a) lim 4 x →∞ y →∞ x + y d) lim x →∞ y →∞  xy  b) lim   x →∞ x + y   y →∞ x2 x+y e) lim( x + y ).e − ( x + y ) x →∞ x − xy + y y →∞ x − y2 c) lim 2 x →∞ y →∞ x + y Bài 7.4 Xét tính liên tục hàm số f(x,y) điểm (0, 0)  x − y3 x + y ≠  2 a) f(x,y) =  x + y 0 x + y =   sin x y x + y ≠  2 b) f ( x , y) =  x + y 2 0 x + y =  45  x →∞ y →a  f) lim1 + 1  x x2 x+y Bài 7.5 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau a) f ( x , y) = x y + c) f ( x , y) = y x x y cos y x b) f ( x , y) = sin d) f ( x , y) = x y x cos y − y cos x e) f ( x , y) = + sin x + sin y x y cos y x  y f) f ( x , y) =   x x Bài 7.6 Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau b) f ( x , y) = x cos y + y cos x a) f ( x , y) = y ln(xy) c) f ( x , y) = x+y x−y d) f ( x , y) = ( x + y )e x + y e) f(x, y) = ln(x + y) Bài 7.7 Tìm cực trị hàm số sau a) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 2x – 2y b) f(x,y) = (y-x)2 + (y + 2)3 c) f(x, y) = − x + y a b3 d) f ( x , y) = x + xy + y + + x y e) f(x, y) = – 4x – 3y với ñiều kiện x2 + y2 = f) f(x, y) = x2 + y2 + xy – 5x- 4y + 10 với x + y = 46 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ TRONG KINH TẾ 1 3   Bài 8.1 Cho hàm sản xuất: Q =  K 0,5 + L0,  Trong Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng (Q, K, L >0) 1) Tìm hàm sản lượng cận biên vốn lao động? 2) Với hàm sản xuất hiệu có tăng quy mơ sản xuất tăng hay khơng? Bài 8.2 Hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x, y) = 10xy – 3x2 – 2y2 Trong x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa (x >0 , y >0) 1) Hàm lợi ích có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 2) Viết đường bàng quan x = y =2; tìm độ dốc đường giải thích ý nghĩa giá trị tìm Bài 8.3 Một công ty sản xuất loại sản phẩm (cạnh tranh hoàn hảo) Cho biết giá loại sản phẩm P1, P2 hàm tổng chi phí có dạng: TC = 2Q12 + 2Q 22 + Q1Q 1) Tìm mức sản lượng cho loại sản phẩm ñể ñạt lợi nhuận tối ña 2) Khi P1, P2 biến ñộng tác ñộng ñến mức sản lượng tối ưu Bài 8.4 Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng: TC1 = 128 + 0, 2Q12 ;TC = 156 + 0,1Q 22 (Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1, 2) Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; Q = Q1 + Q2 Q0) đài truyền hình (y: phút, y > 0) Hàm doanh thu: TR = 320x – 2x2 – 3xy – 5y2 + 540y + 2000 Chi phí cho phút quảng cáo ñài phát triệu ñồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo 180 triệu đồng 1) Tìm x, y ñể cực ñại doanh thu 2) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực ñại tăng lên bao nhiêu? Bài 8.9 Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5 Trong Q sản lượng; K vốn L lao động (Q, K, L >0) 1) Tính sản lượng cận biên vốn lao ñộng Ko = 4; Lo = 2) Chứng minh hàm sản lượng cận biên theo vốn, lao ñộng hàm bậc 3) Cho biết trình sản xuất có hiệu với việc tăng quy mô sản suất? Bài 8.10 Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với loại hàng hóa sau: U(x1, x2 ) = x 10, x 02, Trong x1 số ñơn vi hàng hóa 1, x2 số ñơn vị hàng hóa (x1, x2 >0) Ngân sách tiêu dùng 300USD; giá đơn vị hàng hóa 1, 3USD, 5USD 1) Tìm gói hàng hóa mà hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng ñạt giá trị lớn 48 2)Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1USD mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? 3)Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? Bài 8.11 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q =K0,3L0,5 Trong Q, K, L sản lượng, vốn, lao ñộng (Q, K, L > 0) 1) Quá trình sản xuất có hàm sản lượng có hiệu việc tăng quy mơ sản xuất 2) Tìm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao ñộng 3) Nếu doanh nghiệp thuê ñơn vị vốn 6USD; ñơn vị lao ñộng 2USD; ngân sách chi cho yếu tố ñầu vào 384USD Tìm mức sử dụng vốn lao động ñể sản lượng tối ña 4) Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 10USD sản lượng tối ña tăng bao nhiêu? Bài 8.12 Cho hàm sản xuất Cobb – Douglas: Q = 30K L3 (K > 0; L > 0) Trong Q sản lượng; K vốn; L lao ñộng (Q, K, L >0) 1) Tìm giải thích ý nghĩa kinh tế ∂Q ∂Q = Q 'K = Q1 ; = Q 'L = Q ñiểm Ko = 27 ∂K ∂L Lo = 64 2) Tính hệ số co giãn riêng Q theo K L Cho biết ý nghĩa ñiểm Ko =27; Lo = 64 3) Nếu K L tăng 1% Q tăng phần trăm 4) Với hàm sản xuất tăng quy mơ hiệu có tăng khơng? 5) Hàm số cho có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 6) Tại mức đầu vào Ko = 27, Lo = 64; giả sử dK = 0,1; dL = 0,3 mức biến ñộng vốn lao động Tìm mức biến động dQK, dQL giải thích ý nghĩa kinh tế đại lượng Tìm giải thích ý nghĩa vi phân tồn phần dQ Bài 8.13 Cho hàm sản xuất Q = 0,3K0,5L0,5 Trong Q sản lượng; K vốn; L lao động (Q, K, L >0) 1) Hãy tính sản lượng cận biên vốn lao ñộng Ko = 4; Lo = 2) Q trình cơng nghệ thể hàm số có suất cận biên giảm dần hay khơng? Hãy giải thích 49 3) Nếu K tăng lên 8% L khơng đổi Q tăng %? 4) Viết phương trình ñường mức Ko = 16; Lo= Bài 8.14 Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm π = −Q12 − 3Q 22 − 7Q 32 + 300Q + 1200Q + 4Q1Q + 20 Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 ñể doanh nghiệp thu ñược lợi nhuận tối đa Bài 8.15 Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng với loại hàng hóa sau: U(x1, x2 ) = x 10, x 02, Trong x1 số đơn vi hàng hóa 1, x2 số đơn vị hàng hóa (x1, x2 >0) Ngân sách tiêu dùng 300USD, giá đơn vị hàng hóa 1, 5USD, 3USD 1) Hàm số có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 2) Hai hàng hóa thay hay bổ sung cho nhau? 3) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 2% mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu? Bài 8.16 Cho hàm lợi ích tiêu dùng U = x1x2 + x1 + x2 Trong x1 số ñơn vi hàng hóa 1, x2 số ñơn vị hàng hóa (x1, x2 >0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng p1 = 2$; p2 = 5$ thu nhập dành cho tiêu dùng 51$ Hãy xác ñịnh lượng cầu ñối với mặt hàng người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích Bài 8.17 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U = 100 x 10, x 02, 25 Trong x1 số đơn vi hàng hóa 1, x2 số đơn vị hàng hóa (x1, x2 >0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng p1 = 8$; p2 = 5$ thu nhập dành cho tiêu dùng 680$ Hãy xác ñịnh lượng cầu ñối với mặt hàng ñể người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích Bài 8.18 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất sau: Q = 12 K L Trong ñó Q sản lượng; K vốn; L lao động (Q, K, L >0) 1) Hãy tính MPPK, MPPL điểm (Ko=125, Lo= 100) giải thích ý nghĩa 2) Chứng tỏ MPPK giảm K tăng L khơng đổi 3) Chứng tỏ MPPL giảm L tăng K khơng đổi Bài 8.19 Cho biết hàm lợi ích người tiêu dùng U =100 x0,4y0,7; x lượng hàng hóa A (x>0), y lượng hàng hóa B (y>0) 50 1) Hãy lập hàm số biểu diễn lợi ích cận biên hàng hóa Hàm có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 2) Nếu lượng hàng hóa A tăng 1% lượng hàng hóa B khơng đổi lợi ích tăng % Bài 8.20 Một doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp sau: TC = 45 + 125Q1 + 84Q − 6Q12 Q 22 + 0,8Q13 + 1,2Q 32 (Q1>0, Q2>0, Q3>0) Hãy lập hàm số biểu diễn chi phí cận biên sản phẩm Bài 8.21 Cho hàm cầu ñối với mặt hàng sau: Q = 35 − 0,4p + 0,15m + 0,12p s Trong Q, p lượng cầu giá hàng hóa ñó, m thu nhập, ps hàng hóa thay Hãy lập hàm số biểu diễn 1) Hệ số co giãn cầu theo giá p; 2) Hệ số co giãn cầu theo thu nhập m 3) Hệ số co giãn cầu theo giá hàng hóa thay ps Bài 8.22 Hãy ñánh giá hiệu q trình sản xuất tăn quy mơ qua hàm sản xuất sau: 1) Q = 20K , L0, 2) Q = 5K0,6L0,8 3) Q = 12 K L2 4) Q = (2K 0, + 3L0, ) Bài 8.23 Cho biết hàm lợi ích U = (x1 + 3)x2 Trong x1 lượng hàng hóa A (x1>0), x2 lượng hàng hóa B (x2>0) Hãy chọn túi hàng để lợi ích tối đa điều kiện giá hàng hóa A 5$, giá hàng hóa B 20$, ngân sách tiêu dùng 185$ Bài 8.24 Giả sử doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp TC = Q12 + 5Q1Q + Q 22 (Q1>0, Q2>0) Giả sử cầu ñối với hàng hóa p1 =56 - 4Q1; p2 = 48 - 2Q2 Hãy xác ñịnh mức sản lượng giá tối ưu sản phẩm Bài 8.25 Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai nhà máy với hàm chi phí cận biên sau (Qi lượng sản phẩm sản xuất nhà máy i, Qi>0; MCi chi phí cận biên nhà máy i): MC1 = + 0,2Q1, MC2 = + 0,04Q2 51 Cơng ty bán sản phẩm thị trường với hàm cầu ngược: p = 66-0,1Q Nếu cơng ty muốn tối đa hóa lợi nhuận phải sản xuất sản phẩm với giá bao nhiêu? Bài 8.26 Một công ty sản xuất loại sản phẩm với hàm sản xuất sau: Q =K(L + 5) Trong Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng (Q, K, L >0) Cơng ty nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm Hãy cho biết phương án sử dụng yếu tố K, L cho việc sản xuất lượng sản phẩm theo hợp đồng tốn chi phí nhất, ñiều kiện giá thuê tư wK=70 giá thuê lao ñộng wL = 20 Bài 8.27 Một nhà sản xuất ñộc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm cho hai loại khách hàng Cho biết hàm chi phí: TC = 90 + 20Q (Q>0) Nếu nhà sản xuất ñưa Q1 (Q1>0) sản phẩm bán cho loại khách hàng thứ khách hàng lòng trả giá p1 = 50 – 5Q1 (USD) cho sản phẩm Nếu nhà sản xuất ñưa Q2 (Q2>0) sản phẩm bán cho loại khách hàng thứ khách hàng lòng trả giá p2 = 100-10Q2 (USD) cho sản phẩm Hãy cho biết lượng cung tối ưu giá tối ưu cho loại khách hàng Bài 8.28 1) Cho biết hàm ñầu tư I = 40.5 t quỹ vốn thời ñiểm t = 90 Hãy xác ñịnh hàm quỹ vốn K(t) 2) Cho biết hàm ñầu tư I = 60.3 t quỹ vốn thời ñiểm t = 85 Hãy xác ñịnh hàm quỹ vốn K(t) 3) Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0,8 mức thu nhập Y mức tiêu dùng thiết yếu (mức tiêu dùng Y =0) 40 Hãy xác ñịnh hàm tiêu dùng C(Y) 4) Cho biết hàm cầu ngược p = 42 – 5Q – Q2 Giả sử sản phẩm ñược bán thị trường với giá po= Hãy tính thặng dư người tiêu dùng Bài 29 Hàm thỏa dụng hộ gia đình tiêu dùng hàng hóa 1, có dạng U = 40x 10, 25 x 02,5 ; x1, x2 mức tiêu dùng hàng hóa 1, (x1>0, x2>0) Giá hàng ñược cho sau p1 = 4; p2 = 10 1) Có ý kiến cho hàng hóa ln thay hàng hóa tỷ lệ thay 1:1 Hãy nhận xét ý kiến 2) Hãy xác ñịnh mức cầu hàng hóa 1, hộ gia đình thu nhập 600 52 Bài 8.30 Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm sản xuất Q = K0,5 + L0,5 với pK = 6; pL = 4; p = (Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng, Q>0, K>0, L>0) 1) Hãy xác ñịnh mức sử dụng vốn, lao ñộng tối ưu 2) Hãy phân tích tác động giá vốn, lao động tới mức lợi nhuận tối ña Bài 8.31 Mức cầu loại hàng hóa (Qd) phụ thuộc vào giá hàng hóa (p) thu nhập người tiêu dùng (M) có dạng sau: Qd= 1,5M0,3p-0,2 Mức cung loại hàng (Qs) có dạng: Qs = 1,4p0,3 1) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá, theo thu nhập 2) Hãy xem xét tác ñộng thu nhập M tới mức giá cân Bài 8.32 Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8 Trong K =120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t (t thời gian, t >0) 1) Tính hệ số co giãn Y theo K theo L 2) Tính hệ số tăng trưởng vốn K, lao ñộng L Y to = 10 c) Hãy cho biết hiệu việc tăng quy mô sản xuất trường hợp Bài 8.33 Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc sau: Q1 = 40 – 2P1 – P2; Q2 = 35 – P1 – P2 Tổng chi phí hàm sản lượng: TC = Q12 + 2Q 22 + 12 Trong đó: Pi, Qi giá sản lượng hàng hóa thứ i (i =1,2) 1) Xác định mức Q1, Q2 cho tổng lợi nhuận lớn 2) Tính chi phí cận biên cho mặt hàng mức tối ưu tìm câu a) 3) Hai mặt hàng có thay lẫn tiêu dùng không? Bài 8.34 Thu nhập quốc dân quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao ñộng ñược sử dụng (L) ngân sách ñào tạo năm trước (G) sau: Y = 0,24K0,3L0,8G0,05 Trong yếu tố biến đổi theo thời gian sau: hàng năm vốn tăng 15%, công ăn việc làm tăng 9%, chi phí cho đào tạo tăng 20% Tính hệ số tăng trưởng thu nhập quốc dân 53 Bài 8.35 Cho hàm sản xuất Q = 300K L4 (Q>0, K>0, L>0) Trong Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng (Q, K, L >0) Gọi PQ, PL, PK giá bán sản phẩm, giá thuê ñơn vị vốn giá thuê ñơn vị lao ñộng Hãy xác ñịnh vốn lao ñộng cho lợi nhuận ñạt cực ñại biết PQ =1, PK=100, PL = 150 Bài 8.36 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = K , L0, Trong Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng (Q, K, L > 0) 1) Hãy ñánh giá hiệu q trình sản xuất tăng quy mô sản xuất 2) Giả sử giá thuê tư 4USD, giá thuê lao ñộng 3USD doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố ñịnh 1050USD Hãy cho biết danh nghiệp ñó sử dụng ñơn vị tư ñơn vị lao ñộng thu ñược sản lượng tối ña Bài 8.37 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 40K 0, 75 L0, 25 Trong Q sản lượng, K vốn, L lao ñộng (Q, K, L > 0) Nếu doanh nghiệp thuê ñơn vị vốn 3USD; ñơn vị lao ñộng 1USD; ngân sách chi cho yếu tố ñầu vào B = 160 USD 1) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản xuất hiệu thay ñổi nào? Nếu K tăng lên 1% L tăng % sản lượng tăng lên % mức (K, L)? 2) Xác ñịnh mức sử dụng vốn lao ñộng ñể sản lượng tối ña Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1USD sản lượng tối đa tăng đơn vị? 3) Hàm số có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? 4) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động 5) Xác định phương trình ñường ñồng lượng ñiểm Ko = 625; Lo = 16 6) Vốn lao động hai hàng hóa thay hay bổ sung cho 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984 Lê Đình Thúy (chủ biên), Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê, 2004 Bài tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2008 Nguyễn Huy Hồng, Tốn cao cấp T1, T2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 Nguyễn Huy Hoàng,Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế T1, T2 NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 Ngô Văn Thứ, Nguyễn Quang Dong, Mơ hình tốn kinh tế, NXB Thống kê, 2005 55 ... quốc tế trường Đại học Ngoại thương Sách ñược biên soạn với mục đích rèn luyện tư suy luận tri thức toán học cao cấp trang bị lý thuyết, kỹ giải toán cơng cụ tốn học cao cấp tiếp cận tập Nhằm mục... việc giảng dạy học tập toán cao cấp sinh viên Đại học Ngoại thương theo phương thức ñào tạo tín chỉ, sách biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp ñỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Với mục đích... ĐẦU Sách ? ?Bài tập Tốn cao cấp ứng dụng kinh tế” ñược biên soạn tương ứng chương trình Tốn cao cấp chương trình đào tạo ngành Kinh tế, Tài Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương