Đề cương và bài giảng ôn thi Cao học môn toán Cao cấp Đại học Điện lực

Phần đề cương ôn thi và bài giảng chi tiết, tóm tắt ngắn gọn nhất, giúp cho các thi sinh tham dự kì thi có thể dễ dàng học được môn toán cao cấp, ngoài ra thí sinh có thể tham khảo thêm tài liệu cùng nội dung ôn tập môn toán: Tai lieu on thi Cao hoc Mon Toan Dai hoc Dien luc 1 để xem các đề thi mẫu và đáp án, cách trình bày

DIEN LUC

KHOA DAO FADOSAL DAI HOC

Y1! rx¬"

HOC CHUONG TRINH

ON TAP MON TOAN CAO CAP

Chương I Hàm nhiêu số a so

Khai niem ve ha ` một và I

Định nghĩa, miền xác định.miền g

Gioi han, ham liên t tục

2.Dao ham va vi phan

t)ao ham \ a cach tình

Hao ham riéng va vi phan toan phan (c Hao ham cua ham hop

ta m cua ham an

L)ạo ham riêng và vị phân cấp cao

Ö Í Ff ters MOrws MO hian < `

—S4ÁÀ&Ả ká (¿ ((24((0( (lái (/(À&lÍ ‘ Cực trị tự do Cực trị có điều kiện

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một miền đóng và

bị chặn

Chương 2 Tích phân hai lớp

1 Khải niệm và các tinh chat

‘Tinh tich phan hai lop trong hệ tọa độ De-cac

Tinh tích phân hai lớp trong hệ tọa do cực 4.Ứng dụng tích phân hai lớp đề tính điện tích của miên phăng

Chương 3 Tích phân đường loại lai

| Khai niém va các tính chât 2.Cach tinh tich phan duong

Tính trực tiếp Tính băng phương pháp tham số › hóa 3.Công thức Green

Chương 4 Phương trình vì phân

1 Phương trình vi phân câpl _

Các khái niệm chung về phương trình vi phân, nghiệm tổng

quát và nghiệm riêng

Các dạng phương trình vi phân cấp một (PT biên sô phân ly, PT thuần nhất, PT tuyến tính, PT Bernoulli và PT vi phân toàn phân )

Scanned by CamScanner

2.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hãng

Trường hợp về phải có dạng đặc biệt

= Nguyên lý chồng chất nghiệm

Chương Š Chuỗi

1.Chudi sé

Khái niệm về chuỗi số 4

Điều kiện cân đề chuỗi số hội tụ, các tính chat của chuỗi hội †

eee Chi số dương (các dấu hiệu hội tụ và một số tiêu chì

4 9 Dalembert, Cauchy)

oe ham va chudi luỹ thừa

“Khái niệm về chuôi hàm và chuỗi lũy thừa

ee _ Tim tap hội tụ của chudi ham

_ Tim bán kính hội tụ và miền của chuỗi lũy thừa

HET

Scanned by CamScanner

n4 TRƯỜNG Ð IEN LỰC VIỆT NAM DE THI TUYEN SINH CAO HOC NAN 2

Môn thi: Toán cao cấp Thời gian làm bai: 180 phút Cầu 1

a) Cho hàm SỐ z= In(x + 3013e' de tinh: A= peg a

Ox Oy

| b) Tìm cực trị của hàm hai biến: f(x,y)=x”+y°—9x—32y+]1

| Câu 2

| a) Tỉnh tích phân sau: le x —xy)dxdy, D: {y =x", y =2x + 3}

b) Sử dụng tích pa ha lớp, tinh diện tích miễn hình phằng được giới Ì an | sởi

| is : Câu 3 Tính các tích Đa đường loại hai sau:

, \ “ a) I= | y dx + xdy, (C) 1a phan Parabol x = 4 - y tir A(-5 ; -3) dén B(O; >

ee ees eae (2012) -e%* dv +(2013x+ y+ 1y, (L):x + =], hướng n

| u 4, Giải các phương trình vi phân sau: F

TAP DOA OÁN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM : ĐÈ THỊ TUYỂN SINH CAO HOC NAM 2014 ¡

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ĐỢT 1)

Môn thi: Toán cao cấp

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1

b) Tìm cực trị của hàm hai biến sau: f(x,y)=xÌÍ+y' -4xy +1 4,1),

Câu 2 J 701? i> an NUNG

, # 8 a Age 2 ` (2) == y(4}=-2 “a

j ĐÁP

AN DE THI TUYEN SINH CAO HOC, MON TOAN CAO CAP

(Mi dau (+) trong ứng với 0,5 điểm)

| Cau 1, a) (4) SL COS y+" ‘sin x42 ax

feo oe ()Taes be a ae như vậy biểu thức trữ du ích

Scanned by CamScanner

7 (+) Thay diéu kién ban dau Vào nghiệm tông quát C = 2013, Vậy

nghiệm riềng của PT là 2014x + e ‘y=2013

tư wong ung y 52x(C,cos2x + C, sin 2x) rime y = Jy 1s * 1

Johié ‘Ano cr b ` a hee

Nghiệm riêng của PTVP: y =A cos2x + B sin2y Dùng PP hệ sô bất định, tìm

10 20

(+) Nghiệm tông quát của PTVP:

Y =2x(C, cos2x-+ Cysin2x)+{ eps2x+-nsin2x), Œ, C,ER

(—-

`

¬

—~-

Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát ta tìm được C, = ma: Cạ=——-:

Nghiệm riêng của PT thoả mãn điều kiện ban đâu là:

| y= 2x{ <tc 2x sin 2x) +( 1 cos2s ath 2x)

Tai x = 2006, x = 2022, cúc chudi phan ky do lima, #0 VN

Scanned by CamScanner

ì TR ĐOÀN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM

_— HỌC ĐIỆN LỰC _ DE THITUYEN SINH CAO HQC DOT 2 NAM 20H Môn thí: Toán Cao cấp

Thời gian làm bài: 180 phút

b) Tìm cực trị của hàm hai biến sau: f(x,y) =(2° + yˆ)e”

Câu HH: Tính os tich phan sau day

a) K ={(> dxdy , trong do Q: {0<x<1, -3Sy <3} | uy 4

b) S= [frcran{ ~ Jara trong do 2: {I<x+ + <4,0<y4s#)

Câu II: Tính các tích phân đường loại hai sau:

x+y

b) H =j(y-e”')&+ (2015x + Jy" + \)ay, trong do (C) 1a duong tron : x7 ty *

Câu IV: Giải các phương trình vĩ phân sau: Sg

a) xy'-y = y(Inx-Iny), với điều kiện y(1)= Ye

Í RUG!

(Mỗi dâu (+) tương ứng với 0,5 điểm) ( aU l 1} ({ r | Ì ( uv? sin ky

Ẩn =—4xye"* (x7 49°), = Ie" * (1 $x° ty? )(1+29° )+ 2y“ |

(1 ; 0) —4/e 0 4/e _j6/e | không là cục trị

| (—1;0) —4/e he, a 0 4/e -16/e" | khong 1a eye tri Câu2.a) (+) =n - dydx 8 +1]

(+) D= -| (sin? t+cos” t)di=-20

x=Reost,y =A sini, f e[0;2n]

8) (+) y _ J J

Y 7

(+) ly = oe

|yd) =‡c

b) (+) NTQ của PT thuần nhất: y =e (Girt

Nghiệm riêng cỏ dạng } =e" (4 + 2 ie

: ya Ÿ' =uxu¬1 y=u*(x) y =u(®)

r7 XIN La” (2) +^.7 E5) lAMEOIAEEOA — -

AaB S|yi=cosx LY =sin u(x) —_ 3b = u'(x)cos u(x)

4 |y=cosx y'=-sinx | [y=cosu(x) — Xếp ~ 1ú '(@œ)sin u(X)

' i, it | | Tepe GREG =

I] oo y = aresin u(x) ' mi! :

16 fu(x)v(x)]' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) “

H — Bài tập: Tỉnh đạo hàm của các hàm số sau: ee

lL y=v2x+1 2 y =sin (In3x) ae

DAO HAM RIENG VA VI PHAN TOAN PHAN HAM SO NHIEU BIEN

1 Khi tính dao ham riêng của một ham sé theo biển nào, chỉ việc xem như hàm số chỉ _

_ Phụ thuộc vào biến số ấy, các biến số khác được xem như không đôi, rồi áp dụng các cquy ý

| th tinh dao hm ea hàm số một biến |

ox* (x,y) axay VY) )“ƒ ä*ƒ a Ở j

° )“ƒ (x ') J“ƒ (x ) xi “ov r 0xÓy : Gyo

OyOx ; J dy? : J

Bước 3: Lân lượt kiêm tra xem các điểm (Xa, Ya), (Xị, Y4) (Xz, Y2): -:‹ CƠ là điểm cực trị

của hàm số z = f{x.y) hay không Ví dụ kiểm tra điểm (xạ, yạ) như sau:

- - Nếu D(ạ, yạ) < 0 thi (xạ, yạ) không là điểm cực trị

- - Néu D(xạ,yạ)> 0 thì (xạ,ya) là điểm cực trị và

e Nếu Lixo, Yo) > O thi (%, Yo) 1a điểm cực tiêu

øe Nếu “Lixo, Yo) < 0 thi (X%, Yo) là điểm cực đại

- Nếu D(ạ,yạ) = 0 thì (Xo, Yo) phải dùng cách khác để kiểm tra xem (xạ,yo) lễ

điểm cực trị hay là điểm cực trị của ham z I(x,y)

H lšải tập: Tim cực trị của ham hai bien

l1 1# x? + 2yŸ - 3x - ÕY | 2 |z=4( x- y) - xẾ - Y

HE sa, ta |yux’ + 3xy* - 15x— 12) l6 fea + yt ye 18 |e=x*+y"-x* -y* -2x)

Công thức tích phân từng phân

Vi dy: | TinhI = fo inxdx,

{na ' du(x) eV) +, sinu(x) du(x) = —=cosu(x) + (

sinu(x) +c

" du(x)

| — cotqu(x) +c Simul x)

TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG TỌA ĐỘ ĐÈ CÁC

Lý thuyết: Tính I= l[; ƒ(x,y)dxdy_ ở đó miền D giới hạn bởi các đường :

YilX) Sy Sy2(x),asx<bthil= ff tice f(xy) dy) dx F

2 XI(y)<x <x;(y),e< y < dthì I =| We FO? dx) dy a

Bs Chú ý trong nhiều bài toán miền D có dạng hợp của các miễn trong dạng l và2

3 Diện tích miền D= ff, dxdy

TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG TỌA ĐỘ CỤC

1 Khi miền D giới hạn bởi đường tròn: (x — a)? + (y — b)? = R?

Đổi biến |, ~ =b+rcosp voi J =r

1= ff, f,y)dxdy = J"Uy £0 9)rdr] do

5.Tính {f llp (x“ + y“ + 1)dxdy, D là miễn giới hạn bởi đường: (x? + y? ecg co vợ

Tích Phân Đường Loại 2

Tích phân dạng Ï = he P(x, y)dx + Q(x, y) dy trực tiếp:

Cách tính: Tham số hóa đường cong (C): Hướng dương là hướng ngược chiêu kim dong ho

e y= y(x)vớia< x < Ù Thay y = y(x) và dy(x) = y (x) dx vào Ï ta có

I= Ễ P(x,y(z))dx + Q(,y())y (x) dx:

e x=x(y)với c< x < d Thay x= x(y) và dx(y) = x'(y) dy vao I ta co

l= f P(x(y),y)x'(y)dy + Q(x(y), y)dy

2 § 1 vr với œ < t < ÿ Thay dx(t) = x'(t) dt và dy(t) = y‘(t) dt vao I ta có

¡= ƒƒ[P(x(),yŒ))x'()+ 9 (xŒ),y(t)) y'(0]dt

Scanned by CamScanner

$'2£7219 8⁄2 of KS

la Tharib

Bài tập: Tính các tích phân đường loại 2 sau:

Ls Tinh I= lạg„(x — y)?dx+ (x+ y)“dy, ABC là đường gấp khúc, A(0,0),B(2,2),

C(4,0)

theo chiéu kim dong hé

nhat theo chiều ngược kim đồng hồ

Tính tích phân đường loại 2 bằng công thức Green: Khi đường cong (C) la

một đường cong kín và D là miền giới hạn bởi đường cong (C) |

I= §, P(x,y)dx + Q(x,y) dy= ff, (S¢- 2y) dxdy

Áp dụng Điện tích miền D giới hạn bởi đường kín L là:

s=;§6 xdy — ydx

Bài tập: Tính các tích phân sau: ị

1.TínhI=ý, (xarctgx + y?)dx + (x + 2yx + y°e~”)dy trên đường tròn - =

E | or

x2 + y? =2y |

)a „L là biên tam giác ABC,

2.Tính §, xy[-(x+ sare o>) | in

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÁP 1 TUYẾN TÍNH

Giải phương trình vi phân: y” + p(x)y = q(x) (l)

Cách giải: Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tinh thuan nhất:

PHƯƠNG TRÌNH VỊ PHÂN CÁP 2

1 Phương trình vị phân câp 2 thuân nhất với hệ số hằng:

Xét phương trình đặc trưng: k“ + pk + q=0 (2)

® Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt k, k; thì nghiệm tông quát của

phương trình (1) là : y = c,e*1* + c,e*2*,

® Nêu phương trình (2) có nghiệm kép k; = k; thì nghiệm tông quát của

phương trình (1) la : y = c,e"1* + cyxe*1*,

e Nếu phương trình (2) cé nghiém phic a + if thi nghiệm tổng quát của

phương trinh (1) la : y = @e°*(c,sinBx + c,cosPx)

Bai tap: Giai cac phuong trinh vi phan sau:

l y” —Sy' + 6y=0 2.y”—3y +2y=0 3.y”—4y' + 4y=0 4.y”“— 6öy' + 9y=0 5.y" —2y' + 2y=0 6.y” +4y' + 5y= 0

II Phương trình vi phân cấp hai với về phải là các hàm đặc biệt

Giải phuong trinh: y” + py’ + qy = f(x) (3)

Cách giải:

Bước I1: Giải nghiệm của phương trình thuân nhất (1) được nghiệm tông quát là

y1:

Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình (3) là y2

Bước 3: Kết luận nghiệm tông quát của phương trình (3) là

y° =ÿ¡ +7

Nhận xét: Vấn đề máu chót để giải phương trình (3) là tìm một nghiệm riêng ở

bước 2 Ta không có cách thức tông quát để tìm nghiệm riêng Tuy nhiên, ta có

cách tìm nghiêm riêng của (3) khi hàm f{x) có các dạng đặc biệt như sau:

“Scanned by CamScanner

kí higu degP,(x) =n) Cha y hang so C xem như da ;

1 có dạng: ax + b (với a # 0); đa thức bậc 2 có dang: ax ux

+ ni -

© Neu ø không là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) ta tìm nghiêm _ ng - i's Ae

e Néuala nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta tìm nghiêm riêng

dạng: y¿ = xe“XQ„(x) (degQ,(x)= degP,(x) =n) a:

© Neua langhiém kép của phương trình đặc trưng (2) ta tim HEHINN mriê

dạng: y¿ = x*e°*Q,(x), a = eos =n) ` ~

xá, xu ` VE 12 2< Pe afi D.(v)\ cin Ry +) (xì cos#

ab "hương tr inh dz ing } ~ DY ay> UX) SINnpX Ym Ve

yd Xicg + “.” eS _ Xứ k , oe rr"

Đề xi = ae ek if? khong la nghiem = = Cua pRƯƠNE trinh di ic trưng , (2 )t os | % xẻ YY ú

: x =ỉ a = - , sa Ac heal fee 7 +1 Beis Fons ae und) Te Sore + a ae 1" costs: 1 ì mì

+cxe rit ; no IC lang V2 ¬ + ( } sine Y n\ 1 | To T2 1í (I

= fede >.° - , ` ce vực 1 i c4

> ] Nếu Li? 1a nohiem của phương trình đặc trưng 0 -) ta tim ngnier

n > (x) sinBx + xQ,,(x) cosBx (n= max(I,m)

Néu lim yo N—oo Sw —oo On ton tal va hitu han thi ta ndi chudi s6 Y°_, a, hội tụ kí hiệu An tai tOn tai va ho as Z: £ œ ns thie

n=1 Ay, <0 va din= 14 = limy_o Sy

Né éu limy—on Sw ton tai va không hữu hạn hoặc không ton tại ta nói chuỗi SỐ

Dia An phân kì, kí hiệu 3; a„ = œ

Nhận xét: Sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số duong (1) khong phu thuộc vào những

SỐ hạng đầu tiên của tổng mà chỉ phụ thuộc vào những số hạng có chỉ số rất lớn của tong

Bài tập: Tính tổng của chuỗi só

l

11 n(n + 1) 1 2-:|'2m=1= (|0Ì.< 1)

Trong nhiêu trường hợp ta không cân tính tông của chuỗi sô đương (1) mà chỉ quan

tâm đến tính hội tụ hoặc phân kì của chuỗi SỐ dương (1) Ta có các dấu hiệu sau đây

để nhân biết một chuỗi số dương (1) hội tụ hoặc phân kì

1 Nếu lim„_„„ œ„ = œ thì chuỗi (1) phân kì

Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi

Khi: hiệu tương đương

Xét 2 chuỗi só đương }a=1 đụ Va Linas Dn

Nếu Http to — br = | thi 2 chudi s6 duong Lp; Ay Va Liar Dy cling hoi tụ hoặc

cling phan ki,

Scanned by CamScanner

Vi đụ: Xét sự hội = hà Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi

Xét 2 chuỗi số dương 3}; a„ và »?¡ bạ VI (Qn S Dn với n đủ lớn) Khi đó:

e® Nêu chuỗi số }°; b„ < œ thì chuỗi sô P71 an< ©

e©_ Nêu chuỗi số })°° ¡ a„ = œ thì chuỗi sô 3n=1 Pn= ®

: ‘ sat » Ih sts —

Chú ý: Chúng ta hay sử dụng các nhận xét sau limnạ_›œ =x = 0 và limn_—.œ1— “9:

Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi

6 Dấu hiệu Dalambe: ( thường dùng khi số hạng tông quát có chứa giai thừa):

Xét chuỗi số dương 3⁄n=1 đa:

fn+1 —_ ?

Và limnạ_—.œ a

Nếu 0 < Z < 1 thì chuỗi 3Xn=1 ẩn hội tụ

Nếu £ > 1 thì chuỗi >n=+ Gn phan ki

Nếu Ý = 1 thi chưa thể kết luận về sự hội tụ hay phân kì của chuỗi }-¡ đa -

&e

KẾ đa 2 414 xi ahnAi

“Scanned by CamScanner

7 Dau hiéu Cauchy: (thudng ding khi sé hạng tông quát có chứa căn bậc n)

Xét chuỗi số duong Y2_, ap:

VÀ ]lm„_ ⁄/q„ =#

Nếu 0 < Z < 1 thì chuỗi YF, a, hoi tu

Nếu £ > 1 thì chuỗi 3 ›a=¡ q„ phân kì

Nếu # = 1 thì chưa thể kết liên về sự hội tụ hay phân kì của chuỗi Đ= 8n - là

k “ CHUOI DAN DAU ae

: — Định lí( LépmiU: Chuỗi đan dấu Xñei(—1)” dạ ( với a„ > 0, Vn) nei ile In,

Ví dụ: Xết sự hội , của chuỗi số sau: