Phần đề cương ôn thi và bài giảng chi tiết, tóm tắt ngắn gọn nhất, giúp cho các thi sinh tham dự kì thi có thể dễ dàng học được môn toán cao cấp, ngoài ra thí sinh có thể tham khảo thêm tài liệu cùng nội dung ôn tập môn toán: Tai lieu on thi Cao hoc Mon Toan Dai hoc Dien luc 1 để xem các đề thi mẫu và đáp án, cách trình bày
Trang 1DIEN LUC
KHOA DAO FADOSAL DAI HOC
Y1! rx¬"
HOC CHUONG TRINH
ON TAP MON TOAN CAO CAP Chương I Hàm nhiêu số a so
Khai niem ve ha ` một và I
Định nghĩa, miền xác định.miền g
Gioi han, ham liên t tục
2.Dao ham va vi phan
t)ao ham \ a cach tình
Hao ham riéng va vi phan toan phan (c Hao ham cua ham hop
ta m cua ham an
L)ạo ham riêng và vị phân cấp cao
Ư Í Ff ters MOrws MO hian < ` —S4ÁÀ&Ả ká (¿ ((24((0( (lái (/(À&lÍ ‘
Cực trị tự do
Cực trị có điều kiện
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một miền đóng và bị chặn
Chương 2 Tích phân hai lớp
1 Khải niệm và các tinh chat
‘Tinh tich phan hai lop trong hệ tọa độ De-cac
Tinh tích phân hai lớp trong hệ tọa do cực
4.Ứng dụng tích phân hai lớp đề tính điện tích của miên phăng
se
@
i
th
Chương 3 Tích phân đường loại lai | Khai niém va các tính chât 2.Cach tinh tich phan duong
Tính trực tiếp
Tính băng phương pháp tham số › hóa 3.Công thức Green
Chương 4 Phương trình vì phân 1 Phương trình vi phân câpl _
Các khái niệm chung về phương trình vi phân, nghiệm tổng
quát và nghiệm riêng
Các dạng phương trình vi phân cấp một (PT biên sô phân ly, PT thuần nhất, PT tuyến tính, PT Bernoulli và PT vi phân toàn phân )
Trang 2
2.Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hãng
3m we Nghiệm tông quát của phương trình thuần nhất
Trường hợp về phải có dạng đặc biệt = Nguyên lý chồng chất nghiệm
Chương Š Chuỗi
1.Chudi sé
Khái niệm về chuỗi số 4
Điều kiện cân đề chuỗi số hội tụ, các tính chat của chuỗi hội †
eee Chi số dương (các dấu hiệu hội tụ và một số tiêu chì
4 9 Dalembert, Cauchy)
oe ham va chudi luỹ thừa
“Khái niệm về chuôi hàm và chuỗi lũy thừa
ee _ Tim tap hội tụ của chudi ham
_ Tim bán kính hội tụ và miền của chuỗi lũy thừa HET
Trang 4
`" a wa “< I | a eu TAP DOAN D a
n4 TRƯỜNG Ð IEN LỰC VIỆT NAM DE THI TUYEN SINH CAO HOC NAN 2
| = Al HOC ĐIỆN LUC DOT 2
Mơn thi: Tốn cao cấp Thời gian làm bai: 180 phút Cầu 1 a) Cho hàm SỐ z= In(x + 3013e' de tinh: A= peg a Ox Oy | b) Tìm cực trị của hàm hai biến: f(x,y)=x”+y°—9x—32y+]1 | Câu 2
| a) Tỉnh tích phân sau: le x —xy)dxdy, D: {y =x", y =2x + 3}
b) Sử dụng tích pa ha lớp, tinh diện tích miễn hình phằng được giới Ì an | sởi
| d 2 đường : (x— §} + ~
| is : Câu 3 Tính các tích Đa đường loại hai sau:
, \ “ a) I= | y dx + xdy, (C) 1a phan Parabol x = 4 - y tir A(-5 ; -3) dén B(O; >
Sa ` (C)
` | er 4
ee ees eae (2012) -e%* dv +(2013x+ y+ 1y, (L):x + =], hướng n
| a Š oa
: _ tý: quay của kim đông hô `
Trang 7CĐ sac eo tani a a ee eae ahh Sh Saal ll ne lie ee — & aoe | pi Ũ can ned by
TAP DOA OÁN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM : ĐÈ THỊ TUYỂN SINH CAO HOC NAM 2014 ¡
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC (ĐỢT 1)
Mơn thi: Tốn cao cấp
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1
ee ae 3ˆ oon
a) Cho hàm sô f(xy) =e 'cosy-—e’cosxtIn dx +y tinh: A= ffs I +t , ae
a y |
b) Tìm cực trị của hàm hai biến sau: f(x,y)=xÌÍ+y' -4xy +1 4,1),
Câu 2 J 701? i> an NUNG \ a AX vet an a) Tinh tich phan sau: K = || xy đáy, D: {y= a \Jx,x=2,x=4) cả D X b) s=|| In(1+.27 + y*)dxdy , trong đó (D) là miền được giới hạn bởi NÑN (D) Lah ie (D):{x? + y* <9, x20, y20} k / oi, (60213 Câu 3 Tính các tích phân đường loại hai sau: a) Ð = [ (I+y)cosxđx+sinxảy, với (C) là nửa đường tròn Z+y=1,lấy Q2 (C) yj ee if ; 1 “
chiều dương, từ A(1 ; 0) đến B(-1 ; 0) | Be b) Ebr x’) dx+(x+ y’)dy, trong đó C là đường cong kín giới hạn boi : ( (4-3 ey by ch Lf | _ hai ` j
ae =x vax=y lay theo chiều dương ‘pts đ jy yt :
Cau 4 Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau đây aR mãn các =
điều kiện ban dau: _ 3
a) (2014- ye 7) dx+e “dy =0, y(0)=2013 Kết lò
, # 8 a Age 2 ` (2) == y(4}=-2 “a
b) y—4y +8y=sinex, y ati ý Lá 5" ì
are ơng sau: ? —————— (2014n)! h |
Trang 8~ “| ae =-_m ' VN ng oe 1+ = 421215 j ĐÁP
AN DE THI TUYEN SINH CAO HOC, MON TOAN CAO CAP
(Mi dau (+) trong ứng với 0,5 điểm)
| Cau 1, a) (4) SL COS y+" ‘sin x42 ax | v+y | | df age is | (+) An XI 7c =A=0U, Tia , = 0 1 2 a b ' x => =) | yin 8 ‘ 0 {8 MOO) MgO Da i=l) (+) z =l2y = =¬4, ấn =12y? ~ ae f | M, A B C A (0 ; 0) 0 -4 0 16 | (1;1) io se 12 -128 ` (—1;—]) 12 -4 12 ~128 , S nad Wee Câu 2, a) (+) = f dx | Joa ={(2) dx | † a | 40 42 ` II 2 2Á 2 Jen +s = Ee + A +) =|Ì ——— =— w‡ : - i D6 6 Ms ch #8 'Chuyển qua toạ độ cực ta được § vs afin + r)rdr 0 | 3 («) $=Z00in10-9) i í : Ất“ Ay a SN < ‘ ; Ve ats 2P _ 00
feo oe ()Taes be a ae như vậy biểu thức trữ du ích
Trang 9Câu 4, _9P _ 9Q _ a) (+ ây = op © Nên đây là PTVP toàn phần Nghiệm tông quát có ^ ˆ ` ` : 1 \ dang [2014dx+ [e*dy U Ũ =C ©20l4y+e 'y=C,Ce R
7 (+) Thay diéu kién ban dau Vào nghiệm tông quát C = 2013, Vậy
nghiệm riềng của PT là 2014x + e ‘y=2013
b) (+) Nghiệm của PT đặc trưng: k,„ =2 +2¡ Nghiệm của PT thuân nhất
tư wong ung y 52x(C,cos2x + C, sin 2x) rime y = Jy 1s * 1
Johié ‘Ano cr b ` a hee
Nghiệm riêng của PTVP: y =A cos2x + B sin2y Dùng PP hệ sô bất định, tìm
được dẺ sagt
10 20
(+) Nghiệm tông quát của PTVP:
Y =2x(C, cos2x-+ Cysin2x)+{ eps2x+-nsin2x), Œ, C,ER (—-
` ¬
—~-
Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát ta tìm được C, = ma: Cạ=——-: Nghiệm riêng của PT thoả mãn điều kiện ban đâu là:
| y= 2x{ <tc 2x sin 2x) +( 1 cos2s ath 2x) i 5x 0 10 20 ⁄ 107 | : SP 2014 vy 2290) ` | | [(2014n+k) —. 7 Câu 5 a) (+) lim|*| = lim 4, (n+1)] [(2013n +4) 5, 4 kel 2013 (+) = 201425) > 1 = chuỗi PK 7 n i+() Aysi| _ \X| b) (+) Đặt X=x~2014 lime = tim—8_|x|= ane 1d T2] ` Ñ Ix| _ lx=2014l _, => xe (2006; 2022) — 5 ỗ aus
Tai x = 2006, x = 2022, cúc chudi phan ky do lima, #0 VN
Vậy miền hội tụ: x e (2006 ¡ 2022) ny
Trang 10i Ss he Trap
ì TR ĐOÀN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM
_— HỌC ĐIỆN LỰC _ DE THITUYEN SINH CAO HQC DOT 2 NAM 20H Môn thí: Toán Cao cấp
Thời gian làm bài: 180 phút | Cau I: a) Chimg minh rằng hàm: (x,f)=e “*'sinkx là nghiệm của phương trình 2 Ou » Ou truyén nhiét: — = a sp ˆ trong đó ø, k là các hệ số cho trước Ox Ot
b) Tìm cực trị của hàm hai biến sau: f(x,y) =(2° + yˆ)e”
Câu HH: Tính os tich phan sau day
a) K ={(> dxdy , trong do Q: {0<x<1, -3Sy <3} | uy 4
1x +Ì ee
b) S= [frcran{ ~ Jara trong do 2: {I<x+ + <4,0<y4s#)
Câu II: Tính các tích phân đường loại hai sau:
page J)y „trong đó (C) là đường tròn: vty =P lay thị
x+y
chiéu duong ' a
b) H =j(y-e”')&+ (2015x + Jy" + \)ay, trong do (C) 1a duong tron : x7 ty *
lấy theo chiêu dương es 4
Câu IV: Giải các phương trình vĩ phân sau: Sg
Trang 11Í RUG!
bí iQ F -
\>` ĐẠ, AhLÈÊ]THI TUYẾN SINH CAO HỌC, MON TOAN CAO CAP
(Mỗi dâu (+) tương ứng với 0,5 điểm) ( aU l 1} ({ r | Ì ( uv? sin ky ,\ GU ” >) Md S Œ Ñ sin ky —> ư thoả mãn phương trình truyền nhiệt Lí b) (+) - axe Le y")=0 i | ~~ <> M,(0; 0), ADU ‹ 0), A/:(—1 ; 0) L |“y ˆ J 2+, |2we'"" “* (I+x + )=0 1 .“ 2= (+) z1 =2e`"" ((I-x'-x)0 -2x1)~2x”} Ẩn =—4xye"* (x7 49°), = Ie" * (1 $x° ty? )(1+29° )+ 2y“ | : B C | A | Kết luận Kia | —_—~— (0:0) 2 0 2 4 7 fnin(O 30) =O
(1 ; 0) —4/e 0 4/e _j6/e | không là cục trị
| (—1;0) —4/e he, a 0 4/e -16/e" | khong 1a eye tri Câu2.a) (+) =n - dydx 8 +1] | | | ì (+) e ¬ dx | y°ch " ins +1)| E | =9in2 0 x +1 ¬ sL3 1 Câu 3 a) (+) Đật 2”
Trang 128) (+) y _ J J
Y 7
(+) ly = oe
|yd) =‡c
b) (+) NTQ của PT thuần nhất: y =e (Girt
Trang 13ĐAO HÀM HÀM MỘT BIÉN I Lý thuyết eee cee | — ác
: ya Ÿ' =uxu¬1 y=u*(x) y =u(®)
r7 XIN La” (2) +^.7 E5) lAMEOIAEEOA — -
AaB S|yi=cosx LY =sin u(x) —_ 3b = u'(x)cos u(x)
4 |y=cosx y'=-sinx | [y=cosu(x) — Xếp ~ 1ú '(@œ)sin u(X)
3 ae mt =
y=tex Noi: cuyay y =tgu(x) =U Noe
' i, it | | Tepe GREG =
° y = colg x Ÿ —— gin2x a vn & ) ng 7 — — =5 V = a* ví = a*ln a me] y = qu) fe 8 y ~ e* y’ > c* y = eux) * =u er 9 y= loga a y' = — v= loga u(x) =u TU X) mon 10 y=lnx y =1 5 : kẻ y'=ư'()=— = y =In u(x) 0)
I] oo y = aresin u(x) ' mi! :
y = aresin x 7v hi 7 OF; ~ u(X Ị2 y.=- — | y' =-u'(x) : an _y = arecos X v—# _|W =arccos u(x) ` 1= u(x)? 3 = L 1 ee | 3 y =arcig x = y' =u (x) y 1+ x? y = arctg u(x 1+u?(x) N Z AA tử ~ Ta Vai 3 1 Na (th Néu u(x), v(x) la kha vi thi ta có 14 |[m)+%(x)] =ư(x)+w(%) <a ce
75 |[KUỚ@)] =ku@) CRs Pre
Trang 14
H — Bài tập: Tỉnh đạo hàm của các hàm số sau: ee lL y=v2x+1 2 y =sin (In3x) ae a x Gs 3 y = cos 5 4, y=tg- 3 y=cotg Vx 6 = =aIn) oe 8 y=In(x + VI + x2) - y= log3(x? +1 sat ) 10.y = aresin ( = ) 11 y =arcos (tg x h (tg x) 12 y = arctg — — 13.y = tg- - cotg= 14.y = e*ln(sin x) 15.y = in 16 y= x"*
DAO HAM RIENG VA VI PHAN TOAN PHAN HAM SO NHIEU BIEN
1 Khi tính dao ham riêng của một ham sé theo biển nào, chỉ việc xem như hàm số chỉ _ _ Phụ thuộc vào biến số ấy, các biến số khác được xem như không đôi, rồi áp dụng các cquy ý
Trang 15~_-ÈỀ ——— —_ — iv | ` tHYẴGI lim Cuc trl CUA ham hien 5 7 Í[x.v) l ix, VI 0 tước |: Giải hệ i} ` ra tả sử có các nghiệm (Xa, Yo)‹ (Xị Y¡) (32, , ¥2/ , - , : Bước 4; linh cac dao ham mene cap 4< Cua ham { eom i? G aes ‘ ƒ (x,y), (x.V), (x.v) —(X.Y) pa roy ” oyox = úy” ` âu đó tính định thức ä? ƒ aff |
ox* (x,y) axay VY) )“ƒ ä*ƒ a Ở j
D(x.v) = dct| _- {x.Y)—<(x.VY) - ~—-(X.Y) (X,Y)
° )“ƒ (x ') J“ƒ (x ) xi “ov r 0xÓy : Gyo
OyOx ; J dy? : J
Bước 3: Lân lượt kiêm tra xem các điểm (Xa, Ya), (Xị, Y4) (Xz, Y2): -:‹ CƠ là điểm cực trị
của hàm số z = f{x.y) hay không Ví dụ kiểm tra điểm (xạ, yạ) như sau: - - Nếu D(ạ, yạ) < 0 thi (xạ, yạ) không là điểm cực trị
- - Néu D(xạ,yạ)> 0 thì (xạ,ya) là điểm cực trị và
e Nếu Lixo, Yo) > O thi (%, Yo) 1a điểm cực tiêu
øe Nếu “Lixo, Yo) < 0 thi (X%, Yo) là điểm cực đại
- Nếu D(ạ,yạ) = 0 thì (Xo, Yo) phải dùng cách khác để kiểm tra xem (xạ,yo) lễ
điểm cực trị hay là điểm cực trị của ham z I(x,y)
H lšải tập: Tim cực trị của ham hai bien
l1 1# x? + 2yŸ - 3x - ÕY | 2 |z=4( x- y) - xẾ - Y
K lZz“* Xy + yỶ +X yv*Ì h Z=X+y-x€)
Trang 16NGUYÊN HÀM MỘT SÓ HÀM THÔNG DỤNG | 1da x + ¢ 2 a, yar) | x“ dx = - EO€c | | a+] 3 | đx — = ÍnlxÌ 4 la |x| + ‹ 4 | - dx | | — = arctqx + | j 1+x' : LS | dx | — — = arcsinx + ( J X1i—x | 6 | | a” | a* dx tant † can Ut _ na T1 | | fe dx = e* +c 7 sinx dx = —cosx +C cosx dx = sinx +c | { dx = Sh ae = —=c0tqx + ( dx et cos?x 12 [== n(x la Fe ta)+c ! ! vx" =tgx+c Chú ý: 13 du(x) = u'(x) dx
Trang 17
TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG TỌA ĐỘ ĐÈ CÁC
Lý thuyết: Tính I= l[; ƒ(x,y)dxdy_ ở đó miền D giới hạn bởi các đường :
YilX) Sy Sy2(x),asx<bthil= ff tice f(xy) dy) dx F
2 XI(y)<x <x;(y),e< y < dthì I =| We FO? dx) dy a Bs Chú ý trong nhiều bài toán miền D có dạng hợp của các miễn trong dạng l và2
Ee ở trên a
3 Diện tích miền D= ff, dxdy
TÍCH PHÂN HAI LỚP TRONG TỌA ĐỘ CỤC 1 Khi miền D giới hạn bởi đường tròn: (x — a)? + (y — b)? = R?
L “4 =a+rsing
Đổi biến |, ~ =b+rcosp voi J =r
Trang 185.Tính {f llp (x“ + y“ + 1)dxdy, D là miễn giới hạn bởi đường: (x? + y? ecg co vợ X“ +y“—x=0 6.Tính i Vx? + y2dxdy, D là miễn giới hạn bởi các đường tron: 2 2 + - ° + x“ + yˆ =q, x? + y“ = 4a“ (a > 0) 7.Tính diện tích hình elip có bán trục nhỏ là a và bán trục lớn là b
Tích Phân Đường Loại 2 Tích phân dạng Ï = he P(x, y)dx + Q(x, y) dy trực tiếp:
Cách tính: Tham số hóa đường cong (C): Hướng dương là hướng ngược chiêu kim dong ho
e y= y(x)vớia< x < Ù Thay y = y(x) và dy(x) = y (x) dx vào Ï ta có
I= Ễ P(x,y(z))dx + Q(,y())y (x) dx:
e x=x(y)với c< x < d Thay x= x(y) và dx(y) = x'(y) dy vao I ta co
l= f P(x(y),y)x'(y)dy + Q(x(y), y)dy
2 § 1 vr với œ < t < ÿ Thay dx(t) = x'(t) dt và dy(t) = y‘(t) dt vao I ta có
¡= ƒƒ[P(x(),yŒ))x'()+ 9 (xŒ),y(t)) y'(0]dt
Trang 19$'2£7219 8⁄2 of KS
la Tharib
Bài tập: Tính các tích phân đường loại 2 sau:
Ls Tinh I= lạg„(x — y)?dx+ (x+ y)“dy, ABC là đường gấp khúc, A(0,0),B(2,2),
C(4,0)
theo chiéu kim dong hé
nhat theo chiều ngược kim đồng hồ
Tính tích phân đường loại 2 bằng công thức Green: Khi đường cong (C) la một đường cong kín và D là miền giới hạn bởi đường cong (C) |
I= §, P(x,y)dx + Q(x,y) dy= ff, (S¢- 2y) dxdy
Áp dụng Điện tích miền D giới hạn bởi đường kín L là:
1 —
s=;§6 xdy — ydx
Bài tập: Tính các tích phân sau: ị
1.TínhI=ý, (xarctgx + y?)dx + (x + 2yx + y°e~”)dy trên đường tròn - =
E | or
x2 + y? =2y |
)a „L là biên tam giác ABC,
Trang 20PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÁP 1 TUYẾN TÍNH
Giải phương trình vi phân: y” + p(x)y = q(x) (l)
Trang 21PHƯƠNG TRÌNH VỊ PHÂN CÁP 2
1 Phương trình vị phân câp 2 thuân nhất với hệ số hằng:
y'+py' + qy=0 (1)
Xét phương trình đặc trưng: k“ + pk + q=0 (2) ® Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt k, k; thì nghiệm tông quát của
phương trình (1) là : y = c,e*1* + c,e*2*,
® Nêu phương trình (2) có nghiệm kép k; = k; thì nghiệm tông quát của
phương trình (1) la : y = c,e"1* + cyxe*1*,
e Nếu phương trình (2) cé nghiém phic a + if thi nghiệm tổng quát của
phương trinh (1) la : y = @e°*(c,sinBx + c,cosPx)
Bai tap: Giai cac phuong trinh vi phan sau:
l y” —Sy' + 6y=0 2.y”—3y +2y=0 3.y”—4y' + 4y=0 4.y”“— 6öy' + 9y=0 5.y" —2y' + 2y=0 6.y” +4y' + 5y= 0
II Phương trình vi phân cấp hai với về phải là các hàm đặc biệt
Giải phuong trinh: y” + py’ + qy = f(x) (3)
Cách giải:
Bước I1: Giải nghiệm của phương trình thuân nhất (1) được nghiệm tông quát là
y1:
Bước 2: Tìm một nghiệm riêng của phương trình (3) là y2 Bước 3: Kết luận nghiệm tông quát của phương trình (3) là
y° =ÿ¡ +7
Nhận xét: Vấn đề máu chót để giải phương trình (3) là tìm một nghiệm riêng ở
bước 2 Ta không có cách thức tông quát để tìm nghiệm riêng Tuy nhiên, ta có
Trang 22Ì Phương trình dạng: y' Với P„(x) là đa thức bậc n ( thức bậc 0; đa thức bậc bx + e (với a s 0)
+ py' + qy= e°* Pp (x) —#
kí higu degP,(x) =n) Cha y hang so C xem như da ; 1 có dạng: ax + b (với a # 0); đa thức bậc 2 có dang: ax ux
+ ni -
vẻ
© Neu ø khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) ta tìm nghiêm _ ng - i's Ae
dang: yz = e**Qn(x) (degQn(x) = degP,(x) =n) a
e Néuala nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta tìm nghiêm riêng
dạng: y¿ = xe“XQ„(x) (degQ,(x)= degP,(x) =n) a:
© Neua langhiém kép của phương trình đặc trưng (2) ta tim HEHINN mriê
dạng: y¿ = x*e°*Q,(x), a = eos =n) ` ~ or pee, = Bai tap: Giai cac ° phương tr ¡nh vi phân n sat ` ee 1S Sie ae sau: se =a Paha ~ a _ ~Ï 4 : 4 i _
xá, xu ` VE 12 2< Pe afi D.(v)\ cin Ry +) (xì cos# ab "hương tr inh dz ing } ~ DY ay> UX) SINnpX Ym Ve
yd Xicg + “.” eS _ Xứ k , oe rr"
chap 2 ° Lúc lc
Đề xi = ae ek if? khong la nghiem = = Cua pRƯƠNE trinh di ic trưng , (2 )t os | % xẻ YY ú
: x =ỉ a = - , sa Ac heal fee 7 +1 Beis Fons ae und) Te Sore + a ae 1" costs: 1 ì mì
+cxe rit ; no IC lang V2 ¬ + ( } sine Y n\ 1 | To T2 1í (I = fede >.° - , ` ce vực 1 i c4
> ] Nếu Li? 1a nohiem của phương trình đặc trưng 0 -) ta tim ngnier
Trang 23Định nghĩa: Tính tông Le Bước Ị: Ị CHUỎI SÓ DƯƠNG =1A, (a, >0 Vn) (1) a tô * b P Ng: Sy _dị † q; Fe TÊN, Bước 2: Tính lỉmy_ Sy
Néu lim yo N—oo Sw —oo On ton tal va hitu han thi ta ndi chudi s6 Y°_, a, hội tụ kí hiệu An tai tOn tai va ho as Z: £ œ ns thie
n=1 Ay, <0 va din= 14 = limy_o Sy
Né éu limy—on Sw ton tai va không hữu hạn hoặc không ton tại ta nói chuỗi SỐ Dia An phân kì, kí hiệu 3; a„ = œ
Nhận xét: Sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số duong (1) khong phu thuộc vào những
SỐ hạng đầu tiên của tổng mà chỉ phụ thuộc vào những số hạng có chỉ số rất lớn của tong Bài tập: Tính tổng của chuỗi só l 11 n(n + 1) 1 2-:|'2m=1= (|0Ì.< 1)
Trong nhiêu trường hợp ta không cân tính tông của chuỗi sô đương (1) mà chỉ quan
tâm đến tính hội tụ hoặc phân kì của chuỗi SỐ dương (1) Ta có các dấu hiệu sau đây
để nhân biết một chuỗi số dương (1) hội tụ hoặc phân kì 1 Nếu lim„_„„ œ„ = œ thì chuỗi (1) phân kì
Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi = 2 = yn 2 n=1 n=) 3 œ 4 ¬ nŸ + 1 i 7h 100n + 2 = n=1 _n=) <o,néua>1 1 Chuỗi số dương nô =1 na x: lộ Gœ, nếu œ < 1 Đụ
Khi: hiệu tương đương
Xét 2 chuỗi só đương }a=1 đụ Va Linas Dn
Nếu Http to — br = | thi 2 chudi s6 duong Lp; Ay Va Liar Dy cling hoi tụ hoặc
Trang 24Vi đụ: Xét sự hội = hà Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi oo S n + 1 ee 1 eae 44 ta n3+2 n+2 3 tt a | „—h=1— i uae 4 n%+n+2 n3+2 n100 + 119 + 2 eee aye Sd n=1 4.Dau hiệu so sánh:
Xét 2 chuỗi số dương 3}; a„ và »?¡ bạ VI (Qn S Dn với n đủ lớn) Khi đó:
e® Nêu chuỗi số }°; b„ < œ thì chuỗi sô P71 an< ©
e©_ Nêu chuỗi số })°° ¡ a„ = œ thì chuỗi sô 3n=1 Pn= ®
: ‘ sat » Ih sts —
Chú ý: Chúng ta hay sử dụng các nhận xét sau limnạ_›œ =x = 0 và limn_—.œ1— “9:
Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi ] = |cosn|(n3 + 1) : ae + 1) a nm+n?+2 5 an + +2 ` 3 5 (e"*1 + 1)(nŸ + 1) 4 n (n? +1) NET n5 + n2 + 2 —("+3)(@6m + 2 +2) 33 n= œ 6 = n+1/a9 5 Saree oy (n3 +1)lnn S en†+1(m9 + + 1) mess 12 ee n=1 n’ + et 2 oe ứ a ) —
6 Dấu hiệu Dalambe: ( thường dùng khi số hạng tông quát có chứa giai thừa):
Xét chuỗi số dương 3⁄n=1 đa:
fn+1 —_ ?
Và limnạ_—.œ a
Nếu 0 < Z < 1 thì chuỗi 3Xn=1 ẩn hội tụ
Nếu £ > 1 thì chuỗi >n=+ Gn phan ki
Nếu Ý = 1 thi chưa thể kết luận về sự hội tụ hay phân kì của chuỗi }-¡ đa -
&e
KẾ đa 2 414 xi ahnAi
Trang 25Li —— ` (n9? 3T ————eL._ Zu (2n)! + ứu) - =, 2.4.6 (2 n=1
7 Dau hiéu Cauchy: (thudng ding khi sé hạng tông quát có chứa căn bậc n) Xét chuỗi số duong Y2_, ap:
VÀ ]lm„_ ⁄/q„ =#
Nếu 0 < Z < 1 thì chuỗi YF, a, hoi tu
Nếu £ > 1 thì chuỗi 3 ›a=¡ q„ phân kì
Nếu # = 1 thì chưa thể kết liên về sự hội tụ hay phân kì của chuỗi Đ= 8n - là `4 “ a Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi 4 ‘ os yaa” m 4 | 3 » TL 2 can » n+ 2) bè 2n +1 2n+ UP là n=1 be 5 n +2, 6 i : re +1 2n+1
k “ CHUOI DAN DAU ae
: — Định lí( LépmiU: Chuỗi đan dấu Xñei(—1)” dạ ( với a„ > 0, Vn) nei ile In,
_ | đơn điện giảm và hội tụ tới - <r
Trang 26CHUÔI LỦY THỪA
ĐÐ - đc sẽ x
¡nh nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng =1 8„X”
Điêm xạ được gọi là điểm tụ của chuỗi lũy thừa (1) nều chuỗi so
Tập tất cả các điểm tụ của chuỗi lũy thừa (1) được gọi là tập hội ki BÉ lũy thừa (1) Ta có định lí sau đề tìm tập hội tụ của chuỗi lũy no ae a pte ee
_ Định lí: Tính £ = lim, + “feel ( hoặc £ = in ý LAW rake ; wy - ae Tiểu Ö Đn ` - io ies nự T ~ eS ae Te Mae, H>, ra) h No ey es ca fn eae b
= ` ees ee Pe š ¡ lũ 3 thi Í (1) C lÏ ch ị Cc 9 the h Khi dot AD | 101 tu 1 ¢ cu la \ ch II „ ae Se ae — — I ye LÍ: ‘a { } ch ' Cen wed Til 5 ~~ —— at o ý 7 A ye el ee ee “7 Fi vy A] dea —_4 Un { 7 a a LICGHH tf \ † li ie tiếp : Shi hộ ii tu hay ph 10 he T1 xử ; Fae : a sf on ya gs ey s4 % yk pa vn _R\" dé hiet —K;K Co | la ¢ dié ẩm tụ hay: HONS } oe ’ ar A a" T1 ae * an 1 J£ r :
Es tng SO an(X— Xo) cothe cua ve tm