Nội dung chính Minh họa trực quan tích phân đường loại 1. Tóm tắt các cách tính tích phân đường loại 1. Bài tập ví dụ giải chi tiết tích phân đường loại 1. Tóm tắt tích phân đường loại 2. Tóm tắt các cách tính tích phân đường loại 2. Bài tập ví dụ giải chi tiết tích phân đường loại 2. + Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien + Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi + Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTichPhanDuongVaMat + Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh Ví Momo: 0986.960.312 Tài liệu tham khảo 1. Bùi Xuân Diệu (2017). Bài giảng Giải tích II. Cập nhật 2017. Viện Toán ứng dụng và Tin học. ĐH BKHN. 2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập III. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục. Kênh học online free Eureka Uni: https:www.youtube.comEurekaUni Group Toán cao cấp: https:fb.comgroupstoancaocap.neu Group Xác suất thống kê: https:fb.comgroupsxacsuatneu Group Kinh tế lượng: https:fb.comgroupskinhteluong.neu Group Kinh tế vi mô: https:fb.comgroupsmicroeconomics.neu Group Kinh tế vĩ mô: https:fb.comgroupsmacroeconomics.neu Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comEurekaUni.Official Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comeureka.uni.vn Website Eureka Uni: https:eurekauni.com
Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng Tin học ĐH BKHN Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập III Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook * Ví Momo: 0986.960.312 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I LOẠI II AB dạng AB dạng y = f(x) tham số Cung mở Cung kín Cơng thức Green VIDEO HƯỚNG DẪN TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA EUREKA UNI LOẠI LOẠI MỤC LỤC 3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I VÀ II 3.1.1 Tóm tắt lý thuyết 3.1.2 Bài tập ví dụ 3.1.2.1 Tích phân đường loại I 3.1.2.2 Tích phân đường loại II 10 3.2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT 15 3.1.2 Tích phân đường loại I 15 3.2.2 Tích phân đường loại II 21 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.1.1 Tóm tắt lý thuyết Eureka Uni (facebook.com) �) Loại I (không phụ thuộc hướng 𝑨𝑨𝑨𝑨 � ⊂ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 TH1 Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐼𝐼11 = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 �) Loại II (phụ thuộc hướng 𝑨𝑨𝑨𝑨 �: Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐼𝐼21 = � 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 Cung 𝐿𝐿 khép kín: � 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐿𝐿 𝐼𝐼21 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 𝐿𝐿 Chiều dương L: • “…là chiều cho người dọc L theo chiều thấy miền giới hạn L gần vế bên trái…” (Nguyễn Đình Trí, 2006) • “…là hướng cho người dọc đường cong theo hướng nhìn thấy miền giới hạn gần phía nằm phía Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook bên trái…” (Bùi Xuân Diệu, 2017) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka Uni (facebook.com) Eureka! Uni - YouTube • hướng đó, tay trái ln nằm miền phẳng giới hạn cung L (Hoàng Bá � tính bằng: Chiều dài cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 � d𝑠𝑠 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 � cho 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) dạng tường minh: Khi 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) � ⇒ d𝑠𝑠 = �1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝐼𝐼11 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥))�1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥 𝑎𝑎 Tương tự với hàm ngược 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑦𝑦) � cho 𝑦𝑦(𝑥𝑥) cho dạng tham số: Khi 𝐴𝐴𝐴𝐴 d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) � 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ⇒ � ′ 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) 𝑦𝑦𝑥𝑥 = ′ 𝑡𝑡1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡2 𝑥𝑥 (𝑡𝑡) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Mạnh, 2023) � 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 = − � 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 � 𝐵𝐵𝐵𝐵 � cho 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥), (𝑎𝑎 → 𝑏𝑏), d𝑦𝑦 = 𝑦𝑦′d𝑥𝑥: Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑏𝑏 𝐼𝐼21 = � [𝑃𝑃 + 𝑄𝑄 𝑦𝑦 ′ (𝑥𝑥)]d𝑥𝑥 𝑎𝑎 � cho 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑡𝑡𝐴𝐴 → 𝑡𝑡𝐵𝐵 , Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡, d𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)d𝑡𝑡: 𝑡𝑡𝐵𝐵 𝐼𝐼21 = � [𝑃𝑃 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) + 𝑄𝑄 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)]d𝑡𝑡 𝑡𝑡𝐴𝐴 Công thức Green Miền phẳng 𝐷𝐷 có đường biên 𝐿𝐿 (kín) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑡𝑡2 𝐼𝐼11 = � 𝑡𝑡1 𝑓𝑓 (𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡))�(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + Eureka Uni (facebook.com) (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 Tồn 𝑄𝑄𝑥𝑥′ , 𝑃𝑃𝑦𝑦′ liên tục miền 𝐷𝐷 thì: � cho phương trình tọa Tương tự 𝐴𝐴𝐴𝐴 độ cực 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) � ⊂ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 cho bởi: � 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) TH2 Cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑡𝑡) 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝐼𝐼12 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑠𝑠 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐼𝐼12 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥 (𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 + (𝑧𝑧𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 𝑎𝑎 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � �𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐿𝐿 𝐷𝐷 Điều kiện không phụ thuộc đường Nếu 𝐷𝐷 đơn liên, liên thông, 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 đạo hàm riêng liên tục 𝐷𝐷 Bốn mệnh đề sau tương đương: 𝑄𝑄𝑥𝑥′ ≡ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ với (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 ∮𝐿𝐿 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 = với 𝐿𝐿 nằm 𝐷𝐷 ∫𝐴𝐴𝐴𝐴 � 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 = với đường nối A B nằm 𝐷𝐷 𝑃𝑃d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄d𝑦𝑦 ≡ d𝑤𝑤 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.1.2 Bài tập ví dụ Eureka Uni (facebook.com) 3.1.2.1 Tích phân đường loại I 3 Ví dụ 1.1 Tính độ dài cung 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = Độ dài đường cong tính �d𝑠𝑠 𝐿𝐿 Do đường cong đối xứng tâm qua gốc tọa độ nên: 𝜋𝜋 �d𝑠𝑠 = � d𝑠𝑠 = � �(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝐿𝐿′ Trong 𝐿𝐿′ phần đường cong 𝐿𝐿 góc phần tư thứ Tham số hóa đường cong 𝐿𝐿′ : 𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 = sin3 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = (8 cos3 𝑡𝑡)′ = 8.3 (cos 𝑡𝑡)′ cos2 𝑡𝑡 = −24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 24 cos 𝑡𝑡 sin2 𝑡𝑡 𝜋𝜋 �(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 = �(24 sin 𝑡𝑡 cos2 𝑡𝑡)2 + (24 cos 𝑡𝑡 sin2 𝑡𝑡)2 = 24�sin2 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 + cos 𝑡𝑡 sin4 𝑡𝑡 = 24�sin2 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 = 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋/2 �d𝑠𝑠 = � 24 sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � 12 sin 2𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = −24 cos 2𝑡𝑡 � 𝐿𝐿 0 = 48 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 1.2 Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑠𝑠, với 𝐿𝐿 biên hình tam giác 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂: 𝑂𝑂(0,0), 𝐴𝐴(1,1), 𝐵𝐵(−1,1) 𝑏𝑏 �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥))�1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥 𝐿𝐿 𝑎𝑎 Phương trình cạnh OA: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) AB: 𝑦𝑦 = (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) BO: 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0) � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑠𝑠 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑠𝑠 + � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑠𝑠 + � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑠𝑠 𝐿𝐿 𝑂𝑂𝑂𝑂 1 −1 −1 = 2√2 � 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 + 1)d𝑥𝑥 + 2√2 � 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 = 2) 𝐵𝐵𝐵𝐵 = � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 √2d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 + 1)d𝑥𝑥 + � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 )√2d𝑥𝑥 𝐴𝐴𝐴𝐴 −1 −1 2√2 + 4√2 2√2 1 + = 𝑥𝑥 � + � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥� � 𝑥𝑥 � −1 −1 3 3 Ví dụ 1.3 Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿 𝑦𝑦𝑒𝑒 −𝑥𝑥 d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 đường 𝑥𝑥 = ln(1 + 𝑡𝑡 ) , 𝑦𝑦 = arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 3, với ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡2 2 �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)���𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)� + �𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)� d𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝑡𝑡1 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube �𝑦𝑦𝑒𝑒 𝐿𝐿 Eureka Uni (facebook.com) 2𝑡𝑡 ′( ) 𝑡𝑡 = , 𝑦𝑦 −1 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 4𝑡𝑡 4 ′( ) ′( ) + − +1=1 �𝑥𝑥 𝑡𝑡 � + �𝑦𝑦 𝑡𝑡 � = (1 + 𝑡𝑡 )2 (1 + 𝑡𝑡 )2 + 𝑡𝑡 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = d𝑠𝑠 = � (2 arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + 3)𝑒𝑒 − ln�1+𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 =� arctan 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 + d𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 2 arctan 𝑡𝑡 + 1 2𝑡𝑡 =� d𝑡𝑡 − � d𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 0 1 1 = � (2 arctan 𝑡𝑡 + 3)d(arctan 𝑡𝑡) − � d(1 + 𝑡𝑡 ) 2 + 𝑡𝑡 1 = �arctan2 𝑡𝑡 + arctan 𝑡𝑡 − ln(1 + 𝑡𝑡 )� � 𝜋𝜋 + 𝜋𝜋 − ln = 16 Ví dụ 1.4 Tính tích phân đường ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = �8𝑡𝑡 , 𝑏𝑏 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑠𝑠 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑧𝑧(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 + (𝑧𝑧𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 � 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 1, 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = √2𝑡𝑡, 𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 �[𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡)]2 + [𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡)]2 + [𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡)]2 = �1 + 2𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 + Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 1 √2 � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 × 𝑡𝑡 8𝑡𝑡 × 𝑡𝑡 = 3 11 13 √2 √2 √2 11 2 2 ( ) 𝐼𝐼 = � 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � �𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 � d𝑡𝑡 = � 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 � � 13 3 11 0 = 16√2 143 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.1.2.2 Tích phân đường loại II 10 Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 2.1 ∫𝐿𝐿 𝑦𝑦d𝑥𝑥 − (𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 )d𝑦𝑦, 𝐿𝐿 cung parabol 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 nằm trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 theo chiều kim đồng hồ 𝑏𝑏 �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � [𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑦𝑦 ′ ]d𝑥𝑥 𝐿𝐿 𝑎𝑎 𝑦𝑦 ′ (𝑥𝑥) = − 2𝑥𝑥 𝐼𝐼 = � [(2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ) − (2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 )(2 − 2𝑥𝑥)]d𝑥𝑥 2 = � (3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 ) � = 0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 13 Eureka! Uni - YouTube Cách Tính trực tiếp Eureka Uni (facebook.com) AB: 𝑦𝑦 = −1 − 𝑥𝑥 , (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ⇒ 𝑦𝑦 ′ = −1 𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴 = � 𝑥𝑥(−𝑥𝑥 − 1) �− �𝑥𝑥 − −1 𝑥𝑥 + � 𝑥𝑥 + � − 𝑥𝑥 − 1� (−1)� d𝑥𝑥 = − � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥) d𝑥𝑥 −1 1 = −1 = − � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 � � −1 2 BC: 𝑥𝑥 = 1, (−2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2) ⇒ 𝑥𝑥 ′ (𝑦𝑦) = 2 1 1 𝐼𝐼𝐵𝐵𝐵𝐵 = � 𝑦𝑦 � + 𝑦𝑦� d𝑦𝑦 = � � 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 � d𝑦𝑦 = � 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 � � −2 −2 −2 16 = CA: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1, (−1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1) ⇒ 𝑦𝑦 ′ = −1 𝐼𝐼𝐶𝐶𝐶𝐶 = � Vậy 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) �− �𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 � + � + 𝑥𝑥 + 1�� d𝑥𝑥 2 1 −1 1 −1 =− = � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥)d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 � � 2 𝐼𝐼𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = −1 + 16 − =4 3 Cách Công thức Green 𝑦𝑦 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �− �𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥 + � + 𝑦𝑦� d𝑦𝑦� 2 𝐿𝐿 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 14 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) �𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑥𝑥 + 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)d𝑦𝑦 = � �𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ �d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐿𝐿 𝐷𝐷 𝑦𝑦 𝑃𝑃 = −𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥 + � = −𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 ⇒ 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑄𝑄 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 � + 𝑦𝑦� = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 2 ⇒ 𝑄𝑄𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑄𝑄𝑥𝑥′ − 𝑃𝑃𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 2) 𝑥𝑥+1 𝐼𝐼 = � (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � d𝑥𝑥 � 𝐷𝐷 𝑥𝑥+1 = � d𝑥𝑥 � −1 −1 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑦𝑦 (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )d𝑦𝑦 −𝑥𝑥−1 −𝑥𝑥−1 𝑥𝑥 + = � d𝑥𝑥 �𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 � � −𝑥𝑥 − −1 = � �2𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 1)3 � d𝑥𝑥 −1 2 = � �2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥 3 −1 2 =4 = � �4𝑥𝑥 + � d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥� � −1 3 −1 Lưu ý rằng, tích phân hàm lẻ miền đối xứng Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 15 Eureka Uni (facebook.com) 3.2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ GIẢI CHI TIẾT 3.1.2 Tích phân đường loại I Bài 1.1 Tính độ dài cung sau a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3] b) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋) Bài 1.2 Tính tích phân đường loại I a) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 𝐿𝐿 cung ellip phần tư thứ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = nằm góc 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 đường trịn 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 Bài 1.3 Tính tích phân đường loại I: a) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3) b) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 , 𝐿𝐿 biên hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0), 𝐶𝐶 (4,2), 𝐷𝐷 (0,2) 1 c) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ Bài 1.1 Tính độ dài cung sau c) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3] d) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋) Giải a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ∈ [0,3] Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 16 Eureka! Uni - YouTube Đổi hàm 𝑦𝑦 Eureka Uni (facebook.com) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 Từ hình vẽ ta xác định 𝑦𝑦 ∈ �−√6, √6� Độ dài cung xác định √6 𝐼𝐼 = �d𝑠𝑠 = � 𝐿𝐿 �1 + 𝑦𝑦 d𝑦𝑦 −√6 √6 = � �1 + 𝑦𝑦 d𝑦𝑦 Áp dụng tích phân phần 𝐼𝐼 = �𝑦𝑦�1 + 𝑦𝑦 �√6 √6 −� √6 𝑦𝑦 �1 + = �√42 − � �1 + 𝑦𝑦 d𝑦𝑦� 𝑦𝑦 d𝑦𝑦 +� √6 �1 + = 2√42 − 𝐼𝐼 + ln �𝑦𝑦 + �1 + 𝑦𝑦 � �√6 = 2√42 + ln�√6 + √7� − 𝐼𝐼 𝑦𝑦 d𝑦𝑦� ⇒ 2𝐼𝐼 = 2√42 + ln�√6 + √7� ⇒ 𝐼𝐼 = √42 + ln�√6 + √7� b) 𝑥𝑥 = 2(𝑡𝑡 − sin 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = 2(1 − cos 𝑡𝑡), (0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋) 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = sin 𝑡𝑡 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 2(1 − cos 𝑡𝑡), 𝑡𝑡2 𝐼𝐼 = � 𝑡𝑡1 �(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 = � �4(1 − cos 𝑡𝑡)2 + sin2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 2𝜋𝜋 = � √2 − cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � 2𝜋𝜋 = 4� = 16 0 𝑡𝑡 �4 sin2 d𝑡𝑡 2𝜋𝜋 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2𝜋𝜋 �sin � d𝑡𝑡 = � sin d𝑡𝑡 = −8 cos � 2 0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 17 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Bài 1.2 Tính tích phân đường loại I b) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 𝐿𝐿 cung ellip phần tư thứ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = nằm góc c) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 đường trịn 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 Giải a) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 𝐿𝐿 cung ellip 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = nằm góc phần tư thứ Cách 1: Tính trực tiếp Do 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ nên phương trình 𝐿𝐿 hàm số 𝑦𝑦 = �1 − 𝑦𝑦 ′ = 𝑏𝑏 𝑥𝑥 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ −𝑥𝑥 2√4 − 𝑥𝑥 𝐼𝐼 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦(𝑥𝑥)��1 + (𝑦𝑦𝑥𝑥′ )2 d𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 �1 − �1 + d𝑥𝑥 4(4 − 𝑥𝑥 ) 2 − 𝑥𝑥 16 − 3𝑥𝑥 � = � 𝑥𝑥 � d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥�16 − 3𝑥𝑥 d𝑥𝑥 4 4(4 − 𝑥𝑥 ) 1 2 = − � (16 − 3𝑥𝑥 )2 d(16 − 3𝑥𝑥 ) 24 3 14 1 = − (16 − 3𝑥𝑥 )2 � = − �42 − 162 � = 36 36 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 18 Eureka! Uni - YouTube Cách 2: Tham số hóa 𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 = sin 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡2 Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 ⇒ 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = −2 sin 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = cos 𝑡𝑡 𝐼𝐼 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡)��(𝑥𝑥𝑡𝑡′ )2 + (𝑦𝑦𝑡𝑡′ )2 d𝑡𝑡 𝑡𝑡1 𝜋𝜋 = � (2 cos 𝑡𝑡 sin 𝑡𝑡)�(−2 sin 𝑡𝑡)2 + (cos 𝑡𝑡)2 d𝑡𝑡 𝜋𝜋 = � sin 𝑡𝑡 cos 𝑡𝑡 �1 + sin2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 𝜋𝜋 = � sin 𝑡𝑡 �1 + sin2 𝑡𝑡 d(sin 𝑡𝑡) 𝜋𝜋 = � �1 + sin2 𝑡𝑡 d(sin2 𝑡𝑡) 𝜋𝜋 1 = � (1 + sin2 𝑡𝑡)2 d(1 + sin2 𝑡𝑡) 3 14 𝜋𝜋/2 = (1 + sin 𝑡𝑡)2 � = �42 − 1� = 9 b) 𝐼𝐼 = ∫𝐿𝐿 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 đường tròn 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 Tham số hóa L: 𝑥𝑥 = 2(1 + cos 𝑡𝑡), 𝑦𝑦 = sin 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = −2 sin 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = cos 𝑡𝑡 2𝜋𝜋 𝐼𝐼 = � �4(1 + cos 𝑡𝑡)2 + sin2 𝑡𝑡 �4 sin2 𝑡𝑡 + cos2 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 = � �8(1 + cos 𝑡𝑡)2d𝑡𝑡 = � 2𝜋𝜋 = 8� = 32 0 𝑡𝑡 �16 sin2 d𝑡𝑡 2𝜋𝜋 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2𝜋𝜋 �sin � d𝑡𝑡 = � sin d𝑡𝑡 = −16 cos � 2 0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 19 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Bài 1.3 Tính tích phân đường loại I: d) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3) e) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 , 𝐿𝐿 biên hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0), 𝐶𝐶 (4,2), 𝐷𝐷(0,2) 1 f) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ Giải a) ∫𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)d𝑠𝑠 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 đoạn thẳng nối hai điểm 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,3) Phương trình AB: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 5 𝐼𝐼 = � �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥� �1 + � � d𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥d𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 � = 16 32 0 b) ∫𝐿𝐿 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠, 𝐿𝐿 biên hình chữ nhật ABCD: 𝐴𝐴(0,0), 𝐵𝐵(4,0), 𝐶𝐶 (4,2), 𝐷𝐷(0,2) Phương trình cạnh: AB: 𝑦𝑦 = (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4) BC: 𝑥𝑥 = (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2) CD: 𝑦𝑦 = (0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4) DA: 𝑥𝑥 = (0 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 2) �𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 = � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 + � 𝑥𝑥𝑥𝑥d𝑠𝑠 = 𝐿𝐿 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 = � 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 + � 4𝑦𝑦d𝑦𝑦 + � 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 + � 𝑦𝑦 d𝑦𝑦 0 = � 4𝑦𝑦d𝑦𝑦 + � 2𝑥𝑥d𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦 � + 𝑥𝑥 � = 24 0 0 1 c) ∫𝐿𝐿 �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 đường 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 , 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 , ≤ 𝑡𝑡 ≤ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 20 𝑥𝑥 ′ (𝑡𝑡) = 1, 𝑦𝑦 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡, Eureka Uni (facebook.com) 𝑧𝑧 ′ (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2 � 𝐼𝐼 = � �2𝑦𝑦d𝑠𝑠 = � � 𝑡𝑡 � �1 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 𝐿𝐿 1 2 = � �2 � 𝑡𝑡 � �1 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � 𝑡𝑡�1 + 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 0 = � 𝑡𝑡 × ��𝑡𝑡 + � + d𝑡𝑡 = � ��𝑡𝑡 + � + d �𝑡𝑡 + � 3/2 1 Đặt 𝑢𝑢 = 𝑡𝑡 + , 𝑡𝑡 � ⇒ 𝑢𝑢 � 1/2 3 2 3 𝑢𝑢 𝐼𝐼 = � �𝑢𝑢2 + d𝑢𝑢 = 𝑢𝑢�𝑢𝑢2 + � − � d𝑢𝑢 1 4 2 �𝑢𝑢 + 3 3 3 = � √3 − � − � �𝑢𝑢2 + d𝑢𝑢 + � 4 2 3√3 − 3 = − 𝐼𝐼 + ln �𝑢𝑢 + �𝑢𝑢2 + � �2 4 2 3√3 − 2√3 = + ln �1 + � − 𝐼𝐼 ⇒ 2𝐼𝐼 = ⇒ 𝐼𝐼 = �𝑢𝑢2 + d𝑢𝑢 3√3 − 2√3 + ln �1 + � 2√3 3√3 − + ln �1 + � Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook