Bài giảng Toán giải tích: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán giải tích gồm có 4 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số - giới hạn và tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân của hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN  Mục đích yêu cầu Học xong chƣơng này, Sinh viên phải thành thạo: - Nắm vững cơng thức tính nguyên hàm hàm số - Các tính chất tích phân bất định, tích phân xác định - Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến số, phần - Tích phân hàm số hữu tỷ, vơ tỷ, lượng giác đơn giản qua vấn đề - Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz - Phân biệt đƣợc khác phép biến đổi tích phân bất định tích phân xác định - Vận dụng đƣợc phƣơng pháp tính tích phân - Ứng dụng tính diện tích – thể tích - Tính tích phân suy rộng loại loại  Kiến thức chuẩn bị Để học đƣợc chƣơng cần trang bị kiến thức: - Các công thức tính đạo hàm hàm số sơ cấp - Các cách tính đạo hàm vi phân hàm biến - Các cách tính giới hạn học chƣơng chƣơng 50 3.1 Tích phân khơng xác định 3.1.1 Ngun hàm tích phân khơng xác định 3.1.1.1 Định nghĩa Hàm số F (x ) đƣợc gọi nguyên hàm hàm số f (x ) a;b  F '(x )  f (x ), x  a;b  (3.1.1) Ví dụ 1:  sin x  '  cos x  sin x nguyên hàm cosx 3.1.1.2 Định lý * Mọi hàm số liên tục đoạn có nguyên hàm đoạn * Nếu F (x ) nguyên hàm f (x ) F (x )  C nguyên hàm f (x ) (Việc tìm nguyên hàm hàm số cịn gọi phép lấy tích phân hàm số đó) Định nghĩa Tập tất nguyên hàm hàm số f (x ) đƣợc gọi tích phân khơng xác định f (x ) , kí hiệu là:  f (x )dx  f (x )dx  F (x )  C 3.1.1.3 Tính chất tích phân khơng xác định Cho f , g hàm số có nguyên hàm Khi   f (x )dx    f (x )dx ( số) ii)   f (x )  g(x ) dx   f (x )dx   g(x )dx i) iii)   f (x )dx   f (x ) iv)  f (x )dx  f (x )  C ' 51 (3.1.2) Bảng tích phân số hàm số sơ cấp  Nguyên hàm HSCB y  f (x ) Hàm y  ax  b ( a  )  dx  x  C x  1  C   1  1 1  x 2dx   x  C x  0  x dx  x  C   x dx  ax  a dx  ln a  C x  e dx  e x x C  xdx  ln x  C  sin xdx  - cos x  C  cos xdx  sin x  C  cos2 xdx  tan x  C  sin2 xdx   cot x  C  - x dx  arcsin x  C   arccos x  C  x  1dx  arctan x  C  arc cot x  C 1 x  x  a 2dx  a arctan a  C 1 1x dx  ln C   x2 1x 1 x a  x  a 2dx  2a ln x  a  x a 1  (ax  b)2dx   a ax  b  C C dx  ln x  x  a  C 52 1 dx  ax  b  C  ax  b a aa x b a x b  a dx  a  ln a  C ax b ax b  e dx  a e  C 1  ax  bdx  a ln ax  b  C  sin(ax  b)dx  - a cos(ax  b)  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1  cos2(ax  b)dx  a tan(ax  b)  C 1  sin2(ax  b)dx   a cot(ax  b)  C 3.1.2 Các phƣơng pháp tính 3.1.2.1 Phƣơng pháp phân tích Biến đổi hàm dấu tích phân dạng tổng hàm đơn giản dạng hàm bảng nguyên hàm Ví dụ 2: x5 x4 x2 a)  (x  3x  x  1)dx  3   x C 4  b)   x  x    dx    xdx  2 dx  x x  x C x  dx c)   sin x   cos x - tan x  C  dx   sin xdx   cos x  cos2 x  3.1.2.2 Phƣơng pháp đổi biến số  Qui tắc Đặt t   (x ) ,  (x ) hàm khả vi theo biến t Ta có  f  (x )  (x )dx   f (t )dt (3.1.3)  Qui tắc Đặt x  (t ) , (t ) hàm khả vi đơn điệu nghiêm ngặt theo biến t Ta có (3.1.4)  f (x )dx   f (t ) (t )dt  Chú ý: Qui tắc thƣờng áp dụng có tích phân có chứa a2  x ; a2  x ; x  a2 a sin t *  R(x, a  x )dx , đặt x   a cos t  (3.1.5) a tan t *  R(x, a  x )dx , đặt x   a cot t   a  sin t *  R(x, x  a )dx , đặt x   a   cos t (3.1.6) (3.1.7) Ví dụ 3: Tính tích phân hàm số sau: a) I   (x  3x  1)5(2x  3)dx b) J  53  sin x x2 dx (a  0) Giải a) Đặt t  x  3x   dt  (2x  3)dx t6 (x  3x  1)6 Khi I   t dt   C  C 6 b) Đặt t  x  t  x  3t 2dt  dx sin t Khi I   3t 2dt   sin tdt  3 cos t  C  3 cos x  C t ? Tính tích phân sau: x 1 dx a)  tan xdx b)  c)  dx x ln x  3x  Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I    a  x 2dx (a  0) Giải   Đặt x  a sin t  dx  a cos tdt , với t    ;   2  Khi I   a2 a (1  sin t ).a cos tdt   a cos tdt  (1  cos 2t )dt  2 2 a2  sin 2t  a2  x x 2    arcsin  a  x  C t   C     a a  x x Mà sin t   t  arcsin a a x sin 2t  sin t cos t  2 a  x a I  a2  arcsin x  x a  x   C   a a2    3.1.2.3 Phƣơng pháp tích phân phần Giả sử u, v hàm khả vi Khi đó, ta có:  udv  uv   vdu 54 (3.1.8)  Nhận xét: Nếu P(x ) đa thức Đặt Dạng u du  P(x )sin(ax  b)dx P(x ) sin(ax  b)dx  P(x )cos(ax  b)dx P(x ) cos(ax  b)dx  P(x )e dx P(x ) eax bdx  P(x )arcsin(ax  b)dx P(x ) arcsin(ax  b) P(x )dx  P(x )arccos(ax  b)dx arccos(ax  b) P(x )dx ln(ax  b) P(x )dx ax b  P(x )ln(ax  b)dx e sin(ax  b)dx eax b sin(ax  b)dx e sin(ax  b)dx sin(ax  b) eax bdx ax b ax b b) J   x arctan xdx Ví dụ 5: Tính: a) I   xcosxdx Giải: u x  du  dx     a) Đặt  v  sin x  dv  cos xdx    Khi I  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C  b) Đặt    du  dx u  arc tan x x2    dv  xdx  vx  x2 x2 x2 1  Khi I  arctan x   dx  arctan x      dx 2 x 1 2  x 1  x2 1 arctan x  x  arctan x  C 2   Chú ý - Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trƣớc lấy tích phân phần - Phép lấy tích phân phần liên tiếp nhiều đƣa tích phân ban đầu 55 ? a) I   cos xe sin xdx Tính: b) J   e x cos xdx 3.1.3 Tích phân số hàm thƣờng gặp 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ Adx dx A  A ln x  a  C a)  x a x a Adx A k (x  a )1k  C b)  k A (x  a ) dx  1k (x  a ) c) dx  ax  bx  c  Nếu ax  bx  c  , có hai nghiệm phân biệt Áp dụng công thức 1 x a  x  a 2dx  2a ln x  a  C hay 1   dx  ln x  a  C dx   (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  a  Nếu ax  bx  c  , có nghiệm kép 1 C Áp dụng công thức:  2dx   (ax  b) a ax  b hay 1   dx  ln x  a  C dx   (x  a)(x  b) a  b   x  a x  b  a  b x  b  Nếu ax  bx  c  vô nghiệm 1 x Áp dụng công thức:  arctan  C 2dx  x a a a Ví dụ 6: Tính: 3dx dx  4x  4x  a) I   x  4x  a) I  3dx dx   x  4x   (x  5)(x  1) b) J  Giải 1  x 5     C dx  ln x  x  1 x 1 b) J  dx dx     4x  4x   2x  12 2(2x  1)  C 56 c) K  dx  x  2x  c) K  ? dx Tính a) I  d) dx  x  2x    x  12   arctan(x  1)  C dx  4x  x  Ax  B  ax  bx  c dx b) J  dx  x  4x  c) K  dx  x  3x (A  0, a  0)  Nếu ax  bx  c  , có hai nghiệm phân biệt Ta dùng phƣơng pháp cân hệ số đồng bậc, đƣa cách tính nhƣ mục a)  Nếu ax  bx  c  vô nghiệm hay có nghiệm kép Ta phân tích Ax  B A 2ax  b Ab dx dx  dx  ( B  ) 2  ax  bx  c 2a  ax  bx  c 2a  ax  bx  c * 2ax  b  ax  bx  cdx  ln ax  bx  c  C * dx  ax  bx  c tính nhƣ mục c) Ví dụ 7: Tính: a) I  2x   x  5x  6dx b) J  x 1  x  x  1dx Giải a) Ta phân tích 2x  A B (A  B )x  3A  2B    x  5x  x  x  (x  2)(x  3)  A  3 A  B   * Cân hệ số đồng bậc, ta đƣợc :   B 5 3A  2B  1     I  b) J   2x   3   x  5x  6dx    x   x   dx  3 ln x   ln x   C x 1 (2x  1)  2x  1 dx dx dx     2 x x 1 x x 1 x x 1  x  x  1dx   dx 2x  ln(x  x  1)    ln(x  x  1)  arctan C 2 2  2 1   x      2    57 e) Tổng quát I  P (x )  Q(x ) dx Bƣớc 1: Nếu bậc đa thức P(x ) lớn bậc đa thức Q(x ) ta chia P(x ) cho P(x ) p(x ) (trong đó: m(x ) đa thức bậc p(x ) < bậc  m(x )  Q(x ) , ta có: Q(x ) Q(x ) Q(x ) )  Bƣớc 2: Phân tích mẫu số phân thức thừa số tuyến tính bậc 2: Q(x )  an (x  a)m (x  b)p (x  cx  d )l (x  ex  f )k (trong a, b,  , c2  4d  0, e2  f  m  p   2(l  k )  n )  Bƣớc 3: Phân tích phân thức p(x ) thành tổng phân thức hữu tỉ đơn giản Q(x ) sau: p(x ) A A2 M1x  N M 2x  N      Q(x ) x  a (x  a ) x  px  q x  px  q     Ml x  N l x  px  q  l  Bƣớc 4: Xác định hệ số A1, A2, , M1, M2, , N1, N 2, phƣơng pháp hệ số bất định Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản A dx  A ln x  a  C *I  x a A (x  a )K 1 *J  dx  A C  x  a K K  *K   Mx  N  x  px  qdx M M  2x  p  x  px  qdx  (N  Mp dx ) 2 x  px  q d (x  px  q ) Mp  x  px  q  (N  ) Đặt t  x   dx x p  q  p p2 ; 2  q  M Mp dt ln x  px  q  (N  ) 2 t  2 M Mp t  ln x  px  q  (N  ) arctan 2   K  58 p2  *L  Đặt t   x M Mp ln x  px  q  (N  ) arctan 2   p p2 ;  q  K dx   K dx với    x   2    x  px  q   Mx  N x với I n  p  Mx  N  Gt  H G d (t  1) dt    H I n , ta đƣợc : L   (t  1)n t 1 dt  (t  1)n đƣợc tính theo cơng thức truy hồi Ví dụ 8: Tính I  x2  x   (x  1)(x  x  1)dx Giải * Ta phân tích x2  x  A Bx  C (A  B )x  (A  B  C )x  A  C    (x  1)(x  x  1) x  x  x  (x  1)(x  x  1) A  B   A  * Cân hệ số đồng bậc, ta đƣợc :  A  B  C  1   B  C     A  C  2x  dx   dx Suy I   x 1 x x 1 2x  dx   ln x     dx   x  x    x x 1  ln x    d(x  x  1) dx  2 x x 1 x          2       ln x   ln x  x   ? a) I  Tính x  2x   x  x  x  1dx  ax  b 3.1.3.2 Tích phân hàm vô tỉ:  R  x , n cx  d  Đặt t  n 2x  arctan C 3 b) J   dx  ax  b , đƣa tích phân cho dạng hàm số hữu tỉ cx  d 59  x(x  1)2 dx  Khi f (x 0, y0 ) đƣợc gọi cực đại (cực tiểu) địa phƣơng f Các giá trị cực đại, cực tiểu địa phƣơng đƣợc gọi chung cực trị địa phƣơng hàm số * Điểm dừng Điểm M 0(x 0, y0 ) đƣợc gọi điểm dừng hàm số z  f (x, y) f 'x (x 0, y0 )  f 'y (x 0, y0 )  (4.5.2) * Điểm kì dị Điểm M 0(x 0, y0 ) đƣợc gọi điểm kì dị hàm số z  f (x, y) f 'x (x 0, y0 ) f 'y (x 0, y0 ) (4.5.3) Ví dụ 23: Tìm điểm dừng hàm số f (x, y)  x  y  4xy Giải: Tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình  f 'x  4x  4y   x  0; x  1; x   y  x     y  x3 f '  y  x  x  x    y    x  1  y  1 x   y  x   y   Vậy ta có điểm dừng M1(1, 1); M2(0, 0); M 3(1,1) 4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị Định lý FERMAT: Nếu f (x 0, y0 ) đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 ) f có đạo hàm riêng M 0(x 0, y0 )  f 'x (x 0, y )    f 'y (x 0, y )  (4.5.4)  Nhận xét Định lý điều kiện cần, nghĩa đạo hàm riêng (x 0, y0 ) (là điểm dừng) ta chƣa kết luận đƣợc (x 0, y0 ) điểm cực trị hàm số Ví dụ 24: Tìm cực trị hàm số b) z  x  y a) z  xy Giải  x  z 'x  y     điểm M (0, 0) điểm dừng a) Tìm điểm dừng:  y  z '  x  y     98 Hàm số không đạt cực trị M (0, 0) lân cận điểm M ln có điểm (x,y) cho x  0; y  , z(x, y)   z(0, 0) Mặt khác tồn điểm (x,y) cho x  0; y  , z(x, y)   z(0, 0) b) Ta có: f (x, y)   f (0, 0) (x, y) Do đó, hàm số đạt cực tiểu điểm M  0,  Mặt khác: Điểm M  0,  điểm kì dị f (0  x, 0)  f (0, 0) x  lim x 0 x 0 x x   z 'x (0, 0),  z 'y (0, 0) Thật vậy: z 'x (0, 0)  lim 4.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị Định lý: Giả sử z  f (x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm M 0(x 0, y0 ) , với M 0(x 0, y0 ) điểm dừng hàm số f (x, y ) Gọi A  f ''xx (x 0, y0 ) Khi đó:   AC  B2  Nếu   f khơng đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 ) B  f ''xy (x 0, y0 ) C  f ''yy (x 0, y0 )  Nếu   f đạt cực trị địa phƣơng M 0(x 0, y0 )  A  : f đạt cực đại  A  : f đạt cực tiểu  Nếu   chƣa kết luận, cần phải khảo sát thêm Ví dụ 25: Tìm cực trị hàm số b) z  (x  y)2  (x  y )3 a) z  x  y  3xy Giải a) * Tập xác định: D  * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình z 'x  3x  3y  x  x       y0 y 1 z 'y  3y  3x        Ta đƣợc hai điểm dừng M1(0, 0) M2(1,1) * Ta có: z ''xx  6x z ''xy  3 z ''yy  6y * Xét M1(0, 0) A  z ''xx (0, 0)  B  z ''xy (0, 0)  3 Suy   AC  B2  9  99 C  z ''yy (0, 0)  Do đó, hàm số khơng đạt cực trị M1(0, 0) * Xét M2(1,1) A  z ''xx (1,1)  B  z ''xy (1,1)  3 C  z ''yy (1,1)  Suy   AC  B2  36   27  Mà A   nên hàm số đạt cực tiểu M2(1,1) zCT  1 b) * Tập xác định: D  * Ta tìm điểm dừng cách giải hệ phƣơng trình  z 'x  2(x  y )  3(x  y )2  x      y0 z 'y  2(x  y )  3(x  y )2      Ta đƣợc điểm dừng M (0, 0) * Ta có: z ''xx   6(x  y)  A  z ''xx (0, 0)  z ''xy  2  6(x  y)  B  z ''xy (0, 0)  2 z ''yy   6(x  y)  C  z ''yy (0, 0)  Suy   AC  B2  * Trƣờng hợp ta phải khảo sát thêm phƣơng pháp khác Trong lân cận M (0, 0) tồn điểm (h, h ) cho: z (h, h )  8h  h  z(h, h)  h  Tức là, hàm số đổi dấu Do đó, M (0, 0) khơng phải điểm cực trị hàm số z Vậy z không đạt cực trị điểm M (0, 0) ?  Tìm cực trị hàm số: z  f (x, y)  x  y  xey ? 4.3.5.4 Ứng dụng vào toán Kinh tế biến Bài tốn tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại Một công ty kinh doanh độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu QD1  D1(P1, P2 ); QD2  D2(P1, P2 ) (*) hàm chi phí C  C (Q1,Q2 ) P1, P2 giá loại sản phẩm thị trường, Q1,Q2 sản lượng loại sản phẩm đơn vị thời gian Hãy tìm sản lượng sản xuất Q1,Q2  để công ty đạt lợi nhuận lớn  Phương pháp giải Với sản lƣợng Q1,Q2  đơn vị thời gian Để bán hết số sản phẩm P1, P2 công ty phải bán với đơn giá cho QD1  QS1  Q1; QD2  QS2  Q2 100 P1 B1: Từ phƣơng trình (*) xem P1, P2 ẩn số, ta tính đƣợc  theo Q1, Q2 P2 B2: Suy : Hàm doanh thu : R(Q1,Q2 )  P1.Q1 + P2.Q2 Hàm lợi nhuận : L  R(Q1,Q2 ) - C (Q1,Q2 ) B3: Ta tìm Q1, Q2  hàm L đạt giá trị lớn Ví dụ 26: Doanh nghiệp tƣ nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền loại sản phẩm võng xếp giƣờng xếp Thông tin xƣởng sản xuất cung cấp nhƣ sau : 1 + Hàm cầu : Q1  14  P1 võng xếp ; Q2  24  P2 giƣờng xếp + Hàm tổng chi phí : C  Q12  5Q1.Q2  Q22 (trong : Q1 số lƣợng võng xếp giá P1 Q2 số lƣợng giƣờng xếp giá P2 ) Hỏi doanh nghiệp nên định giá bán loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa (đơn vị :10.000 đ/ sản phẩm) Giải * Muốn bán hết số sản phẩm Q1, Q2  cơng ty phải bán với đơn giá P1, P2 cho : Q  14  P P1  56  4Q1    P  48  Q 2  Q2  24  P2   * Doanh thu : R  P1.Q1  P2.Q2   56 - 4Q1 Q1   48 - 2Q2 Q2 * Lợi nhuận : L  R(Q1,Q2 ) - C (Q1,Q2 )  (56 - 4Q1).Q1  (48 - 2Q2 ).Q2 - Q12 - 5Q1.Q2 - Q22  56Q1  48Q2 - 5Q12 - 3Q22 - 5Q1Q2  Bài tốn đƣa tìm Q1, Q2  cho Lmax  ? * Tìm điểm dừng ' LQ 10Q1  5Q2  56   56  10Q1  5Q2     ' 5Q1  6Q2  48 LQ2  48  6Q2  5Q1      Q  96   35  Q2  40   * Ta có " " " A  LQ  10; B  LQ  5; C  LQ  6 1Q1 Q2 2Q2    AC - B2  60  25  35  A  10  nên hàm L(Q1,Q2 ) đạt cực đại điểm (3, 6) 101 Vậy doanh thu đạt lợi nhuận tối đa mức giá : 96 1576 P1  56    45 (đơn vị :10.000 đ = 450.000 đ/sp) 35 35 40 256 P2  48    36, (đơn vị :10.000 đ = 365.000 đ/sp) 7 4.5.2 Cực trị có điều kiện Sự khác biệt cực trị địa phƣơng cực trị ‘có điều kiện’ (hay “có ràng buộc”) thay cho so sánh giá trị hàm số điểm M 0(x 0, y0 ) với giá trị điểm thuộc lân cận điểm M , ta so sánh với giá trị thoả điều kiện (thƣờng phƣơng trình dạng g(x, y)  (phương trình đường cong mặt phẳng)) 4.5.2.1 Định nghĩa Cực trị hàm số z  f (x, y) với điều kiện ràng buộc g(x, y)  đƣợc gọi cực trị có điều kiện 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x, y ) ta dùng phƣơng pháp phƣơng pháp nhân tử Lagrange a) Phƣơng pháp Từ điều kiện ràng buộc g(x, y)  , ta rút x y vào z  f (x, y) Khi đó, tốn trở tìm cực trị hàm biến Ví dụ 27: Tìm cực trị hàm số z   x  y với điều kiện ràng buộc x  y   (*) Giải * Từ điều kiện x  y    y   x * Thay vào z, ta đƣợc: z  2x  2x  g(x )  Miền xác định: D  0;1  g '(x )   2x x x g '(x )   (x  0; x  1)  2x 0x  1  y  ; g    2 2 x  x2 g '(x ) không xác định x  x  102  Bảng xét dấu x g '( x ) g( x ) 2 (CĐ) Hàm số g(x ) đạt cực đại x  2 1 Vậy hàm số z đạt cực đại với điều kiện (*) M  ;  zCĐ  2 2 ? Tìm cực trị hàm số z  x 2y thỏa điều kiện : x  y   Tuy nhiên nhiều trường hợp từ điều kiện ràng buộc g(x, y)  , ta không rút y  y(x ) sau dùng phép hàm nhận z hàm biến khơng dễ dàng lấy đạo hàm Khi đó, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Định lý (Điều kiện cần) Giả sử z  f (x, y) đạt cực trị điểm M 0(x 0, y0 ) với điều kiện ràng buộc g(x, y)  Nếu f, g liên tục với đạo hàm riêng cấp lân cận điểm 2 M 0(x 0, y0 ) g 'x (x 0, y0 )  g 'y (x 0, y0 )  tồn số  với x 0, y0 thoả mãn hệ phƣơng trình F 'x  f 'x (x 0, y )  g 'x (x 0, y )   F '  f ' (x , y )  g ' (x , y )  y 0 y 0  y  F '  g(x 0, y )     (4.5.5) số  đƣợc gọi nhân tử Lagrang & F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y) hàm số phụ Lagrange Định lý (điều kiện đủ) Giả sử hàm f (x, y ) g(x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp lân cận điểm M (x 0, y0 ) (x 0, y0, ) điểm dừng hàm F Xét d 2F (x 0, y0 )  F ''xx dx  2F ''xy dxdy  F ''yy dy 103 (4.5.6) với dx, dy thỏa hệ sau dx  dy   g ' dx  g ' dy  y  x (4.5.7) Nếu:  d 2F (x 0, y0 )   M 0(x 0, y0 ) điểm cực đại có điều kiện  d 2F (x 0, y0 )   M 0(x 0, y0 ) điểm cực tiểu có điều kiện  d 2F (x 0, y0 ) không xác định đƣợc dấu  M 0(x 0, y0 ) không điểm cực trị có điều kiện  Phƣơng pháp tìm cực trị có điều kiện nhân tử Lagrange B1 Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y) B2 Tìm điểm dừng hàm F, giải hệ phƣơng trình F 'x   F 'y   M (x 0, y )  F '    B3 Tính vi phân cấp 2: d 2F (x 0, y0 )  F ''x dx  2F ''xy dxdy  F ''y dy với dx, dy thoã hệ sau dx  dy   g ' dx  g ' dy  x y  B4 Dùng định lý điều kiện đủ để xét cực trị có điều kiện f Ví dụ 28: Tìm cực trị hàm z  xy với điều kiện ràng buộc x y a a  0, x  0, y  0 Giải * Lập hàm số phụ Lagrange F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x  y  a ) y    F 'x  x  y  a     * Giải hệ phƣơng trình: F 'y   x     a F '      x  y  a      a a Hàm z có điểm tới hạn M  ;  2 2 * Ta có : F ''x  0; F ''xy  1; F ''y  a a  d 2F  ;   F ''xx dx  2F ''xy dxdy  F ''yy dy  2dxdy 2 2 104 với dx, dy thoả hệ sau Suy 2 2   dx  dy  dx  dy    g ' dx  g ' dy  dx  dy  y  x    d 2F  2dx  a2 a a Vậy M  ;  điểm cực đại cần tìm zCĐ  2 2 Ví dụ 29: Tìm cực trị hàm z  xy  với điều kiện ràng buộc g(x, y)  x  y   (C) Giải * Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  xy  (x  y  4) y  2x  F 'x     F '  * Giải hệ phƣơng trình :  y  x  2y   F '    x  y   Ta tìm đƣợc điểm tới hạn: M1( 2,  2); M2( 2, 2) M 3( 2, 2); M ( 2,  2) * Ta có: z(M )  z(M )  z(M1)  z(M2 )  2 * Vì z  xy liên tục tập đóng bị chặn (C), hàm đạt giá trị nhỏ giá trị lớn (C) z  2 M1( 2,  2); M2( 2, 2) zmax  M 3( 2, 2); M ( 2,  2) ? Tìm cực trị hàm số z  2x  y thỏa điều kiện : x  y  4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ Để tìm GTLN GTNN hàm số z  f (x, y) liên tục miền D đóng bị chặn mặt phẳng Ta tìm i) Các điểm dừng hàm thuộc phần D ii) Các điểm dừng biên D (Nếu biên D đƣờng cong có phƣơng trình g(x, y)  thay xét điểm biên, ta xét điểm cực trị với điều kiện g(x, y)  mút biên) iii) Tính giá trị hàm điểm vừa tìm đƣợc iv) So sánh giá trị vừa tìm  GTLN GTNN hàm f 105  Phƣơng pháp tìm GTLN – GTNN B1 Tìm điểm dừng miền D (cực trị địa phương) z x'   Giải hệ phƣơng trình :  ' zy  B2 Tìm điểm dừng biên D (cực trị có điều kiện)  Miền D bị giới hạn đoạn thẳng : sử dụng phương pháp  Miền D bị giới hạn đường cong : sử dụng phương pháp Lagrange (không kể đầu mút) B3 Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút B4 So sánh giá trị  GTLN – GTNN y Ví dụ 30: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số z  f (x, y)  x  y  xy  x  y miền D   (x, y) : x  0, y  0, x  y  3 A  O -3 x Giải  Ta tìm điểm dừng f (x, y ) miền tam giác: -3 Giải hệ phƣơng trình: z x'  2x  y      ' zy  2y  x     x  1  y  1   B (nhận)  M(-1,-1) điểm dừng  Ta tìm điểm nghi ngờ điểm dừng hàm f (x, y ) biên tam giác: * Trên biên AO: y  0,   x  z  f (x, 0)  x  x  g(x )  g '(x )  2x    x   1  N   ,  điểm dừng hàm f AO   * Trên biên OB: x  0, -  y  z  f (0, y)  y  y  h(x )  h '(x )  2y    y   1  P  0,   điểm dừng hàm f OB 2  * Trên biên AB: x  y  3  y  3  x, x  3,  z  f (x, 3  x )  3x  9x   k(x ) 106  k '(x )  6x    x   3 3 & y    Q   ,   điểm dừng 2  2 hàm f AB  Tính giá trị hàm điểm dừng vừa tìm điểm đầu mút 1 f (1, 1)  1 f   ,      1 f  0,     2  3 f   ,      2 f (0, 0)  f (3, 0)  f (0, 3)  So sánh giá trị trên, ta đƣợc: z max  z(3, 0)  z(0, 3)  z  z(1,1)  1   Ví dụ 31: Tìm GTLN – GTNN hàm z  x  y miền D  x  y  Giải  Ta tìm điểm dừng f (x, y ) miền D : y Giải hệ phƣơng trình:  z x'  2x     ' zy  2y  x  y   O -2  M0(0,0) điểm dừng miền D  z(M )   Ta tìm điểm dừng f (x, y ) biên D : Mọi điểm (x, y ) biên D phải thỏa phƣơng x  y   g(x, y)  x  y   * Lập hàm số phụ Lagrange: F (x, y, )  f (x, y)  g(x, y)  x  y  (x  y  4) * Giải hệ phƣơng trình 2x  2x  x  F 'x      F '    y   y    y  y  2 V F '        1 x  y   Suy biên D hàm số có điểm dừng: M1(0,2); M2(0, 2); M 3(2, 0); M 4(2, 0) * Ta có: x  2  (nhận) y     z(M )  z(M )  z(M1)  z(M2 )  4 107 trình x Vậy z  4 M1(0,2); M2(0, 2) zmax  M 3(2, 0); M 4(2, 0) (xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7) 108 BÀI TẬP CHƢƠNG Tìm miền xác định hàm sau x y2 c) z    a b xy a) z  x  y2 b) z  ln(1  xy) y 1 d) z  arctan    x  e) u  R2  x  y  z  x  y2  z  r 2 Tính giới hạn sau x 1 a) lim x 0 x  y b) lim x 1 y 0 y 1 d) lim x 0 y 0 x 2y   x  y2 x  xy ln(x  ey ) c) lim(1  xy ) x  y2 x 0 y 1 x y x  x  xy  y sin xy x 0 x e) lim f) lim y a y  Xét liên tục hàm số M 0(0, 0)  x 2y 2  2 ,x  y  a) f (x , y )   x  y b) f (x , y )  2 0 ,x  y   Tìm đạo hàm riêng hàm số sau 2x y a) z  x y  b) z  sin 3x y  d) z  ln x  x  y  e) z  arctan  x 2y  4 ,(x , y )  (0, 0)  x y 0 , (x, y )  (0, 0)  c) z  e2x y sin 6x x M (1,1) y f) z  x y (x  0) Chứng minh hàm số sau thỏa mãn phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc cho z z x  a) z  xey thỏa x y x y x y thỏa x z z y  x y c) u  x 2yz thỏa x u u u y z 0 x y z b) z  Tìm đạo hàm hàm hợp x a) z  u ln v với u  , v  3x  2y y 109 b) z  uv với u  x  ln(1  y ) , v  ey c) z  eu 2v với u  cosx , v  x  y Cho F (x, y, z )  x  4xz  y  Tính z z z z ; 1; 2  ; 1; 2  x y x y Tìm vi phân toàn phần hàm a) z  ln(x  y ) b) z  sin(x  y ) c) z  e 3x 2y xy z  4x  3x 2y  3xy  y d) Tìm đạo hàm cấp hàm a) z  ex y  cos x b) z  (x  y )2 c) z  y ln x c) z  sin x.sin y 10 Cho z  e2x sin y Tính d 2z d 2z (0;  ) 11 Dùng vi phân tính gần giá trị biểu thức sau a) A  4, 052  3, 072 b) B  (2, 01)3,03 c) C  sin  (0, 01)(1, 05)  ln(1, 05) 12 Tìm cực trị hàm số sau a) z  4(x  y)  x  y b) z  x  y  2x  4y  c) z  x  y  6xy  39x  18y  20 y2   d) z  x  4x y 13 Tìm cực trị hàm số sau a) z  f (x, y)  x 2y  9x  với điều kiện ràng buộc x  y   b) z  f (x, y)  x  y thỏa điều kiện x  y  3x  4y 14 Tìm GTLN GTNN hàm số a) z  f (x, y)  x  x  y hình chủ nhật  x  ,  y  x y b) z  f (x , y )   hình trịn x  y  15 Công ty Vissan sản xuất thịt hộp lạp xƣởng phục vụ Tết âm lịch 2009, cung cấp thông tin cho nhƣ sau : - Lạp xƣởng : Q1, giá thị trƣờng P1 = 80 ngàn đồng/1kg - Thịt hộp : Q2, giá thị trƣờng P2 = 50 ngànđồng/1kg Hàm chi phí cho sản phẩm là: C  4Q12  3Q1.Q2  5Q22 110 Nhà quản trị hỏi: Chọn tổ hợp sản xuất (Q1,Q2 ) nhƣ để Công ty Vissan đạt lợi nhuận tối đa? 16 Một doanh nghiệp tƣ nhân Anh Kỳ kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1  520  2P1 , QD2  240  P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C  Q12  2Q1Q2  10 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 17 Một xí nghiệp X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm dầu gội sữa tắm với giá bán thị trƣờng lần lƣợt là: P1  60 P2  75 (đơn vị là: 1000 đồng) chi phí sản xuất Q1, Q2 lƣợng hàng cho loại C Q1,Q2   Q12  Q1Q2  Q2 Hãy xác định sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp đạt đƣợc lợi nhuận cực đại 18 Một doanh nghiệp tƣ nhân X kinh doanh độc quyền loại sản phẩm A B thị trƣờng có hàm cầu lần lƣợt là: QD1  1200  2P1 , QD2  1440  P1  P2 hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp C  489Q1  720Q2  400 Tìm sản lƣợng Q1; Q2 để doang nghiêp thu đƣợc lợi nhuận tối đa 19 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm có thị trƣờng tiêu thụ tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm thị trƣờng lần lƣợt là: QD1  310  P1 , QD2  350  P2 hàm tổng chi phí C  20  30Q  Q (với Q  Q1  Q2 ) Tìm mức sản lƣợng giá bán tƣơng ứng thị trƣờng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa, tính lợi nhuận đó? 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) - Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Huỳnh (2006), Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3); Bài Tập Toán Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3), Nhà xuất giáo dục Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Lê Trọng Vinh – Dƣơng Thủy Vỹ (2006), Giáo Trình Tốn Học Cao Cấp (Tập 1, 2, 3) (Dùng cho Sinh viên trường Cao Đẳng), Nhà xuất giáo dục Trần Ngọc Liên (2006), Vi Tích Phân A1 – Trƣờng Đại Học Cần Thơ 112 ... (1, 2)  Mà f (1 ;2)  d f (1, 2) 2! x  2? ??y ? ?2 d f (1, 2)   x ? ?2    x y   y ? ?2 27   df (1 ;2)  f 'x (1 ;2) dx  f 'y (1 ;2) dy  Suy f (1  x,  y )   Chọn x  0, 02 1 8 ? ?2. ..  2? ??y    x ? ?2    x y   y ? ?2  2!  27    y  0, 03 Do A  (1, 02) 2  (1, 97)3   0, 02  2( 0, 03) 8 ? ?2     0, 02 ? ?2    x y   0, 03 ? ?2  !  27     2, ... sin x  3cos2x sin3 xdx d) L   cos x c) K   cos xdx Giải x 2dt  dx   t2 2dt 2dt  t2  Khi I   2t 1t 2t  8t  3 5 1t 1t dt 1 1  C  C  x (t  2) t ? ?2 tan  2 dt b) Đặt