Bài giảng Toán giải tích: Phần 1 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán giải tích cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017 (Lƣu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN GIẢI TÍCH (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN QUẢN TRỊ KINH DOANH) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2017 LỜI NÓI ĐẦU Đối tƣợng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Kế toán, Quản trị kinh doanh sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng nhƣ tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng: Gồm chƣơng Học phần Vi Tích Phân đƣợc chia làm chƣơng: Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Mục tiêu môn học Trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tƣ logic, phƣơng pháp định lƣợng kinh tế kỹ thuật Cụ thể  Cung cấp cho ngƣời học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Khái niệm đại lƣợng vô bé – vô lớn áp dụng vào khử dạng vô định tính giới hạn; tính chất hàm số liên tục  Trang bị kiến thức đạo hàm, vi phân hàm biến Ứng dụng đƣợc qui tắc L‟Hospital khử dạng vơ định tính giới hạn khảo sát hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm số Từ đó, vận dụng để giải số toán tối ƣu  Cung cấp kiến thức tích phân hàm biến phƣơng pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích vật thể  Trang bị cho sinh viên kiến thức phép tính vi phân hàm nhiều biến, làm sở cho việc nghiên cứu Toán học đại bậc Đại học mơn học khác có liên quan Tuy nhiên, giảng không khai thác sâu vấn đề lý thuyết mà mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý đƣợc phát biểu không chứng minh mà hƣớng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mơ hình hóa vấn đề thực tế thành toán Toán học Phƣơng pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt  Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết  Làm tập lớp : tiết  Tự học : 60 tiết MỤC LỤC Trang Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.2 Các phép toán hàm số 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ 1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn 1.1.3 Hàm số hợp hàm số ngƣợc 1.1.3.1 Hàm số hợp 1.1.3.2 Hàm số ngƣợc 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 10 1.1.4.1 Hàm lũy thừa y  x  ,   10 1.1.4.2 Hàm số mũ y  a x ,  a  11 1.1.4.3 Hàm số logarit y  loga x,  a  11 1.1.4.4 Các hàm số lƣợng giác 12 1.1.4.5 Các hàm lƣợng giác ngƣợc 12 1.2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1.2.1 Giới hạn dãy số 13 1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13 1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14 1.2.1.3 Các phép toán 15 1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy 16 1.2.2 Giới hạn hàm số 16 1.2.2.1 Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  ) 16 1.2.2.2 Giới hạn phía 17 1.2.2.3 Các giới hạn vô tận vô tận 18 1.2.2.4 Các tính chất giới hạn hàm số 18 1.2.2.5 Các phép toán 19  1.2.2.6 Các dạng vô định  ; ; 0.;     19 0   1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22 1.2.2.8 Đại lƣợng vô bé – đại lƣợng vô lớn 23 1.2.3 Tính liên tục hàm số 25 1.2.3.1 Định nghĩa 25 1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25 1.2.3.3 Hàm số liên tục đoạn – khoảng 26 1.2.3.4 Các phép toán hàm số liên tục 27 1.2.3.5 Tính chất hàm số liên tục 27 1.2.3.6 Ý nghĩa hình học hàm số liên tục 27 BÀI TẬP CHƢƠNG 28 Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 2.1 Đạo hàm hàm số 31 2.1.1 Đạo hàm 31 2.1.1.1 Định nghĩa 31 2.1.1.2 Đạo hàm phía 31 2.1.1.3 Mối liên hệ đạo hàm liên tục 32 2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32 2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho phƣơng trình tham số 33 2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33 2.1.2.1 Định nghĩa 33 2.1.2.2 Các phép toán 34 2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 34 2.1.2.4 Ý nghĩa đạo hàm (cấp cấp 2) 34 2.2 Vi phân hàm số 36 2.2.1 Vi phân 36 2.2.1.1 Định nghĩa 36 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36 2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36 2.2.2 Vi phân cấp cao 37 2.2.2.1 Định nghĩa 37 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 37 2.3 Các định lý phép tính vi phân 38 2.3.1 Đinh lý Rolle 38 2.3.2 Định lý Lagrange 38 2.3.3 Định lý Cauchy 38 2.3.4 Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) 39 2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 41 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41 2.3.5.2 Cực trị địa phƣơng hàm số 41 2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 43 2.3.5.4 Bài toán tối ƣu thực tế 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 48 Chƣơng PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50 3.1 Tích phân không xác định 51 3.1.1 Nguyên hàm tích phân không xác định 51 3.1.1.1 Định nghĩa 51 3.1.1.2 Định lý 51 3.1.1.3 Tính chất tích phân khơng xác định 51 3.1.2 Các phƣơng pháp tính 53 3.1.2.1 Phƣơng pháp phân tích 53 3.1.2.2 Phƣơng pháp đổi biến số 53 3.1.2.3 Phƣơng pháp tích phân phần 54 3.1.3 Tích phân số hàm thƣờng gặp 56 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 56 3.1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 59 3.1.3.3 Tích phân hàm số lƣợng giác 60 3.2 Tích phân xác định 62 3.2.1 Định nghĩa 63 3.2.2 Tính chất 63 3.2.3 Các định lý phép tính tích phân 64 3.2.4 Các phƣơng pháp tính tích phân xác định 64 3.2.5 Ứng dụng tích phân xác định 67 3.3 Tích phân suy rộng 72 3.3.1 Tích phân suy rộng loại (tích phân cận vô tận) 72 3.3.2 Tích phân suy rộng loại (hàm số dấu tích phân khơng bị chặn) 74 3.3.3 Một vài tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng 74 BÀI TẬP CHƢƠNG 78 Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80 4.1 Khái niệm hàm nhiều biến 81 4.1.1 Khái niệm không gian n 81 4.1.1.1 Định nghĩa 81 4.1.1.2 Các phép toán 81 4.1.2 Định nghĩa hàm hai biến 81 4.2 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 83 4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83 4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm biến (giới hạn kép giới hạn bội) 83 4.2.3 Tính chất (Tương tự hàm biến) 84 4.2.4 Tính liên tục hàm số 85 4.2.4.1 Định nghĩa 85 4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86 4.3 Đạo hàm hàm hai biến 86 4.3.1 Đạo hàm riêng 86 4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 86 4.3.1.2 Cách tính 87 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87 4.3.2.1 Định nghĩa 87 4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89 4.3.3 Đạo hàm hàm hợp 89 4.3.3.1 Định nghĩa 89 4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89 4.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 90 4.3.4.1 Định nghĩa 90 4.3.4.2 Định lý tồn hàm ẩn 90 4.3.4.3 Đạo hàm hàm ẩn 91 4.4 Vi phân hàm hai biến 93 4.4.1 Sự khả vi 93 4.4.1.1.Định nghĩa 93 4.4.1.2 Mối liên hệ liên tục khả vi 93 4.4.2 Vi phân toàn phần 94 4.4.2.1 Định nghĩa 94 4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94 4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần 94 4.4.3 Vi phân cấp cao 95 4.4.3.1 Định nghĩa 95 4.4.3.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 95 4.4.4 Công thức Taylor 96 4.5 Cực trị hàm hai biến 97 4.5.1 Cực trị địa phƣơng 97 4.5.1.1 Định nghĩa 97 4.5.1.2 Điều kiện cần cực trị 98 4.5.1.3 Điều kiện đủ cực trị 99 4.3.5.4 Ứng dụng vào toán Kinh tế biến 100 4.5.2 Cực trị có điều kiện 102 4.5.2.1 Định nghĩa 102 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 102 a) Phƣơng pháp 102 b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange 103 4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 105 BAI TẬP CHƢƠNG 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 Chƣơng HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ  Mục đích yêu cầu Chƣơng cung cấp cho ngƣời học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Các phép tốn tính giới hạn Khái niệm đại lƣợng vô bé – vô lớn áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất hàm số liên tục Sau học xong chƣơng này, Sinh viên cần đạt đƣợc: - Hệ thống hóa kiến thức giới hạn dãy số, hàm số, phép tốn việc thực tính giới hạn Hiểu vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải đƣợc giới thiệu dạng toán, vấn đề, áp dụng công thức giới hạn đặc biệt đƣợc giảng dạy - Hiểu vận dụng đƣợc phép tính đại lƣợng vơ bé (VCB), vô lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định tính giới hạn - Hiểu đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, tính chất hàm số liên tục đoạn a, b  - Làm đƣợc tập tƣơng tự  Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, tính chất đặc biệt hàm số, đồ thị hàm số sơ cấp Ôn lại kiến thức tính giới hạn, tính liên tục hàm số (lớp 11) 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X,Y  ; X,Y   , hàm số f qui luật cho ứng với giá trị biến x  X có giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x ) * Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau: f : X Y y  f (x ) x (1.1.1)  Biến x đƣợc gọi biến độc lập  y  f (x ) đƣợc gọi biến phụ thuộc  Tập D  x  | f (x ) có nghĩa} đƣợc gọi miền xác định hàm số    Tập Y  f (X )  f (x ) | x  X đƣợc gọi miền giá trị hàm số * Đồ thị hàm số y  f (x ) tập hợp điểm có tọa độ (x, f (x )) hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G  M (x, f (x )) : x  X  Ví dụ 1: Tìm miền xác định hàm số sau a) y  2x  Miền xác định: D  b) y  2x x 1 Miền xác định: D  x 3 c) y  Hàm số có nghĩa khi: 2x  Vậy miền xác định D   3;   \ 21  \ 1;1  x  3  x    2x      x     Chú ý: Hàm số y  f (x ) mô tả mối liên hệ hai đại lƣợng x y Ví dụ : * Xét chuyển động có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ thời gian chuyển động t(h) quãng đường s(km) chuyển động hàm số s  s(t )  60t * Khi nuôi bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian ni t(tuần) trọng lượng m(kg) bò hàm số m  m(t ) 1.1.1.2 Các phép toán hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có miền xác định D Khi đó, ta xác định hàm số sau : (f  g )(x )  f (x )  g(x ) , (x  D) i) (1.1.2) ii) (f g )(x )  f (x ).g(x ) , (x  D) (1.1.3) f (x ) f   g  (x )  g(x )   lần lƣợt gọi tổng, hiệu, tích, thƣơng f g iii) (g(x )  0, x  D) (1.1.4) 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) đƣợc gọi đơn điệu tăng (hay giảm) miền D với cặp số x1, x thuộc miền D từ x1  x2 suy f (x1)  f (x ) (hay f (x1)  f (x ) ) Nếu từ x1  x2 suy f (x1)  f (x ) (hay f (x1)  f (x ) ) ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) miền Ví dụ 3: Hàm y  f (x )  x tăng nghiêm ngặt khoảng  0;   Thật vậy, giả sử x1, x   0;   x1  x2 Xét f (x1)  f (x )  x12  x 22  (x1  x )(x1  x )  x1  x2 Suy f (x1)  f (x ) Vậy hàm số cho tăng nghiêm ngặt  0;    Q  Chú ý: Đồ thị hàm số đơn điệu tăng (giảm) lên (xuống) theo hƣớng từ trái qua phải y y O a b x O Đồ thị hàm số tăng a b Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định tập đối xứng D (x  D x  D ) Khi đó:  f đƣợc gọi chẵn với x  D , ta có: f (x )  f (x )  f đƣợc gọi lẻ với x  D , ta có: f (x )   f (x ) Ví dụ 4: x * Hàm số y  f (x )  cos x  x  x hàm số chẵn * Hàm số y  g(x )  x  x hàm số lẻ iii) Ý nghĩa chung: f '(x ) biểu thị tốc độ biến thiên hàm f x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp (ở u  u(x ) ) y 'x  y 'u u 'x f '(x ) (C )'  ' u   .u 1.u ' ' x    .x  1 ' ' 1     x2 x  (x  0) x  x '  1  u'   u2 u  u' u  u '  (x  0) (a x )'  a x ln a (a u )'  a u ln a.u ' (e x )'  e x (eu )'  eu u '  loga x   (ln x )'  x ' x ln a u ' u ln a  loga u   (ln u )'  u' u ' (sin x )'  cos x (sin u)'  cos u u ' (cos x )'   sin x (cos u)'   sin u.u '  tan x '  cos2 x  cot x '    tan u '  sin2 x (arcsin x )'  (arccos x )'   u ' cos2 u  cot u '   1-x (arcsin u)'  1-x u ' sin2 u (arccos u)'   35 1 - u2 u ' 1 - u2 u ' (arctan x )'  1  x2 (arc cot x )'   (arctan u)'  1  x2 u '  u2 (arc cot u)'   u '  u2 2.2 Vi phân hàm số 2.2.1 Vi phân 2.2.1.1 Định nghĩa y x 0 x Cho y  f (x ) khả vi x  (a, b) Khi đó, f '(x )  lim y  y  f '(x )x   lim   f '(x )   lim     x 0  x 0  x  x Hay y  f '(x ).x  O(x )  y  f '(x ).x  O(x ) , đó: O(x ) VCB bậc cao x x  Ta gọi f '(x ).x vi phân hàm số f Kí hiệu : df , dy  Chú ý: Đối với hàm số y  f (x )  x , ta có dy  dx  x nên biểu thức vi phân đƣợc viết dy  f '(x ).dx (2.2.1) 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân Cho hai hàm khả vi f , g,   R Ta có Ví dụ 7: i) d( f )  .df ii) d(f  g )  df  dg iii) d(f g )  g.df  f dg iv)  f  g.df  f dg (g(x )  0) d   g 2(x ) g  a) d(x  2x  1)  (3x  4x )dx  x (3x  4)dx b) d(sin2 x )  sin x cos xdx  sin 2xdx ? Tính a) d  x  3x   b) d(x sin 3x ) 2.2.1.3 Cơng thức tính xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) Giả sử hàm số y  f (x ) khả vi x Khi x gần 0, ta có: y  f '(x ).x hay f (x  x )  f (x )  f '(x ).x 36 (2.2.2) Ví dụ 8: Tính gần A  1, 02 Giải * Xét hàm số f (x )  x * Chọn x   x  0, 02 * Ta có: f (1)  f '(x )  33 x  f '(1)  Áp dụng cơng thức tính gần đúng, ta có f (x  x )  f (x )  f '(x ).x   0, 02  1, 0067 ?  Tính gần B  sin 460 2.2.2 Vi phân cấp cao 2.2.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số y  f (x ) khả vi khoảng (a, b) df  f '(x ).dx đƣợc gọi vi phân cấp Nếu df khả vi vi phân gọi vi phân cấp f (x ) Kí hiệu d f  d(df ) Tƣơng tự, vi phân d f gọi vi phân cấp f (x ) Kí hiệu d f  d(d f )  Tổng quát Nếu hàm số f (x ) khả vi đên cấp n điểm x  (a, b) vi phân cấp n f (x ) vi phân vi phân cấp (n-1) f (x ) Kí hiệu: d n f  d(d n 1f ) (2.2.3) 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao df  f '(x ).dx Ta có: d f  d(df )  d  f '(x )dx   f ''(x )dx dx  f ''(x ) dx 2 … d n f  d(d n 1f )  f (n ) dx n * Qui ƣớc : dx n  dx n Vậy d n f  f (n )(x )dx n (2.2.4) (trong f n  đạo hàm cấp n f (x ) , dx n lũy thừa thật sự) 37 Ví dụ 9: Cho y  x  Tính d 5y  ? Giải: Ta có: d 5y  d 5(x  1)  5! dx 2.3 Các định lý phép tính vi phân 2.3.1 Định lý Rolle Nếu f hàm số liên tục a;b  , khả vi a;b  f (a )  f (b) c  a;b  : f '(c)  (2.3.1) 2.3.2 Định lý Lagrange Nếu f hàm số liên tục a;b  , khả vi a;b  thì: c  a;b  : f '(c)  f (b)  f (a ) b a (2.3.2) 2.3.3 Định lý Cauchy Nếu hai hàm f , g g '(x )  0, x  (a;b) liên tục c  a;b  : a;b  , khả vi a;b  f '(c) f (b)  f (a )  g '(c) g(b)  g(a ) (2.3.3)  Nhận xét Định lý Lagrange trƣờng hợp đặc biệt định lý Cauchy g(x )  x Đinh lý Rolle trƣờng hợp đặc biệt định lý Lagrange f (a )  f (b) y f(b) f(a) O C B A a c b 38 x 2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) * Qui tắc 1: (khử dạng vô định ) Nếu f , g thỏa điều kiện sau * Qui tắc 2: (khử dạng vô định  )  Nếu f , g thỏa điều kiện sau i) f , g khả vi a;b  i) ii) f (x )  g(x )  ii) iii) g '(x )  0, x  a;b  f , g khả vi a;b  lim f (x )  lim g(x )   x x x x iv) g '(x )  0, x  a;b  f '(x )  L ( L hữu hạn iv) lim f '(x ) lim  L ( L hữu hạn v) x x g '(x ) x x g '(x ) vô hạn) vơ hạn) f (x )  L lim f (x )  L lim x x g(x ) x x g(x )  Chú ý * Nếu  lim x x f (x ) f '(x ) chƣa thể kết luận lim x x g(x ) g '(x ) * Có thể áp dụng qui tắc nhiều lần * Qui tắc 1, x   * Có thể dùng qui tắc để khử dạng vô định khác:   ; 0.; 0; 00;1 0 0 1   0.       1  1  1 v u      u v     ; 1 1  u v u v (hoặc nhân lượng liên hiệp hay qui đồng mẫu số) lim v(x ).ln u(x )  Các dạng mũ: áp dụng công thức lim u(x )v(x )  e x x0 (2.3.4) x x  Đặc biệt: Dạng 1 áp dụng công thức: lim u(x )1.v(x ) lim u(x )v(x )  e x x0 x x 39 (2.3.5) Ví dụ 10: Tính: x3 0 a) A  lim   x 0 x  sin x   b) B  lim x  ln x x 0   0  0.  L x3 3x L 6x  lim  lim 6 a) A  lim x 0 x  sin x x 0  cos x x 0 sin x Giải: b) B  lim x  ln x    x 0 ?      ln x  L    x  x  lim   lim  lim   x 0   x  1  x 0    x 0      x    x  a) lim  b) lim x ln x (0.)   (  ) x 0 x 1  x  ln x  x x e e  0 c) lim d) lim x x (00 )   x 0 x 0 0 x Tính:  Chú ý: Cơng thức L‟Hopital khơng phải lúc sử dụng đƣợc x  sin x  Ví dụ 11: Tính I  lim   x  2x  - Nếu dùng L‟hopital L  cos x x  sin x   lim (không tồn giới hạn) x  x  2x  I  lim Thật vậy:  cos x , chọn x n  x 'n  dần  n   cos x n   xn  2n    lim n  2 n   cos x n   xn  2n  1     lim n   cos x Suy lim f (xn )  lim f (x 'n ) Vậy  lim x  n  n  - Nhƣng kết luận nhƣ đƣợc vì: sin x 1 x   lim sin x    I  lim x  2 x  x 2 Đặt f (x )  40  2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu Định lý Cho hàm số y  f (x ) khả vi điểm thuộc a;b  Điều kiện cần đủ để f ( x) tăng (hay giảm) đoạn f '(x )  (hay f '(x )  0) , x  a;b  Giả sử y  f (x ) khả vi  a, b  liên tục a;b  Nếu f '(x )  (hay f '(x )  0) , x  a;b  f ( x) tăng (hay giảm) nghiêm ngặt a;b  2.3.5.2 Cực trị địa phƣơng hàm số a) Định nghĩa Giả sử hàm số y  f (x ) xác định (a, b), x0  (a, b) Hàm số f ( x) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương x tồn lân cận  x cho x  , ta có: f (x )  f (x ) (f (x )  f (x )) Khi f (x ) đƣợc gọi cực đại (cực tiểu) f Các điểm cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung cực trị (địa phương) hàm số b) Điều kiện cần cực trị  Định lý Fermat Nếu hàm số f ( x) xác định khoảng (a, b) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phƣơng x thuộc (a, b) tồn f '(x ) f '(x )   Định nghĩa: Cho hàm số y  f (x ) xác định khoảng (a, b) Điểm x  (a, b) đƣợc gọi điểm tới hạn f không tồn f '(x ) (điểm kỳ dị) f '(x )  c) Điều kiện đủ cực trị  Định lý 1: ( Xét dấu f (x ) ) Giả sử hàm số y  f (x ) liên tục lân cận điểm x , có đạo hàm lân cận (có thể trừ x ) Giả sử x điểm tới hạn hàm số  Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f (x ) đạt cực đại x  Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x t f (x ) đạt cực tiểu x  Nếu f '(x ) không đổi dấu x qua x thì f (x ) không đạt cực trị x  Định lý 2: Giả sử y  f (x ) có đạo hàm liên tục đến cấp lân cận điểm x f '(x )  , f ''(x )  Khi đó:  Nếu f ''(x )  f (x ) đạt cực tiểu x  Nếu f ''(x )  f (x ) đạt cực đại x 41 Ví dụ 12: Tìm cực trị hàm số sau a) y  f (x )  x  x b) y  f (x )  3 x  x  4x Giải a) * Tập xác định: D   1;1  2x * y'   x2  x   y   2x 2 y'   0 2  1x x    y   y  không xác định x  1 * Bảng xét dấu x  -1 y’ y 0 (CT)  Vậy hàm số đạt cực đại x  * Tập xác định: D  2 (CĐ)  2 & fCÑ  f     2 đạt cực tiểu x   b) 2  2 & fCT  f    2    * y '  x  3x   x  1  y  13  y '   x  3x      56 x   y   * y ''  2x   y ''(1)  5   Hàm số đạt cực đại x  1  y ''(4)    Hàm số đạt cực tiểu x  42   Định lý 3: (Tổng quát) Cho y  f (x ) có đạo hàm đến cấp n (a, b) chứa x thỏa f (x )   f (n 1)(x )  f (n )(x )   TH 1: n lẻ: Hàm số khơng có cực trị x  TH 2: n chẵn - Nếu f (n )(x )  hàm số đạt cực đại x - Nếu f (n )(x )  hàm số đạt cực tiểui x Ví dụ 13: Tìm cực trị (nếu có) f (x )  (x  1)4 Giải Ta có y  4( x  1)3  x  y  12( x  1)2  x  y  24( x  1)  x  y (4)  24  0, x Theo định lý hàm số cho đạt cực tiểu x  yCT  2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ a) Định nghĩa Cho hàm số y  f (x ) có tập xác định D X  D  Số M gọi giá trị lớn f (x ) X nếu: x  X : f (x )  M f (x )  M , x  X (2.3.6) Kí hiệu: M  max f (x ) x X  Số m gọi giá trị nhỏ f (x ) X nếu: x  X : f (x )  m f (x )  m, x  X Kí hiệu: m  f (x ) x X  Chú ý: Hàm số khơng đạt max X  D b) Phƣơng pháp tìm max, Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cách 2: Dùng bảng biến thiên Cách 3: Cách tìm GTLN GTNN hàm số y  f (x ) liên tục a;b  i) Tìm tất điểm tới hạn f khoảng a;b  ii) Tính giá trị hàm số điểm tới hạn f (a ) , f (b) 43 (2.3.7) iv) So sánh giá trị vừa tìm  fmax , fmin  Chú ý: Nếu đề chƣa cho đoạn a;b  ta phải tìm MXĐ hàm số trƣớc Ví dụ 14: Tìm GTLN GTNN hàm số: y  f (x )  x  6x  9x  1; 4 Giải * Hàm số liên tục  1; 4 * y '  3x  12x  x  y '   3x  12x     x  * f (1)  f (1)  16 f (3)  f (4)  Vậy ymax  x  x  ymin  16 x  1 ? Tìm GTLN GTNN hàm số 3 b) y  sin x  sin 2x 0;    a) y  x  5x  2.3.5.4 Bài toán tối ƣu thực tế Trong thực tế, ta thƣờng gặp tốn có nội dung liên quan đến lựa chọn giải pháp tốt (hay đƣợc gọi phƣơng án tối ƣu), điều kiện định Một mơ hình tốn học đơn giản tốn nhƣ việc „Tìm GTNN hay GTLN hàm số ‘  B1 : Xác định đại lƣợng biến thiên đặt tên chúng  B2 : Xác định mối liên hệ đại lƣợng theo giả thuyết  B3 : Xác định đại lƣợng cần khảo sát cực trị viết dƣới dạng hàm theo đại lƣợng biến thiên xét  B4 : Khảo sát hàm tìm đƣợc B3 để tìm cực trị, giá trị lớn hay nhỏ a Mơ hình Kinh tế đơn giản : Phân tích cung cầu QD  D(P ) i) Hàm cầu Trong : * P : Giá hàng hóa * QD : Số lƣợng cầu (lƣợng hàng hóa mà ngƣời mua lịng mua giá P)  Chú ý : Số lƣợng cầu hàng hóa với giá có quan hệ tỷ lệ nghịch nên hàm cầu hàm nghịch biến (tức có dấu trừ trƣớc biến số) 44 Ví dụ 15: QD  10P  200 hay P   QD  10 20  Đồ thị Đƣờng biểu diễn hàm cầu đƣờng cầu, đƣờng cầu có dạng dốc xuống phản ánh quy luật cầu : „Khi giá giảm lượng cầu tăng ngược lại’ Giá Đƣờng cầu P1 P2 Q1 Q QS  S (P ) Số lƣợng ii) Hàm cung cầu Biểu thị phụ thuộc lƣợng cung loại hàng hóa với giá hàng hóa Trong : * P : Giá hàng hóa * QS : Lƣợng cung (lƣợng hàng hóa mà ngƣời bán lòng bán giá P)  Chú ý : Trong thực tế cung cầu không phụ thuộc vào yếu tố giá Giá  Đồ thị: Đƣờng biểu diễn hàm cung đƣờng cung, đƣờng cung có dạng dốc lên Đƣờng cung phản ánh quy luật cung: „Khi giá tăng P1 lượng cung tăng ngược lại’ P2 iii) Giá cân thị trƣờng Giao điểm hai đƣờng cung – cầu đƣợc gọi điểm cân cung - cầu Tại điểm cân ta có giá P  PE QS  QD Khi ngƣời bán hết hàng ngƣời mua đủ hàng Q1 Q Số lƣợng cung  Nếu QS  QD hay cung > cầu  tƣợng dƣ thừa  Nếu QS  QD hay cung < cầu  tƣợng khan b Bài tốn tìm sản lƣợng để đạt lợi nhuận cực đại Một công ty kinh doanh độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu QD  D(P ) hàm chi phí C  C (Q) Hãy tìm sản lượng sản xuất Q đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận lớn  Phương pháp giải Để bán hết sản lƣợng công ty phải bán với đơn giá P cho số lƣợng cầu QD Q hay Q  D(P ) B1: Từ phƣơng trình xem P ẩn số, ta tính đƣợc P  P(Q) 45 B2: Suy : Hàm doanh thu : R  R(Q)  Q.P(Q) Hàm lợi nhuận : L  L(P )  R(Q)  C (Q) B3: Ta tìm Q0  hàm L đạt giá trị lớn Ví dụ 16: Một cơng ty kinh doanh độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu QD  D(P ) hàm chi phí C  C (Q) Hãy tìm sản lƣợng Q đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cực đại Biết hàm cầu QD  100  P Tổng chi phí C  C (Q)  Q  63Q  1200Q  250 Hãy xác định sản lƣợng Q để cơng ty có lợi nhuận cao Giải * Muốn bán hết sản lƣợng Q cơng ty phải bán với đơn giá P cho : Q  QD  100  P  P  100  Q R  Q.(100  Q) * Doanh thu : * Lợi nhuận : L  R(Q)  C (Q)  Q(100  Q)  (Q  63Q  1200Q  250)  L  Q  62Q  1300Q  250 L '  3Q  124Q  1300 * Đạo hàm L'  Q   Q L’ 26  Q  50 50  L -250 94750 (CĐ)  Vậy sản lƣợng Q  50 đơn vị thời gian cơng ty đạt lợi nhuận cao c Bài tốn tính thuế doanh thu Một công ty kinh doanh độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu QD  D(P ) hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  C (Q) Hãy xác định mức thuế t  sản phẩm để doanh thu công ty đạt lợi nhuận tối đa thuế thu từ cơng ty lớn  Phương pháp giải : Giả sử mức thuế sản phẩm t  Khi cơng ty phải bán với giá P: Q  D(P ) B1: Từ Q  D(P ) ta tính đƣợc P hàm theo Q : P  P(Q) B2: Doanh thu công ty : R  Q.P(Q) B3: Thuế phải nộp là: T  t.Q 46 B4: Lợi nhuận công ty : L  R(Q)  C (Q)  tQ B5: Tìm Q0 (t ) cho Q0 (t ) ta có L đạt giá trị lớn Khi : T  t.Q0 (t ) B6: Để quan thuế thu đƣợc nhiều thuế doanh thu công ty ta cần định mức thuế t  cho T đạt cực đại Ví dụ 17: QD  2000  P chi phí C  C (Q)  Q  1000Q  150 Giải * Để bán hết sản phẩm cơng ty phải bán với đơn giá P cho số lƣợng cầu QD  Q Q  2000  P  P  2000  Q * Nghĩa : * Doanh thu : R  Q.(2000  Q) * Thuế : T  t.Q * Lợi nhuận : L  R(Q)  C (Q)  t.Q  2Q  (1000  t )Q  150 * Đạo hàm : L '  4Q  1000  t L '   4Q  1000  t  Q0(t )  (1000  t )/ (1000  t ) Q L’  (CĐ) L -150 Vậy L đạt giá trị lớn Q0 (t )  (1000  t ).t 1000  2t  T '(t )  4 1000  2t  T '(t )     t  500  500 * Khi thuế thu đƣợc : T (t )  t.Q0 (t )  t T’ 0 T 625000 (CĐ)  Suy : T đạt cực đại t  500 Khi cơng ty sản xuất với sản lƣợng : Q0 (t )  125 sản phẩm (xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7) 47 BÀI TẬP CHƢƠNG Tính đạo hàm hàm số sau x  a) y     x  1 d) y  5x 3x  g) y  ln(x  2x ) 1  3x b) y  2x 2  x c) y  e) y  3x  f) y  ex cos 3x h) y  (x  2)2 x  (x  5)3 i) y  (sin x )tan x Tính đạo hàm hàm số theo cấp a) y  e x Tính y  c) y  b) y  x sin 2x Tính y (n ) Tính y (n ) x (1  x ) d) y  x 2eax Tính y (20) (0) Dùng vi phân tính gần số a) A  sin 290 c) C  b) B  arctan1, 05 15, d) 2, 0372  2, 0372  Dùng qui tắc L‟Hospital tính giới hạn sau tan x  x `a) lim x 0 x  sin x x   ln x x 1 ex  e d) lim x cot x  x 0 x2 x  j) lim   sin  x   x g) lim tan arc sin x b) lim x 0 arctan x c) lim x 0 f) lim 1 x  41x x 0  x   x i) lim h) lim x 1 x k) lim  arctan x  x     ln(1  x ) e 3x  3x  x 0 sin2 5x sin x  sin 2x x x 0 2e   2x  x e) lim  2 x  2x   e x 1 x  ln x  l) lim  tan x tan 2x x Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu chuyến xe có x hành x khách giá cho hành khách    (đồng) Hãy tính số hành khách 40   chuyến xe để chuyến xe thu đƣợc nhiều tiền 48  x2  Một nhà máy sản xuất x sản phẩm ngày với chi phí   35x  25    x (đồng) giá bán sản phẩm  50   (đồng) 2  a) Nhà máy nên sản xuất sản phẩm ngày để lợi nhuận cao nhất? b) Chứng minh chi phí cho sản phẩm theo phƣơng án nhỏ nhất? Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu P  130 hàm chi phí C  Q  Q  10Q  20 Hãy tìm sản lƣợng Q đơn vị thời gian để doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao tính lợi nhuận Một cơng ty kinh doanh độc quyền loại sữa có hàm cầu QD  4800  P hàm chi phí C  Q  4000Q  225 Hãy tìm sản lƣợng Q đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao tính lợi nhuận Một công ty kinh doanh độc quyền loại nƣớc có hàm cầu QD  380  P hàm chi phí C   Q  Q  60Q  20 Hãy tìm sản lƣợng Q giá bán P đơn vị thời gian để công ty đạt lợi nhuận cao tính lợi nhuận 10 Một doanh nghiệp kinh doanh độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu QD  800  P hàm chi phí C  Q2  200Q  100 a) Nếu biết mức thuế doanh thu định đơn vị sản phẩm t DN ấn định sản lƣợng nhƣ để lợi nhuận sau thuế lớn nhất? b) Khi DN đạt lợi nhuận sau thuế lớn nhất, tìm mức thuế doanh thu t áp đợn vị sản phẩm để tổng thuế thu đƣợc từ DN lớn nhất? c) Nhu cầu XH cần có tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm DN Vậy mức thuế doanh thu đƣợc áp tối đa bao nhiêu? 49 ... SỐ 1. 1 Hàm số 1. 1 .1 Hàm số phép toán hàm số 1. 1 .1. 1 Định nghĩa 1. 1 .1. 2 Các phép toán hàm số 1. 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1. 1.2 .1 Hàm... 10 1. 1.4 .1 Hàm lũy thừa y  x  ,   10 1. 1.4.2 Hàm số mũ y  a x ,  a  11 1. 1.4.3 Hàm số logarit y  loga x,  a  11 1. 1.4.4 Các hàm số lƣợng giác 12 1. 1.4.5... 12 1. 2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1. 2 .1 Giới hạn dãy số 13 1. 2 .1. 1 Định nghĩa dãy số 13 1. 2 .1. 2 Giới hạn dãy số 14 1. 2 .1. 3 Các phép toán