Đang tải... (xem toàn văn)
Cuốn sách Tuyển tập bài giảng môn Giải tích được biên soạn nhằm trang bị cho người đọc một tài liệu tương đối ngắn gọn về những kiến thức cơ bản nhất của giải tích; cách trình bày hiện đại, mạch lạc và chính xác; giúp người đọc có thể nhanh chóng nắm bắt được những ý tường chính và những kết quả quan trọng của giải tích. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 ngay sau đây.
THƯ VIỆN DẠI HỌC NHA TRANG NGUYỄN DUY TIẾN M 515 Ng 527 T T.1 B À IG É G GIẢITÍCH TẬPI ﱇﺀﺝ ، ﺹй ﺓﱆ٠ ﺀ٧ﺀﱆ ءЛиг ٢ 4٠ لجهء ج م ش ع ع م ق ع ه XìuDiiilịug: ٠ Khơng xé sách ٠ Khơng gạch, v؛vẽ !ẽn sách ,ê١ n - ® G NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUOc e iA HÀ NỘI NGUYỄN DUY TIẾN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH Tậpl (In lần thứ 2) >( / ÌR ijm i6 ^ í H D c m M E I - ^ Ị ~ hìaÉTi *m 1/T>ff ·* “ r m iĩ V Ệ ỵ ^PI* »I III^ I Mi ^·m m :] '■> NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI M UC LUC L M iioi d a u V V a i 16.1 v e iioi d u n g b a i giAng vii BAiig k y h ie u xiii C h u m ig SO T H U C 1.1 Cac tien ciia so tlnrc 01 1.2 Ho quk 05 1.3 Nguyoii ly cac doaii long nlian cua Cantor 09 1.4 Mien in a long cua so tlnrc 10 1.5 G iai ban cua clay so Day so Caucliy 11 1.6 Day so d a n d i e u 14 1.7 Mot so v an kbac 17 C h u a n g K H O N G G IA N M E T R I C 2.1 Dinb ngbia va vi du 26 2.2 T ap com pact 36 2.3 M ot so kbai nioni k b a c 40 2.4 Sự hội tụ tiong kliòiig gian metric 47 2.5 Khóng gian inctiĩc ã\\ 51 2.6 Com pact dãy tập hoàn toàn bị chặn 54 2.7 Tính tríi m ật không gian khả ly 59 2.8 Không gian liên thông 61 2.9 Các ví dụ quan trọng 65 2.10 Ánh xạ co v ng ٦iyẽn lý diem b ấ t dộng 67 C h n g G IỚ I H Ạ N V À L IÊ N T Ụ C 3.1 Giới hạn hàm (ánh xạ) 69 3.2 Hàm liên tục 79 3.3 Hàm liên tụ c tậ p c o m p a c t 82 3.4 Định lý giá trị trung gian 3.5 Các tn rờ n g hợp dặc biột 91 C h n g V I P H Â N H À M M Ộ T B I Ể N 4.1 Đạo hàm hàm Hố m ột biến 409 4.2 Các dịuh lý dạo hàm (trên doạu đóng liíru hạn) 114 4.3 Quy tắc L’Hospital 120 4.4 Công thức T a y lo r 122 4.5 Vi phân 132 111 4.6 H àm lồi liàm lõiíi 134 C h n g ٠ T ÍC H P H Â N R IE M A N N -S T IE L T J E S 5.1 Dịiili Iiglìĩa SIT tồn tícli pliân Ricmaiin-Stielt.؛cs 140 5.2 Lớp Làm kliầ tícL 147 5.3 Các tínL cLẩt ciia tícli pLân R-S 150 5.4 Các plinơng plìáp tínli tícL pliân )158 5.5 Các định lý giá ti ị tin n g blnli 162 C h n g C H U Ỗ I só V À T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G P h ầ n I: CHUỖI s ó 6.1 Các địiih nghĩa 167 6.2 Clmỗi dirơng 169 6.3 Clmỗi đan dấn 181 6.4 Chuỗi hội tụ tuvột d ố i 183 6.5 Chuỗi bán hội tụ 185 P h ầ n II: T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G 6.6 Tích phân suy rộng loại I 188 6.7 Tícli pliân suy rộng loại II 190 6.8 Tieu chuẩn hội t^i 194 6.9 M ột sổ tien cliuẩn kliác - ٠ 196 6.10 Tícli pliâii Eulor: Hàm gannua ( r ) hàm b e ta {B) 199 IV C h n g D Ã Y H À M V À C H U Ỗ I H À M 7.1 Hội tụ điểm 205 7.2 Hội tụ 208 7.3 Hội tụ tín h liên tụ c 214 7.4 Hội tụ tích phân 219 220 7.5 Hội tụ đ ều vi phân 7.6 Tính liên tụ c đồng b ậ c 224 7.7 Chuỗi lũy th a 229 7.8 Chuỗi Fourier C h n g T ÍC H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M 240 số 8.1 Trường hợp tích phân khơng suy rộng 261 8.2 T iường hợp tích phân suy r ộ n g 268 8.3 Tính m ột số tích phân quan trọng 276 B àng đao hàm 286 B ả n g n g u y ê n h m c b ả n 287 C hỉ d ẫ n 291 T ài liêu th a m k h ảo 303 LỜI NÓ I ĐẦU Cuốn sácli nội dung giảng VC Giải Tícli tơi biên soạn cho sinh viơn Toán-Lý năin th ứ n h ất ‘Lớp Đào Tạo Ciỉ* Nhân Khoa Học T ài Năng” , Đại Học Khoa Học T ự Nhicn, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, năin học 1997 - 1998, 1998 - 1999 1999 - 2000 Vì thố, có lẽ sá c h n y n ê n d ù n g m b i g iả n g c h o n h ữ n g s in h v iê n T o n " L ý k h giỏi h o ă c d ù n g m tà i liê u t h a m k h ả o ch o s in h v iê n T o n - L ý n ó i ch u n g Khi viốt sách nhằm mục đích sau đây: Trang bị cho ngiTỜi đọc tài liệu txrơng dối ngắn gọn kiến tlhrc giải tích Cách trìn h bày đại, mạch lạc xác Giup Iigxrời dọc có thổ nhanh chóng nắm b ắ t dxĩợc ý tường nhửng kct qủa quan trọng giải tích Nlnr là, tơi có th am vọng viết B i g iả n g g iả i tíc h có n i d u n g c b ả n , h iê n đ a i, tố c đ ô Với ý dịiih chọn sách sau làm liộu tham khảo chính: [1] W' Rudin, Principles of M athem atical Analysis (1976, tiếng Anh) [2] G M Fictengolz, A Cotu.se in Differentiation and Integration (1969, tiếng Nga, tậ p 1, 2, 3) [3] G E Shilop, M athem atical Analysis (1969, tiếng Nga) [4] X Gourdon, Analyse (1994, tiếng Pháp) [5] J Burgos, Calctilo Infinitesmal (1991, tiếng T ây Ban Nha) Tòi nhiều bạn cho rằn g [2] “Kinh T hánh” giải tích Tuy nhiên, trọn ba tậ p [2] dày (trên 2.000 trang) Vì tơi chọn nhĩrng phần (theo tịi) hay n h ất [2] nhir ; hội tụ dều, tích phân phụ llittộc th am số de dtra vào giảng Tơi rấ t thích cách viết [1], 3] [4] Nhiều kết giải tích có giảng dirợc tiìn h bày VI theo quail điểm ciia [1] ١ [3] [4] như: xây dựng số th ự c theo tien đề; giơi Liạn liên tục đirợc nghiên cứu không gian metric; tích phân cịnh nghĩa theo Riemaim-Stieltjes M ột số tập chọn iọc từ [5] Ngoàj r a ١ đ ã th am khảo m ột số sách b ằn g tiến g Việt (xem p h ần tà i liệu th âm kliảo cuối sách) Ngày đ ã có phần m ềm trợ giúp sinh viên tín h tốn máy tín h rấ t có hiệu qủa Tơi nghĩ rằn g c ầ n h n g d ẫ n s in h v iê n th c h n h t r ê n m y theo tài liệu rấ t có ích sau: [6] Andrổ Heck, Introduction to M aple (1996, tiến g Anh) Vì thế, tr o n g b i g iầ n g n y k h ô n g c ó n h iề u p h ầ n lỉê n q u a n d ế n ti n h t o n ؛n h v ẽ đ th ỉ, t i n h n g u y ê n h m - d ỉê n tíc h , t h ể tíc h v â n v â n T ro n g k h i d ó , b i g ỉầ n g dOi h ỏ i n g i d o c p h ầ i n ắ m v ữ n g lý th u y ế t , m n h ỉề u b i t â p lý t h u y ế t Tôi xin cliân tliàiili cám ơn b an lẵnli dạo Dại Học Quổc Gia, Dại Học Klioa Học Ti.r Nliiên d ẵ m ؛؛Lớp Dào Tạo CiV Nliân Klioa Học T ài Nầng” , nliờ dó tơi có điều kiện biên soạn v till ؛nghiộm giàng mliih Nliibu siiili viên ci١a ؛؛Lớp Dào T ạo cử Nliâii K lioa Học T ài N ăiiế’ dã dọc sửa bần th giằng Dặc blột Hà M inh Lam, Vũ Anln Tĩiấii, Nguyễn Cẩiili Hào, Dào Till Tliu Hà, Nguyỗii Ln.ru Sơn, Nguyễn Aiili Hoa, Đặng Anln Tuấn Nguyễn Trung Tnl d ã hi ؛u cliỉinli nliibu sai sót ti.ong b ần tliầo dầu tỉỄii Xin cám ơn Iihibu TOi clnâi'1 tliàuln cám ơn TS T rần ĐiTC Long, PGS TSKH Nguyễn Văn Minh, PGS TSKH Pliạm Kỳ Anh, PGS TS Nguyễn ThUy Tlianln TS Nguyễn Quang H òa TS Trần Văn Ti.ản d ã dọc kỹ b àn tliầo, sn ؛a nliíou lỗi cliíiih tả clio nliibu ý kỉỗii quý báu để giẳiig diĩỢC liồn clnỉuln Inơn Các GS Hà Huy Kliối, Ngô V iệt T u n g , Nguỵễn H ữu V iệt Hnriig d ã clno tô ؛một, sổ tnr liệu quý 1 ﺍﺍﺓﺫquan d ến lịcli snV tốn Xiu chân tliàiiln cám ơn Tơi cám ơn Nlià X uất Bần Dại Học Quốc G ia H Nội d ã lioàn tliiộin tliả.o để sácli sớm dgn ta y b ạn dọc T ô ؛d ã giànli iihiCu thời g؛an, Iihibu snrc In.rc kièn Iiliẫn (kổ tir dánli m áv Тех) đổ viết giảng Song tôỉ liigu rằn g cuổii sácln cịn có nliibu vấn đề cần tranli luậụ, nlnibu tliiểu sót R ấ t Iinong bạn dọc khuvCn bầo, clil dẫn góp ý V li V i lờ i v ề n ô i d u n g b i g iả n g G iả i tíc h t o n h o c gì? G iải tích to án học (M athem atical Analysis), cịn có tơn phổp tín h đại lượng vơ bổ vơ cìiiig lớn (Calculus of Infinitely Small and Large Q uantities) phép tính vi tích phân (Calculus of Differentiation and Integiation, gọi tắ t Calculus), đời vào nửa cuối kỳ 17 Culculưs ngành to án nghiên ciru chuyển động sir thay đổi vật chất Nơi có chuyển động tăn g triTỜng th ì nơi có the dìing Calculus Phép tính vi p h ân cho phổp ta xác định m ặt phằng tiếp xiíc với m ặt cong, tín h tốc độ gia tốc vật chuyên động vân vân Phóp tính tích phân cho phép ta tín h diộn tích m ặt, tìm quỹ đạo chuyên dộng v ật the theo tốc độ v vân vân Có rấ t nhiều học giả xuất chúng th a m gia xây dựng lĩnh virc toán học Đầu ticn phải kể tớ i Sir Isaac N e w to n (1642-1727, ngirời Anh), Baron G ottfried W ilhehn L e ib n iz (1646-1716, người Đức) Trước Newton Leib niz cần phải nhắc dến nhà thiên văn Johannes K e p le r (1571-1630, ngirời Đức) giành 20 năm đe khám p h b a định luật chuyên động hành tinh: M ỗ i h n h tin li c h u y ể n đ ô n g th e o m ô t e llip se có m t tiê u đ iể m m ă t tr i B n k ín h v e c to r t m ă t t r i tớ i h n h t i n h q u é t n h ữ n g d iê n tíc h n h n h a u tr o n g n h ữ n g k h o ả n g t h i g ia n n h n h a u B ìn h p h n g c h u k ỳ q u a y c ủ a h n h t i n h q u a n h m ă t t r i tỷ lê v i lũ y t h a b a c ủ a n a t r u c lớ n , t ứ c , n ế u T c h iề u d i q u ã n g đ n g h n h t i n h đ i đ c t r o n g m ô t n ă m v a n a t r u c lớ n c ủ a e llip s e t n g ứ n g t h ì có g ía t r i k h ô n g đ ổ i đ ố i v i m o i h n h t i n h tr o n g h ê m ă t tr i B ằng Calculus ta có tlic n it b a điiiL· luật trôii từ địiili luật cL·uvcu vni động Newton, nlnrng đ công việc “buổi cliiồu” V ậy là, Kepler nliờ quan sát th ự c nghiộni đ ã mô t hộ m ặt trờ i hoạt động th e nào, san Newton Leibniz dùng Calculus giải thích lại nhir th ế Theo tơi đícu clnrng tỏ v ật lý, học, th icn văn ” cội nguồn” giải tích Nhícu ng ٦rời cho rằng, Archimedes (287-212 trư c cơng ngun, ngirờì Secily) nhà to án học vĩ đại n h ấ t th ế giới tác giả Calculus, ơng đ ã tìiu plnrơng pháp tín h diện tích hình có dạng p arab o la v the tích ciỉa hình nón, parabola trị n xoay vân vân Năm 1821 Augustin Louis C a u c h y (1789-1857, người P háp) công bố sách tiếng “Giải■ tích” , tro n g ơng trìn h bày giải tích dvra tren lý thuyết chặt chẽ giới hạn Ong định nghĩa giới hạn tlico ngôn ngữ e, ỗ Cách định nghĩa đ ã tr th àn h chuẩn mực t ấ t sách giáo khoa giải tích Các tư tiTỞng C auchy cịn rực sáng tớ i ngày Cauchv d ã cơng bố 750 cơng trìn h vồ toán Nếu năm Cauchy viết 12 bài, th ì ơng phải viết suốt 63 năm liền, th ế nlnrng ông th ọ 68 tuổi! Karl Theodor Willielm W e ie r s tr a s s (1815-1897, ngirời Đirc) dỉmg ngơn ngíĩ 6,6 để định nghĩa giới h ạn có nhiều đóng góp vơ to lớn cho giải tích Hầu h ết cơng trìn h ơng giới to án học biết đến sau ông đ ã qua đời Không th ể không nhắc tớ i cống hiến to lơn B en ih ard B o lz a n o (1781-1848, người Tiộp, nhiều n ăm làm việc Áo) với cơng trìn h ” Nghiên CiTu Hàm Số ” ơng viết năm 1830 ị P raha, 100 năm sau th ế giơi m ới biết đến T hực ra, có m ột số kết quan trọ n g dirợc Bolzano tìm tn rớ c Ca\ichv W eierstrass S it p h át triển giải tích (cổ diển) cịn gắn líồn với tên tu ổ i nhiều nhà toán học kiột x u ất th ế kỷ 17, 18, 19 v dầu kỷ 20 Iihir : Renỗ D e s c a r te s (1596-1650, người P háp), Pierre De F e r m a t (1601-1665, người P háp), Lsaac B a r r o w (1630-1677, người Anh), Michel R o lle (1652-1719, ngiTỜi P háp), Jacob B e rn o u lli (1654-1705 ٦ người T hụy Sĩ ), Johann B e rn o u lli (1667-1748, người T hụy Sĩ ), Brook T a y lo r (1685-1731, người Anh), Leonhard E u le r (1707-1783, người T hụy sĩ, nliiồu n ăm làm việc Nga), 124 Định lý Lagi.aiige cho ta r (.r ) = r ( r ) - r(x o ) = r'(r-)(.r - To) ١ tro n g c n ằm To v X Do r'(c ) o{c - To ) '٤ = (.T - Xo)٢" S n y r(.x) = o (t - Xo) n+l Vậy, t a đ ã chứng m inh đirợc c ô n g t h ứ c (h a y k h a i t r i ể n ) T a y lo r v i p h ầ n d P e a n o sau : Giả SĨC f : [a,b] —^ M , /^^٤ ^^(.x) liên tục [a, ٥], tồn / '"؛١(xo) hạn vớ i xq E [a, ٥] K hi đó, /(·^) = Ẻ k=0 - •^٥ ) ' + ٥ (·^ - •١^٥ )"■ V ới xq = ta có cơng thức (hay khai triền ) Maclaurin: /(.-)= Ẽ fc=o C h ú ý Nếu P {x ) đ a tluTc bậc n (tức tổ họfp tuycn tính r٥,.r^١ ,.r” ), ta có thổ biổu diỗn F(.x) dạng tổ hợp tuyến tính c\ỉa (.T - To)٥ , {x - Xo), ···, (·■r - ·To)” , cụ thổ là: ٤ í = ( P ( x ( ^ ؛ ؛, x - , x ) ، G iả sử / : [rt, 6] ^ M , / \ ^ ·”؛x ) liêu tụ c t m i [o, 0], tồn tạ i / ، ”^■'0 ' )؛ liạii vói xq € [o, 6] Nếu t a inuốii x ấp xì / b ằn g đ a tlnrc Qn có dạng Q n (x) = ao + n.i(x - Xo) -i - + a.n(x - Xo)”' clio sai sổ tXxc l / ( r ) “ Q / |( r ) bó bậc cao liơii v ố c ím g x o ) n klii X ٠ ٠ X o, ١ / ( T ) - Ọ ( T ) = ĩ Iiì ọ - o ( r - r o ) " pliải đ a tli،Tc Ta ٢ loi 1101 tiCii T liật vậy, ta có X o) + a (x - ao + a i( x - = ١ , //( - T o) ( 1! ﺍﱈ /( T o ) + l t - x o )2 + ٠ ٠ * + « ? ,,( x - X o )" ' + o ( x “ xq )"' ١ ( ﺭ ﺭ ﺍ٠ ﺃ0 ) ﰒ- ١2 ﺍ ( t - X o )^ + 2! X o) + fb ١'١(xr\\ + [ ? l( x - x o ) n + o ( x - x o ) n M ii clio X : ta đirợc ao ﺕ/(x o ) Sail kill đơii giầii v cliia liai vế đằiig X.O, tlilíc tiCii clio X — Xo 0.1 + ag C -r - t a có ■ To) + ■ ■ ■ + a „ ,( T / ' ( ﻝ٠ ) ( | ﺏ 2! 1! - ٩ ) ” o (x - + ١?—ﻉ1 ·T o ) ﺕ ﺀ ﻝ٠ ﺑ ﺎ , ﺍ, ﺏ/ ﴄ ؛٠ ) ( ﻝ _ ﺀ ﺍ٠ „ﻝ- ﻝ + ơ(.T-:To) nì 71—1 Do a,i : ٦ ٢ ٠ B ằiig cácli Iiliir tli í t a điTợc ã k iỄ p - i k = ,h , ,n K ct qiia Iiàv tliirOiig điTợc gọi tíiili iliiy Iiliất cila kliai tỉiổ ii Tayloi Nliờ t,a có tliC tlíiiig cOiig tliiTc Tayloi đổ tíiili đạo liàiĩi Ci.1 tliế : G iả sử f : [ab] ﺏR ١ /("'-i)(.x ) liCii t.i.ic tiCii [a, 6], tbii /(")(X o) liĩrii b ại ٤ với ro [ ﺝa,b] iiCii bằiig cácli ta có / ( t ) : ao + a i(x - Xo) + ٠ ٠ ٠ -b a.„.{x - xo )۶٤ + 0(T - Xo)"' till :h :\a k , , ,2 ﻯ ﺍ ﺓ, C ần đ ă c b iê t c h ú ý lằng: (!) Ncu / ( t ) = a.o + a i ( x “ X o) + o (x - X o) 126 th ì / khả vi tạ i Xo /(xo ) ơo, / ( r o ) == o ị (ii) Tuy uhiên từ điều kiệu /(x ) = ao + a i ( x - X o ) + ơ'2 ( ٠.r - X o )^ + o ( x - x o )^ khơng th e ،suy / có đ ạo h àm cấp hai tạ i xq v í dụ sau chứng m inh điều đó: /(x ) —1 + X + X ؛؛+ x ^ ( x ) , tro n g D {x) h àm D irichlet, tirc là, với X híru tỷ với X vơ tỷ D {x) = H àm / khả vi tạ i 0, uhm ig khơng có đạo hàm cấp hai tạ i K hai triổn Taylor có tín h ch ấ t đ ịa phương theo nghĩa, cho ta xấp xỉ giá trị h àm / tro n g lân cận bổ đicm x u ất p h át Xo, tạ i ta có th ể tín h đư ợc giá trị / y đạo hàm Nhir đ ã nỏi trịn, việc tìm cách khống chế đươc sai số m ột vấn đồ không th ể bồ qu a tro n g giải tích số P h ần d iT dạng Peano r ấ t chung chung th eo nghĩa khơng th ể dùng đe khống che sai số K ết qủa đ ây IIIÔ tả cụ th ể dạng p h ần d iT v cho phép ta khống chế sai số, tliố h ết sức quan trọng 4 Đ in h lý T a y lo r (hay khai S ĩỉ tr ic n f : [a,ò] —^ M khả vi liêvl-tĩic tớ i cấp Taylor 77, vớ i p hần diT Lagiange.) Giả [a, 6], tần (a, ị) K h i đó, ta có khai tinền (hoặc cơng thức) Taylor sau: n /(· ٠ = )؟؛X ؛ fc=o + ,(r { x r{x) = {x - T o) {n + 1)! hữu hạn 127 doi vai r ١:٢٥ [ جa, b] va (' ; قsd nam g iu a ؛٢ va ٠٢٥ Chiing m inh Non 77 : tlii kot qiià trcii d ay siiy l a tir dilili ly La^.aiig^ Troiig tnrofiig liap toiig qiiat, ta CO dilili T g ؟i M sd xac dliili bdi liỗ tlnrc sa^i: / ( r ) = F ( x ) + (4.1) M ( T - ,T o ) ’'+ i tl'OlAg dO P {x) = P(-x ١/ ) = ﺥ ﻉ:= (4.2) - x٥ ) ٩ ﺍﺉ Dât qVt١ = fl.t ^ P V + ١ - M i t - x o Y ٠u v o , < t < b V (4.3) Ta càii cli٢Tiig Iiiiiili rang (77 + l) \M = / ( )ﺕﺀ( ﻟﻠﺒﻴ ﺐvOi c Iiào dơ liàiii gi٢ỵa v ٣٥١ (4.)ﻝﺀ Tir ( )ﱄv ( )ﱄta cO g { n + l){ f) : / ( ٣)ي () ا ﺑ ﺎ - (n بl)!M { a < t< b ) Clni y ran g P،")(.T o) :/، " ) ( T ; o) V A ::0 > l, ,n S ١1٠V la n g[k){xo) = f{k){xo) - p(*4(.To) = VAt = ١, Do ( ﺩ ta cO (1 g {x ) = /( t ) - P(.t ) - A ỵ {x - To)”iX = V â \ ٠١ tlico dliili l.v Rollc ta cO : (ﻭ.7: ﺕ ) ﻩ0 ( ﻭ ؛٣ ) : ﺏ (' ﻭ0 ﺕ ) ﺍ0 vdi Cl liào dO Iiaiii giira ٣ v ٣ ٥ ^(ﺭ.٣ = ) ﻩg /{ci ; 0) = ﺀ( " ﻭ ﺩ٠'٠2 Iiào dO Iiaiii gifra) ) = vOi ٣ ٥ v Cl .؟//(٣ ٥ ) : ؛("؟ ؛: = ) ﺓ0 ^ ؟ ( ق ) ( vOi C3 Iiào dO Iiàiii g = (٢٠3 ؛٢ra ٣ ٥ T iip tr.ic Iilnr tlio ta cO :): ()"(؟: ro ) : ٥ ؛g{n){c-n.) = ^ ()ﻟﺐﺀب (؟6٠) ﺕvdi c liào dO Iiàiii g ir a ٣٥ v C//, Vây, (4.4) d^rqc clnriig Iiliiili, dO dliili 1.۴ dirqc cli(riig Iiiiiili d ay dr؛ □ 128 C hú ý Vì To < c < T, uẽu c — To + Ớ(.T — To) vơi — ^ (٥ 1) T rong địn h lý trê n r đirợc gọi phần dir (hay sai số) dạng Lagrange ciia công thirc Taylor Rõ ràn g r(.r) = o(.T —To)”■ Khi tq = 0, th ì cịng thức Taylor có tê n cịng thiTC (hay khai trieu) M a c la u r in Trong th i gian 1708-1712 Brook Taylor công bố idiiồu cơng trìn h quan trọng, n h th ố ông đirợc b ầu lain viên sĩ Hội Hồng G ia (hic N ew ton clnỉ tịch v Taylor m ới có 27 tuổi) B ây t a cho m ột số khai trie n M aclaurin ciia m ột số hàm sơ cấp Trong th ự c hàn h p h ải tìm khai triển Taylor hàm hợp gồm nhiều h àm sơ cấp, ta có th e dùng b ản g đ â y cho từ n g th n h phầ]i, sau giÍT lại nhíriig lĩĩy tlù cần th iế t Hiộn n ay đ ã có nhiều phần m ềm (như Maple, M athem atica) giúp t a khai triể n Taylor circ ky nhanh C c k h a i t r i ể n q u a n t r ọ n g 4 X e/ = + ·-ĩ; + ؛r + · ■· + 2! ٠ + ■؛٥ "'· 7/.! {n + 1)! ٠ 2n X + ( ~ l ) ” +^sin(ỚT) sin T x^ X ٠ —— - h 3! + (-iy 5! + ( - ) ” cos(ỡt) h i(l + x) {2n + 2)V T2 n -l T٥ -؛r 2n-\-2 / X 1-1 (2n - 1)! 2/Í.+ (277 + 1)! xr X3 T — — - f“ — t ”' X Ti-l-l + ( - ) " (?7 + 1)(1 + ớt)^٠ ٤ ^ ٠ {1 + x Ỵ ^ a T a ( a ” 1) H+ ؛c;— 2! + + ^ T ^ + a ( a — Ì) (« — n + 1) n T nl oc—n — (n + )! 129 tioiig Ớ.T — с số Iiằiii X 0, tức là, < ỡ < 4 Á p d u n g c ô n g t h ứ c T a y lo r Còug th ứ c Tavlor m ột tro n g nhữ ng kết đẹp n h ấ t cxia giải tích Nó có r ấ t nhiồxx xrng tìxxng ٠ T ín h g ầ n đxing C hạn, ncxx ta dxxng công thxrc x ấp xỉ: sin X X'■ ^ X — sai sổ r thỏa mãn đicxx kiện |r| < Ncxx ta imxốn sai số nàv nhỏ, chẳng hạn, |r| < 10“ ^ cần lấy X./120 < 10“ ^, sxxy |.x| < 0.6544 ۶٥ 37 Nốxx Iiixxốn tính số e với sai số < 10“ ^ ta làm nhxT saxx: _ ٦ ٦ 2! e — l + lH - ~ + eý - + -— ??>! (n + 1)! ٠٠٠H — ẹý ( n - f 1)! ٠^ (71 + !)؟ < 10“ ^ C ần chọn n — T ìm g iớ i h a n C hạn — л /\ —x!^ + x ^ lim - r :: = —'؛؛ln (l + T о^) Vì: - \ / \ - x^ + x^ = + T ؛؛+ ị )= + - (٠ f X.^)) + — ~ ) ” -1 q ! • ^ ؛ ٤ · h i(l -f x^) = X ؛؛-b ٥ (x^) ~ x ^ Do — ١ /٠ f x^ ' l —x P l i m — - г; -؛h i(l + T í-^õ)^؛ ٠ T ìm c c t r i b ằ n g đ a o h m c ấ p ca o G iả sxV f ( x o ) ^ Г'Ы) = = о; ф ٥٠ Khi đó, 130 ( i) Non n 1^ tln / khoiig c6 circ Neu 71 c l i a n ( ii) tlu / ta i xq t,ri c c u c t x i t a i t o ٩ eu t l i e la / ، ”·)(.To) > CUC t i e u d i a p h u a i i g , < CUC d a i d i a p h u c n i g Cliuug iiiiu li Tlico coiig tliirc Taylor vai f{ x ) - / ( x ٥ ) ■ { x - x o ) " + o { x - x o Y ‘ ٠ nl n! {x — xo )^ phau d u vai Poaiio ta c6: klii X gaii tq T u va baiig uhu u g lap lumi d aii giAu ta n it eae kct hiau can tliiet □ Do m iuh boa ta xot liam f{ x ) = e7 -\- e~^' + 2cos.x T a c6 f { ) = /" ( ) = r ' ( ) = ; / " ) ( ) = > Suy la diem cuc tieu d ia phuaiig B ta p 28 X et liaiu: ٦ r = Clumg iiiiiili laug; / (؛“ ؛Vn = (0 = 1,2, 29 T inh siu lO v climli xac 10“ ؛؛ Tinli \/W v cbiiib xac 10“ ^ 30 Kliai trieii ta i cap ta i xq = ٥٠ 31 Clio / la h am laii klid vi treii [-1,1] clio / ( - l ) - O , / ( ) - , /( ) = 1, / ' ( ) - Cliuug m inh tbii tai x ( " ,1 ) cbo > 131 32 Clnnig mhili b ấ t đằng tlurc ■ T - Y < lli(l + x) < :r - ؟ + y V.T -r.b '77'^ 'Ỵ '^ ■ - Y < s in x < :r - Y + ^ > /Ỵ١3 V.T „ 2٠ '„٠?٠٠2٠ ٠„7١4١ ٥^ - “ ' ؛٥' ■ ’’ ■ ؛2 + 24 > V.T /ỉ 33 Cho / : M —> ỈR khả vi tạ i /( ) = Đặt ٢^ k S n = ỵ^n ^) k=0 = C hứng iniiih rằn g (Sn) hội tụ v tìm giới hạn ciia 34 Tìm khai triổn M aclaurin của: y =z x / [ x ‘^ — 1); y = cosh:r cos.r; csm y — X 35 Dùng khai tricn Taylor đổ tín h giới hạn san: — \/ĩ+ ~ x ^ co sX (cosh X — 1) ln (l + r) —x ^ /2 liiụ — ^ l i m - — - ; - r— ;/:(tan.T ٠٠ sinh.r) ·r^o r(sin.r — arcsin.r) 36 Giả sxV / : í/ M hàm khả vi lân cận lý Lagrange th ì đối vói X E tồn tạ i 0{x) r f { x ) Nen tồn tạ i /''( ) /^'(0) — v tồn /^^'(0) ciia điổm Theo định ( , ) cho f{ x ) 0, tìm lim ,._o u ؛, tìm linr,:_١ o ٠^■(؟٠)■ 37 C hứng m inh rằn g hàm số san /(■١ ) ٥ Ễ ( ? ) 'V (‘،''■'') ;/.=0 Nến / có f ' — /( ) u — 132 lien tục Iilimig kliOng khả vi tạ i b ấ t сгг cliciu nàO, φ{χ) = \χ\ φ (χ ΐ2 ):φ { χ ) (tire φ có chu ку b ằn g 2) 4.5 V ؛p h â íi V ỉ p h â n b ậ c n h ấ t B i t n Giả S ĩl· avỉ = ﻵ ح ﺀR x o ■V ئ ز١ y : f : (۵ ١٥) —> M ỉiên tục X.Q ( جл , ٥ ) Та ïïi.uon xấp ” bang TTint dơn tb.٠ũc C^Q сгі t.b.ể 1 ﻟ ﺔtxĩTì Ьгеи dieu í àitới dạ٠u٠g: ầy = A ầ x + (Δ.Χ), X ( a ,) ﺓ١ Δ.Χ : X — Xo, (5 ) txoug dó A 1,0 cdc b)ằu)g sổ pb٠ài t٠l٠u١٠ Tír cơng thiTc Tayloi (kliai triển cấp 1), suy rằn g đ ê f có tínli chất trOn điều ki ؛n cần đii / có dạo lìàin ln.ru liạn tạ i Xo v klii đó: A = f '{ x o ) N hu vậy, p h ầ n c h in h c ứ a v ô c ù n g b é ầ y /7 (x o )(x - X o ) = ^ (x) — ^ ( X o ) A {x “ Xo) ﺕ Tír t٠a có: A y : ^(Xo + Δ χ ) - ^(Xo) = Α Δ χ + ο (Δ χ) : ^7(χο).Δ χ + ο (Δ χ) ïïmYv и ^ і г а ΝόΊ ٦١ằu.g ỵ k.lià ﺧﺎﺀtai X ٢١٠ ﺍﺍﺀﺝdằu.g thuc ﻵﺍ ١٦ d ١íí^ĩc tl١.١ ؛c b٠؛٠ệu ٠ ou٠g t.٩٦cơu.g b.ơp dó ١ ta k.^ b,iêu d'y = dJ^x,Q٦ : Α Δχ ٠١ ﻵﻝg؛؟, đ ổ 1٠α ﻳﺎﺀ, p h d u сйа b ٠a u ٠١٠ ﻝ Г /С Hiển nliiOn d x : Δ χ ﺕ tat X ﺕ X X — X o : Τΐτ định ngliĩa suy dfVxoi = ĩ ' ﺣ ﺎ0 ١ ﻁ٠ = ì ' ' ì ' ﻝ؛. ﺓ١ ﺕ d f jx o ) d.x ﺅ; ﻗﺎ Ta tliiTỜug viet tắ t d f : f ( ﺀﺍ ٠ í (ÌJ : Các quy t,ắc tíuli đạo liàiu cliO ta: ﺍﻱ4! ﺏ9 ١ ( = ﺍ١ﺃ( ﻣﻠ ﻞ9 ﺍﺍ.ﺃﺍ ﺃ١=( ١ ﻙ ﺇ ﻻﺍﺀ. ؟1١ = ﻛ ﺄ4 ١ ﺇ ﻙ ﺃ rí( = ) ؛ Я g d | - f.d g 9ﻝ (lien ,ọ ) N d ì Η liàiii sổ liợp: Я(.т) = g{f{\r ) ), ? = ﺭ/( т) till (Ш = 9Ч٠'уМ'Лх ١ cliíiili xác liơii ta plidi vidt (ΙΗ {χο ) = g'„{yo).f'x{xo)dx, V i p liâ ii c ẩ p cao Vi pliâii cấp liai í/2 /’ = (ì{df) Tổiig C ỉiá t, vi pliâii cấp 77 l a Уо = / ( Т о ) la Ѵ'і pliâii cila vi pliâii cấp vi pliâii clia vi pliâii cẩp 77, - I iiộ t.: 1: d " J = d V d ٠٠- \ f Y сіпг V rằn g X bicu sổ dộc lập tlil í/":r ﺕvới n > 2, nôn (١" l = f ١'4 x ١Vd'.rỴi., dó /،Ό (·τ) = d"ỉ C liú ý D a n g v i p liâ n b â c n h ấ t b ấ t b iế n k h i đ ổ ỉ b ỉế n cO ﺕφ {ή T liật ١'^ﺅﰒ, ta 134 Nlnriig d a n g c ủ a v ỉ p h â n b â c h a i k h ô n g b ấ t b ỉế n k h i d ổ i X d f{t) = [f{x{t))r:2Ìd t)2 = [fL·{ipit)).ip'fXt)]'t{dt)2 = ( ﺀ ر١٠( ۴ )) 0, :7: ٥ (ггг) Gl.à s'à ﻝk.k.à DÌ іт ё и \а Д ٠ D ể أ ﺝ азаг тог X e ﺍ0.١ﻷ١ [a, 6] 1. ﻟﺔ1 ﺍ ﺓ٠ CỒ.U ١)à dll dồ th,ỵ cita U.ể lỡ.m, t:rốu (li.oc tliiiục ) ô. tiiijeu bdtk,^ Chợcng rn.ỉnh địnli ly kliOng khó, nliưng dài Ta bổ qua ^ ٠ﻵ Bất ﺍ \ﺍﺍﺓﻷ، tấ t Ti, ,.T.„ t\iừ c 3euseĩv ٠ Hdm ﻝId 1 ﻵtrc٠n.\a١b\ ueii 13d cha ٢١( ﺍﺍﺝdổl 1ﺍ3 ﺅ٠ e [a, 0] đối vớ i tấ t Чк > (Ẳ: , ﺉ Ợi + ٠٠٠ -f-i?n = l ta có n II ﺀq kfixk■ )■ l i E" q k X k ) < E k.:l k;ì (*) Chícng niinìh Dổi vói 11 : 1, (*) liiCn nliidn; n = 2, (*) định ugliĩa cila hàm lồi 136 Giầ sir (*) điing với τ?,١ ta cliứiig miiili (*) dứiig clio n + Ta có: „ ١ ™ í \ ١١ﺀ (ﺍ٦ﺍ ^ q.i-vi ١١ q-nXii + q n iìX n iì = {qn + qĩi+ì)( : Xu + χη + ) Ợn + (/vi-fi q-fi \-qiKiì Cliii Ý lằiig qn Ợĩ7 t ٩٢ﺩﺍ٢ﺫ + +! ﺕ( ﺍ7 ﺑ ﻊ- ﺍXn + — ( ؛i —Xn+i qri + qrh+ι < Q ifix i) q ifix i) + - + qnfixn) + qn+ifix/n+ ι > )■ V ậ ^ ( * ) đ\ĩỢ C c l i ứ i i g I iiiiili H ê q u ả Nếĩi f ỉà haw, lằ [o., b] thi vớ i w ,ọ ix ir )X n ‘e [a, ]ﺓvà với m,ọi λ ι , λ , ؛, > ﺀta có: r iE X k X k ] L X k fjx k ) f[ L X k ) s EXk Bâv giơ ta đ a I.a Iiliơiig b ẩ t đ ằn g tliức vào loại qiiaii ti-ọng Iiliất c١ ؛a giài tícli V í d ụ B ẩ t đ ẵ n g t h ứ c H ổ ld e r T a dỗ dàng kiổin t i a f [x) = χΡ ^ X > ﻭ liàni lOi Do dó ( E X kX kyp ﺍΣ Λ ،- ﺭ - E A fc (x p - ،Σ λ lia^^ E X k - x k Ỵ P í іЕ Х к )р ~ [ Е Х к -х Р к } ■ P Klli lấy λ، : b ! ا , Xk = Пк )P ~ ì ﻭt a có b ấ t đ ằn g tliức HOldci: > ì 137 N ﻵﺝ P > \ 4)à α.\ ٦ .٦ ﺍ ﺍ٠ ﺍ b\ ٦ .٦ ﻷ ٢١ la sổ thatc k.kôug âĩii [ û i-b k < ( E r 'ỉ : ) i / p ( E ^ ^ ﺓﺀ٠ T â ấ t ổ L ằ x i| t \ v i t c / ٠' i / p + i / q : i ■ M iảavgrskV Nềai ρ > \ υ ά η.\١ ٦а.й, Ь\ ٩ ٦١ﺩ.ﺍ١ , ΐα сйс sổ tlucc k.l).ôi٦٠g am t)h.١( [ ( » ﻫ ﺐ ﺀ، ) ( ﺓ ﺀ 'ﻝ ) ﺀ1 » ) ﺓ٠' % ( [ ■"ﻝ ) ﺓﺀ Tliật, vậv, ρ : tliì lilểii Iiliicii Ncu P > t,l٤ì với q = د 1-í? bất đẳiig tlurc Holdei clio ta [ " * ( » ، ■ ٠ ب،»:) ﺀ- ل ة ( [ < ) ﺳﻞ4 [(» ﺀ + ه٠:)ا (''ل ) ا ل "ل.■ l/я ﺩ ﻩ ( ؛ ﻷ ﺓ + ﺀﺓ ٣ - ﺓ ﺇ ( ﺇ ) ﺓ ﺓ ﺡ/ ﺡ (ﻝﺀ (« ) ﺩ ﺓ ؛ ﺩ٩ (ﻝﺀ- )) ﺇ ' ■ 1/ΡΊ + " Sii.v I.a ،،)" ([;؛Σ ، ί ) " Ί ( Σ ( " ، + ، ، ) ) ) 1/q / Σ “· ٠ Τ ١Γ tlo lilt la b ấ t dằiig tlii'rc Minkowski Nliii vậy, n iii VỚ ؛T : (٠t i , ١^ΐΐ) ج К"' t.a dặt, ì /ρ Ι-Τ|Ι = ( Σ | ; ' ، | Ρ ) tlii dó cliiiẩii tioiig RT/■ f{ x ) : Ill v i ρ > ﺁ٠ , Ί > liàiii Ibi Do dó với Xk > 0 ,1 ﻳ ﺎ: ﺕ, ta có E X kX k EXk ﺉ (EAfc-Tfc) < Е Х кХ кЛ и хк Xk EXk زأأة. اla | < ( ﻞ ﻟ ﻠ ؛٠ ل،) ل 138 troilg A = E X kX k' Klii lấy Xk : ỉ / x k ta có: n r l D ấu ؛ ؛l ■ Xk xảy klii v cliỉ klii Xi = Xo = Xn B i ta p 38 Giả siV / : IR ﺏI liàĩu lồi v bị cliặu troiig I Cli٢riig Iiiiiili rằiig / liằug sổ Kốt qiia uàỵ có cOii điiiig kliOiig اا ﺟﺎا giẳ tliiCt / xác địnli, lồi v bị cliặìi troiig R i ? 39 Clio / : R+ - ﺏR liàiii lồi (i) Clu^iig uiiiili rằu g = ﰎÌ1U.T-4X ﻏ ﯫtồu (ii) Giầ sir ﺝﰎR CliiTiig luiiili I.ằiig l i i n j _ x ( / ( ٠T) - Ểx) tồu t.ại 40 Giầ sir ' ﺭlà liàiii liTơiig T a uói I loga lồi 11C11 log ﺭlà Ibi Giầ siT ỉ kboảiig uào clia R ٠ ٠ ,0) ^ ﺭ: ) ﺭ (i) Clilrug luiiili I.ằiig UCU / loga lồi till / Ibi (ii) Cblrug ĩuỉuli i.ằiig / loga lồi klii cli ؛klii liàiu ợ : I —0) ﺏ, o ) có tlạug q{x-) : / ( ٠r)a-T liàiu lồi đổi với luỗi a > (iii) CliiTug luiiili rằiig ncii 0) ^ ﺭ, ﻱ: ﰎ, oc) loga Ibi till f i g Cling tlií ... e in e (18 2 1- 18 81, ngiĩời Dire), P L C h e b y s h e v (18 2 1- 1894, người Nga), Georges Friedrich B ernhard R ie m a n n (18 26 -1 8 86, ngirời Dire), Richard Julius W ilhelm D e d e k in d (18 3 1- 1 916 ,... r (18 59 -1 9 37, ngiTỜi Đức), David H ilb e r t (18 62 -1 9 43, ngirời Đức), H erm ann M in k o w sk i (18 64 -1 9 09, người Đức), Émile B o r e l (18 7 1- 1956, người P h áp ), Guido F u b in i (18 79 -1 9 43,... 17 , 18 , 19 v dầu kỷ 20 Iihir : Renỗ D e s c a r te s (15 96 -1 6 50, người P háp), Pierre De F e r m a t (16 0 1- 1665, người P háp), Lsaac B a r r o w (16 30 -1 6 77, người Anh), Michel R o lle (16 52 -1 7 19,