Slide bài giảng Môn giải tích

BÀI GIẢNG MÔN CHƯƠNG I CHƯƠNG II CHƯƠNG III Giảng viên: Lê Văn Ngọc E-mail: ngoclv@ptit.edu.vn Bộ mơn: Tốn Năm soạn: 2018 Giải tích CHƯƠNG IV GIẢI TÍCH TÀI LIỆU HỌC: [1] Vũ Gia Tê; Giáo trình giải tích 2; Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Đình Trí; Tốn cao cấp tập 3; NXB GD 1996 [2] Nguyễn Đình Trí; Bài tập tốn cao cấp tập 3; NXB GD 1996 [3] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hoàng Quốc Tồn ; Giáo trình giải tích tập 2,3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư ) [4] Trần Đức Long- Nguyễn Định Sang- Hoàng Quốc Toàn ; Bài tập giải tích tập 2, 3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư ) [5] Tơ Văn Ban; Giáo trình giải tích 2; NXB khoa học kỹ thuật quan 2012 0985913158 ngoclv@ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc GIẢI TÍCH TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ MƠN HỌC Chun cần: Đi học đầy đủ tham gia học tích cực tính 10% Thi kỳ: Thi vào tuần tính 10% Bài tập làm lớp tập lớn tính 10% Thi cuối kỳ tính 70% 0985913158 ngoclv@ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc GIẢI TÍCH GIỚI THIỆU VỀ CHƯƠNG TRÌNH MƠN HỌC • CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BiẾN • CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI • CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT • CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 0985913158 ngoclv@ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số mở rộng cách tự nhiên cần thiết phép tính vi phân hàm số biến số Các toán thực tế thường xuất phụ thuộc biến số vào hai biến số nhiều Chẳng hạn nhiệt độ T chất lỏng biến đổi theo độ sâu z thời gian t theo công thức T  e tz Nhiệt lượng toả dây dẫn phụ thuộc điện trở dây, cường độ dòng thời gian dẫn điện theo công thức Q  0,24 RI 2t Hàm sản xuất Cobb-Douglas phụ thuộc x đơn vị đầu tư lao động y đơn vị vốn xác định công thức P(x, y) = Cx ay b Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn 7/4/2017 (1) CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN  Không gian n chiều     Định nghĩa hàm nhiều biến số Giới hạn hàm số nhiều biến số Sự liên tục hàm số nhiều biến số Đạo hàm riêng  Vi phân toàn phần  Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao  Đạo hàm hàm số hợp     Đạo hàm hàm số ẩn Đạo hàm theo hƣớng Građiên (Gradient) Cực trị hàm nhiều biến Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive 7/4/2017 (2) CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN  Không gian n chiều            Định nghĩa hàm nhiều biến số Giới hạn hàm số nhiều biến số Sự liên tục hàm số nhiều biến số Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Đạo hàm riêng cấp cao, Vi phân cấp cao Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số ẩn Đạo hàm theo hƣớng Građiên (Gradient) Cực trị hàm nhiều biến Trƣờng vô hƣớng, Trƣờng véc tơ, Rôta, Dive 7/4/2017 (3) CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN KHƠNG GIAN n CHIỀU 1.1 Các phép tốn khơng gian n chiều n  ( x1, x2 , , xn ) x1, x2 , , xn  x  ( x1, , xn ); y  ( y1, , yn )   n ( x1, , xn )  ( y1, , yn )  ( x1  y1, , xn  yn )  ( x1, , xn )  ( x1, , xn ),   x, y  x1 y1   xn yn Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz x, y  x  y 7/4/2017 x, y  x, x y , y (4) CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Ta gọi ( x1, x2 , , xn ) tọa độ điểm M, ký hiệu M ( x1, x2 , , xn ) OM  ( x1, x2 , , xn ) OM  ( x1, x2 , , xn ), ON  ( y1, y2 , , yn )  MN  ( y1  x1, y2  x2 , , yn  xn ) Khoảng cách khoảng cách M N, kí hiệu d(M, N) tính theo cơng thức d ( M , N )  MN  ( x1  y1)   ( xn  yn ) 7/4/2017 (5) CHƢƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Lân cận   lân cận điểm M0 hình cầu mở tâm M0 bán kính    ( M )  M  n : d (M , M )    Điểm M gọi điểm tập E  n tồn lân cận M chứa E Điểm M gọi điểm biên tập E  n lân cận M có chứa phần tử thuộc E phần tử không thuộc E Tập điểm biên E ký hiệu  E Tập E gọi mở điểm điểm trong, gọi đóng chứa điểm biên 7/4/2017 (6) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.4.2 Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vi phân cấp 1) Phƣơng pháp khử  Bằng cách lấy đạo hàm n  lần hai vế phương trình hệ dùng phép thích hợp ta nhận PTVP cấp n hàm số ym  Sau giải PTVP này, ta nhận nghiệm tổng quát nó: ym  ym  x, K1, , K n   Tiếp tục hàm số vào PTVP lại ta nhận nghiệm tổng quát hệ PTVP cho 7/4/2017 (55) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 2t  x '  y  e Ví dụ 4.20 Tìm nghiệm tổng quát hệ PTVP   2t y '   x  e  Sau lấy đạo hàm hai vế phương trình thứ thay vào phương trình thứ hai ta nhận x '' x  4e2t Giải PTVP tuyến tính cấp hai ta nghiệm 2t x  C1 cos t  C2 sin t  e Từ phương trình thứ hệ, ta có 2t y  x ' e  C1 sin t  C2 cos t  e 2t  Vậy nghiệm hệ  x  C1 cos t  C2 sin t  e phương trình cho  2t  y  C1 sin t  C2 cos t  e  2t 7/4/2017 (56) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN x '  y  z Ví dụ 4.21 Tìm nghiệm tổng qt hệ PTVP  y'  z  x z '  x  y  Sau lấy đạo hàm PTVP thứ hai lần, PTVP thứ hai thứ ba lần, ta nhận x "'  y " z "  x ' y ' z '  x ' x "  x "' x " x '  Phương trình đặc trưng k  k  2k  t  k  0, k  1, k   x  C1  C2e  C3e Từ PTVP thứ hệ ta rút z  x ' y , thay vào 2t PTVP thứ hai ta có y ' y  C1  3C3e2t  y  C1  C4et  C3e2t 7/4/2017 (57) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Từ PTVP thứ hai hệ ta rút z  y ' x  C1   C2  C4  e  C3e Ta thay x, y, z vào PTVP thứ ba hệ ta t  C2  C4  e t 2t  2C3e  2C1   C2  C4  e  2C3e 2t t 2t Chứng tỏ C1  0, C2 , C3 , C4 tùy ý Ta kí hiệu số tùy ý sau C2  K1, C4  K , C3  K3  x  K1e t  K3e 2t Ta nhận   nghiệm tổng  y  K 2e t  K 3e 2t quát có dạng  t 2t z   K  K e  K e  2  7/4/2017 (58) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 2) Phƣơng pháp tổ hợp tích phân Chúng ta tổ hợp PTVP hệ để nhận PTVP Tích phân PTVP nhận hàm số mô tả quan hệ biến, người ta gọi tích phân đầu Nếu tìm n tích phân đầu độc lập tốn coi giải quyết, vấn đề cịn lại giải hệ phương trình đại số y  / x   x y Tìm nghiệm hệ phương trình   y/  x  x y Ví dụ 4.22: 7/4/2017 (59) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Cộng vế với vế hai phương trình ta có: d  x  y   dt  x  y  t  C1 Chia vế với vế hai phương trình ta có: dx y   xdx  ydy   x  y  C2 dy x  x  y  t  C1  x  y  t  C1  Ta có hệ phương  C2  2 trình đại số  x  y  C2 x  y  t  C  Sau giải hệ phương trình này, nhận nghiệm tổng quát hệ PTVP 7/4/2017 1 C2  x  t  C     2 t  C1    y   t  C1   C2  2 t  C1 (60) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN /  Ví dụ 4.23: Giải hệ phương trình  x  x  xy  /  y  xy  y dx x Chia hai phương trình vế   x  C1 y với vế, ta dy y Trừ hai phương trình d ( x  y )  ( x  y ) dt    t  C2 vế với vế, ta x y Từ hai tích phân đầu, ta có nghiệm tổng quát C1  x   (1  C1 )(t  C2 )   y   (1  C1 )(t  C2 ) 7/4/2017 (61) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.4.3 Hệ phƣơng trình vi phân với hệ số Hệ PTVP cấp dạng  / n  y1   a1i yi i 1  n  / y    a2i yi  i 1   n  /  yn   ani yi i 1  aij , i, j  1,2, , n số thực gọi hệ PTVP tuyến tính có hệ số số dạng tắc 7/4/2017 (62) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng pháp tìm nghiệm Chúng ta tìm nghiệm khơng tầm thường hệ PTVP tuyến tính hệ số dạng    1e x , 2e x , , ne x , n i 1 i 0 Đạo hàm thay vào ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính có n  ẩn số:  , 1, ,  n  a11   1  a12   a1n n   a211  (a22   )   a2 n n    an11  an 2   (ann   ) n   7/4/2017 (63) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1, , n không đồng thời không suy (1, , n ) véc tơ riêng ứng với giá trị riêng  Điều kiện Nếu ma trận hệ số hệ PTVP có n giá trị riêng phân biệt 1, 2 , , n véc tơ riêng tương ứng 1 n n n ,…,  ,  , ,   ,  , ,   n   n  nghiệm tổng quát hệ PTVP tìm dạng: 1 n      y1  1  1  n y     K1    e1x   K n    en x             1   n   yn   n  n K1, K , , K n số tùy ý 7/4/2017 (64) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN k nghiệm thực bội m phương k x trình đặc trưng ma trận hệ số m số hạng ứng với e Nếu giá trị riêng dạng nghiệm hệ PTVP thay tổng   11k   12 k     2k  1k  2  2   x            1k    k   n   n    1mk    mk     m 1  k x  x e       mk    n   Trường hợp đa thức đặc trưng có nghiệm phức ta tìm nghiệm hệ PTVP dạng sau sử dụng tính chất tuyến tính để nhận nghiệm dạng thực 7/4/2017 (65) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 4.24: Tìm nghiệm toán Cauchy  x /  3x  y  /  y  x  5y  x  0, y       Phương trình đặc trưng 3     8  16   (  4)  1   4t / 4t   x  A  B t e x  B  A  B t e     1 1  Nghiệm tổng quát hệ   / 4t PTVP viết dạng  y  A  B t e 4t y  B  A  B t e       2 2 Thay vào hệ PTVP ta có  B1  A1  B1t  A1  A2   3B1  B2  t   B2  A2  B2t   A1  A2    B1  5B2  t 7/4/2017 (66) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Đồng hệ số nhận  B1  A1  A1  A2  B1   A1  A2 B  A   A  5A   2   B2   A1  A2  4 B1  3B1  B2 B  B  4 B2   B1  5B2 Đặt B1  B2  K1, A1  K , A2  K1  K  x   K  K1t  e 4t  x    K    4t y  K  K  K t e  y    K1  K   K1     Nghiệm toán Cauchy PTVP cho có dạng  x  te 4t  4t y   t e    7/4/2017 (67) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN /  x  yz Ví dụ 4.25  Tìm nghiệm tổng quát hệ PTVP  y /  z  x z/  x  y   1 Phương trình đặc       (   3)  trưng hệ 1  Nghiệm tổng quát tìm có dạng  x  A1  B1 cos 3t  C1 sin 3t   y  A2  B2 cos 3t  C2 sin 3t   z  A3  B3 cos 3t  C3 sin 3t Ta thay nghiệm vào hệ PTVP cho, dùng phương pháp đồng hệ số dẫn đến hệ phương trình số bất định: 7/4/2017 (68) CHƢƠNG 4: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN  A1  A2  0, A2  A3  0, A3  A1    B1  B2  3C3 , B2  B3  3C1, B3  B1  3C2  C2  C1  3B3 , C1  C3  3B2 , C3  C2  3B1 Giải hệ phương trình này, ta nhận A1  A2  A3  K1, K1 số tùy ý, B1  K , B2  K3 , K , K3 số tùy ý B3    K  K3  , C1  1 C   K  K , C  K  K  3  K  K3   2 3   x  K1  K cos 3t   K  K  sin 3t    K3  K  sin 3t  y  K1  K3 cos 3t     K  K3  sin 3t  z  K1  ( K  K3 )cos 3t   7/4/2017 (69) ... ; Bài tập giải tích tập 2, 3; NXB DHQGHN 2007( In lần thứ tư ) [5] Tô Văn Ban; Giáo trình giải tích 2; NXB khoa học kỹ thuật quan 2012 0985913158 ngoclv@ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc GIẢI... ngoclv@ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: Lê Văn Ngọc GIẢI TÍCH GIỚI THIỆU VỀ CHƯƠNG TRÌNH MƠN HỌC • CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BiẾN • CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI • CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH...GIẢI TÍCH TÀI LIỆU HỌC: [1] Vũ Gia Tê; Giáo trình giải tích 2; Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 2010 TÀI LIỆU THAM KHẢO: