Bài giảng môn giải tích 2

NHTHO.WORDPRESS.COM Bài giảng mơn Giải tích TS NGUYỄN HỮU THỌ 2019-2020 BỘ MƠN TỐN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Đây giảng môn Giải tích dành cho sinh viên năm thứ Khoa Cơ khí Khoa Điện – Điện tử Trường đại học thủy lợi Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (Lưu hành nội bộ) Sách dịch, Bộ Mơn Tốn Trường Đại học Thủy Lợi biên dịch (đã chỉnh lý lần thứ năm 2010) CÁCH ĐÁNH GIÁ ĐIỂM Điểm trình: chiếm 40% + Điểm chuyên cần + Điểm tích cực + Điểm Kiểm tra kỳ (1 KT 50 phút) Điểm kiểm tra cuối kỳ: chiếm 60% Điểm học phần = ĐQT + ĐThi nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Bài số HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG ℝ MỘT SỐ MẶT CONG TRONG ℝ I Nhắc lại vấn đề hệ tọa độ không gian Nhắc lại hệ tọa độ Đề ℝ Đường thẳng mặt phẳng Nh¾c lại số đờng bậc hai mặt phẳng Đờng cong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F (x , y ) = , đờng c« nic: (E) – Elip: x y2 + =1 a b2 (H) – Hypecbol: x y2 − = ±1 a b2 (P) – Parabol: x = 2py; (C) - Đờng tròn: (x a )2 + (y − b)2 = R … y = 2px II Mặt trụ Mặt tròn xoay Mặt bậc hai MỈt trơ a Định nghĩa: Xét đường cong phẳng (C ) đường thẳng L không song song với mặt phẳng (C ) Mặt trụ hình khơng gian sinh đường thẳng dịch chuyển song song với L tựa (C ) Đường thẳng chuyển động gọi đường sinh mặt trụ Đường cong (C ) goi đường chuẩn Nếu (C ) đường trịn L đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn ta mặt trụ trịn xoay b Phương trình mặt trụ: Giả sử đường cong cho trước (C ) có phương trình (trong Oxy ): F (x , y ) = cho đường sinh song song với trục Oz Khi phương trình F (x , y ) = Oxyz phương trình mặt trụ không gian ba chiều Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chuẩn+ ic Kết luận Bất phương trình hệ toạ độ Oxy khuyết biến biểu diễn mặt trụ với đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 x y2 + =1 Giải + Đây phương trình mặt trụ khuyết z Oxyz với đường sinh song song với trục Oz Mặt cong gọi mặt trụ elliptic Ví dụ Vẽ mặt trụ: Ví dụ Vẽ mặt trụ z = x Giải: Đây mặt trụ với đường sinh song song với trục Oy khuyết biến y phương trình Mặt cong gọi mặt trụ parabolic Mặt tròn xoay a Định nghĩa: Một mặt cong xoay đường cong phẳng (C ) quanh đường thẳng L không thuộc mặt phẳng chứa (C ) gọi mặt tròn xoay với trục L Đường cong (C ) lúc gọi đường sinh mặt trịn xoay b Mơ tả phương trình mặt trịn xoay: Giả sử đường cong (C ) nằm mặt phẳng Oyz có phương trình f (y, z ) = Khi đường cong xoay quanh trục Oz , đường cong (C ) tạo nên mặt trịn xoay có p/t: f (± x + y , z ) = Ví dụ Nếu đuờng thẳng z  3y mặt phẳng Oyz xoay trịn quanh trục Oz mặt trịn xoay mặt nón hai tầng với đỉnh gốc toạ độ trục trục Oz Để có phương trình mặt nón thay y phương trình z  3y ± x + y sau hữu tỷ hố bình phương: z = ±3 x + y ⇔ z = 9(x + y ) nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Mặt bậc hai a Phương trình tổng quát mặt bậc hai Trong không gian ba chiều, dạng tổng quát phương trình bậc hai có dạng: Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = giả thiết tất hệ số A, B, , F không đồng thời không nên bậc phương trình thực bậc Đồ thị phương trình gọi mặt bậc hai b Các dạng mặt bậc hai thường gặp Có xác sáu loại mặt bậc hai không suy biến: Ellipsoid Hyperboloid tầng Hyperboloid hai tầng Mặt nón elliptic Paraboloid Elliptic Paraboloid Hyperbolic c Một số ví dụ: Ví dụ 1: Mặt ellipsoid: x y2 z2 + + =1 a b2 c2 + Bậc x , y , z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mặt phẳng toạ độ + Các lát cắt mặt phẳng Oxz Oyz ellip: x2 z2 + =1; a c2 y2 z + =1 b2 c2 + Lắt cắt mặt phẳng nằm ngang z  k elip: x y2 k2 + = − a b2 c2 elip giảm dần kích thước k biến thiên từ tới c c x y2 z2 Ví dụ Đồ thị phương trình + − = a b c hyperboloid tầng + Nếu viết p/trình dạng : x y2 z2 + = + a b2 c2 nhận thấy lát cắt ngang mặt phẳng z  k ellip, elip lớn dần dịch chuyển xa mặt phẳng Oxy nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 y2 z2 − =1 b2 c2 + Lát cắt mặt cong mặt phẳng Oyz hyperbol : Ví dụ : Mặt hyperboloid hai tầng: − x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2 + Nếu viết phương trình theo dạng: x2 y2 z2 + = −1 a2 b2 c2 lát cắt ngang nằm mặt phẳng z  k với k ≥ c ellip điểm riêng biệt, lát cắt ngang nằm mặt phẳng z  k với k < c rỗng + Lát cắt mặt phẳng yz hypecbol : Ví dụ Đồ thị phương trình: z y2 − = c2 b2 x y2 z2 + = a b2 c2 mặt nón elliptic + Mặt cong giao với mặt phẳng xz yz theo cặp đường thẳng giao c z = ± x, a c z =± x b + Giao với mặt phẳng xy gốc toạ độ + Tất lát cắt ngang bị căt mặt phẳng z  k với k ≠ elip + Khi a  b , mặt nón mặt nón trịn Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic(với a , b dấu): z = ax + by +Lát cắt thẳng đứng mặt cong với mặt phẳng Oxz mặt phẳng Oyz parabol: z = ax , z = by + Các lát cắt nằm ngang mặt cong mặt phẳng z  k elip k  , gốc toạ độ k  rỗng k  Ví dụ Mặt paraboloid hyperbolic (với a , b dấu): z = by − ax + Lát cắt với mặt phẳng yz parabol z = by mở quay lên mặt phẳng Oxz parabol z = −ax mở quay xuống nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 + Trong tất mặt phẳng y  k song song với mặt phẳng Oxz , lát cắt parabol mở quay xuống có đỉnh chạy dọc theo parabol z = by + Càng gần gốc toạ độ, mặt cong tăng theo y giảm theo x nên có hình dạng yên ngựa hoăc khe núi, vậy, mặt cong thường đuợc gọi mặt yên ngựa với gốc toạ độ tâm yên ngựa Về nhà: Tự đọc Mục 18.1 đến 18.4 Bài tập: Tr 44, 50, 55 Đọc trước Mục 19.1, 19.2, 19.3 chuẩn bị cho Bài số 2: Hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Mặt phẳng tiếp xúc nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Bài số HÀM NHIỀU BIẾN ĐẠO HÀM RIÊNG MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CONG I Hàm số nhiều biến Định nghĩa: Cho (x , y ) ∈ D ⊆ ℝ = ℝ × ℝ , quy tắc cho tương ứng cặp (x , y ) phần tử z ∈ ℝ gọi hàm số hai biến x y , ký hiệu : z = f (x , y ) Tương tự ta có khái niệm hàm số n biến với n ≥ Ví dụ: + Trong hình học giải tích khơng gian: phương trình z = x − y (p/t mặt yên ngựa) hàm số hai biến x , y , lúc mặt yên ngựa đồ thị hàm số + Nếu cho nhiệt độ điểm P biến thiên theo thời gian t , T = f (x , y, z , t ) Miền xác định Xét hàm số hai biến z = f (x , y ) , miền xác định tập hợp tất điểm P (x ; y ) mặt phẳng Oxy cho tồn tương ứng z Tương tự có định nghĩa miền xác định hàm số không gian Oxyz , không gian Oxyzt , Nếu hàm số cho công thức, miền xác định tập hợp tất điểm để cơng thức có nghĩa Ví dụ 1:  Xét hàm số :  Xét hàm số z = f (x , y ) = x −y { MXĐ: D = (x, y ) x ≠ y } z = g (x , y ) = − x − y { } { } MXĐ: D = (x, y) − x − y ≥ = (x, y ) x + y ≤  Xét hàm số biến: w = h(x, y, z ) = 2x + 3y + 4z x + y2 + z { } MXĐ: D = (x, y, z ) x + y + z ≠ Giới hạn Định nghĩa Cho hàm số z = f (x , y ) xác định lân cận điểm M (x 0, y ) Ta nói lim (x ,y )→(x ,y0 ) f (x , y ) = L nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 với điểm ε > nhỏ ý tồn số δ = δ(ε) > cho với điểm M (x , y ) cho d (M , M ) = (x − x )2 + (y − y )2 < ε ta ln có f (x ) − L < ε Chú ý: Ta có định nghĩa tương tự hàm biến, hàm n biến ( n > ), định nghĩa khác giới hạn hàm nhiều biến định nghĩa tương tự hàm biến Tính liên tục: Hàm số f (x , y ) nói liên tục điểm (x o , yo ) miền xác định giá trị f (x , y ) tiến gần tới f (xo , yo ) (x , y ) đủ gần với (x o , yo ) , nghĩa x − xo y − yo đủ bé, lim (x ,y )→(x ,y ) f (x, y ) − f (xo , yo ) bé tuỳ ý f (x , y ) = f (x 0, y ) Ví dụ 2:  Hàm số f (x , y ) = xy liên tục điểm (x o , yo ) bất kì, xy − x 0yo = xy − xyo + xyo − x 0yo = x (y − yo ) + (x − x )yo ≤ x y − yo + yo x − xo nên x − xo  Hàm số : y − yo f (x, y ) − f (xo , yo ) → dần tới  xy  f (x , y ) =  x + y   (x , y ) ≠ (0, 0) (x , y ) = (0, 0) không liên tục gốc toạ độ (0; 0) Vì, cho (x , y ) tiến đến (0; 0) dọc theo đường thẳng y  mx với m ≠ f (x, y ) = mx m = ≠ nên dần tới f (0, 0) = (x , y ) đủ gần (0; 0) 2 x +m x + m2 Các hàm số sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định Tương tự tính liên tục định nghĩa hàm số ba hay nhiều biến Đường mức Định nghĩa: Xét hàm số z = f (x , y ) Một đường cong gọi đường mức nằm miền xác định hàm số, z = f (x , y ) có giá trị khơng đổi c Ứng dụng: + Mơ tả chất hình học hàm số nhiều biến (khi khó vẽ đồ thị nó) nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 + Trong vẽ đồ địa hình với thung lũng, đồi núi: nhận hình ảnh rõ ràng thể mặt đất không gian ba chiều từ mô tả không gian hai chiều Tập hợp đường mức gọi đồ trắc địa Mặt mức Chúng ta vẽ đồ thị hàm ba biến cần khơng gian hữu hình bốn chiều để chứa đồ thị Tư tưởng đường mức dẫn tới khái niệm mặt mức Định nghĩa Xét hàm số ba biến w = f (x , y, z ) Một mặt cong gọi mặt mức nằm miền xác định hàm số, w = f (x , y, z ) có giá trị khơng đổi c Ứng dụng : Mặt mức khó vẽ, kiến thức chúng giúp định dạng ý tưởng trực giác có ích chất hàm số Ví dụ 3: + Xét hàm số w = x + 2y + 3z , có mặt mức mặt phẳng x + 2y + 3z = c + Hàm số w = x + y + z , có mặt mức khối cầu đồng tâm x + y2 + z2 = c II ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: Xét hàm hai biến z  f (x ; y ) , trước hết giữ y cố định cho x biến thiên Tốc ∂z độ biến thiên z theo x kí hiệu định nghĩa ∂x z f (x  x ; y )  f (x ; y )  lim x x  x Giới hạn (nếu tồn tại) gọi đạo hàm riêng(cấp một) z theo x Ký hiệu thường sử dụng: z f ; z x ; fx ; ; f (x ; y ) x x x Tương tự, x cố định y thay đổi đạo hàm riêng z theo y : nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ ∫ F.dR = lim hay là: n −1 ∑ F ∆R k k =0 C n −1 ∫ F.dR = lim ∑ F ∆R k =0 C k k 2019 -2 020 = k ∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy C Và ta có kết cho tốn tính cơng trường lực F đường cong phẳng (C)  Chú ý: Nếu xét véc tơ R hàm độ dài cung s đo từ điểm ban đầu A, tức xét tham số hóa tự nhiên: R(s) Như biết dR / ds véc tơ tiếp tuyến đơn vị T, ta có cơng cần tìm là: dR ∫ F.dR = ∫ F ds ds = ∫ F.Tds C C C Nếu đường cong (C) nằm dọc theo trục x x = a x = b , F = f (x )i , b ∫ F.dR = ∫ f (x )dx C a Nếu (C) đường cong kín định hướng ngược chiều kim đồng hồ tích phân F C viết dạng: ∫ F.dR = ∫ M (x , y )dx + N (x , y )dy C C b Điều kiện tồn tại: Nếu (C) đường cong trơn trơn khúc, hàm M (x, y ), N (x, y ) liên tục (C) tồn ∫ F.dR == ∫ M (x , y )dx + N (x , y )dy C C c Một số tính chất: ∫ αF+βG dR = α ∫ F.dR+β ∫ G.dR , với số α, β i Tuyến tính: C C C ii Cộng tính: Nếu ( (C ), (C ), (C ) đường cong khơng có điểm chung, có định hướng: C = C ∪ C đó: ∫ F.dR = ∫ F.dR + ∫ F.dR C C1 C2 iii Nếu gọi (C * ) đường cong tạo (C) ngược hướng với (C), đó: ∫ F.dR = ∫ M (x, y)dx + N (x, y )dy = −∫ F.dR = −∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy C 45 C C* C* nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 ∫ F.dR = ∫ M (x , y )dx + N (x , y )dy d Cách tính tích phân đường: C C  Trường hợp 1: Đường cong (C) phần đồ thị hàm số y = f (x ), với điểm đầu A điểm cuối B, x biến thiên tương ứng từ a = x A tới b = x B ,thì cơng thức tính tích phân đường là: b ∫ M (x, y )dx + N (x, y )dy = ∫ M (x, y(x ))dx + N (x, y(x ))y '(x )dx C a b = ∫ M (x, y(x )) + N (x, y(x ))y '(x )dx a Ví dụ 1: Tính tích phân đường: I = ∫ x ydx + (x − 2y )dy , C đường thẳng y = x từ (0, 0) đến C (1,1) Giải : + Ta có y = f (x ) = x , x biến thiên từ đến + Khi đó: I = ∫ x xdx + (x − 2x )dx = ∫   x − x  dx =  x − x  = −   4   Ví dụ 2: Tính tích phân đường I = ∫ x ydx + (x − 2y )dy , C C đường parabola y = x từ (0, 0) đến (1,1) Giải: + Ta có y = f (x ) = x , x biến thiên từ đến Khi đó: I = ∫ x x dx + (x − 2x ) 2xdx 2 = ∫   x + 2x − 4x  dx =  x + x − x  = −   5  15  0  Trường hợp 2: Đường cong C phần đồ thị hàm số x = g(y ), với điểm đầu A điểm cuối B, y biến thiên tương ứng từ c = yA tới d = yB cơng thức là: d ∫ M (x , y )dx + N (x , y )dy = C ∫ M (x (y ), y )x '(y )dy + N (x (y ), y )dy c d = ∫ M (x (y ), y )x '(y ) + N (x (y ), y )dy c 46 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 x = x (t ) , với t biến thiên từ t1 đến t2, ta có:  Trường hợp 3: Đường cong C xác định  y = y(t )  ∫ t2 M (x , y )dx + N (x , y )dy = C ∫ M (x (t ), y(t )) x '(t ) + N (x (t ), y(t ))y '(t ) dt t1 Ví dụ 3: Tính tích phân đường: I = ∫ x ydx + (x − 2y )dy , C đường parabola y = x 2 từ (0, 0) đến C (1,1) Giải Chúng ta tham số hoá đường cong theo nhiều cách khác  Cách 1: + Biểu diễn tham số đơn giản đường cong là: x = t (C ) :  , t biến thiên từ đến  y = t  + Ta có dx = dt dy = 2tdt , vậy: I = ∫ ( ) t 2t 2dt + t − 2t 2tdt = ∫ t + 2t − 4t  dt   1  2 =  t5 + t3 − t4  = − 5  15  0  Cách 2: x = sin t π + Biểu diễn C theo cách khác:  t biến thiên từ đến , y = sin t  + Ta có dx = cos tdt dy = sin t cos tdt , π/2 I = ∫ sin ( ) t.sin2 t cos tdt + sin t − sin2 t sin t cos tdt π 1 2 −2 = ∫  sin t + sin2 t − sin t  cos tdt =  sin5 t + sin3 t − sin t  = 5    15   0  Chú ý: Nếu đường cong C trơn khúc(trơn phần) Giá trị tích phân đường dọc theo (C) xác định tổng giá trị dọc theo đoạn trơn (C) π /2 Ví dụ 4: Tính t/phân đường: I = ∫ ydx + (x + 2y )dy từ điểm (1, 0) đến (0,1) , C là: C (a) đường gấp khúc từ (1, 0) đến (1,1) đến (0,1) ; (b) cung đường tròn x = cos t , y = sin t ; (c) đoạn thẳng y = − x 47 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích Giải: (a) Ta có: I = TS Nguyễn Hữu Thọ ∫ ydx + (x + 2y )dy = (1,1) ∫ (0,1) ydx + (x + 2y )dy + ∫ ydx + (x + 2y )dy (1,0) C 2019 -2 020 (1,1) + Dọc theo đoạn thẳng từ (1, 0) đến (1,1) có: x =  , dx =  y : bien thien tu den  + Dọc theo đoạn thẳng từ (1,1) đến (0,1) có: y = , hướng từ x = đến x = dy = + Tích phân đường cần tìm là: I = ∫ ydx + (x + 2y )dy = ∫ (1 + 2y )dy + ∫ dx = y + y C  + x |0 =  x = cos t π , t biến thiên từ đến , (b) Ở  y = sin t  + dx = − sin tdt dy = cos tdt , + Và π/2 I = ∫ ydx + (x + 2y )dy = ∫ − sin π/2 ∫( tdt + (cos t + sin t ) cos tdt C = ) π/2 cos2 t − sin2 t + sin t cos t dt = ∫ (cos 2t + sin t cos t )dt 1  =  sin 2t + sin2 t  = 2   0 π /2 (c) Ta có: y = − x , x biến thiên từ đến dọc theo đoạn thẳng + Suy : dy = −dx + Tích phân cần tìm I = ∫ C ydx + (x + 2y )dy = ∫ (1 − x )dx + x + (1 − x ) (−dx ) = ∫ (−1)dx =  Nhận xét: Trong ví dụ ba tích phân có giá trị, dự đốn tích phân ta nhận giá trị đường từ (1, 0) đến (0,1) Có phải ngẫu nhiên hay cần có điều kiện đảm bảo tích phân đường từ điểm đến điểm khác có giá trị khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân? Câu hỏi giải đáp sau Ví dụ 5: Tính ∫ C F.dR , F = y.i + 2x j (C) đường tròn x + y = theo chiều ngược chiều kim đồng hồ từ A = (1, 0) quay trở lại điểm 48 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 x = cos t Giải: + Tham số hóa  , xuất phát từ A = (1, 0) quay y = sin t  theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nên t biến thiên từ đến 2π + Bởi vì: R = xi + yj = cos t.i + sin t j , ta có dR = (− sin t i + cos t j)dt , + Và F.dR = (sin t i + cos t j)(− sin t i + cos t j)dt 1  = cos2 t − sin2 t dt =  + cos 2t dt ,   2 ( ) 2π + Từ suy ra: ∫ C F.dR = 1  ∫  + cos 2t dt = Bài tập nhà: Tr 177 Chuẩn bị đọc trước: Mục 21.2, 21.3 cho Bài số 9: Sự khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Trường bảo toàn Định lý Green 49 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Bài số SỰ KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG LẤY TÍCH PHÂN TRƯỜNG BẢO TỒN ĐỊNH LÝ GREEN Sự khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Trường bảo tồn Trong Bài số 11, xét: Ví dụ 4: Tính tích phân đường I   ydx  (x  2y )dy từ điểm (1, 0) đến (0,1) , C là: C (a) đường gấp khúc từ (1, 0) đến (1,1) đến (0,1) ; (b) cung đường tròn x = cos t , y = sin t ; (c) đoạn thẳng y = − x Kết t/hợp nhận giá trị  Câu hỏi: Nếu ta xét đường khác từ (1, 0) đến (0,1) giá trị tích phân có thay đổi khơng? Điều kiện đảm bảo cho tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường mà phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối ? Để ý rằng: Giá trị tích phân giá trị tích phân đường: trường véc tơ: F = F (x , y ) = yi + (x + 2y ) j ∫ C F.dR a Một số khái niệm: Trường véc tơ F gọi gradient trường vô hướng f (gọi tắt trường gradient), nếu: ∂f ∂f F = ∇f = i+ j ∂x ∂y Khi trường véc tơ F gọi Trường bảo toàn, hàm vô hướng f gọi Hàm vị (hàm thế) Ví dụ 1: Trường véc tơ F = F (x , y ) = yi + (x + 2y ) j f (x , y ) = xy + y : ∇f = trường gradient trường vô hướng ∂f ∂f i+ j = yi + (x + 2y ) j = F ∂x ∂y Ta biết Định lí phép tính vi phân (một biến): Nếu f (x ) hàm khả vi a, b  ta có   50 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 b ∫ f '(x )dx = f (b) − f (a) (Công thức Newton-Leibniz) a  Liệu có kết tương tự hàm nhiều biến hay không? b Định lý phép tính vi phân tích phân đường Nếu trường véc tơ F gradient trường vô hướng f miền R, tức F = ∇f R, (C) đường cong trơn ( phần), định hướng R với điểm đầu điểm cuối A B, đó: ∫ F.dR = ∫ ∇f dR = f (B ) − f (A) (*) C C Ví dụ : Tính tích phân đường I   ydx  (x  2y )dy C từ điểm (1, 0) đến (0,1) Giải: Ta có F = F (x , y ) = yi + (x + 2y ) j trường gradient trường vô hướng f (x , y ) = xy + y tức F = ∇f , theo Định lý bản: I = ∫ F.dR = ∫ ∇f dR = f (0,1) − f (1, 0) = − = C C Ví dụ 3: Tính tích phân đường trường véc tơ F = y cos xyi + x cos xyj dọc theo phần đường parabol y = x từ (0, 0) đến (1,1) Giải : Cách 1: + Ta có y = f (x ) = x : x biến thiên từ đến + Suy : dy = 2xdx , nên F.dR = y cos xydx + x cos xydy = x cos x 3dx + x cos x 2xdx + Do : ∫ F.dR = ∫ 3x cos x 3dx = sin x |10 = sin − sin = sin C  Cách 2: + Trường véc tơ F gradient trường vô hướng f (x , y ) = sin xy (???) thỏa mãn giả thiết Định lý bản: + Khi đó: ∫ C (1,1) F.dR = sin xy |(0,0) = sin1 − sin = sin1  Nhận xét: + Ưu điểm phương pháp không ý vào quỹ đạo lấy tích phân mà quan tâm tới điểm đầu đến điểm cuối quỹ đạo 51 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 + Tích phân đường bên vế trái (*) Định lý có giá trị cho quỹ đạo (C) từ A đến B Khi rõ ràng là: tích phân đường trường gradient độc lập với quỹ đạo lấy tích phân + Nếu (C) quỹ đạo đóng f(B) – f(A) = Do F trường gradient ∫ FdR = với quỹ đạo đóng (C) MXĐ f C c Các mệnh đề tương đương: Ta có khẳng định sau tương đương: i Trường véc tơ F = M(x,y)i + N(x,y)j trường véc tơ bảo toàn, tức F gradient trường vơ hướng, nói cách khác, tồn hàm vô hướng f cho : F = ∇f hay là: ∂f = M (x , y ) ∂x ii ∂f = N (x , y ) ∂y ∫ F.dR = ∫ ∇f dR = f (B ) − f (A) : tích phân độc lập với quỹ đạo lấy tích phân C iii C ∫ FdR = C (x ,y ) f (x, y ) = ∫ FdR = Chú ý: Ta viết: ∫ (x ,y ) FdR = (x ,yo ) C ∫ Mdx + Ndy (x ,yo ) Ví dụ 5: Chứng minh trường véc tơ F = xyi + xy j khơng bảo tồn Giải:  Cách 1: ∫ Fd R phụ thuộc vào quỹ đạo C Chọn hai điểm (0,0) (1,1), lấy tích phân từ điểm thứ tới điểm thứ hai theo hai quỹ đạo khác + Đầu tiên, lấy tích phân dọc theo đường thẳng y = x ta có: ∫ FdR = C ∫ xydx + xy 2dy = ∫ (x ) + x dx = C 1 + = 12 + Mặt khác, dọc theo đường gấp khúc từ (0,0) tới (1,0) tới (1,1) ta có: ∫ C FdR = ∫ 0dx + ∫ y 2dy = Vì giá trị tích phân khơng nhau, nên trường F khơng bảo tồn  Cách 2: Phương pháp phản chứng: giả sử trường F bảo toàn, nên F = ∇f với f (x , y ) đó, suy mâu thuẫn + Giả sử tồn hàm f (x , y ) cho ∂f ∂x = M (x , y ) = xy ∂f ∂y = N (x , y ) = xy + Tuy nhiên lấy đạo hàm hỗn hợp thì: 52 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 ∂2 f ∂2 f = x = M y = y2 = Nx , ∂y ∂x ∂x ∂y không chúng liên tục Điều mâu thuẫn không tồn f (x , y ) Vậy nên F không bảo toàn Nhận xét: Nếu trường véc tơ F = M (x, y) i + N (x, y) j trường bảo tồn, ∂N ∂M = ∂x ∂y (1) Do điều kiện (1) điều kiện cần cho trường véc tơ bảo tồn Nhưng điều kiện đủ hay chưa? Định lý Green Mục đích : Xét mối liên hệ tích phân đường tích phân bội hai ℝ Điều kiện ∂M ∂N = ∂y ∂x có đủ đảm bảo F = M (x, y) i + N (x, y) j trường bảo tồn hay khơng ? a Khái niệm: Trong ℝ + Đường cong đóng đường cong mà điểm cuối B trùng với điểm đầu A + Một đường cong phẳng gọi đơn khơng tự cắt + Một đường cong đơn, đóng định hướng tuyệt đối ta biên miền bên ln nằm bên tay trái b Định lý Green: Nếu (C) đường cong đóng, đơn, trơn (từng khúc), bao quanh miền R ℝ2 , M (x , y ) , N (x , y ) liên tục có đạo hàm riêng liên tục dọc theo (C) R thì: 53 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020  ∂N ∂M  Mdx + Ndy = ∫C ∫∫  ∂x − ∂y dA  R  Ví dụ 6: Tính giá trị tích phân đường I = ∫ (3x − y )dx + (x + 5y )dy C đường tròn đơn vị (C ) : x = cos t, y = sin t với t biến thiên từ đến 2π Giải  Cách 1: Tính trực tiếp tích phân ta có 2π I = ∫ (3 cos t − sin t )(− sin t ) + (cos t + sin t )(cos t )dt 2π = ∫ 2 sin t cos t + 1 dt = (sin t +t ) 2π = 2π  Cách 2: Áp dụng Định lý Green: Để ý (C) đường cong kín thỏa mãn Định lý Green bao quanh hình trịn đơn vị R + M = 3x − y N = x + 5y , ta có ∂M = −1 ∂y + Từ : I = ∂N =1 ∂x ∫ (3x − y )dx + (x + 5y )dy = ∫∫ 1 − (−1)dA C R = ∫∫ dA = 2π (2 lần diện tích hình trịn đơn vị) R Ví dụ 7: Tính tích phân đường I = ∫ (2y + ) ( ) + x dx + 5x − e y dy C đường tròn (C ) : x + y = Giải: + Việc tính tích phân đường theo cách thơng thường khó khăn + Do (C) đường cong đóng giới hạn miền R thỏa mãn Định lý Green + Vì M = 2y + + x N = 5x − e y nên ∂M =2 ∂y hàm liên tục ∂N =5 ∂x + Do đó, theo Định lý Green ta có: I = ∫∫ (5 − 2)dA =3∫∫ dA =3S R C = 3.4 π = 12π R với R hình trịn bán kính 54 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 Ví dụ 8: Nếu R miền áp dụng Định lý Green, chứng minh diện tích A R xác định cơng thức A= Giải −ydx + xdy 2∫ C + Vì M (x , y ) = −y, N (x , y ) = x , ∂M = −1 ∂y (2) ∂N =1 ∂x + Áp dụng định lý Green ∫ −ydx + xdy = ∫∫ 1 − (−1) dA = 2∫∫ dA = 2A , C R R + Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ 9: Sử dụng cơng thức (2) để tính diện tích miền phẳng giới hạn đường ellip (E): x y2 + =1 a b2 Giải x = a cos t + Tham số hoá elip  t biến thiên từ đến 2π y = b sin t + Áp dụng cơng thức (2) ta có: 2π 1 A = ∫ −ydx + xdy = ∫ (−b sin t )(−a sin t + cos t.b cos t ) dt 2C 2π = ∫ abdt = πab (đvdt) c Điều kiện đủ cho trường bảo toàn: Xét trường véc tơ F = M (x, y) i + N (x, y) j + Nếu (C ) quỹ đạo đóng, đơn miền xác định F , miền đóng R xác định (C ) theo Định lý Green ta có:    ∂N − ∂M dA F d R = Mdx + Ndy = ∫ ∫ ∫∫  ∂x ∂y  C C R ∂M ∂N = tích phân bội hai khơng tích phân đường khơng Nếu tích phân ∂y ∂x đường khơng đường cong đóng đơn, khơng quỹ đạo đóng miền R , suy + Nếu 55 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 F trường bảo tồn Chúng ta nhấn mạnh miền đóng giới hạn (C ) nằm hoàn toàn miền xác định F , để đảm bảo miền xác định F phải đơn liên Điều kiện cần đủ: Nếu miền xác định trường véc tơ F = M (x, y) i + N (x, y) j đơn liên F bảo tồn điều kiện ∂M ∂N = ∂y ∂x  Câu hỏi: Nếu trường véc tơ F = M (x, y)i + N (x, y)j bảo toàn, tức F = ∆f với hàm f (x , y ) - hay nói cách khác: tồn hàm số f (x, y ) cho:  ∂f  = M (x , y )  ∂x  ∂f  = N (x , y )   ∂y Khi ta tìm hàm vị f (x , y ) cách nào? (3) (4)  Giải quyết: Bước 1: Ta tích phân hai vế hai phương trình (3) (4), chắng hạn tích phân hai vế (3) suy f (x , y ) = ∫ M (x, y)dx + g(y) (5) Bước 2: Sau lấy đạo hàm hai vế hàm số (5) vừa tìm theo biến y ta nhận được: ∂f =? ∂y Bước 3: Từ (4) (6) tìm g(y ) = ? Bước 4: Kết hợp lại ta có kết Ví dụ 10: Tìm vị f (x , y ) trường véc tơ F = Giải (6) (y ) + i + 2xyj + Chúng ta có M (x , y ) = y + 1, N (x , y ) = 2xy , MXĐ F ℝ2 ∂M ∂N = hàm liên tục ℝ , suy F trường bảo tồn tồn ∂y ∂x hàm vị f cho : + Dễ thấy 56 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020   ∂f = M (x, y ) = y + (7)  ∂x  ∂f (8)  ∂y = N (x , y ) = 2xy  + Lấy tích vế phân theo biến x (trong cố định y ) (7) , ta thu được: f (x, y ) = xy + x + g(y ) , g (y ) hàm biến y (9) + Lấy đạo hàm theo biến y hàm số (9) vừa tìm ta nhận được: ∂f ∂y = 2xy + g '(y ) (10) + So sánh (8) với (10) suy : ∂f ∂y = 2xy ⇒ g '(y ) = , nên hàm g (y ) = C , số C tuỳ ý + Vậy vị cần tìm : f (x , y ) = xy + x + C + Dễ dàng kiểm tra rằng: f = F Bài tập nhà: Tr 185, 193 Ôn tập chuẩn bị Thi hết môn 57 nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN TẬP ĐỀ SỐ Câu Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc pháp tuyến với mặt cong ( S ) : x − 2xyz = 21 điểm P (3;1;1) Câu Tìm cực trị hàm số hai biến: z = (x − y )e y I   xy 2dxdy Câu Tính tích phân bội hai sau: : với D miền giới hạn đường : D y2  x , y  , y2  4x Câu Xét (C ) đường cong nối từ gốc tọa độ tới điểm A(1;1) Hãy chứng minh tích phân I = ∫ y(e xy − y )dx + x (e xy − 2y )dy C không phụ thuộc vào đường lấy tích phân; sau tính tích phân cách chọn đường (C ) cụ thể ĐỀ SỐ Câu Cho hàm số: u ( x, y, z )    x yz Tìm đạo hàm theo hướng u  OM điểm M (1; 1; 1) xyz với O(0 ; ; 0) Câu Tìm cực trị hàm số Câu Tính tích phân I = z = xy(3 − x − y) ∫∫ D y =x y= D miền giới hạn đường x x =2 , Câu Tính tích phân đường : , x2 dxdy , y2 K =∫ C −xy dx + ln(1 + x )dy , với C biên miền giới hạn 1+x đường y = 0, x + y = 2, x = 58 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 2019 -2 020 ĐỀ SỐ Câu Chứng minh hàm số z  xye x  y2 thỏa mãn phương trình sau :  zx z y   z  x y y x Câu Tìm cực trị hàm số   ; x  0, y   z  xy (3  x  y ) Câu Tính tích phân lặp sau cách thay đổi thứ tự lấy tích phân I  Câu  y sin( x y )dxdy Sử dụng Định lý Green tính tích phân đường sau: I   ( x  1)dy  ( y  1)dx , C C đường cong đóng xác định y  x , x  y , lấy theo chiều dương CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO! 59 nhtho.wordpress.com ... nhtho.wordpress.com Bài giảng môn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 20 19 -2 020 y2 z2 − =1 b2 c2 + Lát cắt mặt cong mặt phẳng Oyz hyperbol : Ví dụ : Mặt hyperboloid hai tầng: − x2 y2 z2 − + =1 a2 b2 c2 + Nếu viết...  0 a Bài tập nhà: Tr 137 Chuẩn bị đọc trước: Mục 21 .1 +21 .2 cho Bài số 8: Tích phân đường mặt phẳng 42 nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 20 19 -2 020 Bài số TÍCH PHÂN... nhtho.wordpress.com Bài giảng mơn Giải tích TS Nguyễn Hữu Thọ 1 /2 y + Do tích phân cho tính: ∫ ∫ 2ydxdy = ∫ 0 y ( 20 19 -2 020 ) y1 /2 3 /2 2xy  dy = ∫ 2y − 2y dy = 15   y + Trong miền xét, hàm số dấu tích