Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt pptx

Vì T là compắc nên f liên tục đều trênT, do đó ta có thể lấy được một phép chia P0 mịn hơn P với kích thước các hìnhhộp con đủ nhỏ sao cho với bất kì hình hộp con R của P0mà là tập con c

Tích phân Đường, Tích phân Mặt

Huỳnh Quang Vũ

Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ ChíMinh Email: hqvu@hcmus.edu.vn

S

VU

Đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên Khoa Toán-Tin vào học kì thứ 3 Tập bài giảng này không thay thế giáo trình Giáo trình chính tương đương

với quyển sách của Stewart [Ste08] Mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài

liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học.

Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn.

Đây là một bản thảo, sẽ được tiếp tục sửa chữa Bản mới nhất có trên trang web http://www.math.hcmus.edu.vn/ ∼ hqvu.

Ngày 7 tháng 9 năm 2011

Chương 1 Tích phân bội 1

Điều duy nhất tôi có thể nói là bạn phải làm việc gắng sức và đó là điều chúng ta thực hiện Bạn làm việc và làm việc, suy nghĩ và suy nghĩ Không có công thức nào khác.

Mikhail Gromov, 2009

Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phânmột chiều Do đó các ý chính đã quen thuộc và không khó Người đọc có thể xemlại phần tích phân một chiều để dễ theo dõi hơn.

1.1.1 Chia nhỏ hình hộp Một khoảng (interval) là một tập con củaR có dạng

Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích bằng chiều dài(length) Khi

n=2 ta thường dùng từdiện tích(area)

Mộtphép chia(hay phân hoạch) (partition) của một khoảng[a, b]là một tậpcon hữu hạn của khoảng[a, b]mà chứa cả a và b

Ta thường đặt tên các phần tử của một phép chia là x0, x1, , xnvới

i=1Pilà một phép chia của hình hộp I

Mộthình hộp con(subrectangle) là một tích các khoảng con của các cạnh củahình hộp ban đầu Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng∏n

i=1Titrong

đó Tilà một khoảng con của khoảng[ai, bi]ứng với phép chia Pi

1.1.2 Ví dụ. Tập P = {0,12, 1}là một phép chia của khoảng [0, 1] Đối với hìnhhộp[0, 1]2thì Q = P×P = {(0, 0),(0,12),(0, 1),(12, 0),(12,12),(12, 1)}là một phépchia Hình hộp[0,12] × [12, 1]là một hình hộp con ứng với phép chia Q

1

Cho P và P0là hai phép chia của hình hộp I Nếu P ⊂ P0thì ta nói P0làmịnhơn (finer) P.

1.1.3 Ví dụ P= {0,12, 1}là một phép chia của khoảng[0, 1], và{0,13,12, 1}là mộtphép chia mịn hơn P

1.1.2 Ý của tích phân trên hình hộp Ý của tích phân Riemann đã quen thuộc,

ta chỉ nhắc lại dưới đây

Cho I là một hình hộp, và f : I→R Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên

hình hộp I Ta sẽ chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con Trên mỗi hìnhhộp con đó ta xấp xỉ giá trị của hàm f bằng một hàm hằng Nếu như hàm f liêntục thì lượng biến thiên của giá trị của f sẽ nếu như kích thước của hình hộp con

là “nhỏ”, do đó sự xấp xỉ bằng hàm hằng sẽ là “tốt” Nếu ta cho số hình hộp contăng lên vô hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng

Sau đây là một cách giải thích hình học Giả sử thêm hàm f là không âm, tamuốn tìm "thể tích" của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I Ta sẽxấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiềucao là một giá trị của f trong hình hộp con đó Khi ta cho số hình hộp tăng lên vôhạn thì sẽ được giá trị đúng của thể tích

Cụ thể hơn, với một phép chia P của I, thành lậptổng Riemann

I f là tổng giá trị của hàm f trên miền I.1

1.1.3 Định nghĩa tích phân trên hình hộp Để làm chính xác ý tưởng trên tacần làm rõ quá trình giới hạn Có thể làm được việc này, nhưng chúng ta sẽ không

đi vào chi tiết hơn Thay vào đó chúng ta sẽ dùng một cách trình bày khác của JeanGaston Darboux Ý tưởng của cách trình bày này có lẽ không dễ hiểu bằng cáchcủa Riemann những nó có phần đơn giản hơn về kỹ thuật

Cho hình hộp I trongRn Cho hàm f : I→Rbị chặn

1Kí hiệu R

do Gottfried Leibniz đặt ra Nó đại diện cho chữ cái "s" trong chữ Latin "summa" (tổng).

Cho phép chia P của hình hộp I Gọi

f)|R|

được gọi làtổng trên(upper sum), hay xấp xỉ trên

1.1.4 Bổ đề. Nếu phép chia P0là mịn hơn phép chia P thì

L(f , P0) ≥L(f , P),và

Một hệ quả của kết quả trên là chặn trên nhỏ nhất của các xấp xỉ dưới supPL(f , P)

và chặn dưới lớn nhất của các xấp xỉ trên infPU(f , P)tồn tại, và supPL(f , P) ≤

infPU(f , P)

1.1.6 Định nghĩa (Tích phân Riemann) Cho hình hộp I Một hàm f : I →R là

khả tích(integrable) nếu f bị chặn và supPL(f , P) =infPU(f , P)

Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định nghĩa là số thựcsupPL(f , P) =infPU(f , P), và được kí hiệu làR

thường được viết làR R

If(x, y)dA Khi n=3 ta cótích phân bội ba(triple integral),thường được viết làR R R

I f(x, y, z)dV Hiện giờ dx, dA và dV chỉ là kí hiệu để chỉloại tích phân

1.1.4 Tính chất của tích phân Những tính chất quen thuộc sau có thể đượcchứng minh dễ dàng từ 1.2.1, giống như trường hợp hàm một biến

1.1.8 Mệnh đề. Giả sử f và g khả tích trên hình hộp I, và c là một số thực, khi đó:(1) f+gkhả tích vàR

I(f +g) =RIf +RIg

(2) c f khả tích vàR

Ic f =cR

I f (3) Nếu f ≤gthìR

1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích:

Z Z

[0,1]×[1,4](x2+√

y)sin(xy2)dA=10

1.2 Sự khả tích

1.2.1 Mệnh đề. Cho f bị chặn trên hình hộp I Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ

nếu với mọi e>0 có phép chia P của I sao cho U(f , P) −L(f , P) =∑R(supRf−

U(f , P0) <e+

Z

I fLấy P00là mịn hóa chung của P và P0 Khi đó

U(f , P00) −L(f , P00) ≤U(f , P0) −L(f , P) <2e

(⇐) Giả sử với e > 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U(f , P) −

L(f , P) < e Bất đẳng thức này dẫn tới 0 ≤ infPU(f , P) −sup L(f , P) < evới

mọi e>0 Do đó infPU(f , P) =supPL(f , P) 

Sau đây là một điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho sự khả tích, rất thườngđược dùng:

1.2.2 Định lí (liên tục thì khả tích) Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khảtích trên đó

CHỨNG MINH Ta sẽ dùng các kết quả sau trong Giải tích 2 (bạn đọc nên xemlại):

(1) Một tập con củaRnlà compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn

(2) Một hàm thực (tức một hàm vàoR) liên tục trên một tập con compắc của

Rnthì bị chặn trên đó

(3) Một hàm thực liên tục trên một tập con compắc củaRnthì liên tục đềutrên đó

Bây giờ cho f là một hàm liên tục trên hình chữ hộp I Khi đó f liên tục đều trên

I, do đó cho trước e>0, có δ>0 sao cho||x−y|| <δ⇒ f(x) − f(y) <e.Lấy một phép chia P của I sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong một

hình hộp con của P là nhỏ hơn δ Điều này không khó: nếu chiều dài cạnh lớn nhất trong tất cả các hình hộp con của P không quá δ thì chiều dài của một đường chéo

của một hình hộp con không quá√nδ.

Với phép chia P, cho hai điểm x, y bất kỳ thuộc về một hình hộp con R thì

f(x) −f(y) <e Suy ra supRf−infRf ≤e Vì thế

U(f , P) −L(f , P) =∑

R

(supR

Nếu ta lấy phép phân chia P của[0, 1]sao cho chiều dài của các khoảng con

nhỏ hơn e thì sai khác giữa U(f , P)và L(f , P)nhỏ hơn e Vì thế hàm f khả tích.

Chú ý rằng f không liên tục tại 12

Với bất kì phép chia P nào của khoảng[0, 1]ta có L(f , P) =0 and U(f , P) =1 Do

đó f không khả tích Chú ý rằng f không liên tục tại bất kì điểm nào

1.2.1 Tập có thể tích không

1.2.5 Định nghĩa. Một tập con C củaRnđược gọi là cóthể tích không(of content

zero) (còn gọi là không đáng kể - negligible) nếu với mọi số e > 0 có một họ cáchình hộp{U1, U2, , Um}sao choSmi=1Ui ⊃Cvà∑m

i=1|Ui| <e.Nói cách khác, một tập con của Rn là có thể tích không nếu ta có thể phủ(cover) tập đó bằng hữu hạnhình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương chotrước bất kì

1.2.6 Ví dụ. Dễ thấy tập hợp gồm một điểm trongRncó thể tích không Mở rộnghơn một chút, một tập con hữu hạn củaRncó thể tích không

Một tập vô hạn cũng có thể có thể tích không, ví dụ như cạnh của một hìnhchữ nhật trongR2 Về sau ta sẽ thấy nhiều tập khác có thể tích không Vì vậy điềukiện đủ sau là một kết quả mạnh:

1.2.7 Định lí (liên tục trừ ra tập thể tích không thì khả tích) Một hàm thực bịchặn trên một hình hộp và liên tục trên đó trừ ra một tập có thể tích không thì khảtích trên đó

CHỨNG MINH Gọi f là một hàm thực bị chặn trên hình hộp I, do đó có số thực

Msao cho| (x)| ≤ Mvới mọi x∈I Cho C là tập hợp các điểm thuộc I mà tại đó

hàm f không liên tục Giả thiết rằng C có thể tích không Cho e>0, có một họ các

hình hộp U phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn e Mở rộng mỗi hình hộp thuộc U

thành một hình hộp mới có kích thước lớn hơn, để được một họ mới các hình hộp

U0phủ C với tổng thể tích nhỏ hơn 2e Có thể giả sử mỗi hình hộp Ui0thuộc U0làmột tập con của I, bằng cách thay Ui0bằng Ui0∩Inếu cần

Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ đỉnh của các hìnhhộp thuộc U0làm các điểm chia trên các cạnh của I

Chú ý rằng một hình hộp con của P mà không phải là tập con của một hìnhhộp thuộc U0thì sẽ rời khỏi C Gọi T là hội của các hình hộp con như vậy Khi đó

f liên tục trên T

Bây giờ ta làm tương tự như ở 1.2.2 Vì T là compắc nên f liên tục đều trên

T, do đó ta có thể lấy được một phép chia P0 mịn hơn P với kích thước các hìnhhộp con đủ nhỏ sao cho với bất kì hình hộp con R của P0mà là tập con của T ta cósupRf −infRf <e Khi đó với P0ta có

∑

R⊂T

(supR

1.2.8 Định nghĩa (độ đo không) Một tập con C củaRn là cóđộ đo không(of

measure zero) nếu với mọi số e >0 có một họ các hình hộp{U1, U2, , Un, }

sao choS∞

i=1Ui ⊃Cvà∑∞n=1|Un| <e.2

Nói cách khác, một tập con củaRnlà có độ đo không nếu ta có thể phủ tập đóbằng một họđếm đượchình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn số dương cho trước bấtkì

1.2.9 Ví dụ. Một tập có thể tích không thì có độ đo không

Một mệnh đề P(x)thường được gọi là đúnghầu khắp(almost everywhere)nếu nó đúng với mọi x trừ ra một tập có độ đo không

1.2.10 Định lí (khả tích=bị chặn+liên tục hầu khắp) Một hàm thực bị chặn trênmột hình hộp là khả tích trên hình hộp đó khi và chỉ khi tập hợp những điểm tại

đó hàm không liên tục có độ đo không

Nói cách khác, một hàm bị chặn là khả tích trên một hình hộp khi và chỉ khi

nó liên tục hầu khắp trên đó

1.2.11 Ví dụ. Sau đây là một ví dụ kinh điển của một hàm khả tích có tập hợp cácđiểm không liên tục có độ đo không nhưng không có thể tích không

Rõ ràng f không liên tục tại các số hữu tỉ Mặt khác có thể chứng minh là f liêntục tại các số vô tỉ (Bài tập 1.2.20) Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng[0, 1]có độ

đo không nhưng không có thể tích không (Bài tập 1.2.21)

Hóa ra hàm f khả tích Thực vậy, cho e >0, gọi Celà tập hợp các số hữu tỉ xtrong[0, 1]sao cho nếu x= pq ở dạng tối giản thì1q ≥e Vì 0≤ p≤q≤ 1e, nên tập

Celà hữu hạn Ta phủ Cebằng một họ U gồm hữu hạn các khoảng con rời nhau củakhoảng[0, 1]có tổng chiều dài nhỏ hơn e Các điểm đầu mút của các khoảng này

sinh ra một phép chia P của khoảng[0, 1] Ta có∑R∈U(supRf)|R| ≤∑R∈U|R| <e.Trong khi đó nếu số x = pq ở dạng tối giản không thuộc Ce thì 1q < e, do đó

∑R/ ∈U(supRf)|R| < e∑R/ ∈U|R| ≤ e Vậy U(f , P) < 2e Từ đây ta kết luận f khả

Để chứng minh định lí này chúng ta cần bổ đề sau đây:

1.2.13 Bổ đề. (1) Nếu một tập con củaRncó thể tích không thì bao đóng của

nó cũng có thể tích không

(2) Hội của một tập con củaRncó độ đo không và một tập con củaRncó thểtích không là một tập có độ đo không

Có thể chứng minh bổ đề này một cách dễ dàng từ các định nghĩa

CHỨNG MINH1.2.12 Gọi C là tập hợp các điểm tại đó f không liên tục Theogiải thiết C có độ đo không Gọi D là tập các điểm tại đó g(x) 6= f(x), thì D có thểtích không, do đó theo 1.2.13 bao đóng D của D cũng có thể tích không

Nếu một điểm x0không thuộc D thì có một lân cận của x0mà trên đó f(x) =

g(x) Vì lí do này g liên tục tại x0khi và chỉ khi f liên tục tại x0 Vậy tập hợp cácđiểm tại đó hàm g không liên tục là một tập con của tập C∪D Theo 1.2.13 tập

C∪Dcó độ đo không Vậy g khả tích

Giờ ta chứng minhR

I f =R

Ig Đặt h=g−f thì h khả tích, và h(x) =0 trừ ratrên D Ta chỉ cần chứng minhR

Ih=0

Lấy một phép chia P của I bất kì và xét một hình hộp con R của P bất kì Vì D

có thể tích không trong khi R có thể tích khác không nên D không thể chứa R Do

đó có điểm x trong R không thuộc D, và h(x) =0

Từ quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤0 và U(h, P) ≥0 Vì h khả tích nên ta phải

cóR

1.2.3 * Chứng minh Định lí 1.2.10

1.2.14 Bổ đề. Trong Định nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình hộp đóng có thể được thaybằng hình hộp mở, chính xác hơn, giả thiết phủ bằng một họ các hình hộp có thểđược thay bởi giả thiết phủ bằng một họ phần trong của các hình hộp.

CHỨNG MINH Cho e > 0 Ta cần chứng minh rằng nếu có một phủ của Abằng các hình hộp đóng U1, U2, sao cho∑∞i=1|Ui| < ethì có phủ của A bằngphần trong của các hình hộp V1, V2, sao cho∑∞i=1|Vi| <e

Giả sử ∑∞i=1|Ui| = δ < e Lấy δ0 sao cho 0 < δ0 < e−δ Với mỗi hình hộp

Uilấy hình hộp Vi có cùng tâm với Ui nhưng lớn hơn một chút, cụ thể là sao cho

|Ui| < |Vi| < |Ui| +δ0

2 i.Khi đó họ các phần trong của các hình hộp V1, V2, phủ A và

1.2.15 Bổ đề. Một tập compắc có độ đo không thì có thể tích không

CHỨNG MINH Giả sử A là compắc và có độ đo không Cho e>0 Theo 1.2.14

có một phủ của A bởi một họ đếm được các phần trong của các hình hộp sao cho

tổng thể tích của các hình hộp đó nhỏ hơn e Vì A compắc nên từ phủ mở trên có

Cho f là một hàm bị chặn trên miền xác định là một tập con D củaRn, và cho

x∈D Định nghĩadao động(oscillation) của f tại x là số thực

1.2.16 Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o(f , x) =0

CHỨNG MINH (⇒) Giả sử o(f , x) = 0 Cho trước e > 0, có δ > 0 sao chosupB(x,δ) f −infB(x,δ) f < e Suy ra f(y) − f(x) < evà f(x) − f(y) < e, vì thế

| (y) − f(x)| <evới mọi y∈ B(x, δ) ∩D Vậy f liên tục tại x

(⇐) Giả sử f liên tục tại x Cho số dương e, có δ>0 sao cho| (y) −f(x)| <e

với mọi y ∈ B(x, δ) Vì vậy với y, z ∈ B(x, δ) ta có| (y) − f(z)| < 2e Suy ra

supB(x,δ) f−infB(x,δ) f ≤2e Vậy o(f , x) =0 

1.2.17 Bổ đề. Với mọi e>0, tập{x∈D|o(f , x) ≥e}là tập đóng trong D

CHỨNG MINH Ta sẽ chứng minh rằng A = {x ∈ D | o(f , x) < e}là tập

mở trong D Giả sử x ∈ A Có δ>0 sao cho supB(x,δ) f −infB(x,δ)f <e Lấy y ∈

B(x, δ) ∩D Lấy δ0 >0 sao cho B(y, δ0) ⊂B(x, δ) Khi đó supB(y,δ0 ) f−infB(y,δ0 )f <

supB(x,δ) f−infB(x,δ) f <e Điều này dẫn tới y∈ A 

CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA1.2.10 Phần này được phát triển từ chứngminh của 1.2.7, dùng kĩ thuật trong 1.2.11

Giả sử| (x)| ≤ Mvới mọi x trong hình hộp I Gọi C là tập các điểm trong Itại đó f không liên tục Giả sử C có độ đo không, ta sẽ chứng minh rằng f khả tíchtrên I bằng cách dùng 1.2.1.

Cho trước e > 0 Đặt Ce = {x ∈ I | o(f , x) ≥ e} Khi đó Ce là một tậpcompắc trongRnvà là tập con của C Do 1.2.15 và 1.2.14có một họ U các hình hộp

U1, U2, , Um(có thể giả sử mỗi hình hộp này là tập con của I) sao cho Ceđượcphủ bởi họ các phần trong của các Ui, nghĩa là C⊂Sm

i=1

◦

Ui, và∑m

i=1|Ui| <e.Đặt T = I\Smi=1 U◦i Khi đó T rời khỏi Ce Với mỗi x ∈ T ta có o(f , x) <

e Có hình hộp Rx là lân cận của x trong I sao cho supRx f −infRx f < e Họ

{R◦x |x ∈ T}là một phủ mở của tập compắc T, do đó có một phủ con hữu hạn

{Ri| =1, 2, , k}

Các hình hộp Ri và Uj, 1≤ i ≤ kvà 1 ≤ j ≤ msinh ra một phép chia nhỏ Pcủa I (tạo ra từ các tọa độ đỉnh của các hình hộp)

Với mỗi hình hộp con R của P nằm trong T ta có R⊂Rivới i nào đó, và vì thếsupRf −infRf <e Do đó

∑

R⊂T

(supR

Tổng quát hơn, hội của một họ đếm được các tập có độ đo không là một tập

có độ đo không Có thể chứng minh điều này bằng cách hoàn toàn tương tự nhưtrong chứng minh dưới đây

CHỨNG MINH Giả sử Ai, i ∈ Z+ là một tập có thể tích không Đặt A =

U1,1, U1,2, , U1,n1, U2,1, U2,2, , U2,n2, U3,1, Đây là một phủ đếm được của A có tổng diện tích nhỏ hơn∑∞i=12ei =e Vậy A có

1.2.19 Bổ đề. Biên của một hình hộp có thể tích không

CHỨNG MINH Do 1.2.18 ta chỉ cần chứng minh mỗi mặt của một hình hộpn-chiều có thể tích không trongRn Mỗi mặt của hình hộp là một tập hợp D các

điểm có dạng(x1, x2, , xi, , xn)với aj≤xj≤bjcho j6=ivà xi =c Cho trước

e>0 Lấy hình hộp R phủ D có cạnh ở chiều thứ i đủ bé, cụ thể R gồm các điểm

có dạng(x1, x2, , xi, , xn)với aj≤xj ≤bjcho j6=ivà c−δ≤xi≤c+δ Khi

CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA1.2.10 Giả sử| (x)| ≤ Mvới mọi xtrong hình hộp I và f khả tích trên I Gọi C là tập các điểm trong I tại đó f liên tục.Đặt C1/m = {x ∈ I |o(f , x) ≥ 1/m} Khi đó C = S∞

m=1C1/m Ta sẽ chứng minhmỗi tập C1/mcó thể tích không, và do đó theo 1.2.18 tập C có độ đo không

Cho e>0 Vì f khả tích nên có phép chia P của I sao cho U(f , P) −L(f , P) <

hộp sao cho tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn e Do đó C1/mđược phủbởi họ S∪Q với tổng thể tích nhỏ hơn (m+1)e Ta kết luận C1/m có thể tích

Bài tập

1.2.20. Hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.2.11 liên tục tại các số vô tỉ

Hướng dẫn: Giả sử x ∈ [ 0, 1 ] là một số vô tỉ và {pn

q n }n∈Z+ là một dãy các số hữu tỉ hội tụ về x Nếu dãy { n}n∈Z+ không tiến ra vô cùng thì sẽ có một số thực M sao cho với mọi k ∈Z+ có nk> k sao cho

q n k < M Dãy { nk}k∈Z+ bị chặn, nên có dãy con { n

I| |

1.3 Định lí FubiniĐịnh lí Fubini Theorem là công cụ chính để tính tích phân bội.

Sau đây là một dạng thường dùng của định lí Fubini trong không gian haichiều

1.3.1 Định lí (Định lí Fubini trong không gian hai chiều) Cho f liên tục trênhình chữ nhật[a, b] × [c, d] Khi đó

Z Z

[a,b]×[c,d] f(x, y)dA=

Z[a,b]

Z[c,d]f(x, y)dydx=

Z[c,d]

Z[a,b]f(x, y)dxdy

Các tích phân bên vế phải của đẳng thức trên được gọi là cáctích phân lặp

Ta có cách giải thích hình học như sau Giả sử f > 0 Khi đóR

Có thể giải tích điều này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau Chiakhoảng[a, b]thành những khoảng con Ứng với những khoảng con này, khối đượccắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song Vì chiều dài mỗi khoảng con

là nhỏ, ta có thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân vớichiều dài của khoảng con

Có thể giải thích công thức Fubini theo cách định lượng như sau: tổng giá trịcủa hàm trên hình hộp bằng tổng giá trị trên các mặt cắt

Cũng có thể giải thích bằng xấp xỉ theo tổng Riemann như sau Giả sử a =

x0 < x1 < · · · < xm = blà một phân hoạch của khoảng[a, b]và c = y0 < y1 <

· · · <yn =dlà một phân hoạch của khoảng[c, d] Khi đó ta có thể xấp xỉ như sau,

ở đây x∗i là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con∆xivà y∗i là điểm bất kì thuộc

∆yi:

Z

[a,b]

Z[c,d]f(x, y)dydx ≈

m

∑

i=1

Z[c,d]f(x, y)dy|∆xi|

1.3.2 Định lí (Định lí Fubini) Cho A là một hình hộp trongRmvà B là một hìnhhộp trongRn Cho f khả tích trên hình hộp A×BtrongRm+n Giả sử với mỗi

x∈ Atích phânR

B f(x, y)dytồn tại Khi đóZ

A×Bf =

ZA

Z

B f(x, y)dydxCác giả thiết về hàm f sẽ được thỏa mãn nếu f liên tục, do đó ta có dạngthường dùng sau:

1.3.3 Hệ quả. Cho A là một hình hộp trongRmvà B là một hình hộp trongRn.Cho f liên tục trên hình hộp A×BtrongRm+n Khi đó

Z

A×Bf =

ZA

Z

Bf(x, y)dydx=

ZB

Z

A f(x, y)dxdy

Hệ quả trong trường hợp 3 chiều là:

1.3.4 Hệ quả. Cho f liên tục trên hình hộp[a, b] × [c, d] × [e, f] Khi đó

Z Z Z

[a,b]×[c,d]×[e, f ]f(x, y, z)dV=

Z[a,b]

Z[c,d]

Z[e, f ] f(x, y, z)dzdydx

Và tương tự cho năm trường hợp còn lại

CHỨNG MINH1.3.2 Chứng minh này đơn giản là một cách viết chính xác cáchgiải thích bằng xấp xỉ với tổng Riemann ở trên

Gọi P là một phép chia bất kì của hình hộp A×B Khi đó P là tích của mộtphép chia PAcủa A và một phép chia PBcủa B

Đối với tổng dưới, ta có:

B f(x, y)dy]|RA|

RA

( infx∈RA∑

RB

[infy∈RB f(x, y)]|RB|)|RA|

RA

( infx∈RA∑

Đây là một chứng minh dùng tích phân bội của một định lí quen thuộc trong Giải tích

2, đôi khi được gọi là Định lí Clairaut

1.4 Tích phân trên tập tổng quátBây giờ ta phát triển lí thuyết tích phân trên tập tổng quát hơn hình hộp.Chúng ta chỉ xét các tập con của Rn Để ngắn gọn hơn ta sẽ dùng từmiền(region) để chỉ một tập con củaRn Hơn nữa chúng ta chỉ xét những miền bị chặn.Nhớ lại rằng trong Giải tích 1 để xét tích phân trên khoảng không bị chặn (hoặctích phân của những hàm không bị chặn) ta đã phải dùng đến giới hạn và do đó

có khái niệm tích phân suy rộng

Giả sử rằng D là một miềnbị chặn,và f : D → R Vì D bị chặn nên có hình

Ta nhận thấy ngay định nghĩa này không mâu thuẫn với định nghĩa đã có khi

Dlà một hình hộp Một điều kiện cần để tích phân của f trên D được định nghĩa

là f phảibị chặntrên D

Định nghĩa tích phân của f trên D cần phải không phụ thuộc vào cách chọnhình hộp I

1.4.2 Bổ đề. Tích phânR

D f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I

CHỨNG MINH Giả sử F1là mở rộng của f lên I1⊃D, bằng không ngoài D và

F2là mở rộng của f lên I2⊃D, bằng không ngoài D Ta cần chứng minh điều sau:nếu F1khả tích trên I1thì F2khả tích trên I2, và khi đóR

I1F1=R

I2F2.Đặt I3 = I1∩I2, ta chứng minh điều sau là đủ: F1khả tích trên I1khi và chỉkhi F3khả tích trên I3, và khi đóR

I1F1=RI

3F3.Đặt F10 xác định trên I1sao cho F10 trùng với F1trừ ra trên biên của I3, nơi mà

F10được định nghĩa là bằng không Vì F10chỉ khác F1trên một tập có thể tích khôngnên theo 1.2.12 F10khả tích khi và chỉ khi F1khả tích, và khi đóR

I1F10 =R

I1F1.Một phép chia bất kì P của I3sinh ra một phép chia P0của I1bằng cách thêmvào tọa độ các đỉnh của I1 Bất kì một hình hộp con nào của P cũng là một hìnhhộp con của P0, từ đó U(F3, P) = U(F10, P0)và L(F3, P) = L(F10, P0)(ở chỗ này códùng giả thiết F10bằng không trên biên của I3) Do tiêu chuẩn 1.2.1 ta kết luận nếu

F3khả tích thì F10khả tích, và khi đóR

I1F10=R

I3F3.Mặt khác, một phép chia bất kì cho trước P0của I1sinh ra một phép chia P00của I1mịn hơn P0bằng cách thêm vào tọa độ các đỉnh của I3 Hạn chế P00lên I3tađược một phép chia P của I3 Giống như đoạn vừa rồi ta có U(F3, P) = U(F10, P00)

và L(F3, P) = L(F10, P00) Do đó nếu F10 khả tích thì F3khả tích và khi đó tích phân

1.4.1 Thể tích của miền tổng quát Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân.

1.4.3 Định nghĩa. Cho D là một tập con bị chặn củaRn.Thể tích(n chiều) của Dđược định nghĩa là giá trị của tích phânR

D1

Ta thường thay từ thể tích (volume) bằng từ diện tích (area) khi số chiều n=2

và bằng từ chiều dài (length) khi n=1 Ta thường kí hiệu thể tích của D bằng|D|

Từ ý của tích phân, ta có thể thấy ý của thể tích, đó là xấp xỉ trong và xấp xỉngoài miền đã cho bằng hội của những hình hộp thích hợp

HÌNH1.4.1 Xấp xỉ ngoài và xấp xỉ trong diện tích của một hình tròn

1.4.4 Định lí. Một tập con bị chặn củaRncó thể tích khi và chỉ khi biên của nó cóthể tích không

Để chứng minh định lí này ta cần bổ đề sau:

1.4.5 Bổ đề. Biên của một tập con bị chặn củaRn có độ đo không khi và chỉ khi

CHỨNG MINH1.4.4 Cho D là miền bị chặn trongRn, lấy một hình hộp I chứa

Dvà lấy hàm F bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D Tập hợp các điểm không liên tụccủa F là chính tập biên của D Vậy F khả tích khi và chỉ khi biên của D có độ đokhông, và điều này xảy ra khi và chỉ khi nó có thể tích không 

1.4.2 Sự khả tích Tích phânR

D f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phânR

IFtồn tại.Theo 1.2.10 ta biết tích phânR

IFtồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I.Tập điểm tại đó F không liên tục gồm những điểm trên D mà f không liên tục

và có thể một số điểm khác trên biên của D

1.4.6 Định lí. Cho D là tập con bị chặn củaRnvới biên ∂D có thể tích không Khi

đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D

CHỨNG MINH Cho C là tập những điểm tại đó f không liên tục Cho I là mộthình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, bằng không ngoài D Gọi E làtập điểm tại đó F không liên tục

Như đã nói ở trên, ta có C⊂E⊂ (C∪∂D)

Nếu C có độ đo không thì C∪∂D có độ đo không, vì theo giả thiết ∂D có thể

tích không Điều này dẫn đến E có độ đo không, do đó F khả tích

Ngược lại, nếu F khả tích thì E có độ đo không, do đó C có độ đo không 

Từ kết quả về điều kiện khả tích ta có nhu cầu biết thêm ví dụ tập có thể tíchkhông Dưới đây là một kết quả đơn giản nhưng được dùng rất thường xuyêntrong môn này

1.4.7 Mệnh đề. Đồ thị của một hàm liên tục trên một miền đóng bị chặn trênRn

có thể tích không trênRn+1

CHỨNG MINH Cho f liên tục trên miền đóng, bị chặn D⊂Rn Đặt D vào bêntrong một hình hộp I rồi phân hoạch I Gọi S là họ các hình hộp con của I mà

có phần giao khác rỗng với D Vì D compắc nên f liên tục đều trên D, do đó cho

trước e >0 ta có thể phân hoạch sao cho trên mỗi hình hộp con R thuộc họ S thìsupRf −infRf <e

ba

HÌNH 1.4.2 Đồ thị của hàm liên tục có thể tích không: Minh họa

cho trường hợp hàm xác định trên khoảng đóng

Khi đó đồ thị{(x, f(x)) |x∈ D} ⊂ Rn+1được phủ bằng họ các hình hộp códạng R× [infRf , supRf]với R ∈ S Tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn

1.4.8 Ví dụ. Do kết quả này và 1.2.18, trên mặt phẳng một đoạn thẳng có diện tíchkhông, một đường tròn có diện tích không (và do đó hình tròn có diện tích), biêncủa một hình bình hành có diện tích không Trong không gian ba chiều thì mặtcầu có thể tích không (và do đó quả cầu có thể tích)

1.4.3 Tính chất của tích phân Một số kết quả trong phần này đòi hỏi nhữngđiều kiện về sự khả tích Người đọc có thể giả sử mọi thứ trong các công thức đềuđược xác định để có phát biểu đơn giản hơn.

Tương tự như kết quả cho hình hộp 1.2.12, ta có:

1.4.9 Định lí. Cho D là tập bị chặn trongRn Giả sử f và g bị chặn trên D, và

f(x) =g(x)trừ ra một tập có thể tích không Nếu f khả tích thì g cũng khả tích vàkhi đóR

Df =RDg

CHỨNG MINH Lấy một hình hộp I chứa D Gọi F và G là các mở rộng của f

và g lên I, bằng không ngoài D Khi đó F(x) =G(x)trên I trừ ra một tập có thểtích không Nếu f khả tích trên D thì theo định nghĩa F khả tích trên I Theo 1.2.12

1.4.10 Định lí. Cho D1và D2là hai tập con bị chặn củaRn Giả sử D1∩D2có thểtích không Nếu f khả tích trên D1và trên D2thì f khả tích trên D1∪D2, và khiđó

1.4.11 Ví dụ. Trong định lí trên lấy f =1, ta có kết quả: Nếu biên của D1và biêncủa D2có thể tích không, và D1∩D2có thể tích không, thì|D1∪D2| = |D1| + |D2|

Chẳng hạn khi tính diện tích một hình ta vẫn thường chia hình đó thànhnhững hình đơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong, rồi cộng cácdiện tích lại

CHỨNG MINH Đặt f1xác định trên D = D1∪D2sao cho f1 = f trên D1và

f1 = 0 trên D\D1 Tương tự, đặt f2 xác định trên D sao cho f2 = f trên D2

và f2 = 0 trên D\D2 Có thể kiểm dễ dàng là f1 và f2 khả tích trên D Ta có

Một tập con của R2 được gọi là một miền đơn theo chiều đứng (verticallysimple region) nếu nó có dạng{(x, y) ∈R2| a≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} Đây

là miền bao bởi hai đường thẳng đứng và hai đồ thị, một trong hai luôn nằm trêncái còn lại Một đường thẳng đứng nếu cắt miền thì phần giao là một đoạn thẳng.Một tập con củaR2được gọi là một miền đơn theo chiều ngang(verticallysimple region) nếu nó có dạng{(x, y) ∈R2|a≤y≤b, f(y) ≤x≤g(y)}

1.4.12 Định lí (Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản) Cho miền đơn giảntheo chiều đứng D = {(x, y) ∈R2|a≤ x ≤ b, g(x) ≤y ≤ h(x)} Giả sử g và h

bị chặn trên[a, b] Giả sử f khả tích trên D, và giả sử với mỗi x ∈ [a, b]tích phân

Z h(x) g(x) f(x, y)dydxLưu ý rằng tất cả những giả thiết của định lí về sự khả tích sẽ được thỏa mãnnếu f , g và h liên tục

CHỨNG MINH Lấy một hình chữ nhật I = [a, b] × [c, d] chứa D Gọi F là mởrộng của f bằng không ngoài D Theo định nghĩa f khả tích trên D nếu và chỉ nếu

Fkhả tích trên I, và khi đóR

Df =RIF

Theo giả thiết,Rh(x)

g(x) f(x, y)dy =R{x}×[c,d]F(x, y)dytồn tại Áp dụng Định líFubini 1.3.2 cho F, ta có

Z

IF=

Z b a

Z d

c F(x, y)dydx=

Z b a

Z h(x) g(x) f(x, y)dydx

Z Z Z

Ef(x, y, z)dV =

Z ZD

Z[0,a]F(x, y, z)dzdA

=

Z ZD

Z[0,a]F(x, y, z)dzdA

=

Z ZD

Z g(x,y)

0 f(x, y, z)dzdA

∂Dcó diện tích không trongR2ta có thể phủ nó bằng hữu hạn hình chữ nhật với

tổng diện tích nhỏ hơn e>0 Lấy tích của mỗi hình chữ nhật đó với khoảng[0, a]

ta được một phủ của ∂D× [0, a]bởi các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn ea Vậy

mặt bên hông của E có thể tích không trongR3

Theo 1.4.7 đồ thị của g có thể tích không trongR3 Miền phẳng bị chặn D có

1.4.18. Tính thể tích của khối bao bởi mặt z=4−x2−y2và mặt phẳng xOy

Z1

x ex/ydy

dx

(a) Viết lại tích phân trên dưới dạng một tích phân bội

(b) Tính tích phân trên bằng cách đổi thứ tự tích phân lặp

1.4.21. Tính tích phânR R

Dy dAtrong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bêntrên đường hyperbola xy=1, bên trên đường thẳng y=x, bên dưới đường thẳng y=2

1.4.22. Gọi E là khối được bao bởi các mặt phẳng x=0, y=0, z=0, 2x+2y+z=4 Hãytích tính phân

1.4.24. Gọi E là khối được bao phía trên bởi mặt cầu x2+y2+z2 = 2 và được bao phíadưới bởi mặt paraboloid z=x2+y2

(a) Chứng tỏ phần giao của hai mặt trên là một đường tròn

1.4.28. Nếu f :[a, b] →R khả tích thì đồ thị của f có diện tích không.

Điều ngược lại có đúng không?

1.4.29. Tích phân của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không thì bằng không

Hướng dẫn: Dùng 1.4.10 và 1.4.29.

1.4.31. (a) Chứng tỏ rằng thể tích của khối bao bởi mặt x2+ (y−z−3)2 =1, 0 ≤z ≤1bằng với thể tích của khối bao bởi mặt x2+y2=1, 0≤z≤1

-3 -2 -1 0 1 2 3

5 0

(b) Chứng minh nguyên lí Cavalieri: Nếu hai khối ba chiều có thể tích, và hai lát cắt vớibởi một mặt phẳng nằm ngang bất kì có cùng diện tích, thì hai khối đó có cùng thể tích.3

3 Bonaventura Francesco Cavalieri là một nhà toán học Ý sống vào đầu thế kỉ 17, bạn của Galileo.

1.5 Công thức đổi biến

1.5.1 Nhắc lại về đạo hàm Người đọc có thể xem lại nội dung này trong mônGiải tích 2

Cho D là một tập con của Rn, f : D → Rm, và x là một điểm trongcủa

D Hàm f được gọi là khả vi (differentiable) tại x nếu có một hàm tuyến tính

f0(x):Rn →Rm, gọi làđạo hàm(derivative) của f tại x, sao cho có một quả cầu

B(x, e) ⊂Dvà một hàm r : B(x, e) →Rmthỏa mãn:

f(x+h) = f(x) +f0(x)(h) +r(h),∀h∈B(x, e)

và

limh→0

r(h)

|h| =0.

Vậyđạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm: f(x+∆x) ≈ f(x) +f0(x)(∆x)

Đặc biệt khi m=n=1, không giống như trong Giải tích 1, bây giờ ta coi đạohàm tại một điểm không phải là một số thực mà là một ánh xạ tuyến tính

Nếu tất cả các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì ta nói f khả viliên tục(continuously differentiable) haytrơn(smooth) tại x Trong Giải tích 2 tabiết nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f0(x)

có thể biểu diễn trong cơ sở chuẩn tắc của Rn vàRm bởi ma trận các đạo hàmriêng của f tại x, một m×n-ma trận gọi là ma trận Jacobi của f tại x, kí hiệu là

Nếu có một phép vi đồng phôi từ A lên B thì ta nói Avi đồng phôimorphic) với B

(diffeo-1.5.2 Ví dụ. Hai quả cầu mở bất kì trongRnvi đồng phôi với nhau

Quan sát điều sau đây: Nếu f là một phép vi đồng phôi thì f−1◦f(x) =xvớimọi x Lấy đạo hàm hai vế, theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp ta có(f−1)0(f(x)) ◦

f0(x) = id Tương tự ta có f0(f−1(x)) ◦ (f−1)0(x) = id, với mọi x Từ đây suy ra

f0(x)là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch (song ánh)

Điều ngược lại là nội dung của một định lí rất quan trọng:

1.5.3 Định lí (Định lí hàm ngược) Cho D ⊂Rn và f : D →Rn khả vi liên tụctại x Nếu f0(x)khả nghịch thì x có một lân cận mà trên đó f là một vi đồng phôi

Nói cách khác, nếu det(Jf(x)) 6=0 thì có một lân cận mở U của x và một lâncận mở V của f(x)sao cho f : U→Vlà song ánh và f−1 : V→Ulà khả vi liêntục

Định lí này nói nôm na lànếu đạo hàm không suy biến thì hàm là vi đồngphôi địa phương

Một hệ quả mà ta sẽ dùng trong phần tiếp theo là:

1.5.4 Hệ quả. Giả sử U và V là các tập mở củaRn, và f : U→Vlà một song ánhkhả vi liên tục Nếu det Jf(x)luôn khác không thì f là một vi đồng phôi

1.5.2 Công thức đổi biến Một phép vi đồng phôi cũng được gọi là mộtphépđổi biến

1.5.5 Định lí (Công thức đổi biến) Cho A và B là hai tập mở củaRnvà ϕ : A→B

là một vi đồng phôi Cho f : B→R khả tích Khi đó

1.5.8 Ví dụ. Khi n =1 Công thức đổi biến cho phương pháp đổi biến tích phânquen thuộc trong Giải tích 1

Thực vậy, cho x =ϕ(t)với t∈ [a, b], ở đây ϕ liên tục và ϕ :(a, b) →ϕ((a, b))

là một vi đồng phôi Cho f khả tích trên ϕ([a, b])

Theo Công thức đổi biến:

Z

ϕ((a,b))f(x)dx=

Z(a,b) f(ϕ(t))|ϕ0(t)|dt

Do ϕ0(t) 6=0,∀t∈ (a, b)hoặc ϕ0(t) >0, ∀t∈ (a, b)hoặc ϕ0(t) <0, ∀t∈ (a, b)

Vì vậy hoặc ϕ là hàm tăng hoặc ϕ là hàm giảm trên[a, b]

Nếu ϕ là hàm tăng thì ϕ([a, b]) = [ϕ(a), ϕ(b)] Do đó

Z b

a f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

Z[a,b]f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

Z(a,b)f(ϕ(t))ϕ0(t)dt

f(x)dx=

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(x)dxTrong cả hai trường hợp ta được công thức đổi biến cho tích phân hàm mộtbiến:

Z b

a f(ϕ(t))ϕ0(t)dt=

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(x)dxNếu ta giả sử hàm f liên tục thì công thức trên được chứng minh trong Giảitích 1 bằng cách dụng Định lí cơ bản của Vi Tích phân (Newton-Leibniz) và Qui

tắc đạo hàm hàm hợp Thực ra trong trường hợp này ta chỉ cần hàm ϕ trơn là đủ.

HÌNH1.5.1 Diện tích của hình bình hành sinh bởi v1và v2là|det(v1, v2)|.

Có thể chứng minh trực tiếp kết quả trên một cách dễ dàng bằng cách sơ cấp.Diện tích của hình bình hành sinh bởi v1và v2là

1.5.3 Giải thích Công thức đổi biến Chúng ta sẽ không chứng minh Công

thức đổi biến vì một chứng minh sẽ khó và dài Các quyển sách [Lan97], [Rud76], [Spi65], [Mun91] có chứng minh công thức này Một dạng tổng quát hơn của công

thức này sẽ được chứng minh trong môn học Độ đo và Tích phân, thông qua tíchphân Lebesgue

Dưới đây chúng ta đưa ra một giải thích, tuy chưa phải là một chứng minh,

nhưng sẽ giúp ta hiểu rõ hơn công thức Xem thêm [Ste08, tr 1012–1017].

Để cho đơn giản, xét trường hợp A là một hình chữ nhật Ánh xạ ϕ mang miền

Atrên mặt phẳng(x, y)sang miền ϕ(A)trên mặt phẳng(u, v)

Xét một phép chia A thành những hình chữ nhật con Ta xem tác động của

ϕlên một hình chữ nhật con đại diện (x0, x0+∆x) × (y0, y0+∆y), có diện tích

∆x∆y Hàm trơn ϕ mang mỗi cạnh của hình chữ nhật này thành một đoạn cong

trên mặt phẳng (u, v), do đó ta được một "hình chữ nhật cong" trên mặt phẳng

(u, v)với một đỉnh là điểm ϕ(x0, y0)

Bây giờ ta tính diện tích hình chữ nhật cong này bằng cách xấp xỉ tuyến tính

Đoạn cong ϕ(x0, x0+∆x)sẽ được xấp xỉ tuyến tính bằng đoạn thẳng tiếp tuyến tại

ϕ(x0, y0) Vì vectơ tiếp tuyến chính là ∂ϕ

∂x(x0, y0)nên đoạn tiếp tuyến này cho bởivectơ ∂ϕ(x0, y0)∆x Tương tự, đoạn cong ϕ(y0, y0+∆y)được xấp xỉ bởi vectơ tiếp

1.5.4 Tọa độ cực Một điểm P = (x, y)trên mặt phẳngR2 trừ điểm gốc tọa

độ (0, 0)có thể được miêu tả một cách duy nhất bằng hai số thực(r, θ), với r =

px2+y2>0 và 0≤θ<2π là góc từ vectơ(1, 0)sang vectơ−→OP

Có thể thấy rằng tương ứng này không liên tục trên tia Ox Vì vậy ta phải hạnchế miền xác định là mặt phẳng bỏ đi tia Ox Khi đó ánh xạ ngược là

ϕ:(0,∞) × (0, 2π) →R2\ {(x, 0) |x≥0}

ϕ(r, θ) = (x, y) = (r cos θ, r sin θ)

Ta tính được Jϕ(r, θ) =r>0, vì vậy ϕ là một phép vi đồng phôi.

1.5.10 Ví dụ. Gọi D là hình tròn x2+y2≤ R2 Để áp dụng công thức đổi biến ta

dùng phép vi đồng phôi ϕ từ hình chữ nhật mở(0, R) × (0, 2π)sang miền D0là D

bỏ đi đường tròn biên và tia Ox Giả sử f khả tích trên D0 Tập bị bỏ đi có diện tíchkhông, do đó nó không ảnh hưởng đến tích phân, theo 1.4.30, nên:

Đặt u=x−2y và v=3x−y, và gọi biến đổi(x, y) 7→ (u, v)là ϕ−1.

Miền bao bởi các đường thẳng u =0, u=4, v=1, và v=8 là hình chữ nhật

[0, 4] × [1, 8]trong mặt phẳng(u, v), gọi là D

Như ta đã thấy, có thể kiểm tra dễ dàng rằng ánh xạ tuyến tính ϕ−1 manghình bình hành R thành hình chữ nhật D Tổng quát hơn ta có một sự kiện hữu íchtrong các tính toán ở phần này:một ánh xạ tuyến tính mang một đa giác lồi thànhmột đa giác lồi với đỉnh là ảnh của các đỉnh của đa giác ban đầu

D R

Vì ϕ−1là một ánh xạ tuyến tính, đạo hàm của nó là chính nó, được biễu diễnbởi ma trận

Vì det Jϕ 1(x, y) =5 6= 0 nên ϕ−1khả nghịch Gọi ϕ là ánh xạ ngược Khi đó

ϕ là phép đổi tọa độ mang miền D thành miền R Chính xác hơn, ϕ là phép vi

đồng phôi từ phần trong của D sang phần trong của R Biên của D và R khôngảnh hưởng đến tích phân vì chúng có diện tích không và ta đang lấy tích phânhàm liên tục

Ta không cần phải tìm công thức của ϕ để thực hiện các tính toán tiếp theo.

Vì ϕ◦ϕ−1=id nên ta có Jϕ(u, v) =Jϕ 1(x, y)−1 Vì vậy:

det Jϕ(u, v) = 1

det Jϕ 1(x, y) =

15Cuối cùng công thức đổi biến cho ta:

u

v dA=

15

Z 4 0

Z 8 1

dx. Đặt B(R)là quả cầu tâm 0 bán kính R, tức

B(R) = {(x, y) |x2+y2≤ R2} Gọi I(R)là hình vuông tâm 0 với chiều dài cạnh2R, tức I(R) = [−R, R] × [−R, R]

Vì vậy

limR→ ∞

Z ZB(R)e−(x2+y2)dA=π

2 R)nên

Z Z

B(R)e−(x2+y2)dA≤

Z ZI(R)e−(x2+y2)dA≤

Z ZB(

R→ ∞

Z ZB(R)e−(x2+y2)dA=π

Cuối cùng ta được công thức nổi tiếng:

Bài tập

1.5.12. Tính tích phân

Z Z

Dx2dAtrong đó D là miền bao bởi ellipse 3x2+4y2=8

1.5.13. Tính diện tích miền bao bởi đường cong hình trái tim (cardioid) r=1+cos(θ)

1.0 0.0

−1.2

1.5 0.6

0.0

−0.2 1.0

−1.0

0.2

−0.8

2.0 0.5

Z 1 y

x2(x2+y2)2dy dx

-1 -0.5 0 0.5 1

y=2x−3

1.5.19. Tính tích phân

Z Z Z

Ecos(x2+y2+z2)3/2dVtrong đó E là quả cầu đơn vị x2+y2+z2≤1

1.5.20. Tìm thể tích của khối E bị chặn bởi nón z2=x2+y2, chặn dưới bởi mặt phẳng xOy,

và chặn trên bởi mặt cầu x2+y2+z2=4

1.5.21. Tính tích phân

Z Z

D

(x2+y2)3/2dAtrong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất bao bởi đường tròn x2+y2 = 9, đườngthẳng y=0 và y=√

Tọa đồ cầu trongRnđược cho bởi:

xn−1=r sin ϕ1sin ϕ2· · ·sin ϕn−2cos ϕn−1, 0<ϕn−1<2π

xn=r sin ϕ1sin ϕ2· · ·sin ϕn−2sin ϕn−1

Hãy dùng tọa độ cầu để kiểm công thức sau cho thể tích của quả cầu:

2·4· · ·nR

n, nếu n chẳn

Một cách khác để tính thể tích quả cầu có trong [Áng97].

1.5.24. Mặt xuyến (torus) có thể được miêu tả như là mặt tròn xoay nhận được bằng cáchxoay quanh trục z một đường tròn trên mặt phẳng Oyz không cắt trục z

HÌNH1.5.3 Mặt xuyến

Có thể tìm được phương trình dạng ẩn của mặt xuyến:

(q

x2+y2−b)2+z2=a2, 0<a<b

và ở dạng tham số:

((b+a cos θ)cos φ,(b+a cos θ)sin φ, a sin θ), 0≤φ, θ≤2π.

Hãy tính thể tích của khối bao bởi mặt xuyến

1.5.25 (Phép dời hình bảo toàn thể tích) Một phép dời hình, còn gọi là một phép đẳng cấuhình học (isometry) trongRnđược định nghĩa là một song ánh ϕ từRnvào chính nó bảotoàn khoảng cách, tức|ϕ(x) −ϕ(y)| = |x−y|với mọi x, y∈Rn

Ví dụ, trong mặt phẳng một phép dời hình bất kì là một hợp của các phép tịnh tiến,

phép quay, và phép lấy đối xứng ([Sti92, tr 13]).

Có thể chứng minh rằng ([Rat94, tr 13]) bất kì một phép dời hình nào cũng có dạng:

(x) =A·x+b

trong đó A là một ma trận n×ntrực giao (orthogonal), và b∈Rn Một ma trận n×nlàtrực giao nếu các vectơ cột của nó tạo thành một cơ sở trực chuẩn củaRn Nói cách khác matrận A là trực giao nếu ATA=Itrong đó ATlà ma trận chuyển vị của A.

Dùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ thể tích của một hình không thay đổi qua mộtphép dời hình

1.5.26. 4Vẽ mặt cầu mấp mô cho bởi phương trình trong tọa độ cầu

ρ=1+sin2(3θ)sin4(5φ).Tính thể tích của khối bao bởi mặt này

4 Một số bài tập có thể cần tới máy tính Có thể dùng phần mềm miễn phí Maxima (http://maxima.sourceforge.net) để làm.

Tích phân đường

Trong chương trước chúng ta đã khảo sát độ đo của miền n-chiều trong khônggian n-chiều và tích phân trên những miền đó Tuy nhiên những câu hỏi chẳnghạn như về chu vi của đường tròn, diện tích của mặt cầu, hay nói chung là độ đocủa một miền k-chiều trong không gian n-chiều với k<nthì chúng ta chưa có câutrả lời

Chương tích phân đường và chương tích phân mặt sẽ trả lời những câu hỏinày cho trường hợp đường và mặt

2.1 Tích phân đường

Đường Khi nói tới một "đường" ta thường nghĩ tới một "con đường", tức là mộttập hợp điểm, ví dụ một đường thẳng hay một đường tròn Mục đích của chúng tatrong chương này là thực hiện các đo đạc trên đường, chẳng hạn như đo chiều dàicủa đường Các đo đạc đó sẽ được thực hiện qua một chuyến đi trên con đường.Tuy nhiên ta có thể đi trên một con đường theo nhiều cách khác nhau, và ta chưa

có căn cứ để cho rằng hai cách đi khác nhau trên cùng một con đường sẽ cho racùng một số đo

Do đó trước mắtchúng ta sẽ làm việc với từng cách đi cụ thể trên con đường.Mộtđường đi(path) là một ánh xạ từ một khoảng đóng[a, b]vàoRn (tươngứng mỗi thời điểm với một vị trí)

Tập hợp các điểm mà đường đi đã đi qua được gọi làvết của đường đi (trace)(đây là "con đường" như đã bàn ở trên) Với đường đi r : [a, b] →Rnthì vết của rtập ảnh r([a, b])

Đường đi r :[a, b] →Rnđược gọi là:

• đóng(closed) nếu r(a) =r(b), tức là điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

• đơn(simple) nếu nó không đi qua điểm nào hai lần (không có điểm tựcắt) Chính xác hơn, nếu r không phải là đường đóng thì nó được gọi làđơn nếu r là đơn ánh trên[a, b]; nếu r là đường đóng thì nó được gọi làđơn nếu r là đơn ánh trên[a, b)

• liên tụcnếu r là hàm liên tục trên[a, b]

2.1.1 Định nghĩa (Trơn) Trong tài liệu này chúng ta sẽ nói đến tính trơn của hàmtại những điểm không phải là điểm trong của miền xác định của hàm.Nếu x∈D

là một điểm biên của miền xác định D⊂Rncủa hàm f thì ta nói f trơn tại x nếu

có một lân cận mở của x trongRn trên đó f có thể được mở rộng thành một hàmtrơn

33

Có thể chứng minh được rằng ftrơn trên D đồng nghĩa với việc f có thể được

mở rộng thành một hàm trơn trên một tập mở chứa D.1

Tất nhiên định nghĩa này trùng với định nghĩa đã biết nếu D vốn là tập mở

2.1.2 Ghi chú. Có thể thấy rằng trong trường hợp D là bao đóng của một tập mở(chẳng hạn nếu D là một miền đơn giản) nếu f trơn trên D thì các đạo hàm riêngcủa f được xác định và liên tục trên biên của D

Chẳng hạn f :[a, b] →R là trơn nếu f là một hàm trơn trên một khoảng(c, d)

chứa[a, b], điều này đồng nghĩa với việc f có các đạo hàm trái tại a và các đạo hàmphải tại b

Đường đi r :[a, b] →Rnđược gọi là:

• trơn(smooth) nếu r là hàm trơn trên[a, b]

• chính qui (regular) nếu r trơn trên[a, b]và vận tốc r0(t)luôn khác không

2.1.3 Ghi chú Trong quyển sách của Stewart [Ste08, tr 1034] thuật ngữ đường

trơn thực ra chính là thuật ngữ đường chính qui của chúng ta

Nếu r là một đường đi trơn thì đạo hàm r0(t)có ý nghĩa vật lí làvận tốcchuyểnđộng (velocity) tại thời điểm t Vận tốc luôn "tiếp xúc" với đường Độ lớn của vậntốc|r0(t)|làtốc độchuyển động (speed) tại thời điểm t

Chiều dài của đường đi Cho đường đi r :[a, b] →Rn Xét một phân hoạch a=

t0< t1< · · · < tn =bcủa[a, b] Trên mỗi khoảng con[ti−1, ti], 1≤ i≤n, ta xấp

xỉ tuyến tính đường đi: r(t) ≈ r0(ti−1)(t−ti−1) Nói cách khác, ta xấp xỉ chuyểnđộng bằng một chuyển động đều với vận tốc không đổi r0(ti−1) Quãng đường

đi được trong khoảng thời gian từ ti−1tới tiđược xấp xỉ bởi vectơ r0(ti−1)∆ti, vớichiều dài là|r0(ti−1)∆ti| Như vậy "chiều dài" của đường đi được xấp xỉ bởi

n

∑

i=1

|r0(ti−1)|∆ti.Đây chính là tổng Riemann của hàm|r0(t)|trên khoảng[a, b]

Vậy ta đưa ra định nghĩa sau:

2.1.4 Định nghĩa. Chiều dài của đường đi r :[a, b] →Rnđược định nghĩa là

Tích phân đường loại một Cho đường đi r : [a, b] →Rn Giả sử f là một hàmthực xác định trên vết của đường, tức f : r([a, b]) → R Ta muốn tính ”tổng giá

trị” của f , tức ”tích phân” của f

Ta tiến hành một cách tương tự như đã làm khi định nghĩa chiều dài đườngđi

Xét một phân hoạch a = t0 < t1 < · · · < tn = b Trên khoảng con [ti−1, ti]

ta xấp xỉ đường đi bởi đường đi với vận tốc không đổi (tức xấp xỉ tuyến tính)

r(t) ≈r0(ti−1)(t−ti−1), và xấp xỉ hàm f bởi hàm hằng Do đó tổng giá trị của ftrên phần đường từ r(ti−1)đến r(ti)được xấp xỉ bằng f(r(ti−1))|r0(ti−1)|∆ti.Vậy tổng giá trị của f trên đường được xấp xỉ bằng

n

∑

i=1

f(r(ti−1))|r0(ti−1)|∆ti.Vậy ta định nghĩa:

2.1.6 Định nghĩa. Cho f là một hàm xác định trên vết của đường r :[a, b] →Rn.Tích phân của f trên r được kí hiệu làR

rlên khoảng[ti−1, ti], ta định nghĩa

2.1.8 Ví dụ. Nếu một vật di chuyển theo một đường dưới tác động của một trườnglực thì tổng thành phần cùng phương chuyển động, tức thành phần tiếp tuyến,được gọi là công (work) của trường lực

Xét một phân hoạch a = t0 < t1 < · · · < tn = b của [a, b] Trên mỗikhoảng con [ti−1, ti], 1 ≤ i ≤ n, ta xấp xỉ đường bằng xấp xỉ tuyến tính: r(t) ≈

r0(ti−1)(t−ti−1) Trên đó trường F có thể được xấp xỉ bằng trường hằng, đạidiện bởi vectơ F(r(ti−1)) Tổng của thành phần tiếp tuyến của trường F trên phầnđường từ r(ti−1)đến r(ti)được xấp xỉ bằnghF(r(ti−1)), r0(ti−1)∆tii

Vậy tổng thành phần tiếp tuyến của F dọc theo r được xấp xỉ bằng

n

∑

i=1

hF(r(ti−1)), r0(ti−1)i∆ti.Vậy ta định nghĩa: