Bài giảng toán giải tích pptx

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ∼∼ ∼∼ Bài Giảng Giải Tích I (Dùng cho sinh viên không chuyên Toán) Đà Nẵng, tháng 03 năm 2008 Mục lục 1 Hàm số một biến số thực 4 1.1 Hàm số 4 1.1.1. Định nghĩa hàm số 4 1.1.2. Các phương pháp cho hàm số 4 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 5 1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt 7 1.1.5. Các hàm số sơ cấp 9 1.2 Giới hạn hàm số 10 1.2.1. Giới hạn dãy số 10 1.2.2. Giới hạn hàm số 11 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 15 1.2.4. Các nguyên lý cơ bản về giới hạn của hàm số 17 1.2.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn 18 1.2.6. Nguyên tắc thay thế VCB, VCL. Khử dạng vô định 20 1.3 Hàm số liên tục 21 1.3.1. Các định nghĩa cơ bản 21 1.3.2. Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn 23 1.3.3. Các phép toán với hàm liên tục 23 1.3.4. Các định lý cơ bản của hàm liên tục 24 2 Đạo hàm của hàm một biến 25 2.1 Đạo hàm của hàm số một biến 25 2.1.1. Đạo hàm (cấp 1) của hàm số 25 2.1.2. þ nghĩa hình học của đạo hàm 26 2.1.3. Đạo hàm cấp cao 29 2.2 Vi phân hàm một biến 30 2.2.1. Định nghĩa vi phân của hàm số 30 2.2.2. Ý nghĩa hình học của vi phân 31 2.2.3. Cách tính vi phân 32 2.2.4. Vi phân các hàm số sơ cấp 32 2.2.5. ùng dụng vi phân vào tính gần đúng 32 2.2.6. Vi phân cấp cao 33 2.3 Các định lý về hàm khả vi 34 2.3.1. Các định lý về giá trị trung bình 34 2.3.2. Định lý Rolle 35 2.3.3. Công thức số gia giới nội. Định lý Lagrange 35 2.3.4. Quy tắc Lôpitan để khử dạng vô định 36 2.3.5. Công thức Taylor 39 2.4 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 41 2.4.1. Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số 41 1 -2- 2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 42 2.4.3. Tính lồi lõm, điểm uốn của hàm số 43 2.4.4. Xác định tiệm cận của hàm số - Sơ đồ khảo sát hàm số 44 3 Tích phân hàm một biến 47 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 47 3.1.1. Khái niềm nguyên hàm 47 3.1.2. Tích phân bất định 47 3.1.3. Các tính chất của tích phân bất định 47 3.1.4. Bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản 48 3.1.5. Các phương pháp tìm tích phân bất định 48 3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp 51 3.2 Tích phân xác định 55 3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong 55 3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định 56 3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định 57 3.2.4. Một số định lý về tích phân xác định 58 3.2.5. Phương pháp đổi biến trong tích phân xác định 59 3.2.6. Phương pháp tích phân từng phần 60 3.3 Tích phân suy rộng 60 3.3.1. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 60 3.3.2. Tích phân suy rộng với cận vô hạn 61 3.3.3. Một số tiêu chuẩn hội tụ 62 3.4 ứng dụng của tích phân xác định 63 3.4.1. Diện tích hình phẳng 63 3.4.2. Thể tích vật thể 64 3.4.3. Độ dài cung phẳng 65 4 Hàm nhiều biến số 67 4.1 Các định nghĩa cơ bản và ví dụ 67 4.1.1. Không gian mêtric 67 4.1.2. Miền trong mặt phẳng 68 4.2 Hàm nhiều biến 69 4.2.1. Định nghĩa hàm hai biến 69 4.2.2. Giới hạn của hàm hai biến 69 4.2.3. Sự liên tục của hàm hai biến 70 4.3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 71 4.3.1. Đạo hàm riêng cấp một 71 4.3.2. Vi phân riêng và vi phân toàn phần. 72 4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp 73 4.3.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao 74 4.3.5. Hàm ẩn 76 4.4 Cực trị hàm hai biến 77 4.4.1. Cực trị không điều kiện 77 4.4.2. Cực trị có điều kiện 79 4.4.3. GTLN (GTNN) của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn 80 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -3- 5 Phương trình vi phân 82 5.1 Phương trình vi phân cấp 1 82 5.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 82 5.1.2. Phương trình biến số phân li và phân li được 83 5.1.3. Phương trình thuần nhất 84 5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 85 5.1.5. Phương trình Bernoulli 87 5.2 Phương trình vi phân cấp 2 88 5.2.1. Định nghĩa 88 5.2.2. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 89 5.2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 90 5.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 93 5.2.5. Nguyên lý xếp chồng nghiệm 96 6 Phương trình sai phân 97 6.1 Khái niệm sai phân 97 6.1.1. Bài toán mở đầu 97 6.1.2. Sai phân 97 6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 99 6.2.1. Các khái niệm chung 99 6.2.2. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 101 6.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 104 6.3.1. Các khái niệm chung 104 6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ số hằng 104 6.3.3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ số hằng . . 105 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long Chương 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC  1.1 HÀM SỐ 1.1.1. Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp số thực X ⊆ R. Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực R là một hàm số. Tập X được gọi là miền xác định thường được kí hiệu D f và tập ảnh Y = f(X) của ánh xạ đượ c gọi là miền giá trị của hàm số f. Hàm số thường được ký hiệu: f : X −→ Y x −→ f(x)=y hoặc y = f(x). (1.1) Ký hiệu trên cho phép ta xác định được giá trị của hàm số tại điểm x. x được gọi là biến số độc lập và y = f(x) là giá trị của hàm số tại x. Ví dụ 1.1. 1) ¡nh xạ f : R −→ R x −→ f(x)=y = √ x, (0 ≤ x<+∞) là một hàm số có miền xác định là D f = R + . 2) ¡nh xạ f : R −→ R x −→ f(x)=y = 1 x ,x=0 là một hàm số có miền xác định là D f =(−∞, 0) ∪(0, +∞). 3) f(x)=  1 nếu x hữu tỉ 0 nếu x vô tỉ Miền xác định là D f = R, miền giá trị là tập {0, 1} 4) y = n 2 ,n =1,2, 3, Miền xác định là tập mọi số tự nhiên, miền giá trị là tập mọi số chính phương. 1.1.2. Các phương pháp cho hàm số Có nhiều phương pháp cho hàm số, ta chỉ xét ba phương pháp thường gặp sau: cho hàm số bằng biểu thức giải tích, bằng bảng và bằng đồ thị. 4 -5- 1.1.2.1. Phương pháp cho hàm số bằng biểu thức giải tích Đây là phương pháp được dùng phổ biến nhất, đặc biệt trong việc nghiên cứu các vấn đề lý thuyết. Trong phương pháp này hàm số được cho bằng một phương trình mà vế phải là giá trị y của hàm số tại điểm x, vế trái là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. (chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, lấy căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán lượng giác, .) Trong phương pháp giải tích thông thường miền xác định không được chỉ rõ mà được hiểu ngầm từ cách viết của nó. Miền xác định ở đây là tập tất cả các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1.2. 1) Cho hàm số y = √ 4 − x 2 . Miền xác định là −2 ≤ x ≤ 2. 2) Hàm số y = sin x xác định trên toàn trục số. 3) Hàm số y = 1 √ 5 −x + log 2 (x −3). Biểu thức có nghĩa khi 5 −x ≥ 0;x −3 > 0. Từ đó miền xác định của hàm số là khoảng (3, 5). 4) Hàm số y =        2 nếu x<−1 1 − x nếu −1 <x≤ 0 1+x nếu 0 <x<1 2 nếu x ≥ 1 xác định trên toàn trục số. 5) Hàm số y =    1 nếu x>0 0 nếu x =0 −1 nếu x<0 xác định với mọi số thực, miền giá trị là tập {−1, 0, 1}. Hàm số này người ta gọi là hàm dấu, ký hiệu y = signx (đọc là ” xích - num ” của x). 1.1.2.2. Phương pháp bảng Phương pháp này thường dùng trong vật lý, kỹ thuật đặc biệt đối với những hàm: y = x 2 ; 1 x ; √ x; log 10 x; sin x; cos x;tgx; Nhược điểm của phương pháp này là không thể tính tất cả các giá trị của đối số và các giá trị không có trong bảng pháp tính gần đúng. 1.1.2.3. Phương pháp đồ thị Cho hàm số y = f(x) xác định trên X. Ta xây dựng cách biểu diễn đồ thị hàm số như sau: Trong hệ trục toạ độ vuông góc xOy, gọi N là điểm trên trục hoàn sao cho ON = x. Trên đường thẳng vuông góc với Ox lấy điểm M sao cho NM = y = f(x). Tập hợp những điểm M (xây dựng như trên), ứng với tập tất cả các giá trị của x ∈ X là biểu diễn hình học của hàm số y = f(x). Ta gọi tập điểm này là đồ thị hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị hàm số là quỹ tích mọi điểm M(x, y) trên mặt phẳng sao cho toạ độ x, y thoả mãn phương trình y = f(x). Đồ thị hàm số giúp ta nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm số. Tuy nhiên cũng như phương pháp bảng phương pháp đồ thị có khuyết điểm là thiếu chính xác. 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 1.1.3.1. So sánh hàm số Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Ta nói f(x) bằng g(x), kí hiệu f = g, nếu f(x)=g( x), ∀x ∈ D và f(x) khác g(x), kí hiệu f = g, nếu ∃x 0 ∈ D : f(x 0 ) = g(x 0 ). Hàm f(x) lớn hơn hoặc bằng g(x) (f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x)) trên D nếu f(x) ≥ g(x)(f(x) ≤ g(x)), ∀x ∈ D. (1.2) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -6- Khi không tồn tại x để dấu bằng trong (1.2) xảy ra thì ta nói f(x) lớn hơn (nhỏ hơn) g(x) . 1.1.3.2. Các phép toán số học trên hàm số Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số xác định trên D. Khi đó, các hàm số định nghĩa như sau: (i). (f ±g)(x):=f(x) ± g(x) (ii). (f.g)(x):=f(x).g(x) (iii). ( f g )(x):= f(x) g(x) khi g(x) =0 lần lượt được gọi là tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số f(x) và g(x) trên D. 1.1.3.3. Hàm số hợp Cho hàm số u = f(x) xác định trên D ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R sao cho f(D) ⊆ U. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2. Hàm hợp của f và g, kí hiệu g ◦f là một hàm số xác định bởi công thức (g ◦f)( x)=g(f(x)), ∀x ∈ X. Chẳng hạn, y = sin(x 2 ) là hàm hợp của hai hàm số y = sin u và u = x 2 . Cần chú ý rằng (g ◦f) =(f ◦g). 1.1.3.4. Hàm số ngược Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số f : D −→ Y x −→ f(x) là một song ánh. Khi đó hàm số f −1 : Y −→ D y −→ f −1 (y)=x sao cho f(x)=y được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ví dụ 1.3. 1) Hàm số y =2 x có hàm số ngược là x = log 2 y. 2) Hàm số y =2x − 3 có hàm số ngược là x = y +3 2 . Như vậy, miền xác định của hàm f −1 chính là miền giá trị của hàm f và ngược lại. Đồ thị của hàm số y = f −1 (x) đối xứng với đồ thị của hàm y = f(x) qua đường phân giác thứ nhất nếu ta dựng đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Đề-các vuông góc xOy. Định lý 1.1.1. Nếu f là hàm số tăng nghiêm ngặt(giảm nghiêm ngặt) thì tồn tại hàm số ngược f −1 của f. Hàm số f −1 cũng là hàm số tăng nghiêm ngặt( giảm nghiêm ngặt). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -7- 1.1.4. Các lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt 1.1.4.1. Hàm số đơn điệu Cho hàm số f xác định trên X và D ⊆ X Định nghĩa 1.1.4. Ta nói hàm số f đơn điệu tăng( hoặc đơn điệu giảm) trên D nếu với mọi x 1 ,x 2 ∈ D thì từ x 1 <x 2 suy ra f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (hoặc f(x 1 ) ≥ f(x 2 )). Định nghĩa 1.1.5. Ta nói hàm số f tăng nghiêm ngặt( hoặc giảm nghiêm ngặt) trên D nếu với mọi x 1 ,x 2 ∈ D thì từ x 1 <x 2 suy ra f(x 1 ) <f(x 2 ) (hoặc f(x 1 ) >f(x 2 )). Hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm gọi chung là hàm đơn điệu. Tính đơn điệu cho ta hình dung dáng điệu đồ thị của hàm số trên D, đồ thị của hàm đơn điệu tăng (giảm) đi lên (đi xuống) từ trái sang phải. Ví dụ 1.4. 1) Hàm số f( x)=x 3 tăng nghiêm ngặt trên R. Thật vậy, Với x 1 <x 2 ta có: f(x 2 ) − f(x 1 )=x 3 2 −x 3 1 =(x 2 − x 1 )(x 2 2 + x 2 x 1 + x 2 1 ) > 0. vì x 2 >x 1 và x 2 2 + x 2 x 1 + x 2 1 > 0. Do đó f(x 1 ) <f(x 2 ). 2) Hàm số y =[x] (hàm phần nguyên) tăng trên toàn trục số nhưng không tăng nghiêm ngặt. 3) Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên các khoảng  − π 2 +2kπ, π 2 +2kπ  và giảm nghiêm ngặt trong các khoảng  π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπ  . 4) Hàm Dirichlet χ(x)=  1 nếu x hữu tỷ 0 nếu x vô tỷ là hàm không đơn điệu trên bất kì khoảng nào. 1.1.4.2. Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.1.6. Hàm số f(x) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trong miền D nếu tồn tại một số M sao cho f(x) ≤ M(hoặc f(x) ≥ M) với mọi x ∈ D. Nếu hàm số f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trên D thì ta nói rằng f(x) bị chặn trên D. Hay nói cách khác, hàm số f(x) bị chặn trong miền D nếu tồn tại một số dương M sao cho |f(x)|≤M với mọi x ∈ D. Ví dụ 1.5. 1) Hàm số y = sin x bị chặn vì | sin x |≤ 1. 2) Hàm số y = x 2 không bị chặn trên R nhưng bị chặn dưới vì x 2 ≥ 0, ∀x ∈ R. 1.1.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ Ta nói một tập hợp số D ⊆ R là đối xứng nếu ∀x ∈ D ⇒−x ∈ D. Định nghĩa 1.1.7 (Hàm số chẵn). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(x)=f(−x). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -8- Chẳng hạn, các hàm số y = x 2 ; y = cos x; y =2 |x| , là những hàm chẵn trên R. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Định nghĩa 1.1.8 (Hàm số lẻ). Hàm số f(x) xác định trên tập số đối xứng D được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x ∈ D ta đều có f(−x)=−f(x). Các hàm số y = x 3 ; y = sin x; là những hàm số lẻ trên R. Hàm lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.4.4. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.1.9. Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T =0sao cho f(x + T )=f(x) (1.3) với mọi x thuộc miền xác định. Từ định nghĩa ta thấy nếu T thoả mãn (1.3) thì tất cả những số có dạng nT, n ∈ N đều thoả mãn (1.3). Do đó tập xác định của hàm số tuần hoàn không bị chặn. Định nghĩa 1.1.10. Số dương nhỏ nhất (nếu có) trong các số T thoả mãn (1.3) được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f( x). Khi khảo sát các tính chất và dáng điệu của hàm số tuần hoàn ta chỉ cần khảo sát hàm số này trong một khoảng có độ dài bằng chu kỳ của nó. Ví dụ 1.6. 1) Hàm số sin x, cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π. Hàm số tg x, cotg x tuần hoàn với c hu kỳ π. 2) Hàm số y =  1 nếu x hữu tỉ 0 nếu x vô tỉ là hàm tuần hoàn, không có chu kỳ. Thật vậy, với mọi số hữu tỉ r, ta có x + r là số hữu tỉ nếu x hữu tỷ, ngược lại x + r là số vô tỷ. Do đó f(x + r)=f(x), ∀x ∈ R. 3) Hàm số hằng f(x)=c cũng là hàm tuần hoàn không có chu kỳ. 1.1.4.5. Hàm lồi Định nghĩa 1.1.11. Hàm số f(x) xác định trên một khoảng D được gọi là lồi trên D nếu bất đẳng thức f(αx 1 +(1−α)x 2 ) ≤ αf(x 1 )+(1−α)f(x 2 ) được nghiệm đúng với mọi x 1 ,x 2 ∈ D và mọi α ∈ [0, 1]. Hàm f(x) được gọi là lõm trên D nếu −f(x) là hàm lồi trên D. Ví dụ 1.7. Hàm y = x 2 ,y= |x| là những hàm lồi trên R. Hàm y = x 3 là lồi trên (0, +∞) và lõm trên (−∞, 0). Hàm lồi có tính chất là: + Tổng của hai hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D. + Nếu y = g(u) là một hàm lồi đơn điệu tăng còn u = f(x) là hàm lồi thì g ◦f cũng là một hàm lồi. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -9- 1.1.5. Các hàm số sơ cấp 1.1.5.1. Hàm số luỹ thừa y = x α ,α là một số thực khác 0 Miền xác định của hàm số này phụ thuộc vào α. Nếu α ∈ N thì miền xác định là R. Nếu α ∈ Z − thì miền xác định là R ∗ . Nếu α ∈ Q + thì miền xác định là R + . Nếu α ∈ Q − hoặc α ∈ R \Q thì miền xác định là R ∗ + . Hàm số tăng nghiêm ngặt nếu α>0 và giảm nghiêm ngặt nếu α<0. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1, 1) và đi qua gốc (0, 0) nếu α>0 và không qua gốc nếu α<0. 1.1.5.2. Hàm số mũ y = a x , (a>0,a =1) Miền xác đinh: X = R. Miền giá trị R ∗ + . Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0 <a<1. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0, 1), nằm phía trên và tiệm cận với trục hoành. 1.1.5.3. Hàm số lôgarit: y = log a x, (a>0,a=1). Miền xác định X = R ∗ + , là hàm số ngược của hàm số mũ y = a x . Đồ thị hàm số đối xứng với đồ thị hàm mũ y = a x qua đường phân giác thức nhất. Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0 <a<1. Các tính chất của hàm số lôgarit: log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x − log a y, (x>0,y >0) log a x α = α log a x N = a log a N log a c = log a b. log b c 1.1.5.4. Các hàm số lượng giác. a) Hàm số y = sin x; y = cos x. Miền xác định R, miền giá trị [0, 1], tuần hoàn với chu kỳ 2π. b) Hàm số y =tgx; y = cotg x: + Hàm số y =tgx xác định với mọi x =(2k +1) π 2 , tăng nghiêm ngặt trong các khoảng  − π 2 + kπ, π 2 + kπ  , tuần hoàn với chu kỳ π. + Hàm số y = cotg x xác định với mọi x = kπ, tăng nghiêm ngặt trong các khoảng (kπ,(k +1)π), tuần hoàn với chu kỳ π. 1.1.5.5. Các hàm số lượng giác ngược a) Hàm số y = arcsin x. Hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt trên đoạn [− π 2 , π 2 ] nên có hàm ngượ c ký hiệu là x = arcsin y. Nếu dùng chữ x chỉ biến số độc lập và biến y chỉ biến số phụ thuộc, thì hàm số được ký hiệu là: y = arcsin x b) Hàm số y = arccos x. Hàm số ngược của hàm số y = cos x trên đoạn [0,π] được ký hiệu y = arccos x. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long [...]... v(t0) = lim t1 →t0 f (t1) − f (t0 ) = lim g.(2t0 + ∆t) = 2g.t0 ∆t→0 t1 − t0 25 -26Nhiều vấn đề của toán học, vật lý, hoá học, sinh học, cũng tương tự như bài toán tìm vận tốc tức thời của viên bi đều dẫn đến bài toán tìm giới hạn lim x→x0 f (x) − f (x0 ) x − x0 trong đó y = f (x) là hàm số nào đó Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0... (hoặc tiến tới ) Ngược Ví dụ 1.9 1) Cho dãy (un ), trong đó un = n+1 Chứng minh rằng lim un = 1 n Giải: Xét hiệu |un − 1| = | 1 n+1 − 1| = n n 1 1 1 < ⇔ n > Nếu ta chọn n0 = + 1 thì với mọi n > n0 ta có n là số dương bất kỳ nên ta có lim un = 1 Do đó, ta có |un − 1| = |un − 1| < Vì BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -111 + (−1)n Tương tự ta có lim un = 0 2) Cho dãy (un ), trong đó un = n n 3) Dãy... (xn ) và (xn ) cùng dần đến x0 nhưng lim f (xn ) = lim f (xn ) Ví dụ 1.11 1 = 0 x→0 x Ta có với mọi dãy (xn ) (xn = 0) là dãy hội tụ đến 0 thì 1) Chứng minh rằng lim x cos 0 ≤| f (xn ) |=| xn cos BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 1 |≤| xn | xn Lê Ngọc Long -13⇒ lim | f (xn ) |= 0 (vì lim xn = 0) 1 1 và 2) Hàm số y = sin không có giới hạn tại điểm 0 Thật vậy, chọn xn = x nπ 1 xn = π , n ∈ N Khi đó các dãy (xn ) và... suy ra tồn tại δ2 > 0 sao cho | f (x) − L |< ε với mọi x ∈ U (x0 ) x→x− 0 mà 0 < x0 − x < δ2 Đặt δ = min {δ1, δ2} ta có | f (x) − L |< ε với mọi x ∈ U (x0 ) mà 0 < |x − x0 | < δ Vậy lim = L x→x0 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -141.2.2.3 Giới hạn hàm số khi x dần ra vô cùng Cho hàm số y = f (x) xác định với mọi x có giá trị tuyệt đối lớn tuỳ ý Định nghĩa 1.2.7 Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số... x→+∞ x→+∞ Hoàn toàn tương tự cho lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞ x→−∞ x→−∞ Ví dụ 1.14 Xét hàm mũ y = ax Với a > 1 ta có: lim ax = +∞; x→+∞ lim ax = 0 x→−∞ Với 0 < a < 1 ta có: lim ax = 0; x→+∞ BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 lim ax = +∞ x→−∞ Lê Ngọc Long -15- 1.2.3 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số Định lý 1.2.12 (Cauchy-Bolzano) Cho hàm số f (x) xác định trên tập D Điều kiện ắt có và đủ để lim f (x) =... thực A, B sao cho A < f (x) < B, ∀x ∈ U (x0 ) và tồn tại lim f (x) = L thì A ≤ L ≤ B x→x0 Đảo lại, nếu tồn tại lim f (x) = L và A < L < B thì ∃δ > 0 : ∀x ∈ D, |x − x0 | < δ ⇒ x→x0 A < f(x) < B BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -16Chứng minh Phần thuận được suy ra từ định nghĩa Đảo lại, chọn ε = min {L − A, B − L} Do lim f (x) = L nên tồn tại δ > 0 sao cho x→x0 L − ε < f(x) < L + ε với mọi x ∈ D mà... (x).g(x) = x→x0 lim x→x0 f (x) = g(x) lim f (x) + lim g(x) x→x0 x→x0 lim f (x) lim g(x) x→x0 x→x0 lim f (x) x→x0 lim f (x) x→x0 Chứng minh Suy từ các tính chất của giới hạn dãy số và Định lý 1.2.10 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -17Tính chất 1.2.17 vẫn còn đúng nếu thay x0 bởi vô cùng Nó cũng đúng cho giới hạn một phía và cho phép ta tính giới hạn của các hàm phức tạp thông qua các hàm đơn giản hơn,... [1] Từ hai định lý trên, chúng ta có một số hệ quả như sau: lim C = C x→x0 sin x =1 x→0 x ex − 1 =1 lim x→x0 x lim 1 = 0 (α > 0) x→∞ xα 1 x lim 1 + =e x→0 x lim lim 1 + x x→∞ 1 x =e Ví dụ 1.15 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -18tg x = 1 x→0 x 1) lim 1 1 − cos x = 2 x→0 x 2 x x 3) lim = e−1 x→0 x + 1 2) lim 1.2.5 Vô cùng bé và vô cùng lớn Định nghĩa 1.2.12 (i) Hàm α(x) được gọi là vô cùng bé (V... = 0) ta nói α(x), β(x) là hai VCB cùng bậc, ký hiệu α(x) = O(β(x)) α(x) + k = 0 ( hay tỉ số cũng là một VCB khi x → x0 ) ta nói α(x) là VCB bậc cao β(x) hơn so với β(x), ký hiệu α(x) = o(β(x)) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -19α(x) cũng là một VCL khi x → x0 ) ta nói α(x) là VCB bậc thấp β(x) hơn so với β(x) hay β(x) là VCB bậc cao hơn so với α(x) α(x) Nếu tỉ số không có giới hạn thì α(x) và β(x)... trong quá trình x → ∞, x → 0, x → x0 VCL cơ sở là x, , x x − x0 α(x) Ta gọi α(x) là VCB cấp m khi x → 0(so sánh với x) nếu α(x) = O(xm ) Nếu lim m = k x→0 x thì kxm được gọi là phần chính của α(x) BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Lê Ngọc Long -20Tương tự, ta gọi u(x) là VCL cấp m khi x → ∞ (so sánh với x) nếu u(x) = O(xm ) Nếu u(x) = k thì kxm được gọi là phần chính của u(x) lim x→∞ xm 1 Chẳng hạn: 1 − cos x là VCB . Các phương pháp tìm tích phân bất định 48 3.1.6. Tích phân của các hàm thường gặp 51 3.2 Tích phân xác định 55 3.2.1. Bài toán diện tích hình thang cong 55 3.2.2. Định nghĩa tích phân xác định. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ∼∼ ∼∼ Bài Giảng Giải Tích I (Dùng cho sinh viên không chuyên Toán) Đà Nẵng, tháng 03 năm 2008 Mục lục 1 Hàm số một biến số. nhiều biểu thức giải tích đối với x. (chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, lấy căn, phép logarit, phép mũ, các phép toán lượng giác, .) Trong phương pháp giải tích thông thường