6 Phương trình sai phân
6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ số hằng
cấp 2 hệ số hằng.
(ii). Nếup, q là các hàm số cản thì phương trình (6.23) gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ biến thiên.
(iii). Nếu fn ≡0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.
(iv). Nếu fn 6≡0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2.
Định nghĩa 6.3.2.
(i). Hàm xn=x(n) biến n thỏa mãn phương trình (6.23) gọi là nghiệm của phương trinh (6.23).
(ii). Hàm xn¯ =x(n, C1, C2)phụ thuộc vào 2 tham số C1, C2 thỏa mãn phương trình (6.23) với mọi C1, C2 được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (6.23) nếu với mỗi điều kiện ban đầu x0 =α, x1 =β ta đều xác định được duy nhất cặp (C10, C20)thỏa mãn. (iii). Nếuxn¯ =x(n, C1, C2)là nghiệm tổng quát của phương trình (6.23) thìx∗
n =x(n, C0 1, C0
2) gọi là nghiệm riêng của phương trình (6.23).
Phương trình (6.23) có phương trình thuần nhất tương ứng là:
xn+2−pxn+1−qxn= 0. (6.24)
Định lý 6.3.1. Nếu xn¯ là nghiệm tổng quát của (6.24) và x∗n là nghiệm riêng của phương trình (6.23) thì xn= ¯xn+x∗
n là nghiệm tổng quát của phương trình (6.23).
Chứng minh. Tương tự Định lý6.2.3.
6.3.2. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất với hệ sốhằng hằng
Cho phương trình thuần nhất
xn+2−pxn+1 −qxn= 0, p, q∈R, (6.25) xét hàm xn = kn suy ra xn+1 = k.kn, xn+2 = k2kn, thay xn+2, xn+1, xn vào phương trình (6.25) ta có
k2kn−pkkn−qkn= 0 ⇔kn(k2−pk−q) = 0
⇔k2−pk−q = 0. (6.26)
Gọi (6.26) là phương trình đặt trưng tương ứng của phương trình (6.25). Ta nhận thấy, nếu
k là nghiệm của phương trình (6.26) thì hàm xn = kn là nghiệm của phương trình (6.25). Theo đó ta có kết quả sau:
Định lý 6.3.2.
(i). Nếu phương trình đặc trưng (6.26) có 2 nghiệm phân biệtk1, k2 thì phương trình (6.25)
có nghiệm tổng quát là
¯
xn=C1k1n+C2k2n, với C1, C2 là các hằng số tùy ý. (6.27)
(ii). Nếu phương trình đặc trưng (6.26)có nghiệm kép k0 thì phương trình (6.25)có nghiệm tổng quát là
¯
xn= (C1+C2n)k0n, với C1, C2 là các hằng số tùy ý. (6.28)
(iii). Nếu phương trình đặc trưng (6.26)có 2 nghiệm phức liên hợpz1,2 =α±βi=r(cosϕ± sinϕ) thì phương trình (6.25) có nghiệm tổng quát là
¯
xn=rn(C1cosnϕ+C2sinnϕ), với C1, C2 là các hằng số tùy ý. (6.29)
Chứng minh. xem [1]
Ví dụ 6.12. Giải phương trình
xn+2+ 8xn+1−9xn= 0. (6.30)
Phương trình đặc trưng tương ứng
k2+ 8k−9 = 0 ⇔k1 = 1, k2 =−9.
Vậy theo (6.27) thì phương trình (6.30) có nghiệm tổng quát làxn¯ =C1+C2(−9)n.
Ví dụ 6.13. Giải phương trình
xn+2−xn+1+xn = 0. (6.31)
Phương trình đặc trưng tương ứng
k2−k+ 1 = 0 ⇔z1,2= 1 2± √ 3 2 i= (cos π 3 + sin π 3).
Vậy theo (ii) thì phương trình (6.31) có nghiệm tổng quát là xn¯ =C1cosnπ3 +C2sinnπ3 .
6.3.3. Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất với hệ sốhằng hằng
6.3.3.1. Phương pháp hệ số bất định
A. Khi vế phải fn là đa thức bậc m của n:fn=Pm(n)
(i). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) không có nghiệm k = 1, thì nghiệm riêng x∗
n có dạng tương tự vế phải, i.e.
x∗n=a0nm+a1nm−1+· · ·+am. (6.32) (ii). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) có nghiệm đơnk = 1, thì nghiệm
riêng x∗
n có dạng: x∗
(iii). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) có nghiệm képk= 1, thì nghiệm riêng x∗ n có dạng: x∗ n=n2(6.32) Ví dụ 6.14. Giải phương trình xn+2+ 4xn+1−5xn= 12n+ 8. (6.33)
Phương trình đặc trưng tương ứng
k2+ 4k−5 = 0⇔k1 = 1, k2 =−5
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ =C1+C2(−5)n. Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn k= 1 nên nghiệm riêng của phương trình (6.33) có dạng: x∗n=n(a0n+a1). Thayx∗n+2, x∗n+1, x∗n vào phương trình (6.33) ta có
(n+ 2)[a0(n+ 2) +a1] + (n+ 1)[a0(n+ 1) +a1] +n(a0n+a1)≡12n+ 8 ⇔a0 = 1, a1= 0, suy ra nghiệm riêng x∗n = n2. Vậy nghiệm tổng quát của (6.33) là xn = ¯xn +x∗n =
C1+C2(−5)n+n2.
B. Khi vế phải fn có dạng: fn=αnPm(n)
(i). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) không có nghiệm k = α, thì
nghiệm riêngx∗
n có dạng tương tự vế phải, i.e.
x∗n=αn(a0nm +a1nm−1+· · ·+am). (6.34) (ii). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) có nghiệm đơn k=α, thì nghiệm
riêng x∗
n có dạng: x∗
n=n(6.34).
(iii). Nếu phương trình đặc trưng tương ứng của (6.26) có nghiệm képk =α, thì nghiệm
riêng x∗n có dạng: x∗n=n2(6.34)
Ví dụ 6.15. Giải phương trình
2xn+2+ 5xn+1+ 2xn= 3n(35n+ 51). (6.35) Phương trình đặc trưng tương ứng
2k2 + 5k+ 2 = 0⇔k1 =−1
2, k2 =−2
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ = C1(−1
2)n+
C2(−2)n. Phương trình đặc trưng không có nghiệm k = 3 nên nghiệm riêng của phương trình (6.35) có dạng: x∗n = 3n(a0n+a1). Thay x∗n+2, x∗n+1, x∗n vào phương trình (6.35) ta có
3n(35a0n+ 51a0+ 35a1)≡3n(35n+ 51)⇔a0 = 1, a1 = 0,
suy ra nghiệm riêng x∗n = n32. Vậy nghiệm tổng quát của (6.35) là xn = C1(−1
2)n +
C2(−2)n+n32.
C. Khi vế phải fn có dạng: fn = Ph(n) cosnα+Ql(n) sinnα, trong đó Ph(n), Ql(n) là các đa thức của bậc h, l của n. Ký hiệu m=max{h, l}
(i). Nếu z1,2 = cosα±isinα không là nghiệm của phương trình đặc trưng tương ứng thì nghiệm riêngx∗n có dạng tương tự vế phải, i.e.
(ii). Nếu z1,2 = cosα ±isinα là nghiệm của phương trình đặc trưng tương ứng thì nghiệm riêng x∗ n có dạng: x∗ n =n(6.36). Ví dụ 6.16. Giải phương trình xn+2−2xn+1 +xn = 4 sinnπ 2 . (6.37)
Phương trình đặc trưng tương ứng
k2−2k+ 1 = 0⇔k1 =k2 = 1
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ = C1 +C2n. z1,2 = cosπ2 ±isinπ2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình (6.37) có dạng: x∗ n =a0cosnπ 2 +b0sinnπ 2 . Thay x∗ n+2, x∗ n+1, x∗ n vào phương trình (6.37) ta có 2a0sinnπ 2 −2b0cos nπ 2 ≡4 sin nπ 2 ⇔a0 = 2, b0 = 0,
suy ra nghiệm riêng x∗n= 2 cosnπ2 . Vậy nghiệm tổng quát của (6.37) là xn=C1+C2n+ 2 cosnπ2 . Ví dụ 6.17. Giải phương trình xn+2−3xn+1+ 2xn= (n−2) cosnπ 2 + (3n+ 3) sin nπ 2 . (6.38)
Phương trình đặc trưng tương ứng
k2 −3k+ 2 = 0⇔k1 = 1, k2 = 2
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ = C1 +C22n.
z1,2 = cosπ2 ±isinπ2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình (6.38) có dạng:x∗
n = (a0n+a1) cosnπ2 +(b0n+b1) sinnπ2 . Thayx∗
n+2, x∗
n+1, x∗
n
vào phương trình (6.38) và đồng nhất hệ số ta có a0 = 1, a1 = 0, b0 = 0, b1 = 0 suy ra nghiệm riêngx∗
n=ncosnπ2 . Vậy nghiệm tổng quát của (6.38) làxn =C1+C22n+ncosnπ2 . D. Khi vế phải fn có dạng: fn = (f1)n+ (f2)n+· · ·+ (fm)n. Nghiệm riêng x∗n = (x1)∗n + (x2)∗n+· · ·+ (xm)∗n, với (xi)∗n là nghiệm riêng ứng với vế phảifn= (fi)n, i= 1,2, . . . , m.
Ví dụ 6.18. Giải phương trình
xn+2−7xn+1+ 12xn = 6n−5 + 2n+1+ (11n−2) cosnπ
2 + (7n+ 7) sin
nπ
2 . (6.39) Phương trình đặc trưng tương ứng
k2−7k + 12 = 0⇔k1 = 3, k2 = 4
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ =C13n+C24n. Ta viết fn = (f1)n + (f2)n+ (f3)n với (f1)n = 6n −5, (f2)n = 2.2n, (f3)n = (11n− 2) cosnπ2 + (7n+ 7) sinnπ2 . Gọi
(x1)∗n là nghiệm riêng của phương trình: xn+2−7xn+1+ 12xn= 6n−5, (x2)∗n là nghiệm riêng của phương trình: xn+2−7xn+1+ 12xn= 2.2n,
(x3)∗n là nghiệm riêng của phương trình: xn+2−7xn+1+ 12xn= (f3)n, Tương tự như trên ta tìm được (x1)∗
n = n,(x2)∗
n = 2n,(x3)∗
n = ncos nπ2 , suy ra nghiệm riêng của phương trình (6.39) làx∗n =n+2n+ncos nπ2 . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (6.39) làxn¯ =C13n+C24n+n+ 2n+ncos nπ2 .
6.3.3.2. Phương pháp biến thiên hằng số
Cho phương trinh
xn+2−pxn+1−qxn=fn (6.40)
Giải sử nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (6.40) làxn¯ =C1un+
C2vn. Để tìm nghiệm riêng của phương trình (6.40) ta xem (C1)n,(C2)n là các hàm theo n, ta tìmx∗ n dưới dạng x∗ n= (C1)nun+ (C2)nvn hayx∗ n=Anun+Bnvn. Thayx∗ n+2, x∗ n+1, x∗ n vào phương trình (6.40),doun, vn là nghiệm của phương trình thuần nhất nên
un+2−pun+1−qun= 0,
vn+2−pvn+1−qvn= 0,
từ đó ta suy ra hệ (
un+1∆An+vn+1∆Bn = 0,
q[un∆An+vn∆Bn] =fn. (6.41)
Giải hệ tìm ∆An,∆Bn, rồi tìmAn, Bn suy ra x∗
n.
Ví dụ 6.19. Tìm nghiệm riêng của phương trình
xn+2−2xn+1−3xn= 3n+1, (6.42) bằng phương pháp biến thiên hằng số, rồi suy ra nghiệm tổng quát.
Phương trình đặc trưng tương ứng k2 −2k −3 = 0⇔ k1 =−1, k2 = 3 suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ =C1(−1)n+C23n. Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x∗n=An(−1)n+Bn3n, trong đó An, Bn thỏa mãn hệ
( (−1)n+1∆An+ 3n+1∆Bn = 0, 3[(−1)n∆An+ 3n∆Bn] = 3n+1. (6.43) Giải hệ ta có ∆An=−1 4(−3) n+1 = ∆ 1 16(−3) n+1 ,∆Bn= 1 4 = ∆ 1 4n⇒An= 1 16(−3) n+1 , Bn= 1 4n. Vậy nghiệm riêng của phương trình là x∗
n = 161 (−3)n+1(−1)n+ 14n3n, suy ra nghiệm tổng quát của phương trình
xn=C1(−1)n+C23n− 1 163 n+1 +1 4n3 n .
Ví dụ 6.20. Tìm nghiệm riêng của phương trình
xn+2−2xn+1+xn=−2 cosnπ
2 , (6.44)
bằng phương pháp biến thiên hằng số, rồi suy ra nghiệm tổng quát.
Phương trình đặc trưng tương ứng k2−2k+ 1 = 0⇔k1 =k2 = 1 suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là xn¯ =C1+C2n. Ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x∗n=An+BN, trong đó An, Bn thỏa mãn hệ
(
∆An+ (n+ 1)∆Bn = 0,
∆An+n∆Bn =−2 cosnπ
Giải hệ ta có ∆An= 2(n+ 1) cos nπ 2 ⇔An+1−An = 2(n+ 1) cos nπ 2 ⇒An= (n+ 1) sin nπ 2 −ncos nπ 2 , ∆Bn=−2 cosnπ 2 ⇔Bn+1−Bn=−2 cos nπ 2 ⇒Bn = cos nπ 2 −sin nπ 2 . Vậy nghiệm riêng của phương trình làx∗
n = (n+ 1) sinnπ2 −ncosnπ2 +ncos nπ2 −nsinnπ2 = sinnπ2 , suy ra nghiệm tổng quát của phương trình
xn=C1 +C2n+ sinnπ 2 . BÀI TẬP
6.1. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
a. xn+1−xn =n−2.
b.xn+1−xn=n2 +n.
c.xn+1 −3xn = 2n+ 1.
d.xn+1−2xn=n2−2.
6.2. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
a. xn+1−xn =n.2n.
b.xn+1−4xn= 4n.
c.xn+1 + 2xn= (n2 + 1)3n.
d.xn+1−3xn=n.3n.
6.3. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
a. √ 2xn+1−xn =−sinnπ4 . b.xn+1−xn= cosnπ2 . c.xn+1 −xn= sinnπ4 . d.xn+1−2xn= 2 cosnπ2 + sinnπ2 .
6.4. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
a. xn+1−2xn= 6.2n−n2+ 2n+ 1.
b.xn+1−xn=n.2n+n+ 2.
c.xn+1 +xn = 3n+n+ cosnπ2 .
d.xn+1−3xn= 4n+n2+ 5n.
6.5. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
a. xn+2+ 4xn+1 + 3xn= 16.
b.xn+2−4xn+1+ 3xn=n+ 1.
c.xn+2 −2xn+1+xn= 1.
d.2xn+2−5xn+1+ 2xn =−n2−2n+ 3.
6.6. Giải các phương trình sai phân sau: (vớin∈N)
b. xn+2−4xn+1+ 4xn= 2n(n+ 1).
c.xn+2−8xn+1+ 15xn = 10n.5n.
d. xn+2+ 2xn+1+ 3xn=n2.2n.
6.7.Giải các phương trình sai phân sau: (vớin ∈N)
a. xn+2−xn+1+xn=−3 2cosnπ3 − √ 3 2 sinnπ3 . b. xn+2−2xn+1+xn =−2(n+ 1) cos nπ2 −2 sinnπ2 . c.xn+2+ 2xn+1+ 3xn= cosnπ3 + sinnπ3 . d. xn+2− √ 2xn+1+xn = sinnπ4 .
6.8.Giải các phương trình sai phân sau: (vớin ∈N)
a. xn+2−5xn+1+ 6xn= 2n+n−1.
b. xn+2−7xn+1+ 12xn= 2n+1+ 6n−5.
c.xn+2+ 5xn+1+ 6xn= 24n+ncosnπ2 .
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Viết Đức, Toán cao cấp (Phần Giải tích), NXB Đại học Đà Nẵng, 2006.
[2] Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 2004.
[3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, T2,3, XNB Giáo Dục 2005.
[4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu,Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định , NXB GD, 2000.
[5] Ngô Thanh Phong, Giáo trình giản yếu Giải tích toán học , NXB GD,1999.
[6] Y.Y. Liaskô, A.C. Bôiatruc, IA.G. Gai, G.P. Gôlôbac, Giải tích toán học, T1 (Bản dịch TV), NXB ĐH-THCN Hà Nội,1978.