Tuyển tập bài giảng môn Giải tích (Tập 1 - in lần thứ 2): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Tuyển tập bài giảng môn Giải tích giới thiệu tới người đọc các nội dung: Tích phân Ricmaiin-Stieltjcs, chuỗi số và tích phân suy rộng, dãy hàm và chuỗi hàm, tích phân phụ thuộc tham số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

139 C hương‫ة‬ T ÍC H P H Â N R I E M A N N -S T I E L T J E S Plicp tínli vi tícli pliaii miic đícli cliíiih giẳi tícli Vào c^iối tlic kỷ 17 Ncwtoii Lcibiiiz sáiig tạo I.a pliốp tíiili tícli pliâii (các ký liiệ ١ĩ d) ‫ ﺭ‬là cila Lcibiiiz) Tny Iiliieii, uăĩii 1821 Caucliy ligirời đầu ticn đ a địiili uglba clìíiili xác a i a tícli pbâii ulur giới bạii cila tổiig tícli pliâu vơi địuli iiglila uày luột câu liơi quaii trọug đ ặ t là: liàưi sổ uào till có tícli pliâu? Caucliy clil rằiig liàiii liCii ti.ic till có tícli pliâp, Iiliưiig cluTiig miuli Caucliy kliOiig cliặt, cliC (vl tliiCu kliái Iiiệiii liCii tụ c đbu) Nẵiii 1875, D arboux ugirờĩ đầu tiCii clio clilrug Iiiiiili cliặt cliC kliằiig địiili trêu Cuổi th ế kỳ 19 hiciuaiiii (và sau Lcbosguo) đ a Iiliữiig điều kiộu cầu đii cila hàm có t.ícli pliâii N ăm 189‫ ﺩ‬Sticltlcs đ a kliái Iii‫ ؛‬m m ới cila tícli pliâii giầỉ quyct sổ t.oáii đặc bi‫ ؛‬t Troiig pliầii uàv cliilug t.ôi trliili bà.v kỹ VC b ầu cliất cila tícli pliâii Ricuiaim -SticltỊcs tíiih cliất, b ầu cila tích pliâu uày Cầu lưu y rằu g ١ cOu có sổ kliái Iiiộui t.ícli pliâu kliác, t.i.ơug đó, có 1‫ ة‬, tích pliâi '1 Lcb( ٠sgu (١ (ilo Lcbcsguc đ a uăm 1902) loại t.ícli pliâu tổug quát u h ấ t ٠ Vo ĩ)l،irơug diệu liliili học, vấu đề t.íuli tícli p h âu la to áu tim cácli tíuli lirqiig liluli liọc: cliibu dài, diệu tícli, tho tícli Ý tư u g cliíuli cila dịuli Iiglila tícli pliâu cliia uliơ (pliâu Iioạcli) cộiig lại (tlurc y tư u g uàv dã có tỈT t.liời Arcliimcdcs, 287-212 triTƠC cOug Iiguii, klri ơug tíuli di‫ ؛‬u tícli parabola) Troug t.ícli pliâu Riomauu-Stiolt.los m iề n x c đ ỉn h cila hàm diĩợc cliia Iiliơ‫ ؛‬cịu tro u g tícli pliâu Lcbosguc in iề n g iá tr i cila liàm dirợc cliia uhơ Dirới đ â ٦r ta tiOu liàuli xây dirug tícli pliâu Rioniaim -Sticltjos Sau v t.a sị liíic t.ícli pliâu Lobcsgne Đo t.íuli t.ícli pliâii tliàuh t.liạo, b ạu cầu pliầi t.lmộc uguvcii liàm 140 bảii m ột số kỹ th u ậ t đổi biếu, tích phân từ n g p h ần vân vân Bạn nên dùng Maplc để tín h tích p h ân b ằn g m áy tính, sau n ắm vĩrng lý thuvết cluĩơng Cần clni Ý rằng, khơng phải tícli phân M aplc tính điĩợc m ột cách xác Tuy nhiên, Maplc r ấ t có hiệu hjc tín h gần tích phân 5.1 Đ in h n g h ĩa v sư tồ n t a i c ủ a tíc h p h â n R ie m a n n -S tie ltje s Ta đ ã gặp câu hỏi : số ? B ây ta hỏi: diện tích của, chằng hạn, hình phằng ? Trong giáo trình tốn phổ thơng, đổ tính diện tích hình ti.ịii ta dùng plnrơng pháp xấp xỉ (trên dirới) diện tích hình trịn diện tích đa giác ngoại (hoặc nội tiếp) lấy giói hạn Đấy ý tiTỞng để định nghĩa diộii tích hình phằng Tích phân trơn tích phân diTĨi bắt nguồn từ trực giác hình học 5.1 P h â n h o ch G iả sử [a, b] m ột đoạn hữ u hạn Phân hoạch p ctiữ [a, 0] tậ p hữu hạn gồm điểm .,Xn ssto cho: = r ٥ < Đổ n giản, t a viết p = {.T.í T i < < = b í ٠Ί‫؛‬η} Ta nói rằn g p h ân hoạch p* m ịn hơ n phân hoạch p p* D p , tiìrc là, điổin ciỉa p đicni cxìa p* TÌOiig triĩờ n g h ọ p đó, ta viết p P2 Độ m ịn ciia p hân hoạch p th irờ n g đtrơc tín h số sau; |p | = inax{.Ti — X ị- I : < n } Dc dàng th ấ y rằng, p » p th ì \p*\ < |P | T a ký hiộu V tậ p tấ t phân hoạch [a, ٥] 141 ٠1.2 ‫ ﺓ‬T íc h p liâ n t r ê n v tíc h p h â n d ١r i Giả sir a liàni xác dịiili klioiig giảiíi ti.ơii đoạn đóilg liữn hạn [a.)b] n g với pliản hoạcli p ta đặt Aa?; ‫ت‬ a(.T.;,) - a(٠ Tv,_i) Clio liàin tlnrc / bị chặn tiCn [a, 6] Các tổng Darboux trCn dirớĩ iTiig với pliản hoạcli p cha / đirợc xác định nlnr san: ٧ VP٦ í ١a '١ = Y ٠ M ١Ạ a ,,,٦ ? ;! U P , ! , a ١)= I í ' m , i k ١,, ?:=1 tio n g dó M ị : n ií S lip ( ^ ( T ) : T ,;_ i < X < X i} , = illf{/(.r) : X - h L < ٣ < ■T،} Chi'1 ý rằng, với phân lìoạcli p b ấ t kv, t.a Inơn InOn có rn[ V ậ y ( ‫ ) ة‬được clnriig minh (5.2) đTĩỢc clntng minli t^rơng tir 5 D ịiiỉi lý Ta i.'iiôn Ιιώυ có ‫ ﱂ‬fd a Ckííng Lẩy F : ‫ئ‬ □ Fi u Fo < ‫ ﺭ‬fd a t i o n g l ó F b F j C F - T h e o đ ịn h 1.Ѵ t i e n till (?‫ < )> ﻻ‬L { P * ,f ,a ) < U { P * J \a ) < U { P ,f,a ) Τ ίϊ l ó s n v l a l i e n p h ầ ‫ ؛‬c ln tn g n h n li □ B â v g iơ t,a tliii nliiTng l i ề n k i‫ ؛‬n (c ầ n v 111) ? / € π {α ) K e t q n ả sa n mi.ic l í c l i c liín li c ila ta D iề u k ỉên cầ u v đ ủ c ủ a h m R -S k liả tíc li ï ï m \i ١‫ ﺅ‬R X em am i СІ1.0 í (]idnì 1,'١‫ ﺍ ﺃ' ﺓ ﺁ‬- ‫ ﺍ( ﺍ‬.٠ ‫ ﻷ‬١ Kh.1 3.Ó, ‫ﺃ‬ ‫ﺍ(ﺍ‬.٠ ‫ﻷ‬١ ‫ ﺑﺐ‬I ‫ﻉ‬ l.à liam Ьг ch.ạtì’ 'Cii ‫ ﻩ‬là liàĩìì kh.ơn.g tren.\a.٠١3\ 'n.Ển ٦‫ ﻟﺔﻝ‬c١i,í٠ Ti.Ểu Oơi тог ε > 144 tồTi٠ P e P 0 ١٦‫ﺀ‬ ٧ Chung ·minh (5 ‫ ا‬3 ) VP١ ỉ ١a ١ - U P ٩ f ١ữ ١ < e ٠ Điều kiệu (5.3) đii T liật vậv, với lĩiọi p e L { P )f)ù )< f b f ầ < Ja ta có Ịh fd ũ < U { P )f)ù ) ‫ﺍﺀ ﻝ‬ Do từ (5.3) ta suy 0< ‫ ﻟﻢ‬f d a - ‫ ر‬fd a < ‫ﺀ‬ Clio ‫ ب_ ج‬ta có ‫ ج ر‬n { ù ) Bây t.a cliitng luiiili (5.3) là'đfôu kiẽu cầu Tỉr ‫اااإج‬-‫ ا‬Iigliĩa suy : với luọi 0< ‫ ﺀ‬tồu ? ‫ ا‬, ? ‫ ج‬V clio ‫ﺍ‬ pb c \ ٧ ٧ ( ,P , P \ ,f \ , ,a f,V a V ] ỉfdd aa R hàm bị chặn, p = {.T‫؟‬o١■.^lí í ٠«.} '‫؟‬ p h ân hoạch ciìa đoạn [a, ٥] L tù y ỷ Ci E [lUi, Mi] Khi ta gọi 11 ■ (-P, Ciịxi - Tí_i) ?.=1 tổ n g R ie m a n n cùa / xrng với p v c = {7^ ١ ,1 ^‫?؛‬.} Khi Ci = f{ ti) tị G [xi-i,X i] th ì ta đ ặ t T = { ti, ,t.„,} a { P J ,T ) = a { P J ,C ) T a có L (P , / ) = inf a (P , / ١C ) = inf a ( P , / , T ) , C7 J [/(P , / ) - snp ،t(P, / , C ) = S lip a ( P ١/ , r ) c T / k h ả tíc h R ie m a n n trôn [a, ٥] v tồn tạ i số I u h ạn có tín h chất sau: với f > tồn tạ i ố > cho |/ - ( P ,/ ,C ) | vc \I - { P J ,T ) \< e vr với phân hoạch p có \p\ < ỏ Trong trvrờng hợp = f{ x )đ x Ja Nếu / : [a, 0] —> M khả tích Riem auii (Pn) dãv phâu hoạch cho lim „,_٠c |P „| = liiii 7V,—‫؛‬.oc ơ{Fr,,f, Cn) = Ị f{x )d x = /٥ liiu U—*OC ( P , ، ١/ , T „.), 147 troiig clô C;,, T„ câc tâ p b â t ky d io n thoo P„ B i tâ p Clio câc clnrng iniiili chi tic t tir 1-6 cna chu y tien Mo rông câc ket qxia 2-6 cua chu y trôn cho ticli pliân Ricinaim-Sticlties Tiop theo ta cho nhirng dieu kicn du cua tin h khà tich 5.2 L٥ p c â c h m k h tic h 5.2.1 T in h k h tic h c a h m lie n tu e D in h lÿ N f lien tue [a, à] a hàm không gidrn [a, b] thỵ f € P{ 0, chon 77 > cho [ a ( ) — o ‫ (؛‬a ) ] r < Vi / liôn tu e trôn [a, 6], nôu / liôn tu e dou trôn doan Do do, 3،5 > cho \f{ x ) — f{ t) \ < rj vai moi ■T, (5.4) t G [a, b] th ô a inan \x —/;| < i Ncu P p hân hoach doan [a, ٤٠] cho ]P| < th i (5.4) kco theo \Mi — nij] < 7} (5.5) VI vây n U {P, f , a ) - L{P, f , a ) ^ - m ,)Aa^ Tl =7][a{b) — cv(a)] < e Thoo Dinh ly (5.1.6) ta c6 / G TZ{a) □ C h u ÿ C auchy d cliirng iniiih dinh lÿ trôn thiôu chat clic vi không su dung tinh liôn tu e dbu D arboux pliât hicn dieu hồn chỵiih cliihig ininh cua Caucliv 148 2 T ín h k h ả tíc h c ủ a h m đ n đ iê u Đ ịn h lý N ế u f đ n đ iệ u tr ê n [a, b] v Q liê n tụ c v k h ô n g g iả m tr ê n [a١b] th ì f E T Z {a) C h ứ n g m in h Với b ấ t kv n E N , chọn p hân h o c h 'P cho ٠ a(ồ) ~ a (a ) ٩٠ ٨ Aa,, = , ? = 1,2, ١n, n (Điều làui nhờ a lien tụ c v đ ịu h lý giá trị tn iiig gian) Giả sử / đơn điệu khơng giảm Khi Sny ra: a {b ) — a ( a ) { P ,f,a ) -L { P ,f,a ) n a { b ) — Oí(a) n [ / ( ٥) - /(« )] < £ với n đủ lớn Định Iv (5.1.6) cho ta / E 7?٠(o‫)؛‬ □ K ết qi\a nói VC tín h khả tích ciia hàm lion tụ c tírug khúc (hay có số điổỊu gián đoạn không nhiồu ) T ín h k h ả tíc h c ủ a h m g iá n đ o a n Đ ịn h lý N ế u f b ị c h ặ n tr ê n [a, 0] / c ó nhiềĩL n h ấ t m ộ t s ố h ữ u h n c c đ iể m g iá n đ o n tr ê n [a, 0] v a liê n tụ c tạ i m ỗ i đ iề m , g iá n đ o n Cĩỉa f th i f E 'R ,{a) C h ứ n g m in h Đe n giản, ta già sừ / có m ột điổm gián đoạn dny n h ấ t c e (a, b) Vì a lieu tục tạ i c liên tồn tạ i (‫؟‬/٠, v) cho < n < c < V < b a { v ) — a(?j) < e Lấv K = [a, ?/] u [‫؟‬s ٥] Rõ ràng K com pact / lion tục K Do đó, / lien tụ c đền K V ì tồn tạ i ỗ > cho l/ ( ١١ “ ^1 ^ ■ ٧^ ٠ ١ - > 1( ^ ) / “ (٠ ١ ‫؛‬l < ،‫ ؟‬٠ Bây lập p hân hoạch p = (.T٠, , :r„ } nh sau: a = To < X i < < X j - = n < V = X j < X j^ i < < T„, = b 291 CHỈ DẪN Á nh xạ co 67 Á nh xạ đóng 87 B Bao k ín củ a tậ p hợp B án hội tụ 32 185, 195 B án k ín h hội tụ 230 B ấ t đ ẳ n g th ứ c B essel 245 B ấ t đ ẳ n g th ứ c C au ch y - S chw arz 46, 244 B ấ t đ ẳ n g th ứ c H o ld er (cho h m lồi) 46, 136 B ấ t đ ẳ n g th ứ c J e n s e n 135 B ấ t đ ẳ n g th ứ c M inkow ski 137 B iên củ a tậ p hợp 32 Bị c h ặ n 224 BỊ c h ặ n điểm 224 Bổ đề L ebesgue 166 Bổ đề R ie m a n n - L ebesgue 246 c C ận C ận đ ú n g C ận tr ê n C ận tr ê n đ ú n g C ấp sô" n h â n 169 C h u ỗ i b n hội tụ 185 C h u ỗ i dương 169 292 C huỗi đ a n d ấ u 181 C huỗi điều h o 169, 182 C huỗi D iric h le t 216 C huỗi F o u rie r (G iải tích điều hồ) 240, 242 C huỗi F o u rie r củ a h m thự c 254 C huỗi h m h ộ i tụ 208 C huỗi h m h ộ i tụ điểm 205 C huỗi hội tụ k h ô n g đ iều kiện 183 C huỗi hội tụ tu y ệ t đôl 183 C huỗi lượ ng giác 241 C huỗi lu ỹ th a 229 C huỗi M a c la u rin 234 C huỗi p h â n kì 168 C huỗi sô^ 167 C huỗi T ay lo r 233 C om pact dãy 54 C om pact tư n g đôl 57 Công th ứ c đạo h m h m hỢp 111 Công th ứ c đ ạo h m h m ngược 111 Công th ứ c đổi b iế n củ a tích p h ân Cơng th ứ c M a c la u rin Công th ứ c S tirlin g 158,192 128 16,102,179,236 Công th ứ c T ay lo r 124,233 Cơng th ứ c tíc h p h â n từ n g p h ầ n 160,192 Cực tr ị 114 D D ãy bị c h ặ n D ăy D ãy giảm D ãy h m h ộ i tụ đ ều 12 18,49 14 208 293 D ãy h àm hội tụ điểm 205 D ày không giảm 14 D ãy k h ông tá n g 14 Dãy số^ đơn điệu 14 Dãy sô" C au ch y (dãy sô" bản) D ãy tá n g 11,51 14 Đ Đ a thứ c A bel - L a g u e rre 114,260 Đ a th ứ c C h eb y sh ev 113,259 Đ a th ứ c H e rm ite 117,260 Đ a th ứ c L eg en d re 114,260 Đ a th ứ c lượng giác 240 Đ a th ứ c T ay lo r 123 Đạo h àm 109 Đạo h m cấp cao 111 Đạo h àm p h ía p h ả i no Đ ạo h m p h ía tr i no Đ ẳn g cự Đ ẳn g th ứ c P a rs e v a l Đ iểm b ấ t động Đ iểm b ấ t th n g 42,87 247 67 190 Đ iểm biên 32 Đ iểm cô lập 27 Đ iểm gián đ oạn 94 Đ iểm g ián đ oạn bỏ 94 Đ iểm g ián đ oạn loại h 94 Đ iểm gián đ oạn lo :ú m ột 94 Đ iểm giới h n Đ iểm tro n g Đ ịn h lý A rch im ed es 27,49 28 294 Đ ịnh lý A rzela - Ascoli 227 Đ ịnh lý B aire 60 Đ ịnh lý Bolzano- W e ie rstra ss 40 Đ ịnh lý C au ch y (tro n g dạo hàm ) 115 Đ ịnh lý d ịa phương 252 D ịn h lý D in i 217,264 Đ ịnh lý F e rm a t 114 Đ ịnh lý F u b in i 281 Đ ịnh lý giá tr ị tr u n g binh 163,192 Đ ịnh lý giá tr ị tru n g bin h (của tích p hân) 162,163 Đ ịnh lý giá tr ị tr u n g gian củ a dạo h àm 119 Đ ịnh lý hội tụ dơn diệu 280 Đ ịnh lý hội tụ bị ch ặ n 280 Đ ịnh lý J o rd a n - D irich let 251 Đ ịnh lý N ew ton - Leibniz 159 Đ ịnh lý R ie m a n n Đ ịnh lý S to n e - W e ie rstra ss 143,185 229 Đ ịnh lý dạo h àm d ấu tích p h â n 262,272 Đ ịnh lý dổi th ứ tự lấy tích p h ân 263,273 Đ ịnh lý dổi th ứ tự lấy tích p h ân h a i tích p h â n suy rộng 273 Đ ịnh lý ch u y ển giới h n ٩ u a dấu tích p h â n 271 Đ ịnh lý vể lấy tích p h â n từ n g từ củ a chuồi 274 Đ ịnh lý lấy tích p h â n từ n g từ củ a chuỗi dương 27,5 Đ ịnh lý tin h liên tục 261,272 Đ ịnh lý W e ie rstra s s I 229 Đ ịnh ly W e ie rstra ss II 247 Đ ịnh lý xấp xỉ tố t n h ấ t 245 Đ ịnh ly giá tr ị tru n g gian 88 Đ ịnh lý H ein e - Borel 39 D ịn h lý R o lle 115 295 Định lý T ay lo r 126 Đ ịnh lý vể gia sô^ h ữ u h ạn L ag ran g e 115 Đường th ẳ n g th ự c suy rộng 96 G Giới h n dày sô" 11 Giới h n củ a h m sô" 69 Giới h n 17,99 Giới h n ỏ vô 98 Giới h n h ủ u h n 11 Giới h n lặp 77 Giới h n m ộ t p h ía 76 Giới h n riên g 18 Giới h n th e o hư ớng 77 Giỏi h n trê n 17,99 Giới h n vô cù n g 18,98 H H àm B eta 199 H àm D irich let 95 H àm dấu 95 H àm đơn điệu 92 H àm đơn điệu th ậ t 92 H àm G am m a H àm giảm H àm hữ u tỷ 199 92 H àm kh ô n g giảm 92 H àm k h ô n g tă n g 92 H àm lo g arit 7,74 H àm lỏm 134 H àm lồi 134 296 H àm liên tụ c 79 H àm lượng giác 75 H àm lũy th a 74 H àm m ũ 74 H àm ngược 75 H àm n h iề u b iến 72,102 H àm sơ cấp 75 H àm sơ cấp b ản 75 H àm sổ hyperbolic 75 H àm sô" m ũ 6,74 H àm sô" thự c 91 H àm tá n g 92 H àm tích p h â n 158 H àm trơ n từ n g khúc 250 H àm vector 103 H ằn g sô" e 15 H ằng sô" E u ler 17 Hệ trự c c h u ẩ n 244 H ình cầu 27 H ình cầu đóng 27 H ình cầu mở 27 Họ h m liên tụ c đồng bậc Họ k h o ản g lồng n h a u Hội tụ b ìn h phư ơng tru n g b ìn h Hội tụ 226 264 208,264 Hội tụ củ a tích p h â n su y rộng 268 Hội tụ trê n khô n g gian com pact 219 Hội tụ tr ê n khô n g gian m etric 214 Hơi tụ tích p h â n 219 Hội tụ tín h liên tục 214 297 Hội tụ vi p h â n Hội tụ điểm Hội tụ giao h o án Hội tụ tro n g không g ian m etric Hội tụ tu y ệ t đ ố i 220 205,251 183 47 183 I Infim um K K hông gian đ ịn h c h u ẩ n 43 K hơng gian có tích vơ hướng 44 K hông gian E uclide 33 K hông gian m etric 26 K hông gian m etric đ ẳn g cấu 43 K hông gian m e tric đ ẳ n g cự 43 K hông gian m e tric đồng phơi 43 K hơng g ian m etrí(‫ ؛‬đủ 52 K hông gian m etric k h ả ly 59 K hông gian m etric liên th ô n g K hơng gian tích 61,88 42 K h ả tích R iem an n 146 K vi 109 K h triể n M a c la u rin 238 K h triể n T ay lo r với p h ầ n dư L ag ran g e 126 K h triể n T ay lo r với p h ầ n dư Peano 124 K h o ản g K h o ản g don g K h o ản g đón Ị p h ả i K hoảng đór g tr i K h o ản g mc 298 L L ân cận 27 L ân cận th u gọn 27 L iên th ô n g cung 89 L iên th ô n g gấp khúc 64 L iên tục 79 L iên tục 83 L iên tục củ a h m hỢp 80 L iên tục củ a h m ngược 92 L iên tục th eo từ n g biến 103 L iên tục trê n tậ p com pact Lâp h àm k h ả tích 85 147 M · M etric hoá đường th ẳ n g suy rộng 96 M etric thô 35 M iên mở rộng củ a sô" thực 10 N N guyên lý h ìn h cầu đóng lồng n h a u 53 N guyên lý C a n to r (về đoạn đóng lồng n h au ) 10 N guyên lý điểm b ấ t động 67 N guyên lý điểm b ấ t động tổ n g q u át 68 N h t c ắ t D ed ek in d N h â n chuỗi 239 N h â n D irich let 249 N hóm giao h o án P h â n hoạch P h am tr ù 140 60 299 P hạm Irù th ứ h a i 60 P hạm trù th ứ n h ấ t 60 P h ần dư 123 P h ầ n dư P ean o 124 P h ầ n dư L a g n g e 126 123,167 P h ần dư th ứ n P h ầ n tử đỐì P h ần tử n g h ịch đảo 32 P h ầ n tro n g c ủ a tậ p hỢp 211 P hép b iến đổi A bel 36 P h ủ mở Phương p h p C au ch y P hư ơng p h p tiê n đề Q Q u an hệ th ứ tự 120 Q uy tắc L 'H o sp ital s Sô" h ữ u tỷ Sô" vô tỷ Sự hội tụ đ ể u củ a chuỗi F o u rie r 253 S u p re m u m T T ập đóng 27 T ập đếm đưỢc 41 T ập bị c h ặ n T ậ p C a n to r ( : -١L ^ / , 5.28 44 T ập com pact 36 T ập co n tin u u m 41 300 T ậ p h o àn to n bị ch ặn 54 T ập hữu h ạn 41 T ậ p k h ô n g đ â u tr ù m ậ t 59 T ậ p liên th ô n g 61 T ậ p mở 28 T ậ p mở liên th ô n g cu n g 63 T ậ p mở tư n g đối 35 T ậ p th a 59 T ậ p tr ù m ậ t 28 T iên đề cận tr ê n T iêu c h u ẩ n Abel 269 T iêu c h u ẩ n A bel (cho dãy hàm ) 196,210 T iêu c h u ẩ n C au ch y 12,71,208,264,268 T iêu c h u ẩ n (tiêu c h u ẩ n C auchy) 171,183 T iêu c h u ẩ n D irich let 186,197,269 T iêu c h u ẩ n D irich le t (cho dãy hàm ) 210 T iêu c h u ẩ n hội tụ so sá n h 194 T iêu c h u ẩ n L eibniz ٩ ٤r -1 - ، ‫ ؛‬: , ٠٠ ' ٠ ■.·٠ ٠ ٠٠·:٠ 181 · T iêu c h u ẩ n R a ab e 174 T iêu c h u ẩ n so s n h 194 T iêu c h u ẩ n Stolz 20 T iêu c h u ẩ n tỷ sô" (tiêu c h u ẩ n D A lem b ert) 172 T iêu c h u ẩ n tích p h â n C au ch y 198 T iêu c h u ẩ n T o ep litz T iêu c h u ẩ n W e ie rs tra s s (cho dãy h àm ) 22 209,268 T ích h a i chuỗi 186 T ích p h â n dưối 141 T ích p h â n D iric h le t 195,276 T ích p h â n E u le r 199 T ích p h â n F re sn e l 278 T ích p h â n F ro u lla n i 279 301 Tích p h â n G a u ss 277 Tích p h â n L aplace 277 Tích p h ân p h ụ th u ộ c th a m sơ^ 261 Tích p h â n R ie m a n n - S tieltjes 142 Tích p h â n su y rộng 188 Tích p h ân su y rộ n g hỗn hỢp 191 Tích p h ân su y rộ n g loại m ột 188 Tích p h ân su y rộ n g p h ụ thuộc th a m sơ" 268 Tích p h ân trê n 141 Tích p h ân từ n g p h ần 192 Tích p h ân W allis 165 Tích p h ân suy rộ n g loại h a i 190 Tích vơ hướng T ín h châ"t D arb o u x T ính đầy đủ 44 119 52 T ín h gần đ ú n g 129 T ính k h ả tích củ a h àm đơn điệu 148 T ín h k h ả tích củ a h àm g ián đoạn 148 T ín h k h ả tích củ a h àm hỢp 149 T ín h k h ả tích củ a hàm liên tụ c 147 T ín h liên tục đồng bậc T ín h trù m ật 224,226 8.59 Toạ độ cực 73 T oạ độ vuông 73 Tôpô tro n g k h ô n g g ian m etric 27 T D arboux 141 V Vi ph ân 132 Vi p h â n bậc nhâ"t 132 Vi p h â n cấp cao 133 Vi p h â n h àm m ộ t biến :32 Vô bé :00 Vô bẻ b ậc cao :01 Vô bé cù n g bậc :01 Vô bé tư n g ứương' 100 Vô lớn 100 ν/٠٠.,::‫؛‬٠ιΐα ٠)ΐ;،ΐΐ{ΠΓ'،.ο ٠')٠٠ : ٠ 303 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O Đặng Đình Á n g ; 9 , N h â p M n G iả i T íc h , NXB Giáo Dục, t / p Hồ Chí M inh, 123I\ ٠ P h an Đi"rc ỗ h í n h ; G iả i T íc h H m , 1978, NXB Đại Học Tnưig Học Chuycn Nghiộp, Hà Nội, 620T l٠ Ngnyỗn V ict Đ ô n g , Lô Thị Thiên H n g , Ngnyỗn Anh T u ấ n , Lô Anh V ũ ; 9 , T o n C a o cấp, T ập I, NXB Giáo Dục, t / p Hồ Chí Minh; 368Ti٠ Nguvỗn H o n g ; 19 , G iá o T r ìn h K h ô n g G ia n M e tr ic , NXB Giáo Dục, Đà Nang, 88Tr Y Y L iask o , A c B o ia tr u c , I A G G a i, c T G o lo b a c ; 1978, G iả i T íc h T o n H o c , c c V í D u v c c B i T o n , NXB Đại Học T nuig Học C hnycn Nghiệp, H Nội, 819Ti٠ Đinh Thố L uc, P hạm Hnv Đ iể n , T D uv P h n g , Ngnyỗn Xnân T ấ n ; 9 , G iả i T íc h T o n H o c , N h ữ n g N g u y ê n L ý C B ả n &c T ín h T o n T h ự c H n h , T ập I, NXB Giáo Dục, H Nội, T Hoàng T ụ y ; 19 , G iả i T íc h H iệ n Đ ại, T ập I, II, III, NXB Giáo Dục, H Nội, 634T i J D ie u d o n n é ; 19 , F o u n d a tio n s o f M o r d e n A n a ly s is , Academic Press, New York and London, 361Tr A H e c k ; 1996, I n tr o d u c tio n t o M a p le , Springer-Vcrlagc, New York, 699Tr 304 10 w R u d in ; 1976, P r in c ip le s o f M a th e m a tic a l A n a ly s is , McGiawHill Book Company, Now York, 348Tr 11 B T h o m a s , R L F in n e y 9 ‫؛‬, C a lc u lu s a n d A n a ly tic G e o m e t r y , Addisoii-Wosloy Publishing Company, IIO IT 12 X G o u r d o n ; 1994 A n a ly s e , Ellipses, Paris, 416Tr ٠ 13 de B u r g o s 9 ‫؟‬, c a ic u l o In fin ite s m a l, A lham bra Univorsidad, Espaiia 14 Б П Д ем и дови ч; 1977, С борн ик З а д а ч и У праж нений по М атсм ати ч сском у А нали зу, И зд атсл п ств о " Н а у к а ’’, М осква, 527Тг 15 Г м Ф ихтенголпц; 1969, К урс Д и ф ф ерен ц иальн ого и И нтс- тр ал ьн о го И сч и сл слен и л , Т ом 1, 2, 3, И зд ат ел ь с т в о ” Н а у к а ” , М осква, 2063Ti٠ 16 ٠‫ ر‬: ١ И И Л я т к о , А » ٠ ٠■ ، , ١' ‫ ﺑ ﺄ ا‬4 ‫ ا ؛ ل‬: ‫؟‬ к ، В оячук, ЗА ٠ ‫ ·ا ث‬ г Гаи, ■ · г п Г о л обач ; 1975, М атем ати ч ески й А н ал и з в П р и м ер ах и З а д а ч а х , Том 1, 2, И зд ател ьств о В и т а Ш кола, 1413Т 17 Г Е Ш илов; 1969 М атем ати ч ески й А н ал и з, Функции О дного П ерем енного, И зд ат ел ьс т в о ” Н ау к а” , М осква, 528Тг nhAXUấTbAn DRI học OUỐC Glfl hAnội 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: (04) 7685236; (04) 9715012 Fax: (04) 9714899 Email: nxb@vnu.edu.vn ★ ★ ★ Chiu trách nhiêm xuất bản: Giám đốc: PHÙNG QUỐC BẢO Tổng biên tập: PHẠM THÀNH HƯNG Chiu trách nhiêm nôi dung: Hội đồng nghiệm th u giáo trình Trường ĐHKHTN - Đại học Qh gia Hà Nội Người nhận xét: GS TSKH PHẠM KỲ ANH PGS TSKH NGUYỄN VÃN MINH PGS TS NGU ١ ^ N THỦY THANH TS TRẦN ĐỨC LONG Biên tảp: TRẦN VÀN TRẢN Biên tập tái bản: LAN HƯƠNG Trinh bày bìa: NGỌC ANH BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH TẬP I ; 1K 1100-02304 In 1000 c u ố n , k h ổ 16 X 24 X í n g h i ệ p i n B o N h i đ n g S ố x u ấ t b ả n ; 29/113/ X B -Q L X B n g y 10/2/2004 S ô ' t r í c h In x o n g v n ộ p lư u c h iể u q u ý III n ă m 2004 M ã s ố n g a n g : 167 K H /X B ... ■٠■+ ? ?2( "- +1) — l]p < 2^ -P Do đó, 1 1 1 ٠ 1_ 1 - — -? ?? 1- ٠ · H - -2 p 3p ịp 5p Qp Jp 2^ p [2( "+ i ) — l]p + ···< i + ^ ;^ + ^ ^ + - + ‫؟? ?2 ;riị::ĩT n ( p - l ) +... + n + 1) = ^ n = ١ ' ١ Tổng q u át, với a Ỷ ٢ ١ ^ Tì‫؛‬.^٠X n=l ' ( .- — - -n a + n^ ) + 1/ - — a 4- 1? ?? ~ 1? ?2 , p = ,2 , ta có _ - _- L _ - {a 4" n)(a + n + 1) X - -. -1 ? ?? ... Do dó S2n = ln(2n) + + C n - (ln(n) + Ẽ ^ ) = ٠l n + + (C n - su y ^ ^ n B i tâ p 16 Tỉm tổng cha chuỗi 22 22 - + 32 -1 71 + n + + i— - — - 17 Nghỉên chu hội tụ cha, chuỗi sau oo ( - )” E z