PHẦN THỨ HAI HÌNH HỌC CHUONG I
MỘT SỐ BÀI TỐN CO BAN
§1 Giao tuyến và giao điểm
a) Giáo tuyến Theo phép dựng cơ bản thi giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ được coi là dựng được nếu đã biết hai mặt phẳng và biết chúng cất nhau Tuy nhiên trong một số bài tốn ta cần chỉ ra được giao tuyến cụ thể là đường thẳng nao Dé dựng giao tuyến giữa hai mật phẳng ø, ổ cĩ thể
dùng một trong hai cách sau:
Cách 1 Tìm hai điểm A, B cùng thuộc hai mặt phẳng đã cho Giao tuyển cần tìm là dường thẳng AB "i
Cách 2 Nếu œ, B lần lượt chức hai đường thẳng a, b
song song uới nhau, tœ tìm một điểm chung A của œ« va ÿ Giao tuyến cần dụng là đường thẳng d, qua A, song song
vdi a va b,
Vi du 1, Hinh chép SABCD cĩ day 1a hinh thang (AD//BC) Dựng giao tuyến của các cặp mặt phẳng:
a) (SAC) va (SBD); b) (SAD) va (SBC)
Giải: (hình 12) a) Trong hình thang ABCD, hai đường
chéo AC và BD cát nhau tại O, § và O là hai điểm chung
của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên giao tuyến của chúng là đường SO
bì Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cĩ điểm chung là 8
Trang 2Do AD/BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d qua
5, song song vai AD va BC
Chú ý: Một điểm chung của hai mát phẳng ø, 8 thường tìm được bằng cách: chọn một mặt phẳng y, sao cho các giao tuyến d, và d; của œ«, Ø với z cĩ thể dựng ngay được Giao
điểm O của d, va d, (trong z) là điểm chung cần tìm Trong ví dụ trên, khí chọn (ABCD) làm mạt phẳng thứ
ba, ta tìm được điểm chung O của hai mặt phẳng (SAU) và (SBD)
Vi du 2 Với giả thiết của ví dụ 1, gọi M, N, G là điểm giữa các đoạn AB, CŨ và trọng tâm A SAD Dựng giao tuyến giữa mặt phẳng (MNG) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SBC) Gidi: Do MN//AD nén (GMN) cát (SAD) theo giao tuyến d
Trang 3Trong mặt phẳng (SAB), EM cát SB tại P Trong (SAC), BI cát 5C tại Q Đường PQ là giao tuyến của (MNG) và (SBC) (hình 12) Chú ý rằng PQ // BC và ba điểm F, N, Q thẳng hàng Vi du 3 Với giả thiết của ví dụ 2, hãy dựng giao tuyến của các cặp mặt phẳng : a) (GND) và (SAB) ; b) (SMG) va (SBD)
Giải : a) Trong (ABCD), hai đường AB và DN cất nhau tại R Trong (SAD), DG cát SA tại L (L là điểm giữa đoạn SA) Dễ thấy rằng LR là giao tuyến của (GND) và (SAB)
b) SG cắt AD tại điểm giữa K của đoạn này (SMG) cát
(ABCD) theo giao tuyén MK Vi MK là đường trung bình
của AABD, nén MK // BD Vay giao tuyén cia (SMG) va (SBD)
Trang 4b) Chứng mính rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng; tính tỷ số iB
IK
Gidi: a) Chon (SAC) la mặt phẳng chứa AN (SAC) cất,
(SBD) theo giao tuyến SO, với O là tâm của đáy Giao điểm của AN với §O là điểm I cần dựng Dễ thấy rằng I là trọng
1A
tam A SAC nén IN = 2 (hinh 18),
Tương tự, gọi E là giao điểm của MC và BD; mặt phẳng (MSC) chứa MN cát (SBD) theo giao tuyến SE Vậy giao điểm của MN và SE là giao điểm K của MN với mật phẳng (SBD) EM BM 1 - Su Do Ee “B6 =m¡R&n nếu gọi F là điểm giữa EC, thi ME = FE = FC Do đĩ NF là dường trung bình của A SEC (hinh 13), Vậy NF//SE Suy ra KE là đường trung bình của AMNF, từ đĩ KM — «kh
b) Ba điểm B, 1, K cùng nằm trên hai mật phẳng (SBD)
và (NAB) nên sẽ nằm trên giao tuyến của chúng Vậy B, I, K thẳng hàng Do IA = 2IN, nên nếu gọi P là điểm giữa
Trang 51 1B
Do đĩ IK =— IB, hay — = 4 4 IK
§2 Quan hé song song
a) Đường thẳng song song uới một phẳng Dể ching mỉnh đường thẳng d song song với mặt phẳng œ cĩ thể chỉ ra rằng trong ¿ cĩ chứa một đường thẳng a song song với d
b) Hai một phẳng song song Dể chứng tinh z /J 8, cĩ thể chi ra rang trong mat phẳng này cĩ chứa hai đường thẳng cất nhau cùng song song với mặt kia, hoặc chỉ ra một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cát nhau lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng kia
Vi du 1 Cho lang tru ABCA’B’C’’ I, G là trọng tâm các
tam giác ABC, ACC' Chứng minh rằng IG // (ABC’) Giải: (hình 14) Gọi M
là điểm giữa AC Vi I la 4 #
trọng tâm A ABC nên M, 1, B thẳng hàng và £ pS MI leah te in MB 30 aS : £ M, G, C thẳng hàng và © MG i MC 3 Hình 14 MO MG 1 Do dé — =—— (=— MB MC 3
Suy ra IG // BC’, từ đĩ IG/( ABC’)
Chú ÿ: Dường thẳng a cần tìm trong œ thường vẽ được
Trang 6tuyến của đ và « cĩ thẻ dựng được ngay Giao tuyển đố la
đường thang a Trong ví dụ trên mặt phẳng (MBC`' đĩng vai trị via mat phẳng #
Vi dị 3 Với giả thiết của ví dụ 1 và K là trọng tâm AA'B'C’, hãy chứng mình rằng GK/(BB'ƠC)
Giải: (hình 14) Gọi F là điểm giữa B'C, ta cĩ F, K, A' AK 2 thẳng ng hàng và 2 = 5 hàng và — =— | AG 2 Mạt khác, để thấy A',G, C thẳng hàng và — =— Ac 3 Do dé GK//CF Vay GK/i(BB’C’C)
Ví dụ 3 Với giả thiết của ví dụ 1 và ví dụ 2 hãy chứng
minh rằng: a) (GK) / (BB'ŒC); b) (A'GE) // (AIB)
Giải: a) Theo các chứng minh trên IG//BC', GK//CF, Vậy
(GK) // (BB’C'C)
b) (hinh 14), (A’GK) la mat phang (A’CF) Gọi E là điểm giữa BC, (AIB’) la mat phang (AEB’) Dé thay rằng CF//BB'
và A’F // AE nén (A’GK) // (AIB’),
Chú ý: Dễ tao ra hai đường thẳng a, b song song với nhau lần lượt thuộc œ, 8, z//8 nên chọn một mật phẳng thứ ba y, sao cho giao tuyến của a, ổ với y dễ dựng, đố chính là
hai đường cần tìm
Trong ví dụ trên, các mặt phẳng (BB’C’C) va (AA’FE) lần lượt đĩng vai trị mặt phẳng thứ ba
Ví dụ 4.M, N, P là điểm giữa các cạnh AB, B,C¡, DD, của hình hộp ABCDA,B,C,D, Chứng minh rằng (MNP) // (BDC,)
Giải: (hình 15) Gọi B là điểm giữa DC¡ Dễ thấy
1
Trang 7Do đĩ PE u MB A mM 8 Vay PEBM là hình bình LS) hành Suy ra MP/BE (1) p Tương tự gọi F là điểm gita BD thi MN/C,F (2) Do (1) và (2) nên P Xx (MNP) // (BDC,) a 8, §3 Tam giác vuơng 0, Ằ a) Một số hệ thức thường Hình 15
ding Gid st A ABC vuơng tại Á Hạ đường cao AH, trung
tuyến AM, ta cĩ các hệ thức sau: 1 AM = = BC, q@) BC? = AB? + AC? (Dịnh lý Pitago), (2) AH? = HB HC, (3) AB2 = BH BC, (4) 1 1
SABC =7 AH BC =—_ AB AC 6)
Ngược lại, nếu A ABC cĩ đường cao AH (H thuộc cạnh
BC), trung tuyến AM thỏa mãn một trong các hệ thức trên
Trang 8€) Trong khong pian dé chứng mình A ABC vuơng tại
Á, ngồi cách chứng minh rằng tam giác đĩ phải thỏa mãn
một trong các hệ thức của tam giác vuơng, ta cịn cĩ thể
chứng minh một cách, chẳng hạn AB, vuơng gĩc với một
mặt phẳng œ cơ chứa cạnh cịn lại
Ví dụ 1 Hình chữ nhật ABCD cĩ AB = a, BC = aV 2
M là điểm giữa BC.AM cát BD tại H Chứng mình rằng A HAD là tam giác vuơng
Giải: Bạn đọc tự vẽ hình Trong tam giác vuơng ABD, BD = Vv AB? + AD‘ = av’ Trong tam ~ vuơng ‘ABM os AM = VAR = BE cave ism ~z AD, nen HA HD AD — =— =— = 2 Ti do suy ra HM HB BM 2 av 6 HA = 9HM =— AM = ——, 3 3 2 2aV 3 HD = 2HB =~ BD = ~5 Vay HA? + HD2 = 6a? 12a2
Sag đ mm = 2a? = (av2)2 = AD2
Do dé A HAD 1a tam giác vuơng tại H
Chú ý: Cũng cĩ thể hạ đường cao HK của A HAD, và
chứng minh rằng HK? = KA.KD hoặc HA? = AK.AD
VÍ dụ 2 Cho trên mặt phẳng P một đường trịn (O) tâm
O, đường kính AB Một điểm C € (O) và đoạn DA 1 P
Chứng minh rằng các mạt của tứ diện ABCD đều là tam
giác vuơng
Trang 9VÌ DA 1 P nên các tam giác DAB, DAC vuơng tại A Hơn nữa ta cĩ: DA 1 P, nén DA +1 BC Mat khác, AC 1L BC Như vậy BC 1 (DAC), tic la tam giác DBC vuơng tai C Do ad
các mặt của tử diện đều là tam giác vuơng
Ví dụ 3 Với giả thiết của
ví dụ 2, kẻ các đường cao CH của 4 ABC, AK cia A DAC
Hình 16
Chứng minh rằng SCHD, AAKB là các tam giác vuơng Giải: (hình 16) VÌ DA + P nên CH L DA Mặt khác
CH + AB Do đĩ CH 1L (DAB) Vậy ACHD là tam giác vuơng
tại H
'Theo chứng minh ở ví dụ trên BC 1 (DAC), do đĩ AK + BC Mạt khác AK L DC Do đĩ
AK 1 (BDC) Vay A AKB là tam giác vuơng tại K
Trang 10KN [A trung tuyến của tam giác KDA, nên KN = ĐÁ Tương tự KM = MA
Suy ra ÀA KMN = A AMN Vì A AMN vuơng tại A nên suy ra A KMN vuơng tại K
Theo chứng minh trên OM +1 (DAC) nên OM 1 NK, mat khác KM 1 NKE Suy ra NK 1 (KOM) Vậy AKNO vuơng tai K
Vi dy 5, M, N la diém gitta cdc doan AC, CO; của hình
lập phương ABCDA,B,C,D, Ching minh ring AA,D,N, AA,MN là các tam giác vuơng
Giải: Hiển nhiên A,D, 1 (DD,C,C) nén A A,D, N vuơng
tại Dị (Bạn đọc tự vẽ tình)
Gọi cạnh của hình lập phương lã a
Trong các tam giác vuơng A,D.N, DỊC¡N ta cĩ:
A,N? = A,D,? + D,N? = A,D,? + D,C,? + CN? 2 ga2 = a? + a2 = =— 4 Trong tam giác vuơng ÀA,M: À; M? = AA? + AM? = : av2 yy _ 6a? = at + ( “a W Trong tam giác vuơng CMN: MN? = CN? + CM? = s aV2 „ _ 3a? see ope, 2 4
6a? 3a2 9a?
Vay AyM? ay Ay + MN? =— +— =— = AyN? A a 4 1 Do đĩ AA,MN vuơng tại M
Trang 11aV§
AH = 2HC, Doạn SH = ø— vuơng gĩc với œ,I là điểm giữa đoạn BG
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hinh chép SABC là các tam giác vuơng Tính độ dài các đoạn 8A, SB, §C
b) Chứng minh rằng ASIA, AHIA là các tam giác vuơng Giải: (hình 18) a) Dễ tính được ` BC = 2a, AC = aV 3 2 2aV 3 s = aes cH=LAc #23 3 8 8 e Vì SH 1 AC va AH.CH = 4 2aV3 av 3 6a? A “3 3 9” ` aV6 : Hình 18
= SS )2 = SH2, nên ASAC vuơng tại S Trong tam giác vuơng này, ta cĩ
9aV8
SA2 = AH.AC = 5 aV 8 = 2a, vậy: SA =aV 2
Wf
SƠ? = CH.CA = ` , aV 3 = a?; vậy: SC =
Vì SH L a nên SH 1 AB Mat khác AC L AB Vậy AB L (SAC) Do đĩ AASB vuơng tai A Trong tam giác
vuơng này ta cĩ SB = V SA + AB) = V 247 + a7 = aVÐ, Vì SB = aV 5, SC = a, BC = 2a nên dễ thấy ASBC là
Trang 12tam giác vuơng tại Š
1
b) Trong tam giác vuơng ABC ta cĩ AI =3 BC =a
Tuong tu SI = a va vi SA = av 2 nén ASIA vudng tai I
VỊ SH 1 z, nên Al 1 SH Mat khéc, AI 1 IS Vay
Al 1 (SIH) Do dé AHIA vuơng tại I
§4 Thể tích hình chĩp
Dé tính thể tích hình chĩp cần tÌm được độ đài đường
eo của nơ Muổn tính được độ dài này, phải xác định rõ vị trí chân của đường cao trên đáy, chọn một tam giác thích hợp chứa đường cao đĩ, dùng các hệ thức lượng trong tam
giác để tính độ đài đường cao Trong các trường hợp sau day cĩ thể xác định được chân đường cao của hình chớp tương đối dễ dàng
a) Hình chĩp cĩ cạnh bên nghiêng đều trên đĩy là hình
chĩp cĩ các cạnh bên tạo uới đây các gĩc bằng nhau Với
loại hình chớp này ta cĩ kết quả sau:
Bổ đề 1 Với hình chĩp SA;A„ Á,, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) Hình chĩp cĩ các cạnh bên nghiêng đều trên đáy (2) Hình chĩp cĩ các cạnh bên bằng nhau
(3) Dáy A,A„ A, là đa giác nội tiếp được và chân đường
cao của hình chĩp là tâm đường trịn ngoại tiếp của đáy
b) Hình chĩp cĩ các mật bên nghiêng đều trên đáy là
hình chĩp cĩ các mặt bên lập véi day các gĩc bằng nhau
Tương tự như bổ đề 1 Ta cớ bổ đề sau:
Bổ đề 2 Với hình chĩp SA,A; A,, các điều kiện sau
Trang 13(1) Hình chĩp cĩ các mặt bến nghiêng đều trên đay (2) Hình chớp cĩ đường cao h của các mặt bên (xuất phát từ đỉnh § của hình chớp) bằng nhau
(8) Dây A¡A¿ A, la da giác ngoại tiếp được và chân đường cao của hình chớp là tâm đường trịn nội tiếp của đầy
c) Nếu hình chĩp cĩ mặt bên hoặc mặt chéo vuơng gĩc
với đáy thì đường cao của hình chĩp là đường cao của mặt
bên hoặc mật chéo đĩ
Ví dụ 1 Hình chớp SABC cĩ đáy là tam giác cân, cạnh đáy BC = a, BÁC = à Các cạnh bên nghiêng trên đáy một gĩc œ TÍnh thể tích hình chớp Giải: (hình 19) Gọi I là điểm giữa BC, ta cĩ AI L BC và Al = IB cotgBAT == SE ý ở do đĩ 1 s(ABC) = 5 ALBC = A c 2cotg Be ` 2 (Db : = ——-—-., 4 8 Hinh 19 Chân đường cao của hình chớp
là tâm O của đường trịn ngoại tiếp đáy Dễ thấy O € AI,
Gọi R là bán kính đường trịèn ngoại tiếp A ABC Theo BC
định lý hàm số sin, ta cĩ inh ly ham số sin, ta c aa eae =2R
Do đĩ
(1) Khi n = 3, điểm đỏ cũng cĩ thể sẽ là tâm các đường trịn bảng tiếp của
tam giác đáy
Trang 14BC a
OA=R= = §
`` sin BAC _— 2sine Trong tam giac yuong SOA, do SAO = z nên _^ a ‘h = SO = OA tg SAO = — tga = 2sina 2cosa (2) Tir (1) va (2) suy ra a : ong v(SABC) = —s.h = 3 24cosa
Chú ý: a) Nếu hình bình hành nội tiếp được, thì dé là hình chữ nhật và tâm đường trịn ngoại tiếp nĩ là giao điểm của hai đường chéo
b) Nếu hình thang nội tiếp được thì đĩ là hình thang
cân, tâm đường trịn ngoai tiến sẽ nằm trên trục (đường nối điểm giữa hai cạnh đáy) của nĩ,
Ví dụ 2 Hình chĩp SABCD ecø đáy là hình bình hành,
diện tích bàng V73 và gĩc giữa
hai đường chéo của đáy bàng 60°
Các cạnh bên nghiêng đều trên
đáy một gĩc 45° Tính thể tích hình chĩp
Giải: (hình 20) Theo giả
thiết, các cạnh bên nghiêng đều
trên đáy nên ABCD phải là hình
chữ nhật
Dặt AC = BD = x
Theo cơng thức tÍnh diện tích `
Trang 15, 7 1 —— = sf Sz sin = 5 vã ABCD) 3 AG.BD DOA = 5 x’sin60° = ¡ từ đĩ x = 2
Gọi O là tâm của đáy, ta sẽ cĩ SO là đường cao của hình
chớp và SAO = SCO = 45” Vậy ASAC là tam giác vuơng cân Do đĩ
h= SỐ =2 ÁO =1 Vậy :
1 _ Wầ
v(SABCD) = gah
Ví dụ 3 Hình chớp SABCD cĩ đáy là hình thang với đáy lớn AB = 92 Gĩc ACB = 900 ASAC và ASBD là các tam giác đều cĩ cạnh bằng Vồ Tính thể tích hình chĩp
Giải; (hình 21) Do các
cạnh bên của hình chĩp đều bang Ý3, nên theo bổ đề trên,
đáy ABCD nội tiếp được Vậy đáy là hình thang cân VÌ ACB = 90° nén ABCD nội tiếp trong đường trịn đường kính AB, cĩ tâm là điểm giữa O của
Trang 161 3
Ti (1) va (2) suy mw SABOD) = 5 VE “ 7 me,
Ví dụ 4 Hinh chủúp Lúa giác cĩ các cạnh đáy lần lượt là 5, 5, 6, Các mặt bên lúp với đây theo cùng một gĩc 45° Tinh thể tích hình chớp
Giải : (hình 221 Goi hình chĩp đĩ là SABC (BC =
và H là điểm giữa BC Khi đĩ
AH 1 BC va AH = yAC*-HC* § = {8-8 =
1
Vậy s(ABC) = gAH.BC = 12.1)
Goi p, r là nửa chu vi va ban 4 €
kính đường trồn nội tiếp AABC, ta cĩ : H 1 p=s(6+5+6)=8 8 s(ABC) _ 3 VÀ fe ye | Hình 33
Vì hình chớp cĩ các mật bên nghiêng đều trên đáy, nên theo bổ đề 2, chân đường cao của nĩ là tâm Ï của đường
trịn nội tiếp đáy Vậy Ï € AH và SHI là gĩc lập giữa các
mat bén (SBC) véi déy Do dé SIH = 45° Vay AAHI là
Trang 17b) Nếu các mặt bên của hình chớp nghiêng đếu trên đáy
một gĩc ứ, thì điện tích xung quanh S„„ và diện tích tồn phần 8, của nĩ cĩ thể tính theo điện tích đáy S¿ nhờ các cơng thức : Su Sy = S,, cose, Sy = Bea | 1 2S yoos" 5 Bp = Bq Sa = (1+ ea) a Cosa `
Vi du 5 Hinh chép SABCD cd day 1a hinh thang vuéng
tại A và D ASAD là tam giác đều cĩ cạnh 2a, cạnh BC =
8a Các mặt bên lập với đáy các gĩc bằng nhau Tính thể tích và điện tích xung quanh của hình chớp
Giải : (hình 23) Theo giả thiết và bổ đề 2, đáy ABCD sẽ ngoại tiếp được quanh một
đường trịn, Gọi tâm và bản kính
của nĩ là I, r
%
Tạ cốir = TÁD =a;
hình chiếu K của I trên AD là 2 €
Trang 181 Hạn Ba3/2 v(SABCD) “5 ho s == av 25a? = š — Gĩc nghiêng của các mát bên trên đáy bang gĩc SKI § Ba? 5a? Do do Sxq =— cosSKl =— = KI a = 5a 8, SK av3
Vi du 6 Dáy của hình chĩp SABCD là hình thang với các canh AB = BC = CD = (1/2)AD ASBD 1a tam giác vuơng nằm trên mat phẳng vuơng gĩc với đáy cĩ các cạnh của gĩc vuơng SB = 8a, SD = lõa Tính thể tích hình chĩp Giải: (Bạn đọc tự về hình!) Vì (SBD) 1 (ABCD), nên đường cao SH của ASBD cũng là đường cao của hình chớp
Tam giác SBD vuơng tai S, nên 2s(SBD) = SH.BD= SB.§D; từ đĩ h = SH SEED SES) = SB.SD; 366.522 ee am BD v'SB? + SD? 8a.lba 120 = =—a lla 17
Từ giả thiết AB = BC = CD = ap as chứng minh được hình thang ABCD là một nửa hình lục giác đều nội tiếp trong đường trịn dường kính AD Do đĩ tam giác ABD
Trang 19(2) 1 120a 177 3 177 4 = 170aVã
Chú ý : Nếu cả mặt bên và mặt chéo của hình chĩp cùng vuơng gĩc với đáy thÌ đường cao của hình chĩp sẽ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này
VỆ dụ 7 Hình chĩp SABCD cĩ đáy là hình thang cân
với các đáy AD = a, BC = b(a > 2b!, gĩc giữa hai đường
chéo của đáy là œ Các mặt phẳng (SAC), (SBD) vuơng gốc
với đáy Gớc nhị điện BC bằng hai lần gởc nhị diện cạnh
AD Tính thể tích hình chơp
Giải : (hình 24) Gọi E, F là 4 điểm giữa các doạn AD, BC, O là
giao điểm của AC và BD Ba điểm E, O, F sẽ thẳng hàng Giả sử AOB = ¿ Khi đĩ AOAD và NB Từ (1) và (2) ta cĩ v(SABCD) = AOBC là các tam giác cân tại O, ø cĩ các gĩc ở đáy là a/2 Do đớ an d OB = EAtgEAO = 5te5., EE <n bia OF = FRB FBO = tg ys Hình 34 ath oa EF = OE + OF = 5 Bo qd)
Vi (SAC) va (SBD) cùng vuơng gốc với đáy nên giao
tuyến SO của chúng là đường cao của hình chop Ta thấy
rang: SEO va SFO la géc lap bei edie mat (SAD) va (SBC)
Trang 20=> —>
với đáy Theo giả thiết ta cĩ SEO = (1/2) SFO Dat SEO = j Ta cá : trong ASOF : $0 = OFtgSFƯ = s t8 5 H2, (2) —> a a trong ASOE : SO = OE.tgSEO = s8; -tgổ (3) ¬" b a Từ (2) và (3) suy ra s t8 - t2 = ley tee, ư 2tg8 hay atgØ y ates = blg2J = b 82}: 1 — t8 ĩ Từ đĩ suy ra : tgổ = _—ˆ 8 (4)
Thay (4) vào (3) ta được :
h = SO = 5 tet Vaga = 2by (5) Từ (1) va (5) suy ra : v(SABCD) = ches = 5g tee va@ = Bb) =Bby x (a+b)? x 3 te š 2
hay v(SABCD) = “2 = ay (6)
Chú y- Nếu BoC = ala gĩc giữa hai đường chéo AC
va BD thi AOB = 180° - ø và Ape = 90° - 2 Khi ds,
trong (6), ta chỉ cần thay 5 bởi 90 — 3 và được : +by?
Trang 21BÀI TẬP
CHUONG |
1 Cho lang try OABO,A,B) Goi K, M, N, E lần lượt là diém gitta cdc doan BB,, OA, OO,, AA, ; G 1a trong tam AOAB Điểm Ï thuộc đoạn AB sao cho AI - (1/3)AB,
Chứng minh rằng (NGB) // (O,AK), (MNK) // (O,AB)), (GEN) // (0;B,1) , (AGK) // (OB,E)
2 Cho hình hop ABCDA,B,C,D, M,N, P la diém giữa
các đoạn BC, C¡D\, AAi
a) Chứng minh rằng (ACB,) // (A,C,D) Dung cae giao diém I, K cha BD, véi hai mat phang dé Chứng minh rằng
I, K la trọng tâm các tam giác ACB¡, A¡C,D, đồng thời
BI = IK = KD)
b) Dựng giao diém E cia BD với mật phẳng (AMB))
` 1
Chiing minh ring BE = 3 BD,
c) Dựng giao tuyến của mật phẳng (B,MN) với các mặt (A,B,C,D,), (ACC,A)) Dung giao diém H cua C,P voi mat
HC,
(B,MN) Tính tỷ số TT
a) Dung giao diém F cia DB, véi mat (MNP) Ching minh rang F la diém gitta doan DB, va Ja trong tam AMNP
3 Cho tứ điện ABCD :
a) M là một điểm nằm trong tứ điện, các đường thẳng
AM, BM, CM, DM cất các mặt đối diện tương ứng tại À,
B,, Cj, Dy Biét Aj, hay dung các điểm Bạ, C), Dy
Trang 22Chung minh rang giá trị của tổng
AM BM CM DM
— +— +— +—_ khơng phụ thuộc vào vị trí
AA; BB, CC, DD,
của điểm M Tỉnh giả trị đỏ
b)N là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua N, song song với DA, DB, DC tương ứng cắt các
mat (DBC), (DCA), (DAB) tai A¿, Bạ, C¿
Ebdng ng mình rằng ting witib.thng wong OF NP Da De os erat giá trị
khơng đổi Tính giá trị đĩ
GD
e) DN cắt mạt (A;B;€;) tại G Tính tỷ số a"
Chứng minh rang G là trọng tâm A A,B,C)
4, Hinh chop SABCD cĩ đáy là hình chữ nhat, AB = 2a, BC = a Cac canh bén cia hinh chop déu bing ava
a) M, N là điểm giữa các doạn AB, CD Chứng minh rằng A SMN là tam giác đều
b) E, F là điểm giữa SC, SD, Chứng minh rằng SN L (MEF) e) Chứng minh rằng các tam giác A SAB, A SCD, A NAB,
A EAB, AFAB là các tam giác vuơng
5 Hình lập phương ABCDA;B¡C,D cĩ cạnh bằng a Cac điểm M, N, K lần lượt nằm trong các đoạn AAi, Dị),
| avo av av 3
CO, ding thi AM =" ,D.N=——, CK=—— 2 2 3
Dường thẳng d qua K song song với MN bị hình lập phương chấn mất một đoạn Tính độ dài đoạn thẳng đĩ
_—8 Hình asp SABC cd SA = SB = SC = a, ASB = 60° BSC = 90°, CSA = 120°
Trang 23b) Tính thể tích hình chớp SABC
# Cho tam giác vuơng ABC (A = Ivì cĩ C = ø Trên cạnh BC lấy một điểm H Từ H dựng nửa đường thẳng vuơng gĩc với mặt (ABC) và trên đĩ ta chọn điểm S sao cho mặt SAB hợp với mạt (ABC) gĩc œ, mặt (SAC) hợp với mặt (ABC) gĩc ; =a,
CH
1) Tinh ty s6 — theo a
BH
2) Tinh thé tích hinh chop SABC theo œ và cạnh BC = a 8 Hình chép SABCD cd AB = AD = 3a, CB= CD = 4a, 9a AC = 5a Dường cao SH của hình chớp cĩ độ đài La và 15: điểm H thuộc đoạn ÁC, sao cho AH a ‘i a) Tính thể tích hình chớp
b) Chứng minh rằng hình chớp cĩ các mật bên nghiêng đều trên đáy Tính diện tích tồn phần của hình chớp
©) Chứng minh rằng điểm H cách đều các mật bên của hình chớp Tính khoảng cách đĩ
9 Dáy của hình chớp là hÌnh chữ nhật Một mặt bên
nằm trên mặt phẳng vuơng gĩc với đáy là tam giác vuơng với gĩc vuơng tại đỉnh của hỉnh chớp và một gĩc nhọn bằng a Mat bên đối diện với mặt đĩ lập với đáy một gĩc bằng
90° -œ Tổng hai đường cao hạ từ đỉnh hình chĩp của hai
mặt nây bằng m Tính thể tích hình chớp và tổng diện tích hai mặt bên cịn lại
10 Hình chớp SABCD eo day 14 hinh chit nhat, A SCD là tam giác cân tại Š nằm trên mặt phẳng vũng gĩc với
đáy Tam giác SAB cĩ SA = a, ASB = 2z nằm trên mặt
Trang 24phẳng lap voi mat (SCD) mét gée a Tinh thể tích hình chop 11 Cho hình chĩp SABCD, day ABCD 1a một hình vuơng cạnh a, SA L (ARCD), SA = a Một mặt phẳng P vuơng gĩc với AC tại l và chia đơi thể tích của hình chớp Tỉnh tỷ số BA : EC
12 Cho hình chớp đều SABCD, M là điểm giữa của SD ; N trên DA kéo dài về phía A sao cho AN = ÁD ; P trên DC kéo dai vé phia C sao cho CP = CD Gọi E là giao điểm của MN với SA ; F là giao điểm của MP với SC ; § ME MF a) Tính các tỷ SỐ ỦY › MB - b) Chứng minh EF // AC // NP c) Gid st AMNP déu, canh a, tinh thé tich của hình chớp da cho CHUONG II THIET DIEN CUA KHOI DA DIEN §0 Thiết diện là gi ?
Cất khối đa diện (T) bằng một mặt phẳng P Phần mat
phẳng của P thuộc T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh
ra do P cắt một số mặt của (T) gọi là thiết điện hay mặt cắt
Thiết diện của (T) với P là một đa giác cĩ số cạnh khơng vượt quá số mặt của (T) Nếu (T) là lồi thì thiết diện (mắt
Trang 25§1 Dựng thiết diện
Cho trước khối đa diện T và mặt phẳng œ Nếu ở cĩ
điểm chung với T thì œ sẽ cất một số mật của T theo
các đoạn thẳng Phần mặt phẳng œ giỏi hạn bởi các
đoạn đĩ thường là một đa giác, gọi là mặt cá) giữa t và a (hinh 25) Mục đích của chương này là đưa ra một vài cách dựng mặt cắt khi đã biết T, œ và giải một số loại tốn cĩ liên quan đến mặt cất Cần chú ý hai điều sau : a) Dựng mặt cất là bài tốn dựng hình, nhưng chỉ cần trình bây phần cách dựng và phãn biện luận (nếu cĩ) Hình 35
b) Đỉnh của mặt cát là giao điểm của œ với các cạnh của
T Canh cla mat 14 cdc đoạn giao tuyến của œ với các mặt
của t Do đĩ, ¿hực chất của uiệc dung mat cat la gidi bai tốn dụng giao điểm giữa dường thang vdi mat phang va dụng giao tuyển giữa hai mặt phẳng (xem §1, chương T)
1 Phương phĩớp giao tuyển gốc Để dựng mặt cắt giữa
T và a, trước tiên hãy tìm cách xác định giao tuyến của @ với một mặt phẳng chứa một mặt của T Trên mặt phẳng này, lấy giao điểm của giao tuyến vừa tÌm được với các
đường thẳng chứa cạnh của T Từ các giao điểm mới tỉm được sẽ dựng được giao tuyến của œ với các mặt khác của T Với các giao tuyến này lại lập lại quá trình trên cho đến
khí tÌm ra mặt cất
(1) Mặt cất càn được gọi là thiết diện
Trang 26Giao Luyến đầu tiên giứa œ với một mặt của T gọi là giao tuyến gốc vì từ giao tuyến đĩ ta sẽ dựng được các giao
tuyến khác,
Cách dựng trên đây thường được dùng khi mật phẳng ‹:
được cho dưới dạng tường minh, tức là cho bởi 3 điểm khơng
thẳng hàng, hay cũng vậy, bởi hai đường thẳng cát nhau hoặc hai đường thẳng song song
Ví dụ 1 Các điểm M, N nằm trong các cạnh AD, AB
của hình hộp ABCDA,B,C,D, Dựng mật cát giữa hÌnh hộp
và mật phẳng œ đi qua ba điểm M, N, C¡,
Gidi: a cAt mat (ABCD)
theo giao tuyén MN Goi O\, O; là giao điểm của đường thẳng MN với các
đường CB, CD, z cất mặt
(BCC,B,) theo giao tuyén
o,c, va mat (CDD,C,)
theo giao tuyén 0,C,
Lay giao diém | cta
0,C, véi BB, và giao điểm
K cba 0,C, vdi DD Hinh 26
Ngũ giác INMKC; là mật cất cần dựng (hình 26)
Chú ý: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay,
thì dể dụng nĩ, thường phải giải bài tốn phụ: tìm giao
điểm gia đường thẳng uè mặt phẳng
Ví dụ 2 Oác điểm M, N, P lần lượt nầm trong các tam
giác DAB, DBC và ABC Dựng mặt cất giữa tứ điện ABCD
với mật phẳng a = (MNP)U),
(1) Mặt phẳng ở đi qua ha điểm M N, P sẽ được ký hiệu là œ = (MNP) Mặt
phang @ di qua điểm A và đướng thẳng m sẽ được kỷ hiệu là # = (A, m)
Trang 27Giải: Chưa cĩ giao tuyến nào giữa œ và mặt
của tứ điện thấy ngay ˆ được Do đĩ, ta phải dựng một trong chúng, œ cĩ chung với mặt (ABO) điểm P Muốn tÌm thêm một điểm chung nữa của chúng, ta tÌm giao điểm O của đường MN với (ABC) DM cát AB tai M, DN cát BC tại Nụ Mặt phẳng (DM,N,) chứa MN cất Hinh 37
(ABC) theo giao tuyến MỊN¡, nên giao điểm O của MN với MỊN! là giao điểm của MN với mặt (ABC) Giao tuyến gốc
cần dựng là OP Tùy theo
vị trí tương đối giữa OP và AABC mà mật cất cần dựng sẽ là tứ giác EFIK (hình 27) hoặc tam giác EFI (hinh 28) Nếu MN // M,N, thi a / MỊN) và giao tuyến gốc sẽ là đường thẳng qua P, song song véi M,N) Bạn đọc nên tự dựng mặt cất trong trường hợp này ? Qt, M, 8 *% Hah 28
Trang 28biết Ta cần dựng được một
đường thẳng cắt d, và song song
với d, Dường này thường được dvi </
đựng như sau: Chon một mặt é
phẳng Ø cĩ chứa d, sao cho giao =
kà điểm A của d, và / cĩ thể dựng
được ngay Trong mặt phẳng Ø
dựng đường thẳng d'; qua A song Hình 29
song với d., œ sẽ là mật phẳng chứa d, và d, (hình 29)
Ví dụ 3 Diểm H nằm trong cạnh SC của hình chĩp tứ
giác SABCD Dựng mặt cát giữa hình chớp và mật phẳng a
đi qua AH, song song với BD
Giải: Gọi O là giao điểm của AC va BD Dudmg AH cét
mat (SBD) tại giao điểm I cua
AH va SO Duong thẳng qua
1, song song với BD sẽ thuộc mặt phẳng ơ
Gọi M, N là giao điểm của
đường đĩ với SB, SD, tử giác AMHN 1a mat cát cần dựng (hình 30) b) a di qua một diểm M, song song vdi hai đường thẳng chéo nhau dụ, đ„ Dé dựng a, trước tiên hãy ` xét hai mặt phẳng (M, dị), Hình 30
(M, d,) Trong mỗi mật phẳng này dựng một đường thẳng qua M, song song với d,, d; Khi đố œ là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng,
Trang 29Vi du 4, Hinh chop SABCD cĩ đáy là hình bình hành
M là trọng tâm tam giác S5BD Dựng mặt cắt giữa hình
chốp và mặt phẳng z qua M, song song với 8B, AC
Giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD Do ABCD là hình bình
hành nên trọng tâm M của
ASBD nằm trên SO Mật
phẳng (M, SB) la mat phẳng (SBD) Trong mặt phẳng này, đường thẳng
qua M, song song véi SB
sẽ cat SD tai N, DB tai K Do M € SO nén mat phẳng (M, AC) là mat phẳng (SAC) Do đĩ đường thẳng qua M, song song với AC sẽ cắt SA tại P, 5C Tình 31 tai I Vay a lA mặt phẳng
chứa hai đường NK, PI Mặt phẳng này cĩ chung với đáy
ABCD điểm K và song song với AC nên cắt đáy theo giao tuyến qua K và song song với AC Giao tuyến đớ cất AB
tại E, BC tại F Ngũ giác EFINP là mặt cắt cần dựng
(hình 31)
Chú ý : Nếu mặt phẳng (M, dạ) khĩ xác định, thì ta chỉ
cẩn xét mật phẳng (M, dị) Trong mật này dựng đường dị
đi qua M, song song với dị, œ sẽ là mặt phẳng đi qua dị, song song với dạ Mặt cát dựng như trong phấn a)
Vi du 6 Điểm M thuộc đoạn AI Dựng mật cát giữa hình hộp ABCD.A¡B¡C¡D¡ và mật phẳng ø qua M, song song
với BC và AC)
Giải : Mạt phẳng (M, BD) là mật ABCD con mat (M,
AO)) khĩ xác định hơn Vậy ta chỉ cần mạt (M, BD) z cất
Trang 30
mat (ABCD) theo giao tuyến qua M, song song với BD
Giao tuyến này cất các đường AB, CR,
CD tai N O, O, «
sé la mat phang qua
0, O,, song song với
AC, 0,0, cat AC tai I, @ sẽ cắt mật
(ACC,A) (chứa 7
đường AC,) theo giao
tuyển qua Ï song song với AC, Giao tuyến này cắt CC; tại Q 9O; cát BB; tại P QO; cát DD, tại R Ngũ giác MNPQR
là mật cắt cần dựng (hình 32)
3 Mat phẳng œ dưac cho bởi cức tính chất
UuƠng gĩc,
a) a di qua một diểm M uà uuơng gĩc 0uới một dường
thẳng ø Dung kết quả: "Nếu mặt phẳng œ và đường thằng
d cùng viiơng gĩc với đường thẳng a thi đ // œ hoc d nằm
trong e”, ta khơi phục mặt phẳng ø bằng cách sau: Tim hai
đường thẳng dị, d¿ cùng vuơng gĩc với a, ø sẽ là mặt phẳng, qua M, song song với dị, d¿ hoặc chứa một trong chúng và
song so ng với đường cịn lại
Ví dụ 6 Hình chốp tứ giác SABCD cĩ đáy là hình vuơng SAB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuơng gĩc với đáy 4 là trọng tâm A BCD ø là mật phẳng qua M, vuơng gĩc với AB, Ø là mật phẳng qua M vuơng gớc với Cl (1 là
Trang 31: Vậy a lA mật phẳng qua M, song song véi BC va SI Mat cắt dựng như phần 2.h), và là hình thang EFNK (hình 33) b) Do (SAB) 1L (ABCD) và Si 1 AB nén SI 1 (ABCD) Do do SI 1 CI (1) M là trọng tam A BCD nên DM cắt BC tại
điểm giữa H của đoạn này Vì ABCD là hình vuơng nên:
Hinh 33 DH 1 CI (2) Ti (1) va (2) suy
ra Ø là mặt phẳng qua DH va song song với SI Mặt cất đựng như phần 2 a) và là tam giác DHQ (hình 34) s Nếu xác định được hình chiếu H của M trên a, thì ta chỉ cần tìm một đường d, L a z sẽ là mặt phẳng qua MH, song song với dị Chú ý rằng vị trí NS D của điểm H trên một đoạn AB đã cho cớ thể xác định bằng hai cách: tính độ đài đoạn AH hoặc a € tính được tỷ số HA/HB Hình 34
Ví dụ 7 Hình chớp tứ giác SABCD cớ đáy là hình vuơng
canh a Doan SA = a, vuơng gĩc với đáy Dựng mat ẻất giữa
hình chĩp và mặt phẳng øz qua À, vuơng gĩc với SƠ
Gidi: Do SA 1 (ABCD) nén SA L BD Mật khác AC 4 BD Suy ra BD 1 (SAC) Vay
BD 1 SC @)
Gọi H là hình chiếu của A trên SƠC Do AH là đường cao
của tam giác vuơng SÁC nên:
Trang 32
HS SA? a? HC CA? tay2y? 1 x 1 ;
H 1a diém chia doan SC theo tỷ số 5 và ta dựng được điểm H nay Do (1) nên œ là mặt phẳng qua S$ AH, song song với BD Mật cát dựng như trong vi dy 3, và là tứ giác AMHN (hình 3ð)
b) œ đi qua dường thẳng dị, uà cuơng gĩc uới
mat phẳng B da cho (d, xiên gĩc uới B) A
Su dung két qua: "Néu
mặt phẳng œ và đường Hình 3
thẳng d; cùng vuơng gĩc với mạt phẳng Ø thi hoặc ø // dạ, hoặc phải chứa d," ta dựng mật phẳng œ bằng cach: tim mot đường thẳng d; vuơng gĩc với
Trang 33BC +1 (SAI) = BC L AH (1) Trong tam giác đều ABC: vs v3 „ AI = AB, —=2.— =v3ä 2 2 Vay AI = AS Suy ra ASI là tam gidc can, va SI 1 AH,(2) Từ (1) và (2) suy ra AH 1 (SBC) Vay a la mát phẳng qua MN, song song với AH Mạt cát dựng theo phần 2 a), và là hình thang MNP (MN // PQ // BC) Hình 36, E là diém gita Al, EF // AH (F € SD §2 Diện tÍch mặt cắt
1 Khi mặt cắt là tứ giác Diện tích của nĩ thường được tính theo trình tự sau: xác dinh hinh dang mat cát, lập cơng thức tính thích hợp và tính các đại lượng (độ đài đoạn thẳng, giá trị gĩc, ) cĩ mặt trong cơng thức đĩ
VÝ dụ 1 Tính điện tích mặt cát trong ví dụ 8 §1
Giải: (hình 36) Do MN // BC, nên PQ // BƠ Do đĩ mặt
cắt là hình thang Do SABC là hình chĩp đều nên dễ thấy
đĩ là hình thang cân, cĩ đường cao là EF // AH Vay!!) Sme = > MN + PQ).EF, (1) MN “5 BO = 1 @) Trong ÀA AHI, EF là đường trung bình nên: IF -5 TH = T1 Suy ra: SF = 81 va PQ = 2 BC = uy ra: =— Vi =— =—., (3) a 4 4 2
(1) Kỹ hiệu Sme đồng để chỉ diện tích một cất Con điên tích đa giác A1A2 An sẽ được ký hiệu là s (A) A2 Án)
Trang 34Trong: ASIB: S1” + SB” - BỬ = 2 ‘ › >» les 1 Trong: 4 SHA : All’ = SA*-SH? = SA2- z9 =8~z Vay 2 AH = Ls 1 ,, V10 và EF = 5 AWD (4) Thay (2), (3), (4) vào (1! : 1 3, vio _ 5vi0 Sme= 3 (1 +5) 2 = Te
Ví dụ 2 Tứ điện ABCD cĩ ABC là tam giác vuơng tại A, AC = b, BC = a Canh DB = h, vuơng gĩc với mặt phẳng
(ABC) M, N là điểm giữa
các đoạn AC, BC Tinh diện tích mật cất giữa tứ điện và mat phẳng a di qua MN, song song với DC, Giải : (hình 37) Do « // CD nên giao tuyến của œ với các mặt phẳng (ACD) và (BCD) la MQ, NP (Q€ AD, P € BD) đều song song với DC Do đĩ MQ // NP Do MN // AB nên giao ¢ tuyến PQ cla @ vai (ABD)
cing // AB, Suy ra MN // PQ ane
Vay mặt cắt MNP là hình
bình hành, cĩ đáy :
MN = ¿ AB = 2 (BỮ — AC = 4 qa? -W (1) Hạ đường cao PH của hình bình hành MNP Do PB 1 (ABC)
Trang 35là hình chữ nhật và BH = AM = ac=2 a: Trong tam giác vuơng PBH: PH = VPR + BH? = 1 =—V h2+b?- (2) 2 1 l Vậy Smẹ = MN PH = > Va? b? vb? + bP = 1 =yÄ (a2 - b2) (h2 + b)
Chú ý: Nếu tứ giác ABOD cĩ hai đường chéo lập với nhau một gúc 6, thì điện tích của nơ cĩ thể tinh bằng cơng thức: 1 s= 5 AC.BD.siné Do đĩ, nếu AC L BD thì cơng thức trên trở thành 1 Ẫ
8 “ AC.BD Cho nên, tuy việc xét tÍnh vuơng gĩc của hai đường chéo khơng nằm trịng bài tốn xác định hình dạng
tứ giác, nhưng lại quan trọng khi cần tính điện tích của nơ
VÍ dụ 3 Tính điện tích mặt cất trong ví dụ 7 §1
Trang 36Vay IH là đường trung bÌnh của ASOK (hình 38) nên I là điểm giữa SO Từ đấy suy ra MN là đường trung bình của ASBD và _ a 1 " av 2” “ S«= a Thay (2), (3) vào (1) 1 AV§ avd aS Sme“—: —: — = 2 3 2 6 9 Trường hợp chung), Dể tính diện tích mật cÁt cĩ thể dùng một trong các cách sau: aì Bổ sung bao quanh mặt cất một số tam giác để nhận §
được một tam giác hốc tứ ua giac dé tÍnh được diên tích
Hiệu số giữa diên tích đĩ với K tổng diện tích các tam giáa bổ
sung sé cho dién tich mat eft, A 0 ry b) Phân chia mặt cắt thành một số tam, tứ giác Tính diện tích từng đa giác Hình 38 nhỏ đĩ và cộng lại (3)
c) Ap dung dinh ly: Hai mét phdng a, ổ lập uới nhau một gĩc Ø Mơ! da giác thuộc một phẳng œ cĩ diện tích S
Trang 37Kết quả 1 Với điểm A, A' nằm trên Ox, B, B' nầm trên Oy, luơn cĩ: s(OAB) OA OB s(OA’B’) OA' OB Ching minh: (Hinh 39) 1 “=> — OA.OBsinẤOB s(OAB) 2 = _OA OB
(OAB) 1 ~ OA" OB"
aOR By 3 OA’ OB’ sind OB"
Két quả 3 Tứ diện SABC cĩ AL
gĩc tam diện tại dink S là tam A
điện vudng), Det: SA =a,SB=b,SC=c 0 8 8g W Khi dĩ: 1 Hình 39 s(ABC) a 82b2 + bốc? + c2a? Chứng mình: Kẻ đường cao BH g cia A ABC Do SB 1 (SAC) nén theo định lý ba đường vuơng gĩc:
SH 1 AC (hình 40)
Ap dụng định ý Pitago cho các
tam giác vuơng tại §: SBH, SAC và 6 cơng thức tính diện tích cho các tam
Trang 384 1 1 1 =-TACP(SB` + SH?) = > AC? SB? ty AC.SH)? = 1 1 Sâu (SA? + SG2, SBẺ + ( 7 SC.SA)? = 1 =7 (SA2.SB2 + SB2.SC?2 + SC2.SA?) II = .ị
Vậy s(ABC] = Vv atb? + bee? + c2a2
Vi du 4, Lang tru dung OABO,A,B, co day là tam giác vudng, OA = OB = a, AA, = av2 M là điểm giữa OA Tinh diện tích mặt cát giữa lãng trụ
vuơng gúc với AB
Giải: Tam giác vuơng OAB
cĩ OA = OB = a nên phải
vuơng tại O và AB = avZ Gọi 1 là điểm giữa AB Dễ thấy OI + (ABB,A,),nên OI L A,B (1) Do ABB,A, là hình vuơng
nên AB, 1 A,B.(2) Tir (1), (2)
suy ra a la mat phang qua M,
Trang 39Do M là điểm giữa OA và KN // OI nên: KN KN BN 3 ® KM OI BI 2` KP KB NB Do QO // PB nén: — = — =— = KQ KO NI (3) 1 1 1 Ba¥2 av2 va OQ =— PB =— NB =— ——-=—— , 3 3 3 4 4 1 OK = -OB 2 = — 2 Tứ diện OMR@ cớ gĩc tam diện tai O vuéng nên theo kết quả 2: 1 S(KMQ) = s ¥ (OM.OK}? + (OK.OQ)? + (OQ.OM)2 1 ”ˆ a a av2 av a, seov (=, SR pe —— Ft ( c?* 2 2 2 2 4 2 a2 = 8 aV2 — 3 (4) Thay (2), (8), (4) vto (1): Sme = SG FD = TaV2 ” 18
Cách 2 Chiếu tứ giác MNPQ xuống mát (OAB), ta duge
tứ giác MNBO cĩ diện tích = Do A\B 41 (MNPQ)
va A,A 1 (OAB) nên gĩc giữa 2 mat phAng (MNPQ) va (OAB)
là gĩc giữa AB và A¡A, do đĩ bằng = Vay: