Bài giảng môn giải tích 3 tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

Bài giảng mơn Giải tích 3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt Huỳnh Quang Vũ KHOA TỐN-TIN HỌC, ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN, ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, 227 NGUYỄN VĂN CỪ, QUẬN 5, THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH EMAIL: HQVU@HCMUS.EDU.VN z f (xR , yR ) z = f ( x, y) y R x I (xR , yR ) TÓM TẮT NỘI DUNG Đây tập giảng cho môn Giải tích A3 (TTH024) Đây mơn học bắt buộc cho tất sinh viên ngành Toán-Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào học kì thứ Tập giảng dùng kèm với giáo trình chẳng hạn Stewart [Ste08] Tập giảng cung cấp tài liệu đọc thêm, sâu hơn, sát với nội dung môn học nhằm phục vụ tốt cho sinh viên chun ngành Tốn -Tin Những phần có đánh dấu * tương đối khó hơn, khơng bắt buộc Để làm số tập cần dùng chương trình máy tính Có thể dùng phần mềm Matlab, Maple, Mathematica, hay phần mềm tự Maxima hay Sage Đây thảo, tiếp tục sửa chữa Bản có trang web http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu Ngày tháng năm 2014 Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân hình hộp 1.2 Sự khả tích 1.3 Tích phân tập tổng quát 14 1.4 Định lí Fubini 19 1.5 Công thức đổi biến 25 1.6 Ứng dụng tích phân bội 37 Chương Tích phân đường 41 2.1 Tích phân đường 41 2.2 Trường bảo tồn 51 2.3 Định lí Green 55 Chương Tích phân mặt 61 3.1 Tích phân mặt 61 3.2 Định lí Stokes 69 3.3 Định lí Gauss-Ostrogradsky 73 3.4 Ứng dụng định lí Stokes 78 3.5 * Định lí Stokes tổng quát 81 Gợi ý cho số tập 87 Tài liệu tham khảo 89 Chỉ mục 91 iii iv Mục lục Chương Tích phân bội Trong chương nghiên cứu tích phân Riemann khơng gian nhiều chiều 1.1 Tích phân hình hộp Tích phân không gian nhiều chiều phát triển tương tự tích phân chiều Do ý quen thuộc khơng khó Người đọc xem lại phần tích phân chiều để dễ theo dõi Cho I hình hộp, f : I → R Ta muốn tính tổng giá trị hàm f hình hộp I Ta chia nhỏ hình hộp I hình hộp nhỏ Ta hy vọng hình hộp nhỏ đó, giá trị hàm f thay đổi hơn, ta xấp xỉ f hàm Ta chờ đợi ta chia nhỏ xấp xỉ tốt hơn, qua giới hạn ta giá trị tổng giá trị f Sau cách giải thích hình học Giả sử thêm hàm f khơng âm, ta muốn tìm "thể tích" khối bên đồ thị hàm f bên hình hộp I Ta xấp xỉ khối hình hộp với đáy hình hộp I chiều cao giá trị f hình hộp Ta chờ đợi số hình hộp tăng lên vơ hạn giá trị thể tích Chia nhỏ hình hộp Trong mơn học này, ta nói đến khơng gian Rn ta dùng chuẩn khoảng cách Euclid, cụ thể x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn | x | = ( x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2 Một hình hộp n-chiều tập Rn có dạng [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] với < bi với ≤ i ≤ n Định nghĩa Thể tích (volume) hình hộp I = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ] định nghĩa số thực | I | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ) Tích phân bội Khi số chiều n = ta thường thay từ thể tích từ chiều dài (length) Khi n = ta thường dùng từ diện tích (area) Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) khoảng [ a, b] tập hữu hạn khoảng [ a, b] mà chứa a b Ta đặt tên phần tử phép chia x0 , x1 , , xm với a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b Mỗi khoảng [ xi−1 , xi ] khoảng khoảng [ a, b] tương ứng với phép chia Một phép chia hình hộp I = ∏in=1 [ , bi ] tích Descartes phép chia khoảng [ , bi ] Cụ thể Pi phép chia khoảng [ , bi ] P = ∏in=1 Pi phép chia hình hộp I y d R c a b x HÌNH 1.1.1 Một phép chia hình chữ nhật [ a, b] × [c, d] gồm điểm mà tọa độ thứ tạo thành phép chia [ a, b] tọa độ thứ hai tạo thành phép chia [c, d] Một hình hộp ứng với phép chia P hình hộp tích khoảng cạnh hình hộp ban đầu Cụ thể hình hộp hình hộp I có dạng ∏in=1 Ti Ti khoảng khoảng [ , bi ] ứng với phép chia Pi Định nghĩa tích phân hình hộp Cho I hình hộp, f : I → R Với phép chia P I, thành lập tổng Riemann1 ∑ f (xR )| R| R tổng lấy tất hình hộp R P, x R điểm thuộc R “Giới hạn” tổng Riemann phép chia “mịn mịn hơn” tích phân hàm f I, kí hiệu Vậy I I f f đại diện cho tổng giá trị hàm f miền I Để làm xác ý tưởng ta cần làm rõ trình qua giới hạn Chúng ta dùng cách trình bày Jean Gaston Darboux đề xuất năm 1870 1Bernard Riemann người đề xuất định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, tích phân biết trước 2Kí hiệu Gottfried Leibniz đặt Nó đại diện cho chữ "s" chữ Latin "summa" (tổng) 1.1 Tích phân hình hộp z f (xR , yR ) z = f ( x, y) y R (xR , yR ) I x Nhớ lại cho tích phân hàm biến, để xét tích phân hàm không bị chặn cần lấy giới hạn tích phân để có "tích phân suy rộng" Trong suốt chương ta xét hàm bị chặn Gọi L( f , P) = ∑ R (infR f )| R|, tổng lấy tất hình hộp ứng với phép chia P, tổng hay xấp xỉ ứng với P Tương tự, U ( f , P) = ∑ R (supR f )| R| tổng hay xấp xỉ ứng với P xấp xỉ supR f f tổng Riemann f (xR ) infR f xấp xỉ xR R HÌNH 1.1.2 Xấp xỉ ≤ xấp xỉ Riemann ≤ xấp xỉ Cho P P hai phép chia hình hộp I Nếu P ⊂ P ta nói P mịn P Tích phân bội Bổ đề (Chia mịn xấp xỉ tốt hơn) Nếu phép chia P mịn phép chia P L( f , P ) ≥ L( f , P) U ( f , P ) ≤ U ( f , P) Đây ưu điểm quan trọng xấp xỉ xấp xỉ ta thấy với tổng Riemann chia mịn không thiết dẫn tới xấp xỉ tốt CHỨNG MINH Mỗi hình hộp R P nằm hình hộp R P Ta có infR f ≥ infR f Vì ∑ (inf f )| R | ≥ R ⊂R R ∑ ∑ (inf f )| R | = inf f R R ⊂R R | R | = (inf f )| R| R ⊂R R Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo tất hình hộp R P ta L ( f , P ) ≥ L ( f , P ) Bổ đề (Xấp xỉ ≤ xấp xỉ trên) Nếu P P hai phép chia hình hộp L( f , P) ≤ U ( f , P ) CHỨNG MINH Với hai phép chia P P ln có phép chia P mịn P lẫn P , chẳng hạn P = ∏in=1 Pi P = ∏in=1 Pi lấy P = ∏in=1 Pi với Pi = Pi ∪ Pi Khi L( f , P) ≤ L( f , P ) ≤ U ( f , P ) ≤ U ( f , P ) Một hệ chặn nhỏ tập hợp tất xấp xỉ supP L( f , P) chặn lớn của tập hợp tất xấp xỉ infP U ( f , P) tồn tại, supP L( f , P) ≤ infP U ( f , P) Định nghĩa (Tích phân Riemann) Cho hình hộp I Hàm f : I → R khả tích (integrable) f bị chặn supP L( f , P) = infP U ( f , P) Nếu f khả tích tích phân (integral) f định nghĩa số thực supP L( f , P) = infP U ( f , P), kí hiệu I f Ví dụ Nếu c số I c = c | I | Ghi Khi số chiều n = ta có tích phân hàm biến quen thuộc từ b a trung học, thường viết viết I f ( x, y) dA hay thường viết I f ( x ) dx Khi n = ta có tích phân bội hai thường I f ( x, y) dxdy Khi n = ta có tích phân bội ba, f ( x, y, z) dV hay f ( x, y, z) dxdydz Hiện dx, dxdy, I dxdydz, dA, dV kí hiệu để loại tích phân, khơng có ý nghĩa độc lập 1.1.1 Mệnh đề Cho f bị chặn hình hộp I Khi f khả tích I với > có phép chia P I cho U ( f , P) − L( f , P) < Như hàm khả tích xấp xỉ xấp xỉ gần tùy ý CHỨNG MINH (⇒) Cho f khả tích Cho > 0, có phép chia P P cho L( f , P) > − + I f U( f , P ) < + I f 1.1 Tích phân hình hộp Lấy P mịn P P Khi U ( f , P ) − L( f , P ) ≤ U ( f , P ) − L( f , P) < (⇐) Giả sử với > cho trước có phép chia P cho U ( f , P) − L( f , P) < Bất đẳng thức dẫn tới ≤ infP U ( f , P) − sup L( f , P) < với > Do infP U ( f , P) = supP L( f , P) Tính chất tích phân Ta có tính chất tương tự trường hợp biến: 1.1.2 Mệnh đề Nếu f g khả tích hình hộp I thì: (a) f + g khả tích I( f + g) = I f + I g (b) Với số thực c c f khả tích I c f = c (c) Nếu f ≤ g I f ≤ I g f I CHỨNG MINH Ta chứng minh phần (a), phần lại để phần tập Với phép chia P I, hình hộp R ta có infR f + infR g ≤ f ( x ) + g( x ), ∀ x ∈ R Suy infR f + infR g ≤ infR ( f + g) Do L( f , P) + L( g, P) ≤ L( f + g, P) Cho > 0, có phép chia P cho L( f , P) > L( g, P ) > I I I f − có phép chia P cho g − Lấy phép chia P mịn P P L( f , P ) ≥ L( f , P) > f − L( g, P ) ≥ L( g, P ) > I g − Suy L( f + g, P ) ≥ L( f , P ) + L( g, P ) > I f+ I g−2 Tương tự, có phép chia Q cho U ( f + g, Q) ≤ U ( f , Q) + U ( g, Q) < I f+ I g+2 Lấy phép chia Q mịn P Q ta I f+ I g − < L( f + g, Q ) ≤ U ( f + g, Q ) < I f+ I g+2 Hệ thức dẫn tới U ( f + g, Q ) − L( f + g, Q ) < , f + g khả tích, I I( f f+ + g) = I I g−2 < f+ I I ( f + g) < I f+ I g + , ∀ > 0, g * Đọc thêm Có thể định nghĩa tích phân Riemann sau Ta nói f khả tích I có số thực, gọi tích phân f I, kí hiệu I f , có tính chất với > có δ > cho tất cạnh hình chữ nhật P có chiều dài nhỏ δ với cách chọn điểm x R thuộc hình hộp R P ta có ∑ R f ( x R )| R| − I f < Có thể chứng minh định nghĩa tương đương với định nghĩa Darboux 1.1 Có thể hỏi ta dùng cách xấp xỉ khác có mang tới tích phân hay khơng? Nếu ta muốn tích phân có tính chất định, gồm chẳng Tích phân bội hạn tính tuyến tính, thực có loại tích phân thỏa tính chất Xem [Lan97, tr 575] Bài tập 1.1.3 Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m × 8m có độ sâu không Người ta đo chiều sâu số điểm hồ bảng sau Ví dụ bảng độ sâu điểm cách bờ trái 1m bờ 5m 4.6m Hãy ước lượng lượng nước hồ vị trí 3.1 4.5 4.6 4.0 3.7 4.1 4.5 4.4 1.1.4 Hãy cho ví dụ minh họa xấp xỉ Riemann ứng với phép chia mịn không thiết tốt 1.1.5 Chứng minh tính chất 1.1.2 1.1.6 Hãy cho ước lượng cho giá trị tích phân [0,1]×[1,2] ex y dxdy 1.1.7 Điều sau hay sai, giải thích: [0,1]×[1,4] ( x2 + √ y) sin( xy2 ) dA = 10 1.1.8 Giả sử f liên tục hình hộp I f ( x ) ≥ I Chứng minh f = I I f =0 3.3 Định lí Gauss-Ostrogradsky 77 Thực phép lấy nghịch đảo qua mặt cầu tâm O bán kính 1, tức phép biến đổi p mang điểm p = thành điểm || p||2 Khi mặt xuyến trở thành mặt cyclide S với tham số hóa rtorus(u, v) rcyclide(u, v) = ||rtorus(u, v)||2 (a) Vẽ mặt cyclide S (b) Tính diện tích mặt cyclide S số thập phân (c) Cho trường F ( x, y, z) = (y, x, 3z) Tính thơng lượng F qua mặt cyclide S số thập phân (d) Tính thể tích khối bao mặt cyclide S số thập phân 78 Tích phân mặt 3.4 Ứng dụng định lí Stokes Định luật Gauss cho điện trường Giả sử có điện tích q điểm O Do Định luật Coulomb (2.2.6), ta đưa định nghĩa điện trường ứng với điện tích q điểm khơng gian có vị trí cho vectơ r từ điểm mang điện tích q tới điểm xét là: E (r ) = q r 4π |r |3 Đối với môn học chúng ta, điều đáng ý định luật Coulomb điện trường có độ lớn tỉ lệ nghịch với |r |2 , thường gọi luật nghịch đảo bình phương (inverse-square law) Như ta thấy (2.2), trọng trường cũng cho luật Tính tốn trực tiếp, ta thấy div E = 0, điều cho trường có dạng r/|r |m (trường xuyên tâm, radial) m = Giả sử S mặt đóng, mặt biên khối D Giả sử cơng thức Stokes áp dụng cho D Nếu D khơng chứa điểm O ta có S E · dS = D div E dV = Mặt khác S bao điểm O, nói cách khác D chứa điểm O phần lấy cầu tâm O với bán kính R đủ nhỏ cho khơng cắt S, cho biên ∂B(O, R) định hướng ngồi B(O, R) Khi S ∂B(O, R) với định hướng ngược lại tạo thành biên khối D không chứa O Áp dụng công thức Stokes cho D ta S Suy S S E · dS = E · dS = E · dS − ∂B(O,R) ∂B(O,R) ∂B(O,R) E · dS = D div E dV = E · dS Tính trực tiếp, ta E · dS r q |∂B(O, R)| dS = |r | 4π R2 q q 4πR2 = 4π R = ∂B(O,R) = E· q ∂B(O, R) D S 1Các thí nghiệm sau kiểm chứng số m định luật Coulomb sai khác khơng q × 10−16 3.4 Ứng dụng định lí Stokes 79 Như thơng lượng điện trường qua mặt đóng bao điện tích khơng phụ thuộc vào mặt tỉ lệ với điện tích bao Đây nội dung định luật phát biểu Johann Carl Friedrich Gauss Ở ta vừa trình bày định luật Coulomb định luật Gauss cho điện tích Trong trường hợp mơi trường chứa điện tích điểm ta có: Định luật Coulomb Định luật Gauss div E = ρ , với ρ hàm mật độ S E · dS = D ρ dV = Q , với điện tích D khối bao mặt S Q tổng điện tích D Rõ ràng định luật Gauss nhận từ định luật Coulomb cách áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski Ngược lại định luật Gauss suy định luật Coulomb Xét điểm p xét cầu đóng B ( p, r ) tâm điểm với bán kính r Theo định luật Gauss định lí Gauss-Ostrogradski: B ( p,r ) ρ dV = ∂B ( p,r ) E · dS = B ( p,r ) div E dV Chia hai vế cho thể tích cầu B ( p, r ) lấy giới hạn r → 0, dùng tính chất giới hạn giá trị trung bình hàm liên tục 3.3.1 ta ρ( p) = div E( p) Tuy nhiên định luật Gauss kiểm chứng thí nghiệm dễ định luật Coulomb, định luật Gauss có tính vĩ mơ định luật Coulomb có tính vi mơ Định luật Coulomb cho mơi trường mang điện liên tục nhận cách túy toán học từ định luật Coulomb cho điện tích cách lấy tích phân dùng hàm Dirac, hàm suy rộng Các phương trình Maxwell điện từ Không lâu sau hai định luật Coulomb Gauss, thập kỉ 1820, André Marie Ampère phát dịng điện tạo quanh từ trường theo định luật: C B · dr = µ0 I, C đường cong kín bao quanh dịng điện có cường độ khơng đổi I, B từ trường, µ0 số Năm 1831 Michael Faraday phát từ trường thay đổi theo thời gian tới lượt lại tạo điện trường Định luật Faraday cho công thức: E · dr = − ∂S d dt S B · dS Năm 1864, James Clerk Maxwell phát triển định luật Ampère thống điện trường với từ trường: 2Trong tài liệu Vật lí định luật Gauss thường phát biểu mà khơng kèm theo điều kiện tính trơn mặt hàm cơng thức 80 Tích phân mặt Các phương trình Maxwell Dạng vi phân Dạng tích phân (1) (Coulomb) div E = ρ (Gauss) S E · dS = Q , với S mặt đóng (2) curl E = − ∂B ∂t (Faraday) ∂S (3) div B = d E · dr = − dt S S B · dS B · dS = 0, với S mặt đóng J + dtd S E · dS, với J mật độ dòng điện với I cường độ dòng điện qua mặt S Giống tương đương định luật Coulomb định luật Gauss, dạng vi phân dạng tích phân phương trình Maxwell tương đương với nhau, thơng qua định lí Stokes định lí Gauss-Ostrogradski Bằng thí nghiệm, Maxwell phát 01µ0 = c2 , bình phương vận tốc ánh sáng chân khơng Các phương trình Maxwell với định luật Newton tổng kết toàn Vật lí cổ điển Chẳng lí thuyết Maxwell ứng dụng thực tế với việc phát minh sóng điện từ Heinrich Hertz năm 1887 (4) (Ampère) µ0 curl B = + ∂E ∂t , µ0 ∂S B · dS = I Giải hệ phương trình Maxwell Để đơn giản ta xét hệ phương trình Maxwell trường hợp đặc biệt điện trường từ trường không đổi theo thời gian Vậy ∂E ∂t = ∂B ∂t = Ta cho ρ J Từ phương trình (2), curl E = R3 nên E = ∇ψ với ψ hàm thực xác định sai khác số (đây Bổ đề Poincaré 2.3.3 cho không gian chiều) ρ Phương trình (1) trở thành div(∇ψ) = Vì div(∇) tốn tử Laplace ρ ∆, nên ta có phương trình ∆ψ = Đây phương trình đạo hàm riêng cấp hai, gọi phương trình Poisson Có thể đọc thêm [Fey64, Chương 18] Những phương trình đối tượng nghiên cứu ngành Phương trình đạo hàm riêng, ngành lớn Tốn học Bài tập 3.4.1 Dùng định lí Stokes định lí Gauss-Ostrogradski, chứng tỏ dạng vi phân dạng tích phân phương trình Maxwell tương đương với 3.5 * Định lí Stokes tổng quát 81 3.5 * Định lí Stokes tổng quát Định lí Stokes cho mặt (n − 1)-chiều không gian Rn Sau trường hợp Định lí Stokes dùng phổ biến nghiên cứu phương trình vật lí tốn phương trình đạo hàm riêng ([Eva97, tr 627], [GT01, tr 13]) 3.5.1 Định lí Cho Ω tập mở bị chặn không gian Euclid Rn Giả sử biên ∂Ω thuộc lớp C1 Giả sử v vectơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω Giả sử trường vectơ F có thành phần thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω F · v dS div F dx = ∂Ω Trong cơng thức trên, ta nói biên ∂Ω thuộc lớp C1 có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận vi đồng phơi với tập mở Rn Điều có nghĩa điểm ∂Ω có lân cận mà ∂Ω đồ thị hàm trơn theo (n − 1) biến Như ta thấy phần chứng minh 2.1.2 3.1.2, khái niệm tổng qt hóa khái niệm đường qui mặt qui Một hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω đạo hàm có mở rộng liên tục lên Ω Nói cách khác, theo 2.3.1, hàm f hàm trơn Ω Tích phân theo phần tử diện tích mặt dS định nghĩa cách tương tự tích phân đường loại tích phân mặt loại Tuy nhiên có khó khăn cần tới nhiều phép tham số hóa để phủ hồn tồn mặt Để vượt qua khó khăn người ta dùng công cụ cao cấp gọi "phân hoạch đơn vị" Sự thống công thức Newton-Leibniz, Green, Stokes GaussOstrogradsky Xem lại công thức ta có: C ∇ f · dr = f ( B) − f ( A) P dx + Q dy = D ∂D F · dr = ∂S S (curl F ) · n dS = F · n ds = ∂D F · n dS = ∂E ∂Q ∂P − ∂x ∂y D curl F · dS div F dA F · dS = ∂E S dA E divF dV Ta nhận thấy thống cơng thức này: tích phân đối tượng hàm w biên ∂M đối tượng hình học M với tích phân đối tượng hàm dw liên quan tới đạo hàm đối tượng hàm w ban đầu đối tượng hình học M ban đầu: 82 Tích phân mặt w= ∂M M dw Đây dạng cơng thức Stokes tổng qt Định lí Stokes cho mặt k-chiều không gian Rn Công thức Stokes tổng quát trường hợp sau Về mặt hình học, M mặt k-chiều, theo nghĩa điểm M có lân cận vi đồng phơi với tập mở Rk tập mở nửa Rk , điểm không thuộc loại đầu tạo thành biên ∂M Đây khái niệm đa tạp trơn (smooth manifold) k-chiều Đối tượng hàm w phức tạp Đó dạng vi phân (differential form) bậc (k − 1) Khi dw đạo hàm dạng w dạng bậc k Thế tích phân dạng vi phân mặt? Vì điểm mặt có lân cận vi đồng phôi với với tập Rk nên thông qua phép vi đồng phôi ta mang tích phân mặt tích phân Rk công thức liên quan tới công thức đổi biến tích phân Tất nhiên miêu tả chưa đủ để người đọc hiểu cụ thể Ở người viết khơng có tham vọng mà muốn giới thiệu vài ý niệm, hy vọng người đọc tìm hiểu thêm sau Vài nét dạng vi phân Những kí hiệu dx, dy, dA, dV, dxdy, ds, dS, dr, dS, mà ta thấy xuất môn học chưa giải thích ý nghĩa rõ ràng Chúng phần tử tập hợp nào? Quan hệ chúng sao? Dạng vi phân bậc Xét không gian Rn Giả sử x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Lạm dụng kí hiệu ta xi hàm cho tọa độ thứ i x, tức hàm ( x1, x2 , , xn ) → xi Khi ta định nghĩa dạng vi phân dxi đạo hàm hàm xi Tức dxi = dxi ! Vậy dxi hàm Rn Tại điểm x ∈ Rn , giá trị dxi ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ (0, 0, , 0, 1, 0, , 0) số nằm tọa độ thứ i Tổng quát hơn, f : Rn → R hàm trơn đạo hàm d f f dạng vi phân Rn Tại điểm x d f ( x ) ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, đại diện vectơ d f (x) = ∂f ∂f ∂f ∂x1 ( x ), ∂x2 ( x ), , ∂xn ( x ) Từ ta có đẳng thức: ∂f ∂f ∂f ( x )dx1 ( x ) + ( x )dx2 ( x ) + · · · + ( x )dxn ( x ) ∂x1 ∂x2 ∂xn hay ngắn gọn hơn: df = ∂f ∂f ∂f dx + dx2 + · · · + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Trong trường hợp chiều công thức là: d f = f dx 3.5 * Định lí Stokes tổng quát 83 Khác với mơ hồ ta thấy công thức lần đầu học vi phân giáo trình tốn giải tích trung học hay năm đầu đại học, thứ cơng thức có nghĩa xác Ta định nghĩa dạng vi phân bậc Rn hàm cho tương ứng điểm với ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho công thức f dx1 + f dx2 + · · · + f n dxn f , , f n hàm trơn Ví dụ Trên R2 , dạng bậc cho công thức Pdx + Qdy P, Q hàm trơn R2 Tích dạng vi phân Người ta định nghĩa phép nhân dạng vi phân, thường kí hiệu ∧ (wedge - tích chèn), ta bỏ qua kí hiệu cho đơn giản Phép nhân dạng vi phân có tính phân phối với phép cộng Nó cịn có tính chất đặc biệt, tính phản đối xứng: dxdy = −dydx Một hệ dxdx = Ví dụ Khi n = 2: Ta có dxdy dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R2 , giá trị dxdy( p) ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u, v ∈ R2 cho det(u, v), diện tích có hướng hình bình hành sinh u v Vì có lẽ khơng q ngạc nhiên ta biết kí hiệu dA dxdy: dA = dxdy Ví dụ Khi n = 3: Ta có dxdydz dạng vi phân bậc Tại điểm p ∈ R3 , giá trị dxdydz( p) ánh xạ mà tác động vào vectơ u, v, w ∈ R3 cho det(u, v, w), diện tích có hướng hình bình hành sinh u, v w Kí hiệu dV dxdydz: dV = dxdydz Tổng quát hơn, p ∈ Rn dx1 dx2 · · · dxn ( p) = det, dạng thể tích dV Rn dV = dx1 dx2 · · · dxn Với ≤ i1 , i2 , , ik ≤ n dxi1 dxi2 · · · dxik dạng bậc k Tổng hai dạng bậc k dạng bậc k Tích hàm trơn với dạng bậc k dạng bậc k Ta định nghĩa dạng vi phân bậc k Rn tổng hữu hạn dạng f dxi1 dxi2 · · · dxik Ví dụ Một dạng bậc R3 có cơng thức Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, P, Q, R hàm trơn R3 84 Tích phân mặt Ở chưa bàn tới dạng vi phân đường, mặt, hay tổng quát tập "k-chiều" Rn Vì ta chưa có hội giải thích dạng ds, dS, Tích phân dạng vi phân Theo định nghĩa dạng vi phân bậc n Rn tổng hữu hạn dạng f dx1 dx2 · · · dxn Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân dạng f dx1 dx2 · · · dxn tập D Rn tích phân bội hàm f D Định nghĩa dùng cho tập D "n-chiều" Rn Nếu tập D có số chiều k < n (ví dụ đường, mặt Rn ) cần có định nghĩa khác dành riêng cho số chiều k Như ta thấy qua tích phân đường tích phân mặt, định nghĩa dùng tới việc "kéo lui" dạng D dạng k-chiều Rk , lấy tích phân Chi tiết phức tạp, nên ta dừng lại Đạo hàm dạng vi phân Người ta định nghĩa phép đạo hàm dạng Phép tính có tính tuyến tính, nên xác định cơng thức: d( f dxi1 dxi2 · · · dxik ) = (d f )dxi1 dxi2 · · · dxik ∂f ∂f ∂f dx2 + · · · + dx + dxn dxi1 dxi2 · · · dxik ∂x1 ∂x2 ∂xn = Như đạo hàm dạng bậc k dạng bậc (k + 1) Ví dụ Trên R2 xét dạng w = Pdx + Qdy Ta có dw = ∂P ∂P dx + dy dx + ∂x ∂y ∂Q ∂Q dx + dy dy = ∂x ∂y ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdx + Qdy + Rdz Ta có ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dx + ∂x ∂y ∂z = dw + ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dz ∂x ∂y ∂z ∂R ∂Q − ∂y ∂z = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dy + ∂x ∂y ∂z dydz + ∂P ∂R − ∂z ∂x dzdx + ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Chú ý thành phần dw thành phần curl( P, Q, R) Ví dụ Trên R3 xét dạng w = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ta có dw ∂P ∂P ∂P dx + dy + dz dydz + ∂x ∂y ∂z = + = ∂Q ∂Q ∂Q dx + dy + dz dzdx + ∂x ∂y ∂z ∂R ∂R ∂R dx + dy + dz dxdy ∂x ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz Thành phần dạng dw div( P, Q, R) 3.5 * Định lí Stokes tổng quát 85 Tương ứng hàm dạng hàm thực f dạng bậc không f trường ( P, Q, R) dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz trường bảo toàn dạng bậc mà đạo hàm dạng bậc không trường curl( P, Q, R) dạng bậc hai ∂P ∂z hàm div( P, Q, R) − ∂R ∂x ∂R ∂y dzdx + dạng bậc ba ∂P ∂x ∂Q ∂z dydz + ∂Q ∂P ∂x − ∂y dxdy ∂Q ∂R ∂y + ∂z dxdydz − + Ví dụ Tính d(d f ) ta được: d(d f ) = d = ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂2 f ∂2 f − ∂y∂z ∂z∂y dydz + ∂2 f ∂2 f − ∂z∂x ∂x∂z dzdx + ∂2 f ∂2 f − ∂x∂y ∂y∂x dxdy Vậy f trơn cấp hai d(d f ) = Đây khơng khác hệ thức curl(∇( f )) = Ví dụ Nếu ta lấy w = Pdx + Qdy + Rdz tính dw = ∂P ∂z − ∂R ∂x dzdx + d(dw) = ∂Q ∂x − ∂P ∂y ∂R ∂y − ∂Q ∂z dydz + dxdy, tương ứng với trường curl( P, Q, R), ∂2 R ∂2 Q ∂2 P ∂2 R ∂2 Q ∂2 P − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y dxdydz Nếu trường ( P, Q, R) trơn cấp hai d(dw) = Đây hệ thức div(curl( F )) = Tổng quát, tích hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp không: d2 = Bổ đề Poincaré tổng quát Ta thấy w = du dw = Điều ngược lại nội dung Bổ đề Poincaré tổng quát: Trên miền mở hình Rn , w dạng bậc k dw = tồn dạng u bậc k − cho du = w Định lí Stokes tổng qt Định lí Stokes tổng qt cho cơng thức Rn : w= ∂M M dw • Định lí Newton-Leibniz ứng với trường hợp w dạng bậc không f M tập 1-chiều R (đoạn thẳng) • Định lí Green ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy M tập 2-chiều R2 • Định lí Stokes ứng với trường hợp w dạng bậc Pdx + Qdy + Rdz M tập 2-chiều R3 (mặt) 86 Tích phân mặt • Định lí Gauss-Ostrogradski ứng với trường hợp w dạng bậc hai Pdydz + Qdzdx + Rdxdy M tập 3-chiều R3 (khối) Hướng dẫn đọc thêm Để trình bày chặt chẽ nội dung mơn học tổng qt hóa lên khơng gian có số chiều cao cần nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa đường mặt), dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa trường vectơ) Quyển sách nhỏ Spivak [Spi65] giáo trình kinh điển Quyển sách Munkres [Mun91] xuất sau, có nội dung tương tự có nhiều chi tiết Một tài liệu hay gần tập giảng [Sja06] Ngồi đọc sách nâng cao Guillemin Pollack [GP74] Một tiếp cận khác vấn đề tích phân tập khơng gian Euclid trình bày Lí thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory) Có thể đọc sách nhập môn Morgan [Mor00] Bài tập 3.5.2 Đây hệ 3.5.1 Với giả thiết Ω, ta viết v = (v1 , v2 , , ) Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω ∂f dx = ∂xi f vi dS ∂Ω 3.5.3 (tích phân phần) Đây hệ 3.5.2 Với giả thiết Ω, giả sử hàm thực f g thuộc lớp C1 (Ω) Khi đó: Ω ∂f g dx = ∂xi f gvi dS − ∂Ω Ω f ∂g dx ∂xi 3.5.4 (công thức Green) Đây hệ 3.5.1 3.5.2 Với giả thiết ∂f = ∇ f · v, đạo hàm f theo Ω, giả sử hàm thực f g thuộc lớp C2 (Ω) Ta viết ∂v ∂ f hướng v Nhắc lại toán tử Laplace ∆ cho ∆ f = ∑in=1 ∂x2 Khi đó: i (a) Ω ∆ f dx = ∂Ω ∂f dS ∂v (b) Ω ∇ f · ∇ g dx = f ∂Ω ∂g dS − ∂v Ω f ∆g dx (c) Ω ( f ∆g − g∆ f ) dx = f ∂Ω ∂f ∂g −g ∂v ∂v dS 3.5.5 (diện tích mặt cầu) Gọi Sn ( R) mặt cầu n-chiều tâm với bán kính R, biên cầu B (n+1) ( R) tâm bán kính R Hãy dùng 3.5.1 để tính diện tích (nói cách khác, thể tích n-chiều) Sn ( R) Gợi ý cho số tập 1.2.16: Giả sử x ∈ [0, 1] số vô tỉ { pn /qn }n∈Z+ dãy số hữu tỉ hội tụ x Nếu dãy {qn }n∈Z+ khơng tiến vơ có số thực M dãy {qnk }k∈Z+ cho qnk < M với k ∈ Z+ Dãy { pnk /qnk }k∈Z+ gồm hữu hạn giá trị 1.2.17: Tập hợp số hữu tỉ đếm 1.3.12: Đưa toán trường hợp tam giác vng Đặt tam giác vào hình chữ nhật lấy phép chia hình chữ nhật Xét tổng tổng 1.4.11: Dùng định lí Fubini hai lần 1.4.14: (b) Dùng ý 1.1.8 1.5.7: Chú ý miền D đối xứng qua trục Oy Có thể có kết mà khơng cần tính trực tiếp tích phân Để giải thích xác dùng phép đổi biến x → − x 1.6.3: Có thể viết giá trung bình |[0,1]×[ [0,1]×[0,2] p ( x, y ) dxdy Có thể 0,2]| giải thích chi tiết sau Chia đoạn [0, 1] thành 103 đoạn dài chia đoạn [0, 2] thành × 103 đoạn dài Như hình chữ nhật kích thước 1km × 2km chia thành hình chữ nhật có kích thước 1m×1m Số hình chữ nhật 103 × (2 × 103 ) Giá mảnh đất 1m×1m đại diện p( xi , y j ) với điểm ( xi , y j ) Vậy giá trung bình S = ∑i,j p( xi , y j ) /(103 × × 103 ) (triệu đồng/m2 ) Bây ∑i,j p( xi , y j ) × (10−3 × 10−3 ) ∑i,j p( xi , y j ) × (10−3 × 10−3 ) tổng Riemann hàm p ứng với phép chia nói [0, 1] × [0, 2] Giá trị viết S = xấp xỉ tổng vô hạn tích phân S= [0,1]×[0,2] p( x, y) dxdy 87 [0,1]×[0,2] p( x, y) dxdy Vậy Tài liệu tham khảo [Áng97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997 36 [Apo69] Tom M Apostol, Calculus, vol 2, John Wiley and Sons, 1969 [Arn89] Vladimir I Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 [Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978 [Eva97] Lawrence C Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997 81 [Fey64] Richard P Feynman, Robert B Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in Physics, [GT01] David Gilbarg and Neil S Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, [GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, 1974 86 [Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002 vol 2, Addison-Wesley, 1964 80 Springer, 2001 81 [Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929 57 [Khu10] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích toán học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư phạm [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis I, [LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nhà Xuất [Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press, 2000 86 Hà Nội, 2010 Addison-Wesley, 1968 6, 7, 11, 25, 28, 36 Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [MT03] Jerrold E Marsden and Anthony J Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003 [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991 28, 86 [Mun00] , Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000 66 [PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình [Rat94] John G Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol [Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976 28 giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 149, Springer-Verlag, 1994 36 [Rud86] , Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986 [Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University 59, 86 [Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965 28, 86 [Ste08] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 6th ed., Brooks/Cole, 2008 ii, 28, 45 [Sti92] John Stillwell, Geometry of surfaces, Universitext, Springer, 1992 36 89 Chỉ mục Định lí Divergence, 73 đơn, 64 Định lí Gauss-Ostrogradsky, 73 biên, 64 Định lí hàm ngược, 26 qui, 64 độ đo không, 10 trơn, 61 vết, 61 động năng, 52 ma trận Jacobi, 25 đường đi, 41 miền, 14 đóng, 41 đơn, 41 phép đồng phơi, 47 định hướng, 46 phép đổi biến, 25 qui, 45 phép chia, liên tục, 41 khoảng con, trái định hướng, 46 mịn hơn, trơn, 41 vết, 41 tích phân, đường cong, 46 tích phân đường hướng tiếp tuyến, 47 độc lập với đường đi, 51 đa tạp trơn, 82 loại hai, 43 loại một, 43 Bổ đề Poincaré, 58, 59 tích phân lặp, 19 tích phân mặt loại hai, 63 cơng thức Green, 86 tích phân mặt loại một, 62 cơng thức Newton-Leibniz, 51 tích phân phần, 86 công thức Pappus, 40 tọa độ trụ, 31 tổng dưới, dạng vi phân, 82 tổng Riemann, hầu khắp, 10 tổng trên, hình hộp, năng, 52 con, thơng lượng, 74 thể tích, thể tích, 15 hình sao, 58 thể tích khơng, hàm đặc trưng, 15 trơn, 25, 55 hàm Gamma, 40 trường bảo toàn, 51 hàm mật độ, 37 hàm thế, 51 khả tích, vi đồng phơi, 25 khả vi liên tục, 25, 55 đảo ngược định hướng, 63 khả vi khúc, 43 bảo toàn định hướng, 44, 63 mặt, 61 91 ... phân đường 41 2.1 Tích phân đường 41 2.2 Trường bảo tồn 51 2 .3 Định lí Green 55 Chương Tích phân mặt 61 3. 1 Tích phân mặt 61 3. 2 Định lí Stokes 69 3. 3 Định lí Gauss-Ostrogradsky 73 3.4 Ứng dụng định... 1 .3. 2 hàm khả tích, theo 1 .3. 3 đồ thị tích khơng R3 Tương tự nửa mặt cầu tích khơng, mặt cầu tích khơng, 1 .3. 1 nên cầu tích 1 .3 Tích phân tập tổng quát 17 Tính chất tích phân Những tính chất sau... lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân hình hộp 1.2 Sự khả tích 1 .3 Tích phân tập tổng quát 14 1.4 Định lí Fubini 19 1.5 Công thức đổi biến 25 1.6 Ứng dụng tích phân bội 37 Chương Tích phân đường