Bài giảng Toán kinh tế: Phần 2 - Trường CĐ Cộng đồng Đồng Tháp

Bài giảng Toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với 30 tiết bao gồm các chương sau: Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Bài toán đối ngẫu; Bài toán vận tải. Bài toán thế vị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

Chương BÀI TỐN ĐỐI NGẪU Mục đích u cầu Ở chương 2, ta xét toán quy hoạch tuyến tính min-max hai tốn tách biệt Nhưng thật tốn ln ln tồn tốn max tương ứng ngược lại Bài toán quy hoạch ban đầu gọi tốn gốc cịn tốn tương ứng gọi toán đối ngẫu Trong nhiều trường hợp, nhờ Lý thuyết đối ngẫu mà vấn đề phức tạp giải toán gốc trở nên đơn giản dễ dàng thông qua giải tốn đối ngẫu Ta ln tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu từ phương án toán gốc ngược lại Mục tiêu chương là: - Giúp ta hiểu rõ toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế toán đối ngẫu, cần thiết phải đưa toán đối ngẫu - Xét mối quan hệ tốn gốc tốn đối ngẫu từ có phương pháp tìm phương án tối ưu nhanh Kiến thức chuẩn bị Để học tốt chương sinh viên cần: nắm vững chương trước thành thạo phép tính - 56 - 3.1 Khái niệm 3.1.1 Bài tốn đối ngẫu tốn dạng tắc Định nghĩa: Cho toán gốc (P): n f ( x ) = ∑ c j x j → (max) (3.1.1) j =1 n ∑a ij x j = bi i = 1, m (3.1.2) j =1 x j ≥ 0, j = 1, n (3.1.3) Bài toán (D) sau gọi toán đối ngẫu nó: m g ( y ) = ∑ bi yi → max ( min) (3.1.4) i =1 m ∑a ij yi ≤ (≥ ) c j ( j = 1, n ) (3.1.5) i =1 y i tùy ý dấu ( i = 1, m ) (3.1.6) Nhận xét - Hàm mục tiêu (P) f ( x ) → hàm mục tiêu (D) g ( y ) → m ax ngược lại - Các ràng buộc toán (D) bất đẳng thức " ≤ " f ( x ) → m ax (hoặc " ≥ " f ( x ) → ) - Số ẩn toán số ràng buộc toán ngược lại - Các hệ số cj số hạng tự bi hai toán đối ngược - Ma trận hệ số ràng buộc hai toán chuyển vị Hàng i ma trận A = (aij ) mxn xác định ràng buộc thứ i toán gốc n ∑a x ij j = bi , j =1 cột j ma trận A xác định ràng buộc thứ j toán đối ngẫu: m ∑a ij yi ≤ ( ≥ ) c j i =1 Ví dụ 1: Bài toán gốc: f ( x ) = x1 + x + x → m in  x1 + x + x =   x + x3 = x j ≥ 0, j = 1, - 57 - Bài toán đối ngẫu toán là: g ( y ) = y1 + y → m ax  y1 ≤   y1 + y ≤ y + 3y ≤  y1 , y2 tùy ý 3.1.2 Bài toán đối ngẫu toán dạng tổng quát Quy tắc lập toán đối ngẫu cho bảng sau: Bài toán gốc P (D) Bài toán đối ngẫu D (P) n m Hàm mục tiêu f ( x ) = ∑ c j x j → max Hàm mục tiêu g ( y ) = ∑ bi yi → j =1 i =1 ≤  Ràng buộc thứ i: ∑ aij x j  ≥  bi , i = 1, m j =1  =  n  ≥ Ẩn thứ j: x j  ≤  tùy  ≥ Ẩn thứ i: yi  ≤  tùy   0, i = 1, m  ý  ≥  Ràng buộc thứ j: ∑ aij yi  ≤  c j , j = 1, n i =1  =    0, j = 1, n  ý  m Nhận xét: Bài toán đối ngẫu tốn đối ngẫu tốn gốc Vì người ta nói cặp tốn gốc – đối ngẫu cặp toán đối ngẫu Cách nhớ max → Ẩn → Ràng buộc(cùng dấu) Ràng buộc → Ân (ngược dấu) → max Ẩn → Ràng buộc (ngược dấu) Ràng buộc → Ân (cùng dấu) Ví dụ 2: Tìm tốn đối ngẫu tốn f ( x ) = x1 + x − x + x → m ax  x1 − x − x + x ≤   x1 + x + x + x = 5 x + x + x + x ≥ 20  x1 , x ≥ 0, x ≤ x4 tùy ý Bài toán đối ngẫu toán là: - 58 - (1) (2 ) (3) g ( y ) = y1 + y + y → m in (do f ( x) → max )  y1 + y + y ≥ − y + y + y ≥    − y1 + y + y ≤ −  y1 + y + y = ( x1 ≥ 0) (d o x2 ≥ ) ( d o x ≤ 0) ( d o x tù y ý ) y1 ≥ (do ràng buộc (1) ≤ ), y2 tùy ý (do ràng buộc (2) = ), y3 ≤ (do ràng buộc (3) ≥ ), Ví dụ 3: Tìm tốn đối ngẫu toán f ( x ) = x1 + x − x → m in  x1 − x + x =   x1 − x − x ≥ x + x − 2x ≤  x1 ≥ 0, x ≤ , x3 tùy ý Bài toán đối ngẫu là: g ( y ) = y1 + y + y → m ax  y1 + y + y ≤   − y1 − y + y ≥   y1 − y − y = − y2 ≥ 0, y3 ≤ ? Lập toán đối ngẫu toán sau: f ( x ) = x1 + x − x → m ax  x1 + x + x ≤   x1 − x + x = 10 2 x + x − x ≥ 15  x1 ≥ 0, x ≥ 3.2 Quan hệ toán gốc toán đối ngẫu 3.2.1 Các định lý đối ngẫu Định lý 1: Với cặp toán P D, xảy ba trường hợp sau: Cả hai khơng có phương án Cả hai có phương án, lúc hai có phương án tối ưu giá trị hàm mục tiêu phương án tối ưu - 59 - Một hai tốn khơng có phương án, cịn tốn có phương án Khi tốn có phương án khơng có phương án tối ưu hàm mục tiêu không bị chặn Hệ 1: Nếu hai tốn có phương án tối ưu tốn có phương án tối ưu Hệ 2: Điều kiện cần đủ để hai phương án x * (P) y * (D) tối ưu là: f ( x*) = g ( y*) Định lý 2: (Độ lệch bù yếu) Điều kiện cần đủ để phương án x * (P) y * (D) tối ưu là:  ∗ m  ∗  x j  ∑ aij yi − c j  = (j = 1, n)    i =1  n  y ∗  a x∗ − b  = (i = 1, m) i ij j  i ∑    j =1 (3.1.7) (3.1.8) Chú ý: Nếu tích thừa số khác thừa số 3.2.2 Tìm P.A.T.Ư tốn đối ngẫu qua P.A.T.Ư toán gốc Giả sử toán gốc có phương án tối ưu x∗ = ( x1∗ , x2∗ , xn∗ ) giải toán đối ngẫu Theo định lý 2, ta có Nếu x*j > m ∑a y * ij i = cj i =1 Nếu thay x * vào ràng buộc toán gốc mà xẩy n ( > ,< ) ∑ aij x*j ≠ bi (đẳng j =1 thức thật sự) y = * i Từ ta hệ phương trình, giải hệ ta tìm nghiệm tối ưu tốn đối ngẫu Nhận xét: Tìm P.A.T.Ư tốn gốc qua P.A.T.Ư toán đối ngẫu ta tiến hành tương tự Ví dụ 4: Bài tốn gốc f ( x ) = x1 + x + x + x → m ax  x1 + x + x + x =   − x1 + x + x ≥ 16  x + x + x ≤ 23  x j ≥ 0, j = 1, - 60 - Có phương án tối ưu x∗ = (0,14, 6, 5), f ( x∗ ) = 40 Viết tốn đối ngẫu tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu Giải Bài toán đối ngẫu: g ( y ) = y1 + y + y → m in  y1 − y + y ≥ y ≥1    y1 + y + y ≥  y1 + y + y ≥ (1) (2 ) (3) (4 ) y1 tuỳ ý, y2 ≤ 0, y3 ≥ Tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu: x2∗ = 14 > ⇒ y1∗ = (theo (2)) x3∗ = > ⇒ y1∗ + y2∗ + y3∗ = (theo (3)) x4∗ = > ⇒ y1∗ + y2∗ + y3∗ = (theo (4)) Giải hệ ta tìm được: y1∗ = 1, y2∗ = − , y3∗ =   2  Vậy phương án tối ưu y ∗ = 1, − ,  5  6   2   với g ( y*) = 50.1 + 16  −  + 23   = 40 = f ( x∗ ) 5 Ví dụ 5: Bài tốn gốc f ( x ) = x1 + x + x + x − x → m in  x1 − x − x − x =    x + x + x + x = 30 2   x + x ≤ x j ≥ 0, j = 1,5 Có phương án tối ưu x∗ = (32, 0,30, 0, 0), f ( x∗ ) = 184 Viết tốn đối ngẫu tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu Giải Bài toán đối ngẫu là: g ( y ) = y1 + y + 36 y → m ax - 61 -   y ≤   − y1 +   y2 ≤   − y1 +    − y1 +  y + y3 ≤ y2 ≤ y2 + y3 ≤ − y1 , y2 tuỳ ý, y3 ≤ Tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu: Thứ nhất: x1∗ = 32 > ⇒ y1∗ = x3∗ = 30 > ⇒ y2∗ = Thứ hai: Thay x∗ = (32, 0,30, 0, 0) vào ràng buộc thứ ta có x2 + x5 − 36 = −36 < Nên y3∗ = Vậy phương án tối ưu y ∗ = ( 2, 4, ) với g ( y*) = 32.2 + 30.4 + 36.0 = 184 = f ( x∗ ) ? Tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu, biết tốn gốc có phương án tối ưu x∗ = (1/ 5, 0,9 / 10), f ( x∗ ) = 12 f ( x ) = 15 x1 + x + x → m ax  − x1 + x + x ≤   x1 − x + x ≤ −4 x − x + x ≥ 1  x j ≥ 0, j = 1,3 Ví dụ 6: Bài tốn gốc f ( x ) = x1 + x + x → m in  x1 ≥   x1 + x + x ≥  x1 + x ≥  x ≥ −2   x ≥ x j tùy ý ( j = 1,3 ) - 62 - a) Viết tốn đối ngẫu tốn b) Tìm phương án tối ưu toán gốc biết P.A.T.Ư toán đối ngẫu 310  34 22  y ∗ =  0, , , 0,  g ( y* ) =  3  Giải Bài tốn đối ngẫu là: g ( y ) = y1 + y + y − y + y → m ax  y1 + y + y =   y + y + y = 60 3 y + y = 36  yi ≥ i = 1,5 Tìm phương án tối ưu tốn gốc Thứ nhất: y2∗ = 34 > ⇒ x1 + x2 + x3 = y3∗ = 22 > ⇒ x1 + x2 = y5∗ = > ⇒ x3 = Thứ hai: Mọi ràng buộc toán đối ngẫu phương trình nên khơng cho ta điều x j 11   x1 = 2 x1 + x2 + x3 =    ⇒  x2 = − Giải hệ phương trình 4 x1 + x2 = x =    x3 =    11  , − , 3 6  Vậy phương án tối ưu toán gốc x∗ =  với f ( x*) = 52 11 310  5 + 60  −  + 36.3 = = g ( y∗ ) 3   3.3 Ý nghĩa toán đối ngẫu Một tốn quy hoạch tuyến tính gốc lập nên từ vấn đề sản xuất kinh doanh, tham số ( aij ,bi ,c j ) , ẩn số, hàm mục tiêu, ràng buộc chứa đựng nội dung rõ rệt kinh tế Khi chuyển sang toán đối ngẫu đơi lúc - 63 - ta khó giải thích ý nghĩa kinh tế yếu tố tốn đối ngẫu Tuy nhiên khơng phải mà tốn đối ngẫu khơng có tầm quan trọng to lớn Theo khái niệm ta thấy: giải hai toán coi giải tốn Vì gặp tốn khó giải tốn đối ngẫu dễ giải Ví dụ 7: Bài toán sau f ( x ) = ∑ c j x j → ∑ aij x j ≥ bi xj ≥0 ( i = 1,m ) ( j = 1,n ) Giả thiết c j ≥ ( j = 1,n ) Nếu giải trực tiếp, ta cần đưa vào m ẩn phụ với hệ số -1, lại thêm m ẩn giả với hệ số đưa dạng chuẩn để giải thuật tốn đơn hình Cịn đưa tốn đối ngẫu: g( y ) = ∑ bi yi → max ∑ aij y i yi ≥ ≤ cj ( j = 1,n ) ( i = 1,m ) cần đưa m ẩn phụ vời hệ số có tốn dạng chuẩn để giải Ngồi người ta cịn chứng minh được: có phương án tối ưu toán đối ngẫu, tức bảng ∆ j ≥ ∀j Lúc x* ( ∆m +1 , ∆m + , ,∆m + n ) phương án tối ưu tốn gốc (Trong ∆m + j ước lượng ẩn phụ ym + j ) Bẳng lý thuyết toán đối ngẫu người ta đưa thuật toán giải số toán quan trọng kinh tế “phương pháp vị” giải toán vận tải phương pháp “ Điều chỉnh nhân tữ” giải toán sản xuất đồng - 64 - BÀI TẬP CHƯƠNG Lập toán đối ngẫu toán sau:  f ( x ) = x1 + x − x → m in x − x + 2x =  a)  x1 − x − x ≥ x + x − 2x ≤ 3   x1 ≥ 0, x ≤  f ( x ) = − x1 + x + x → m ax  x − 3x + x ≥  b)  x + x − x3 ≥   x ≥ 0, j = 1,  j Lập toán đối ngẫu toán sau:  f ( x ) = x1 + x − x + x → m in  x + x + 3x ≥  a)  x1 + x + x =  x − x + x + x ≤ 10   x1 ≥ 0, x , x ≤ 0, x , x ∈ R  f ( x ) = x1 + 20 x + x → m ax   x1 + x + x ≤ −  x1 + x + x ≤ − b)  x + x + x3 ≤ −   x1 + x + x ≤ −   x j ≤ 0, j = 1, 3 Cho toán gốc:  f ( x ) = x1 + 50 x + x → m ax x + 2x + x ≤ 2   − x1 + x − x ≤  x + x − x ≤ −2   x1 , x ∈ R , x ≤ a) Lập toán đối ngẫu b) Giải toán đối ngẫu suy kết toán gốc Tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu Biết tốn gốc có phương án tối ưu x∗ = (0, / 2,1) có dạng: f ( x ) = x1 + x + x → m in - 65 - Ma trận cước phí là: 7 50 0 10 20 10 70 Ta thấy loại có cước phí dương nên tốn có phương án tối ưu  0 50  X = 10 20 10  70 0  ∗ Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 1.50 + 3.10 + 2.20 + 6.10 + 7.70 = 670 4.2.3 Phương pháp vị Cho toán vận tải: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → (4.2.3) i =1 j =1 n ∑x ij = (i = 1, m) (4.2.4) = b j ( j = 1, n) (4.2.5) j =1 m ∑x ij i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) (4.2.6) Bài toán đối ngẫu toán là: m n i =1 j =1 g (u , v) = ∑ ui + ∑ b j v j → max (4.2.7) ui + v j ≤ cij (i = 1, m; j = 1, n) (4.2.8) ui , v j tuỳ ý (4.2.9) Theo định lý đối ngẫu thứ ta có dấu hiệu tối ưu: Điều kiện cần đủ để X = {xij} tối ưu tồn hệ thống {u i , v j } (i = 1, m; j = 1, n) thỏa mãn điều kiện sau: a) ui + v j = cij xij > (4.2.10) - 77 - b) ui + v j ≤ cij với i, j (4.2.11) (Các ui , v j gọi vị dịng i cột j) Thuật tốn Bước 1: Xây dựng phương bán cho toán vận tải - Lập bảng vận tải - Kiểm tra điều kiện cân thu-phát - Xác định P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất) - Kiểm tra lại có m + n − chọn, chuyển qua bước Bước 2: Xây dựng hệ thống vị ui , v j - Lấy hàng i (chọn hàng có nhiều chọn) gán cho giá trị ui tuỳ ý (thường cho ui = ) - Tính ui , v j cịn lại theo cơng thức: v j = ui + cij ui = v j − cij với (i, j) ứng với chọn (Bằng cách ta có đủ ui , v j tất hàng cột) Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu Tính ∆ ij = v j − ui − cij cho loại (dương ghi rõ số, âm ghi dấu (-)), chọn ∆ ij = + Nếu ∆ ij ≤ ∀(i, j ) phương án tối ưu + Nếu tồn ∆ ij > chưa tối ưu chuyển sang bước Bước 4: Điều chỉnh phương án để tìm phương án tốt 1.Chọn đưa vào: Ơ loại có cước phí dương ( ∆ ij > ) lớn Xác định vịng điều chỉnh Phân chẵn lẻ Tìm ô đưa lượng điều chỉnh Lập phương án tốt Các việc 2, 3, 4, làm tương tự thuật toán “Quy cước phí chọn” Sau có phương án mới, quay bước tiếp tục tìm phương án tối ưu - 78 - Nhận xét: Thuật toán dựa khái niệm toán đối ngẫu định lý độ lệch bù yếu trừu tượng bạn không nắm sở tốn Về tiến trình tính tốn khơng gọn nhẹ thuật tốn “Quy cước phí chọn” ∆ ij tính bước khơng dùng bước sau Cịn thuật tốn trước cij bước sau thường nhỏ, hầu hết Về mức độ hiệu hai phương pháp Ví dụ 5: Giải toán vận tải với số liệu sau đây:  14 21 12 23 34  (cij ) =  24 19 22 32 15   22 11 34 16 27    (ai ) = (125 175 210 ) ; (b j ) = (120 140 75 85 90 ) Giải vj 24 bj ui 27 120 140 10 16 125 175 210 14 21 75 85 90 23 75 22 (+8) 70 11 (-) 15 12 19 22 32 (-) 50 24 22 - 79 - (-) 32 (0) 34 140 34 15 15 16 (-) (-) 90 27 70 (-) vj 24 bj ui 19 120 140 10 125 175 816 210 14 21 75 85 12 23 75 19 70 22 24 (-) 50 24 22 22 (-) 90 34 (-) 32 (-) 15 (0) 15 11 15 34 125 90 16 (-) 27 85 (-) Kết thúc bảng 2, có ∆ ij ≤ (∀ij) nên phương án tối ưu 50 75 0  X = 70 15 0 90   125 85  ∗ Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 14.50 + 12.75 + 24.70 + 19.1 + 15.90 + 11.125 + 16.85 = 7650 ? Giải toán vận tải với số liệu sau đây: 1 3 (cij ) =  4  2 2 4  3  4 4 (ai ) = ( 31 50 75 128 ) ; (b j ) = (104 22 40 118 ) 4.3 Bài tốn vận tải có cấm Trong thực tế có số tuyến đường khơng thể vận chuyển hàng hóa qua được: cầu, phà, đường sá bị hư hỏng, khơng có phương tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vận tải phải đảm bảo cho trạm phát phát hết hàng trạm thu phải thu đủ hàng khơng cân thu phát,…Các ô ứng với tuyến đường gọi “ô cấm” - 80 - Cách giải Ta lập toán mở rộng (VTM) cách thay cij ô cấm M > lớn, dùng phương pháp vị để giải tốn Có hai trường hợp: * Nếu P.A.T.Ư (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm Khi đó, tốn xuất phát có P.A.T.Ư * Nếu P.A.T.Ư (VTM) có tất cá thành phần ứng với cấm khác Khi đó, tốn xuất phát khơng có P.A khơng có P.A.T.Ư Ví dụ 6: Giải toán vận tải với số liệu sau đây:  15 16 10  (cij ) = 10 15  10 14 11 13    (ai ) = ( 50 100 50 ) ; (b j ) = ( 50 100 25 25 ) Trong (2, 2) (2, 4) ô cấm Giải Bj 50 100 25 25 15 16 10 M M Ai 50 50 100 10 25 50 10 11 14 25 13 25 Không thể phân phối để thỏa mãn P.A tốn vận tải nên tốn khơng có P.A Đặt c22 = c24 = M , thực phương pháp vị ta có P.A tối ưu bảng sau : - 81 - Bj 5–M 15 6-M 10 50 100 25 25 15 16 10 Ai 50 50 15 – M 100 M 10 50 50 25 10 M 25 25 14 11 13 50 Trong P.A.T.Ư toán mở rộng (VTM) có thành phấn ứng với cấm (2,2) : x 22 = 25 ≠ Do tốn khơng có phương án ? Giải tốn vận tải với số liệu sau đây: 5 8 (cij ) =   11  9 6  12   23  (ai ) = (150 100 145 100 ) ; (b j ) = (140 180 ) 150 Với điều kiện A3 A4 phải bán hết hàng 4.4 Bài toán vận tải không cân thu phát a) Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j m n i =1 j =1 - Thêm điểm thu giả Bn +1 với nhu cầu bn +1 = ∑ − ∑ b j - Các ô cột ứng với điểm thu giả có cước phí 0: ci ( n +1) = (i = 1, m) Lúc toán trở thành cân thu phát b) Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ < ∑ b j n m j =1 i =1 - Thêm điểm phát giả An +1 với nhu cầu an +1 = ∑ b j − ∑ - 82 - - Các ô hàng ứng với điểm phát giả có cước phí 0: c( m +1) j = ( j = 1, n) Chú ý: Khi tìm phương án ban đầu, phân phối vào trước Các ô hàng cột ứng với điểm thu phát giả cịn thừa hàng phân vào Ví dụ 7: Giải tốn vận tải cho bảng đây: bj 20 40 60 80 30 50 4 Giải Kiểm tra điều kiện cân thu-phát ∑ = 160 ; m n i =1 j =1 ∑ b j = 120 ⇒ ∑ > ∑ b j Ta thêm trạm thu giả B4 với lượng hàng b4 = 160 − 120 = 40 Các nằm dịng trạm thu giả có cij = bj 20 40 60 40 80 30 50 10 60 10 r2 = 30 20 s1 = −1 30 s2 = −4 - 83 - s3 = −1 r1 = s4 = r3 = Ta áp dụng thuật toán “Quy cước phí chọn” để giải tìm ma trận cước phí là: 0 10 0 60 10 30 20 30 Ta thấy ô loại có cước phí ≥ nên phương án tối ưu  10 60 10  X ∗ =  30 0   20 0 30  Với phương án tối ưu cước phí phải trả là: f ( X * ) = 4.10 + 1.60 + 2.30 + 1.20 = 180 ? Giải toán vận tải bj 10 4.5 14 6 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức 4.5.1 Định nghĩa Bài tốn vận tải có dạng sau gọi toán vận tải dạng bất đẳng thức - 84 - m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij ≤ (i = 1, m) (1) j =1 m ∑x ij ≥ b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) > , b j > , cij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) 4.5.2 Điều kiện tối ưu Điều kiện cần đủ để tốn (1) có phương án tối ưu m n i =1 j =1 ∑ ≥ ∑ b j 4.5.3 Cách giải m n i =1 j =1 ∑ = ∑ b j a Trường hợp Trường hợp người ta chứng minh toán (1) tương đương với toán sau đây: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij = (i = 1, m) (2) j =1 m ∑x ij = b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) Bài toán (2) toán cân thu phát Giải toán thuật toán vị ta phương án tối ưu toán (1) b Trường hợp m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j - 85 - Xét toán: m n f ( x) = ∑∑ cij xij → i =1 j =1 n ∑x ij ≤ (i = 1, m) (3) j =1 m ∑x ij = b j ( j = 1, n) i =1 xij ≥ (i = 1, m; j = 1, n) Bài tốn (3) tốn khơng cân thu phát nghiên cứu, ln có phương án tối ưu, phương án pương án toán (1) Trong trường hợp người ta chứng minh rằng, phương án tối ưu toán (3) phương án tối ưu toán (1) Vậy để giải toán (1) với điều kiện m n i =1 j =1 ∑ > ∑ b j ta giải tốn khơng cân thu phát (3) Nói chung, tồn phương án tối ưu tốn (1) khơng phải phương án tối ưu toán (3) - 86 - BÀI TẬP CHƯƠNG Giải toán vận tải cho bảng sau: Bj cij B1 B2 B3 B4 2 30 Ai A1: 100 A2: 80 A3: 20 Giải toán vận tải với số liệu sau  40  68 (cij ) =  120   30 100  51 53 18  30 150 16   54 13 80  15 35 (ai ) = ( 80 30 20 60 ) ; (b j ) = ( 40 70 50 30 ) Cho toán vận tải với số liệu sau  12   11   (cij ) =  6 6   5 2 (ai ) = ( 35 90 75 100 ) ; (b j ) = ( 50 80 70 60 40 )  20 0 15   25 60   phương án x =   30 45 0     75 0 25  a) Hãy điều chỉnh phương án x để thu phương án cực biên x khơng xấu x b) Giải tốn cho xuất phát từ x - 87 - Giải toán vận tải cho bảng sau bj 60 60 80 50 100 20 130 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 25 35 60 30 20 40 60 4 2 6 Có ba sở phát hành báo hàng ngày A, B, C, phân phối cho vùng kinh tế I, II, III, IV Bảng cho biết số lượng phát hành báo sở số lượng báo yêu cầu vùng kinh tế tính đơn vị 1000 tờ, đồng thời cho biết thời gian cần thiết để vận chuyển báo từ sở phát hành đến vùng kinh tế tính (h) Tìm phương án phân phối vận chuyển báo cho tổng thời gian vận chuyển nhỏ Cơ sở phát hành Lượng báo phát hành Thời gian vận chuyển đến vùng I II - 88 - III IV A 40 3 B 110 C 30 6 30 60 40 50 Nhu cầu vùng Ba công nhân A, B, C phải đứng máy tiện I, II, III để sản xuất chi tiết máy Năng suất công nhân loại máy (chi tiết/ngày) cho bảng Muốn có phương án phân cơng nhân đứng máy để tổng số chi tiết ngày lớn I II III 1 A: 19 21 25 B: 20 18 24 C: 17 26 18 Máy N.suất C.nhân a) Lập mô hình tốn b) Mơ hình thay đổi công nhân B không đứng máy I c) Giải toán hai trường hợp Giải tốn có cấm bj 80 20 60 50 40 70 M M Giải toán vận tải với số liệu sau đây: - 89 - 5 8 (cij ) =  11  9 6  12   23  (ai ) = (150 100 145 100 ) ; (b j ) = (140 150 180 ) Với điều kiện A3 A4 phải phát hết hàng 10 Giải toán vận tải với số liệu sau đây:  5 (cij ) =    4 3   (ai ) = ( 80 70 50 ) ; (b j ) = (100 50 30 70 ) Với điều kiện B3 phải thu đủ hàng 11 Giải toán vận tải cho bảng sau bj 20 40 60 30 50 80 30 12 Giải 11 với điều kiện f ( x) → max 13 Cho toán vận tải với số liệu sau đây: 1 4 (cij ) =   2 1   (ai ) = (14 10 + m ) ; (b j ) = ( 20 + m ) (m: tham số) Tìm phương án tối ưu trường hợp: ≤ m ≤ , m > Từ tìm biểu thức giá trị tối ưu hàm mục tiêu - 90 - TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS Đặng Hấn (1995), Quy hoạch TP.HCM tuyến tính, Trường ĐH Kinh Tế Nguyễn Thành Cả, Quy hoạch tuyến tính, Trường ĐH Kinh Tế TP HCM TS Bùi Phúc Trung (2003), QHTT tối ưu hoá, Trường ĐH Kinh Tế TP.HCM - 91 - ... 70 11 (-) 15 12 19 22 32 (-) 50 24 22 - 79 - (-) 32 (0) 34 140 34 15 15 16 (-) (-) 90 27 70 (-) vj 24 bj ui 19 120 140 10 125 175 816 21 0 14 21 75 85 12 23 75 19 70 22 24 (-) 50 24 22 22 (-) 90... 14 21 12 23 34  (cij ) =  24 19 22 32 15   22 11 34 16 27    (ai ) = ( 125 175 21 0 ) ; (b j ) = ( 120 140 75 85 90 ) Giải vj 24 bj ui 27 120 140 10 16 125 175 21 0 14 21 75 85 90 23 75 22 ... Bj b1 b2 … bn Phát Ai A1 A2 c11 c 12 x11 c21 c1n x 12 c 22 x21 x1n c2n x 22 x2n … am cm1 cm2 xm1 cmn xm2 xmn Mô tả bảng vận tải - Mỗi hàng đặc trưng cho trạm phát cột đặc trưng cho trạm thu - Mỗi