Đang tải... (xem toàn văn)
GIẢI TÍCH 2. TÍCH PHÂN KÉP FULL Nội dung chính Tóm tắt lý thuyết, phương pháp tính và ứng dụng Ví dụ minh họa tính toán và ứng dụng tích phân kép Bài tập tự luyện có giải chi tiết và hình vẽ Full playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2 5. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh Ví Momo: 0986.960.312 Tài liệu tham khảo 1. Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012). Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB ĐH KTQD. 2. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006). Giáo trình Toán học cao cấp tập III. Tái bản lần 10. NXB Giáo Dục. Kênh học online free Eureka Uni: https:www.youtube.comEurekaUni Group Toán cao cấp: https:fb.comgroupstoancaocap.neu Group Xác suất thống kê: https:fb.comgroupsxacsuatneu Group Kinh tế lượng: https:fb.comgroupskinhteluong.neu Group Kinh tế vi mô: https:fb.comgroupsmicroeconomics.neu Group Kinh tế vĩ mô: https:fb.comgroupsmacroeconomics.neu Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comEurekaUni.Official Fanpage của Eureka Uni: https:fb.comeureka.uni.vn Website Eureka Uni: https:eurekauni.com
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập III Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH https://tinyurl.com/GiaiTich2Full TOÁN CAO CẤP NEU https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU XÁC SUẤT & THỐNG KÊ https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull KINH TẾ LƯỢNG https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Tích phân bội Tích phân bội (kép) Lý thuyết Bài tập Tích phân bội Lý thuyết Bài tập 2.1 TÍCH PHÂN BỘI (TÍCH PHÂN KÉP) Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 2.1.1 Tóm tắt lý thuyết Eureka Uni (facebook.com) 2.1.1.1 So sánh với tích phân xác định hàm biến Tích phân bội Kí hiệu 𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 𝐷 𝐷: miền phẳng, đóng (cả đường biên) 𝑆: diện tích miền 𝐷 Định nghĩa Liên tục Tích phân xác định 𝑏 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 𝐷 𝑎 𝐷 = [𝑎, 𝑏] 𝑛 𝐼 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 )Δ𝑆k 𝑛→+∞ 𝑘=1 𝑛 𝐼 = lim ∑ 𝑓 (𝜖)Δ𝑥𝑘 𝑛→+∞ 𝑘=1 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục bị chặn miền 𝐷 khả tích 𝑓(𝑥) liên tục bị chặn miền 𝐷 khả tích Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ý nghĩa hình học Tính 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 = − ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 chất 𝑎 𝑏 𝑏 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝑐 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥 )d𝑥 𝐷 𝑎 𝑎 𝑐 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 + ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷1 𝐷2 𝑏 ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)]d𝑥d𝑦 ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]d𝑥 𝐷 𝑎 𝑏 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 ± ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 𝐷 = ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥 )d𝑥 𝐷 ∬ 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = 𝑐 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 ∫ 𝑐𝑓(𝑥)d𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 𝑎 𝑎 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 ≥ ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 𝐷 |∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦| ≤ ∬ |𝑓(𝑥, 𝑦)|d𝑥d𝑦 𝐷 𝐷 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = 𝑓(𝜀𝑥 , 𝜖𝑦 )𝑆 𝐷 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑔 (𝑥 ) 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)d𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 |∫ 𝑓(𝑥)d𝑥| ≤ ∫ |𝑔(𝑥)|d𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 = 𝑓(𝜀 )(𝑏 − 𝑎) 𝑎 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 2.1.1.2 Tính tích phân bội Tích phân lặp Đổi biến 𝐷 hình chữ nhật Đổi biến – đổi “cận”, đổi vi phân 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣) Δ → 𝐷: { 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 } 𝑓(𝑥, 𝑦) khả tích 𝐷 𝑏 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦 𝐷 𝑎 𝑐 𝑑 𝑏 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∫ d𝑦 ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥 𝐷 𝑐 𝑎 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục 𝐷 𝑏 𝑑 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦d𝑥 𝐷 𝑎 𝑑 d𝑥d𝑦 → |J(𝑢, 𝑣)|d𝑢d𝑣 𝑑 𝑐 𝑏 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 = ∬ 𝑓[𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)] |J(𝑢, 𝑣)|d𝑢d𝑣 Δ 𝜕𝑥 𝐽(𝑢, 𝑣) = |𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ′ 𝜕𝑣 | = |𝑥𝑢 𝜕𝑦 𝑦𝑢′ 𝜕𝑣 𝑥𝑣′ | 𝑦𝑣′ = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝑐 𝑎 𝐷 miền cong Trường hợp tọa độ cực 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝐺 (𝑥)} Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 , ≤ 𝑟 ≤ 𝑚, 𝜑 ∈ [𝜑1 , 𝜑2 ] Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝐺 (𝑥 ) 𝑏 ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∫ d𝑥 ∫ 𝐷 𝑎 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦 𝑔 (𝑥 ) 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): ℎ(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝐻(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 } Eureka Uni (facebook.com) cos 𝜑 𝐽(𝑟, 𝜑) = | sin 𝜑 ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟 cos 𝜑 , 𝑟 sin 𝜑)𝑟d𝑟d𝜑 = 𝐷 𝑑 𝐻 (𝑦 ) ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 = ∫ d𝑦 ∫ 𝐷 𝑐 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥 ℎ (𝑦 ) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook −𝑟 sin 𝜑 | = 𝑟 ⇒ d𝑥d𝑦 → 𝑟d𝑟d𝜑 𝑟 cos 𝜑 𝛽 Δ 𝑟2 (𝜑) = ∫ d𝜑 ∫ 𝛼 𝑓 (𝑟 cos 𝜑 , 𝑟 sin 𝜑)𝑟d𝑟 𝑟1 (𝜑) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 2.1.1.3 Ứng dụng tính thể tích, diện tích Tính Cơng thức Thể tích vật thể 𝑂𝑥𝑦𝑧 𝐷 đáy mặt Oxy, đường sinh song song với 𝑂𝑧, phía chặn mặt 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) ≥ 0: 𝑉 = ∬ 𝑧(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 Diện tích hình phẳng 𝑧(𝑥, 𝑦) = 1, ta có cơng thức tính diện tích miền 𝐷 nằm mặt Oxy: 𝑂𝑥𝑦 𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦 𝐷 Diện tích mặt cong 𝑂𝑦𝑥𝑧 Mặt 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) (với 𝑧 liên tục, có đạo hàm riêng liên tục 𝑧𝑥 , 𝑧𝑦 ), chắn đường bao ℓ, có hình chiếu xuống 𝑂𝑥𝑦 miền 𝐷: 𝜎 = ∬ √1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 d𝑥d𝑦 𝐷 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 2.1.2 Bài tập tổng hợp tích phân bội Tính tích phân bội: (i) Tích phân lặp (ii) Đổi biến (tọa độ cực) Đổi thứ tự tính tích phân Ứng dụng tính thể tích, diện tích hình phẳng, diện tích mặt cong Ví dụ Tính tích phân 𝐼0 = ∬ (𝑥 − 𝑦 )d𝑥d𝑦 𝐷 a) 𝐷: ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ b) 𝐷 giới hạn 𝑥 = 2, 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑥𝑦 = c) 𝐷 giới hạn hình trịn tâm O bán kính đường 𝑦 = 0, 𝑥 = Tính thể tích vật thể trường hợp này? Tính diện tích miền D? Tính diện tích bề mặt mặt cong 𝑥 − 𝑦 giới hạn miền D? Giải a) 𝐷 hình chữ nhật Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 10 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Vẽ miền 𝐷: ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ Tính theo 𝑦 trước 2 𝐼0 = ∫ ∫ (𝑥 − 𝑦 d𝑦d𝑥 = ∫ (∫ (𝑥 − 𝑦 )d𝑦) d𝑥 2) −1 −1 1 = ∫ [(𝑥 𝑦 − 𝑦 ) | ] d𝑥 = ∫ (2𝑥 − + 𝑥 − ) d𝑥 −1 3 0 1 = ∫ (3𝑥 − 3)d𝑥 = (𝑥 − 3𝑥) | = −2 0 Hoặc tính theo 𝑥 trước 2 2) 𝐼0 = ∬ (𝑥 − 𝑦 d𝑥d𝑦 = ∫ ∫ (𝑥 − 𝑦 d𝑥d𝑦 = ∫ (∫ (𝑥 − 𝑦 )d𝑥) d𝑦 𝐷 −1 2) −1 2 1 2 = ∫ [( 𝑥 − 𝑥𝑦 ) | ] d𝑦 = ∫ ( − 𝑦 ) d𝑦 = ( 𝑦 − 𝑦 ) | −1 3 −1 −1 = −2 b) 𝐷 giới hạn 𝑥 = 2, 𝑦 = 2𝑥 − 1, 𝑥𝑦 = Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 29 Eureka! Uni - YouTube 2𝜋 𝐼81 = ∫ 2𝜋 d𝜑2 ∫ 𝑟2 𝑟2 d𝑟2 = ∫ Eureka Uni (facebook.com) d𝜑2 ∫ 2𝜋 𝑟22 d𝑟2 =∫ 2𝜋 3 d𝜑2 ( 𝑟2 | ) = ∫ d𝜑2 2𝜋 = 𝜑2 | = 18𝜋 Vậy 𝐼8 = 𝐼82 − 𝐼81 = 18𝜋 − Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 16 38 𝜋= 𝜋 3 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 30 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝐼9 = ∬ (√𝑥 + √𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 Với 𝐷 miền giới hạn hai trục tọa độ và: √𝑥 + √𝑦 = Giải Vẽ miền 𝐷 Cách 1: Tích phân lặp ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ ⇒ √𝑥 + √𝑦 = ⇔ 𝑦 = (1 − √𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦 ≤ (1 − √𝑥) (1−√𝑥) 𝐼9 = ∫ d𝑥 ∫ 2 (1−𝑥 ) (√𝑥 + √𝑦)d𝑦 = ∫ d𝑥 ∫ 0 1 (𝑥 + 𝑦 ) d𝑦 2 (1 − 𝑥 12 ) =∫ + 𝑦2) | 0 1 1 3 2 2 2 = ∫ d𝑥 [𝑥 (1 − 𝑥 ) + (1 − 𝑥 ) ] = ∫ ( 𝑥 − 𝑥 + ) d𝑥 3 0 2 = ( 𝑥 − 𝑥 + 𝑥) | = 15 15 3 1 d𝑥 (𝑥 𝑦 Cách 2: Đổi biến √𝑥 + √𝑦 = ⇒ 𝑥, 𝑦 ∈ [0,1] Đặt Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 31 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝜋 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 { ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝜑 ∈ [0, ]) ⇒ √𝑥 + √𝑦 = √𝑟 (0 𝑦 = 𝑟 sin4 𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝑥 cos4 𝜑 𝜕𝑟 𝜕𝜑 | | 𝐽(𝑟, 𝜑) = | =| 𝜕𝑦 𝜕𝑦 | sin 𝜑 𝜕𝑟 𝜕𝜑 = 𝑟 sin3 2𝜑 𝜋 −4𝑟 sin 𝜑 cos 𝜑 | = 4𝑟 sin3 𝜑 cos3 𝜑 4𝑟 cos 𝜑 sin 𝜑 𝜋 1 1 ⇒ 𝐼9 = ∫ d𝜑 ∫ √𝑟 𝑟 sin 2𝜑 d𝑟 = ∫ d𝜑 ∫ 𝑟 sin3 2𝜑 d𝑟 2 0 0 𝜋 2 ( 𝑟 sin 2𝜑) | = ∫ d𝜑 𝜋 𝜋 = ∫ sin3 2𝜑 d𝜑 𝜋 21 = ∫ (3 sin 𝜑 − sin 3𝜑)d𝜑 = ∫ (3 sin 𝜑 − sin 3𝜑)d𝜑 20 1 1 𝜋/2 = = (−3 cos 𝜑 + cos 3𝜑) | (3 − ) = 20 20 15 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 32 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝐼10 = ∬ √√𝑥 + √𝑦d𝑥d𝑦 𝐷 Với 𝐷 miền giới hạn hai trục tọa độ và: √𝑥 + √𝑦 = Đặt 𝜋 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 { ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝜑 ∈ [0, ]) ⇒ √𝑥 + √𝑦 = √𝑟 (0 𝑦 = 𝑟 sin4 𝜑 Định thức Jacobi 𝜕𝑥 𝜕𝑥 cos4 𝜑 𝜕𝑟 𝜕𝜑 |=| 𝐽(𝑟, 𝜑) = || 𝜕𝑦 𝜕𝑦 | sin 𝜑 𝜕𝑟 𝜕𝜑 = 𝑟 sin3 2𝜑 ⇒ 𝐼10 𝜋 −4𝑟 sin 𝜑 cos 𝜑 | = 4𝑟 sin3 𝜑 cos3 𝜑 4𝑟 cos 𝜑 sin 𝜑 𝜋 1 = ∫ d𝜑 ∫ √𝑟 𝑟 sin 2𝜑 d𝑟 = ∫ d𝜑 ∫ 𝑟 sin3 2𝜑 d𝑟 2 0 0 𝜋 𝜋 𝜋 2 1 = ∫ d𝜑 ( 𝑟 sin 2𝜑) | = ∫ d𝜑 ( sin3 2𝜑) = ∫ sin3 2𝜑 d𝜑 2 9 𝜋 21 1 𝜋/2 = ∫ (3 sin 𝜑 − sin 3𝜑)d𝜑 = (−3 cos 𝜑 + cos 3𝜑) | 18 1 = (3 − ) = 18 27 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 33 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Đổi thứ tự tính tích phân sau 𝑥2 𝐼11 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦 𝑥3 Giải 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 } Đổi thứ tự 𝑥=0⇒𝑦=0 𝑥=1⇒𝑦=0 0≤𝑦≤1 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = 3√𝑦 𝑦 = 𝑥 ⇔ 𝑥 = √𝑦 ⇒ √𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 3√𝑦 √𝑦 𝐼11 = ∫ d𝑦 ∫ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥 √𝑦 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 34 Eureka! Uni - YouTube 2−𝑥 𝐼12 = ∫ d𝑥 ∫ −6 Eureka Uni (facebook.com) 𝑥 −1 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦 Giải −6 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥2 −1≤𝑦 ≤2−𝑥 Đổi thứ tự 𝑥 ≥ −6 ⇒ 𝑦 ≤ − 𝑥 ≤ 𝑥2 𝑦≥ − ≥ −1 ⇒ −1 ≤ 𝑦 ≤ Khi −1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥2 𝑦= − ⇔ 𝑥 = + 4𝑦 ⇔ −√4 + 4𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √4 + 4𝑦 Khi ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 = − 𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦 ⇒ −√4 + 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ − 𝑦 Vậy √4+4𝑦 ⇒ 𝐼12 = ∫ d𝑦 ∫ −1 2−𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥 + ∫ d𝑦 ∫ −√4+4𝑦 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥 −√4+4𝑦 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 35 Eureka! Uni - YouTube 𝑒 Eureka Uni (facebook.com) ln 𝑥 𝐼13 = ∫ d𝑥 ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑦 Giải ≤ 𝑥 ≤ 𝑒, ≤ 𝑦 ≤ ln 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑦 ≤ ln 𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑒 𝑦 ⇒ 𝑒𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 𝑒 ⇒ 𝐼13 = ∫ d𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥 𝑒𝑦 √1−𝑦 𝐼14 = ∫ d𝑥 ∫ (1−𝑦 ) 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦 Giải Vẽ miền 𝐷 ≤ 𝑥 ≤ 1, (1 − 𝑥 ) ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑥 2 ⇒ 𝑥, 𝑦 ≥ Đổi thứ tự ≤ 𝑦 ≤ √1 − 𝑥 ≤ 𝑦 = √1 − 𝑥 ⇔ 𝑥 = − 𝑦 ⇒ 𝑥 = √1 − 𝑦 𝑦 = (1 − 𝑥 ) ⇔ 𝑥 = − 2𝑦 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 36 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) ⇒ 𝑥 = √1 − 2𝑦 (0 ≤ 𝑦 ≤ ) Như vậy, cần tách thành ≤ 𝑦 ≤ 1/2 1/2 ≤ 𝑦 ≤ 1 0≤𝑦≤ , √1 − 2𝑦 ≤ 𝑥 ≤ √1 − 𝑦 ≤ 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑥 ≤ √1 − 𝑦 Vậy √1−𝑦 √1−𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥 + ∫ d𝑦 ∫ ⇒ 𝐽14 = ∫ d𝑦 ∫ 1 √1−2𝑦 𝑓 (𝑥, 𝑦)d𝑥 1+√1−𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑥 𝐼15 = ∫ d𝑦 ∫ 2−𝑦 Giải Vẽ miền 𝐷 0≤𝑦≤1 − 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ + √1 − 𝑦 Đổi thứ tự 𝑦 ≤1⇒𝑥 ≥2−𝑦 ≥2−1=1 𝑦 ≥ ⇒ 𝑥 ≤ + √1 − 𝑦 ≤ + = ⇒1≤𝑥≤2 𝑥 =2−𝑦 ⇔𝑦 =2−𝑥 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 37 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑥 = + √1 − 𝑦 ⇔ 𝑦 = − (𝑥 − 1)2 = 2𝑥 − 𝑥 ⇔ 𝑦 = √2𝑥 − 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ ⇒ − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ √2𝑥 − 𝑥 Vậy √2𝑥−𝑥 ⇒ 𝐼15 = ∫ d𝑥 ∫ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑓(𝑥, 𝑦)d𝑦 2−𝑥 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 38 Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: a) 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 , 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = √3𝑥, 𝑧 = góc phần tư thứ Cơng thức tính 𝑉 = ∬ 𝑧(𝑥, 𝑦)d𝑥d𝑦 𝐷 Miền 𝐷 nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn 𝑦 = √3𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 = (giao 𝑧 = − 𝑥 − 𝑦 với mặt 𝑂𝑥𝑦) Hướng Tích phân lặp √3𝑥 𝑉 = ∫ d𝑥 ∫ √2 (1 − 𝑥 − 𝑦 )d𝑦 + ∫ 𝑥 √1−𝑥 d𝑥 ∫ (1 − 𝑥 − 𝑦 )d𝑦 𝑥 = ∫ d𝑥 [(1 − 𝑥 )𝑦 − 𝑦 ] |√3𝑥 𝑥 √2 +∫ 2 d𝑥 [(1 − 𝑥 )𝑦 − 𝑦 ] |√1 − 𝑥 𝑥 = ∫ [(√3 − 1)(1 − 𝑥 )𝑥 − √2 +∫ = 3√3 − 𝑥 ] d𝑥 [(1 − 𝑥 ) (√1 − 𝑥 − 𝑥) − (√(1 − 𝑥 )3 − 𝑥 )] d𝑥 = ⋯ 𝜋 48 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 39 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Hướng 2: Tọa độ cực ̂ = 𝜋 𝐵𝑂𝐷 ̂ =𝜋 Dễ thấy 𝐴𝑂𝐶 Đặt 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝜋 𝜋 (0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝜑 ∈ [ , ]) ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ⇒ 𝑉 = ∬ (1 − 𝑥 − 𝑦 )d𝑥d𝑦 𝐷 𝜋 = ∫ d𝜑 ∫ (1 − 𝑟 )𝑟d𝑟 𝜋 𝜋 = ∫ d𝜑 ∫ (𝑟 − 𝑟 )d𝑟 𝜋 𝜋 1 = ∫ d𝜑 ( 𝑟 − 𝑟 ) | 𝜋 4 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 = ∫ d𝜑 = ( − ) = 𝜋 4 48 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 40 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) b) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧, 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 Dễ thấy 𝑧 ≥ 0, nửa mặt cầu phía có phương trình 𝑧 = + √1 − 𝑥 − 𝑦 , nửa mặt nón phía có phương trình 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 Hai mặt giao điểm có cao độ 𝑧 thỏa mãn: 𝑧 + 𝑧 = 2𝑧 ⇒ 𝑧 = Giao điểm mặt đường trịn tâm (0,0,1) bán kính Dễ thấy, hình chiếu D vật thể xuống mặt phẳng Oxy hình trịn tâm (0,0,0) bán kính Thể tích vật thể tính bởi: 𝑉 = ∬ (1 + √1 − 𝑥 − 𝑦 − √𝑥 + 𝑦 ) d𝑥d𝑦 𝐷 Chuyển sang tọa độ cực, ta được: 2𝜋 𝑉=∫ d𝜑 ∫ (1 + √1 − 𝑟 − 𝑟) 𝑟d𝑟 2𝜋 =∫ 2𝜋 =∫ d𝜑 ∫ (𝑟 − 𝑟 + 𝑟(1 − 𝑟 )2 ) d𝑟 3 2𝜋 2𝜋 d𝜑 ( 𝑟 − 𝑟 − × (1 − 𝑟 )2 ) | = ∫ d𝜑 = 𝜑 | 0 3 =𝜋 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 41 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) 𝑥 = 4𝑦 − 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = Cơng thức tính 𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦 𝐷 Minh họa miền D: Chuyển qua tích phân lặp, diện tích cần tính là: 4𝑦−𝑦 𝑆=∫ ∫ 6−𝑦 3 d𝑥d𝑦 = ∫ (4𝑦 − 𝑦 − + 𝑦)d𝑦 = ∫ (−6 + 5𝑦 − 𝑦 )d𝑦 2 = (−6𝑦 + 𝑦 − 𝑦 ) | = b) 𝑟 = cos 𝜑 , 𝑟 = cos 𝜑 𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦 𝐷 Miền D hệ tọa độ Decartes là: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 42 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Chú ý rằng: 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜑 biểu diễn tọa độ Decartes đường trịn tâm (0, 𝑎) có bán kính 𝑎 Gọi miền phẳng phía trục hồnh 𝐷′, dựa vào tính đối xứng, ta có: 𝑆 = ∬ d𝑥d𝑦 𝐷′ Do 𝐷 ′ nằm hồn tồn góc phần tư thứ nên 𝜑 chạy từ đến 𝜋/2 Tính theo tọa độ cực: 𝜋 cos 𝜑 𝑆 = ∫ d𝜑 ∫ cos 𝜑 𝜋 𝜋 𝜋 cos 𝜑 𝑟d𝑟 = ∫ d𝜑 (𝑟 | ) = ∫ cos 𝜑 d𝜑 cos 𝜑 0 𝜋/2 = ∫ (cos 2𝜑 + 1)d𝜑 = ( sin 2𝜑 + 𝜑) | = 𝜋 2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 43 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính diện tích mặt nón 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 ≥ nằm mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = Với 𝑧 ≥ ta có 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 Mặt nón giao với mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = đường trịn bán kính 1, tâm nằm trục Oz có cao độ nghiệm phương trình: 𝑧 = 1, 𝑧 ≥ ⇔ 𝑧 = Ta có hình minh họa phần mặt nón cần tính diện tích: Dễ thấy hình chiếu D phần xuống mặt phẳng Oxy hình trịn tâm O, bán kính Diện tích cần tính là: 𝜎 = ∬ √1 + (𝑧𝑥′ )2 + (𝑧𝑦′ ) d𝑥d𝑦 𝐷 𝑧𝑥′ = 𝑥 √𝑥 + 𝑦 , 𝑧𝑦′ = 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑥2 𝑦2 ⇒ 𝜎 = ∬ √1 + + d𝑥d𝑦 = √2 ∬ d𝑥d𝑦 = √2(𝜋 × 12 ) 2 𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦 𝐷 𝐷 = √2𝜋 (Nhớ lại rằng: Diện tích hình trịn bán kính 𝑅 𝜋𝑅2 ) Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook