GIẢI TÍCH 2 FULL VIDEO MIỄN PHÍFull playlist: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich2+ Ch1. Hàm nhiều biến: https:tinyurl.comHamSoNhieuBien+ Ch2. Tích phân bội: https:rotf.lolTichPhanBoi+ Ch3. Tích phân đường, mặt: https:tinyurl.comTPDuongTPMat+ Ch4. Phương trình vi phân: https:tinyurl.comPTViPhan+ Hỏi đáp Giải tích: https:eurekauni.tiny.usGiaiTichQAFULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN:1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull2. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull3. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full4. GIẢI TÍCH 2: https:eurekauni.tiny.usGiaiTich25. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU6. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull7. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull8. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCaoDonate cho Eureka Uni+ Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh+ Momo: 0986.960.312
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Bùi Xuân Diệu (2017) Bài giảng Giải tích II Cập nhật 2017 Viện Toán ứng dụng Tin học ĐH BKHN Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập III Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh * Ví Momo: 0986.960.312 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 3.3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 3.3.1 Các công thức cần nhớ Tích phân mặt loại I 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) liên tục mặt 𝑆𝑆 ⊂ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 �𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆 𝑆𝑆 Diện tích mặt 𝑆𝑆 tính �d𝑆𝑆 Cách tính tích phân mặt loại I 𝑆𝑆 Mặt 𝑆𝑆 cho 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) liên tục, có 𝑧𝑧𝑥𝑥′ , 𝑧𝑧𝑦𝑦′ liên tục miền 𝐷𝐷 đóng 𝐷𝐷 hình chiếu mặt 𝑆𝑆 lên mặt 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)��1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 HCN tiếp diện mặt 𝑆𝑆 điểm 𝑇𝑇 Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 có hình chiếu xuống Oxy Δ𝐷𝐷𝑖𝑖 𝜃𝜃 góc tạo pháp tuyến đơn vị mặt Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 véc-tơ đơn vị 𝑘𝑘�⃗ cos 𝜃𝜃 = Δ𝐷𝐷𝑖𝑖 = Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 �1 + 𝑝𝑝2 + 𝑞𝑞 𝑝𝑝 = −𝑧𝑧𝑥𝑥′ (𝑀𝑀), 𝑞𝑞 = −𝑧𝑧𝑦𝑦′ (𝑀𝑀) Khi Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 trở nên nhỏ, ta có: ′( ) ′( ) � Δ𝐷𝐷 = + �𝑧𝑧𝑥𝑥 𝑀𝑀 � + �𝑧𝑧𝑦𝑦 𝑀𝑀 � Δ𝑥𝑥Δ𝑦𝑦 Δ𝑆𝑆𝑖𝑖 ≈ Δ𝑇𝑇𝑖𝑖 = cos 𝜃𝜃 𝑖𝑖 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 3.3.2 Bài tập ví dụ Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt nón 𝑧𝑧 = �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 mặt phẳng 𝑧𝑧 = Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 4𝑦𝑦 � d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt phẳng + + = nằm góc phần tám thứ Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑥𝑥𝑥𝑥)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt nón 𝑧𝑧 = �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 nằm mặt trụ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 = Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦𝑦 ≤ Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑥𝑥 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 )d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt 𝑥𝑥 = − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 nằm mặt phẳng 𝑥𝑥 = Ví dụ 7* Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑧𝑧d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 biên vật thể giới hạn mặt 𝑧𝑧 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = GIẢI CHI TIẾT Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt nón 𝑧𝑧 = �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 mặt phẳng 𝑧𝑧 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)��1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 hình trịn tâm 𝑂𝑂 bán kính (𝐷𝐷) 𝑥𝑥 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = , �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � = �1 + = √2 Eureka Uni (facebook.com) 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⇒ 𝐼𝐼1 = �𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧d𝑆𝑆 = √2 � 𝑥𝑥 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Chuyển sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 2𝜋𝜋 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, 𝐼𝐼1 = √2 � d𝑟𝑟 � 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 sin2 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 0 2𝜋𝜋 = √2 � 𝑟𝑟 d𝑟𝑟 � cos 𝜑𝜑 sin2 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 2𝜋𝜋 (sin2 2𝜑𝜑)d𝜑𝜑 = √2 � 𝑟𝑟 � � � 0 √2 2𝜋𝜋 √2 2𝜋𝜋 √2 (1 − cos 4𝜑𝜑)d𝜑𝜑 = = � 𝜋𝜋 �𝜑𝜑 − sin 4𝜑𝜑� � = 56 28 sin 2𝑎𝑎 = sin 𝑎𝑎 cos 𝑎𝑎 , Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook sin2 𝑎𝑎 = (1 − cos 2𝑎𝑎) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 4𝑦𝑦 Eureka Uni (facebook.com) � d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt phẳng + + = nằm góc phần tám thứ �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)��1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Hình chiếu 𝑆𝑆 xuống mặt 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 hình tam giác với đường biên là: 𝑥𝑥 = 0, 𝑦𝑦 = 0, 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + = (𝐷𝐷) 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 + + = ⇔ 𝑧𝑧 = − 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 3 ⇒ 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = −2, 𝐼𝐼2 = � �𝑧𝑧 + 2𝑥𝑥 + 𝑆𝑆 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = − 4𝑦𝑦 � d𝑆𝑆 4 2 = � �4 − 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦� �1 + (−2) + �− � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 3 𝐷𝐷 3− 𝑥𝑥 4√61 4√61 = � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � d𝑥𝑥 � d𝑦𝑦 3 𝐷𝐷 0 4√61 4√61 = � �3 − 𝑥𝑥� d𝑥𝑥 = �3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 � � = 4√61 3 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑥𝑥𝑥𝑥)d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt nón 𝑧𝑧 = �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 nằm mặt trụ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 = �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)d𝑆𝑆 = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)��1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆 𝐷𝐷 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 6𝑥𝑥 = ⇔ (𝑥𝑥 − 3)2 + 𝑦𝑦 = Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt Oxy hình trịn tâm (3,0,0) bán kính (𝐷𝐷) 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = , 𝑦𝑦 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = �1 + + = √2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⇒ 𝐼𝐼3 = � (𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑧𝑧𝑧𝑧 + 𝑥𝑥𝑥𝑥)d𝑆𝑆 𝑆𝑆 = � �𝑦𝑦�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑥𝑥� √2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐷𝐷 Chuyển sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , − 𝜋𝜋 𝜋𝜋 ≤ 𝜑𝜑 ≤ , 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 2 𝑟𝑟 − 6𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 = ⇔ 𝑟𝑟 = cos 𝜑𝜑 ⇒ ≤ 𝑟𝑟 ≤ cos 𝜑𝜑 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝜋𝜋 cos 𝜑𝜑 𝐼𝐼3 = √2 � d𝜑𝜑 � 𝜋𝜋 − 𝜋𝜋 (𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑)𝑟𝑟d𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 = √2 � d𝜑𝜑 � 𝜋𝜋 − 𝜋𝜋 Eureka Uni (facebook.com) (cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 + cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑)𝑟𝑟 d𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 = √2 � d𝜑𝜑 �(cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 + cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑) 𝑟𝑟 � � 𝜋𝜋 − 𝜋𝜋 64 √2 = � (cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑 cos 𝜑𝜑 + cos 𝜑𝜑 sin 𝜑𝜑)d𝜑𝜑 −𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋 64 √2 64 √2 = � cos 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 = � cos5 𝜑𝜑 d𝜑𝜑 −𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 64 √2 = � (1 − sin2 𝜑𝜑)2 d(sin 𝜑𝜑) 𝜋𝜋 64 √2 = � (1 − sin2 𝜑𝜑 + sin4 𝜑𝜑)d(sin 𝜑𝜑) 2 64 √2 𝜋𝜋/2 1728 = 𝜋𝜋 = �sin 𝜑𝜑 − sin3 𝜑𝜑 + sin5 𝜑𝜑� � 5 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑦𝑦d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 , ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1, ≤ 𝑦𝑦 ≤ Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt Oxy hình chữ nhật (𝐷𝐷) có cạnh song song với hai trục mặt mẳng 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 1, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = 2𝑦𝑦 �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � = �2 + 4𝑦𝑦 𝐼𝐼4 = �𝑦𝑦d𝑆𝑆 = � 𝑦𝑦�2 + 𝑆𝑆 𝐷𝐷 = � d𝑥𝑥 � 0 4𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � d𝑥𝑥 � 𝑦𝑦�2 + 4𝑦𝑦 d𝑦𝑦 0 �2 + 4𝑦𝑦 d(2 + 4𝑦𝑦 ) 13√2 1 2 = �𝑥𝑥 � � � × (2 + 4𝑦𝑦 )2 � � = 3 Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑥𝑥 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 )d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 mặt cầu 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = Mặt cầu 𝑆𝑆 nhận mặt phẳng 𝑧𝑧 = làm mặt đối xứng, bên cạnh hàm dấu tích phân hàm chẵn với biến 𝑧𝑧 Vì vậy, gọi 𝑆𝑆′ nửa phía mặt Oxy mặt 𝑆𝑆 thì: 𝐼𝐼5 = � (𝑥𝑥 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 )d𝑆𝑆 = � (𝑥𝑥 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 )d𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆 ′ Hình chiếu 𝑆𝑆 ′ lên mặt Oxy hình trịn tâm 𝑂𝑂 bán kính (D) Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = − , 𝑧𝑧 𝑧𝑧 ≥ ⇒ 𝑧𝑧 = �4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 , �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2 = �1 + + = 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑦𝑦 𝑧𝑧 ⇒ 𝐼𝐼5 = � (𝑥𝑥 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧 𝑦𝑦 ) d𝑥𝑥d𝑦𝑦 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )𝑧𝑧d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝐷𝐷 𝐷𝐷 = � (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )�4 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝐷𝐷 Chuyển sang tọa độ cực 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 2𝜋𝜋 ⇒ 𝐼𝐼1 = � 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟 = 4𝜋𝜋 � 𝑟𝑟 2� 2� 4− 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 d(𝑟𝑟 = −4𝜋𝜋 � �−(4 − 𝑟𝑟 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 = 8𝜋𝜋 � 𝑟𝑟 �4 − 𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 2) )2 = 4𝜋𝜋 � (𝑟𝑟 − + 4)�4 − 𝑟𝑟 d(𝑟𝑟 ) + 4(4 − 𝑟𝑟 )2 � d(4 − 𝑟𝑟 ) 512 )2 )2 ( ( = −4𝜋𝜋 �− − 𝑟𝑟 + − 𝑟𝑟 � � = 𝜋𝜋 15 Ví dụ Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 phần mặt 𝑥𝑥 = − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 nằm mặt phẳng 𝑥𝑥 = Hình chiếu 𝑆𝑆 lên mặt Oyz miền phẳng 𝐷𝐷 giới hạn đường tròn 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥𝑦𝑦′ = −2𝑦𝑦, Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥𝑥𝑧𝑧′ = −2𝑧𝑧 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) �1 + �𝑥𝑥𝑦𝑦′ � + (𝑥𝑥𝑧𝑧′ )2 = �1 + 4(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 ) ⇒ 𝐼𝐼6 = � (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )d𝑆𝑆 = � (𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )�1 + 4(𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 )d𝑦𝑦d𝑧𝑧 𝑆𝑆 𝐷𝐷 Chuyển sang tọa độ cực 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , 2𝜋𝜋 𝐼𝐼6 = � d𝜑𝜑 � 𝑟𝑟 0 2� 1+ ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 4𝑟𝑟 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 2𝜋𝜋 � 𝑟𝑟 �1 + 4𝑟𝑟 d𝑟𝑟 1 Đặt 𝑡𝑡 = √1 + 4𝑟𝑟 ⇒ 𝑟𝑟 = (𝑡𝑡 − 1), 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = 𝑡𝑡d𝑡𝑡, 𝑟𝑟 � ⇒ 𝑡𝑡 �√17 4 𝐼𝐼6 = 2𝜋𝜋 � √17 1 = 𝜋𝜋 √17 (𝑡𝑡 − 1)𝑡𝑡 � 𝑡𝑡d𝑡𝑡� = � (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 )d𝑡𝑡 𝜋𝜋 √17 391√17 + = 𝜋𝜋 � 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 � � 60 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 10 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Ví dụ 7* Tính tích phân mặt ∬𝑆𝑆 𝑧𝑧d𝑆𝑆, 𝑆𝑆 biên vật thể giới hạn mặt 𝑧𝑧 = 0, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = Mặt 𝑆𝑆 gồm mặt: 𝑆𝑆1 : 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, 𝑧𝑧 = 𝑆𝑆2 : 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 1, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑆𝑆3 : 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1, ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 𝐼𝐼7 = �𝑧𝑧d𝑆𝑆 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 + � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 + � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 𝑆𝑆 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝑆𝑆3 = 𝐼𝐼71 + 𝐼𝐼72 + 𝐼𝐼73 Trên 𝑆𝑆1 ta có 𝑧𝑧 = ⇒ 𝐼𝐼71 = ∬𝑆𝑆 𝑧𝑧d𝑆𝑆 = ∬𝑆𝑆 0d𝑆𝑆 = Trên 𝑆𝑆2 ta có 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + ⇒ 𝑧𝑧𝑥𝑥′ = 1, 𝑧𝑧𝑦𝑦′ = �1 + (𝑧𝑧𝑥𝑥′ )2 + �𝑧𝑧𝑦𝑦′ � = √1 + + = √2 Hình chiếu 𝑆𝑆2 lên mặt 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑆𝑆1 𝐼𝐼72 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 = � (𝑥𝑥 + 1)√2d𝑥𝑥d𝑦𝑦 𝑆𝑆2 𝑆𝑆1 Đặt 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 , 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 , ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1, ≤ 𝜑𝜑 ≤ 2𝜋𝜋, 𝐽𝐽 = 𝑟𝑟 2𝜋𝜋 2𝜋𝜋 𝐼𝐼72 = √2 � d𝑟𝑟 � (𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 + 1)𝑟𝑟d𝜑𝜑 = √2 � d𝑟𝑟 (𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 + 𝑟𝑟𝑟𝑟) � 0 0 1 = 2√2𝜋𝜋 � 𝑟𝑟d𝑟𝑟 = √2𝜋𝜋𝑟𝑟 � = 𝜋𝜋√2 0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 11 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Mặt 𝑆𝑆3 nhận mặt 𝑦𝑦 = làm mặt đối xứng Hàm dấu tích phân chẵn với 𝑦𝑦 Gọi 𝑆𝑆3′ phần 𝑆𝑆3 thỏa mãn 𝑦𝑦 ≥ 0, ta có: 𝐼𝐼73 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 = � 𝑧𝑧d𝑆𝑆 𝑆𝑆3′ 𝑆𝑆3 𝑆𝑆3′ xác định bởi: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1, 𝑦𝑦 ≥ 0, ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑥𝑥′ ⇒ 𝑦𝑦 = �1 − 𝑥𝑥 =− 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑧𝑧′ = , Hình chiếu 𝑆𝑆3′ lên mặt 𝑦𝑦 = hình tam giác (𝐷𝐷3 ) xác định bởi: ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑥𝑥 + 1, −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⇒ 𝐼𝐼73 𝑥𝑥 𝑧𝑧 = � 𝑧𝑧�1 + d𝑥𝑥d𝑧𝑧 = � d𝑥𝑥d𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 𝐷𝐷3 𝐷𝐷3 √1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 = � d𝑥𝑥 � −1 ( =� 𝜋𝜋 −1 𝜋𝜋 𝑧𝑧 𝑥𝑥 + d𝑧𝑧 = � d𝑥𝑥 � � � − 𝑥𝑥 √1 − 𝑥𝑥 √1 −1 𝑥𝑥 + 1)2 √1 − 2𝑧𝑧 𝑥𝑥 d𝑥𝑥 Đặt 𝑥𝑥 = sin 𝑡𝑡 , − ≤ 𝑡𝑡 ≤ , d𝑥𝑥 = cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 12 Eureka! Uni - YouTube 𝐼𝐼73 𝜋𝜋 (sin 𝑡𝑡 + 1)2 =� cos 𝑡𝑡 d𝑡𝑡 = � (sin2 𝑡𝑡 + sin 𝑡𝑡 + 1)d𝑡𝑡 𝜋𝜋 𝜋𝜋 cos 𝑡𝑡 − − 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋 = � (sin2 𝑡𝑡 + 1)d𝑡𝑡 = � � − cos 2𝑡𝑡� d𝑡𝑡 𝜋𝜋 𝜋𝜋 2 − − Vậy Eureka Uni (facebook.com) 𝜋𝜋 2 3 𝜋𝜋/2 = � 𝑡𝑡 − sin 2𝑡𝑡� � = 𝜋𝜋 −𝜋𝜋/2 3 + 2√2 𝜋𝜋 𝐼𝐼7 = + 𝜋𝜋√2 + 𝜋𝜋 = 2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook