TÍCH PHÂN mặt (GIẢI TÍCH)

CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Tích phân mặt loại Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) mặt S Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên Gọi tên diện tích mặt ΔSk, k=1, 2, , n Trên mảnh ta lấy điểm Mk tùy ý lập tổng n Sn = å f (Mk )D Sk k =1 Cho max(dΔSk) → (dΔSk đường kính mảnh Sk), tổng dần đến giới hạn hửu hạn ta gọi mặt loại hàm f(x,y,z) mặt S, kí hiệu òò f ( x, y , z )ds = max(dlim DS S k n å f (Mk )D Sk )®0 k =1 Tích phân mặt loại Tính chất : Diện tích mặt S tính S = òò ds S òò (l f + mg )ds = l òò fds + mòò gds S S S Nếu mặt S chia thành mặt không dẫm lên S1 S2 ịị fds = ịị fds + ịị fds S S1 S2 Tích phân mặt loại Cách tính: 2 ¢ ¢ f ( x , y , z ) ds = f ( x , y , z ( x , y )) + z + z òò òò x y dxdy S Dxy Trong : Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S F(x,y,z)=0 ta rút z theo x, y để z=z(x,y) Biểu thức 1+ zx¢2 + zy¢2 dxdy = ds gọi vi phân mặt S Tích phân mặt loại Ví dụ 1: Tính tích phân I1 mặt S phần mặt nón z2=x2+y2 với 0≤z≤1 hàm f(x,y,z)=x+y+z Hình chiếu S xuống mp z=0 Dxy : 0≤x2+y2≤1 ìï x ïï zx¢ = 2 ïï x + y Pt mặt S (z dương) z = x + y → í ïï y ¢ ïï zy = 2 x +y ïïỵ Suy ra: ds = 2dxdy Vậy: I1 = ịị ( x + y + z )ds = òò ( x + y + x + y ) 2dxdy S Dxy Tích phân mặt loại Đổi sang tọa độ cực: 2p 0 I1 = ò dj ò( cos j + sin j + r ) rdr 2p I1 = Tích phân mặt loại Ví dụ 2: Tính tích phân I2 hàm f(x,y,z)=x+2y+3z mặt S mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 Mặt S gồm mặt nên I2 chia làm Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta Dyz: ΔOBC C B O A I21 = òò fds = òò (2y + 3z )dydz ( x =0) D OBC Tích phân mặt loại Tương tự, mặt tọa độ lại C I22 = òò fds = òò ( x + 3z )dxdz ( y =0) O D OAC B I23 = òò fds = òò ( x + 2y )dxdy ( z=0) D OAB A Cuối cùng, mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)) Ta chiếu xuống mp z=0 Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : z = - y - x Þ ds = 1+ + 1dxdy = 14 dxdy 3 9 Tích phân mặt loại 14 fds = ịị dxdy Do đó: I24 = òò ( x +2 y +3 z=6) D OAB I2 = I21 + I22 + I23 + I24 Tích phân mặt loại Ví dụ 3: Tính I3 hàm f(x,y,z)=x2+y2+2z mặt S phần hình trụ x2+y2=1 nằm hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta khơng thể chiếu S xuống mp z=0 mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 Ta tìm hình chiếu S xuống mp x=0 cách khử x từ pt mặt Dyz: y2≤1, z2 ≤ Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x = ± 1- y Tích phân mặt loại – Cơng thức Gauss Ví dụ 5: Cho S mặt biên V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2 Tính I5 = ịị xzdydz + xzdzdx + xydxdy S Cách 1: Áp dụng CT Gauss I5 = +òòò ( z + + 0)dxdydz V 2- x 2- x- y 0 I5 = ò dx ị dy ị zdz Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Công thức Stokes: Cho mặt định hướng S trơn khúc có biên đường cong kín C trơn khúc khơng tự cắt Các hàm P, Q, R đh riêng cấp liên tục miền mở chứa S Ta có CT Stokes ịị (Qx¢- Py¢)dxdy + (Pz¢- Rx¢)dzdx + (Ry¢- Pz¢)dydz S =ị Đ(Pdx + Qdy + Rdz ) C Trong đó, hướng C lấy cho đứng phía mặt S theo hướng ta thấy S bên trái Ghi chú: Nếu C lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 (z0 Cách 1: Áp dụng CT Stokes Vì C giao mp x+y+z=0 x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Nên ta chọn S phần mp x+y+z=0 nằm phía mặt cầu, lấy phía S hình trịn tâm O, bán kính u r Suy vecto phương S n = + (1,1,1) Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dạng: ĐPdx + Qdy + Rdz = ị C ù ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ( Q P )cos g + ( P R )cos b + ( R Q )cos a òò é y z x y z ë x ûds S Để : I6 = ò Ñydx + zdy + xdz C 1 = òò [(0 - 1) + (0 - 1) + (0 - 1) ]ds 3 S =- òò ds = S Vậy I = - 3p 3.S Trong S diện tích mặt S, Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Cách 2: Tính trực tiếp cách viết pt tham số C (Xem phần đường loại 2- pt tham số) ìï ìï 6 ïï x = cos t ï sin t x ¢= - sin t co s t ï ïï ïï 3 ïï ïï ïï y = sin t ïï y = co s t Þ í í 3 ïï ïï ïï ïï 6 sin t co s t ïï z = - cos t ïï z = sin t 3 ïï ïï ïïỵ t tu den 2p ïïỵ t tu den 2p 2p I6 = ị Đydx + zdy + xdz = ò - 12dt = - 3p C Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 7: Tính I7 = ị Đydx - zdy + dz C Với C giao tuyến x2+y2+z2=4y x=y-2 lấy chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x>0 cách : trực tiếp dùng CT Stokes Cách 1: Dùng CT Stokes Chọn S phần mp x=y-2 nằm hình cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục Ox Suy α≥π/2 → cosα≤0 Pt mặt S F(x,y,z)=x-y+2(=0) : Ñ F = (1,- 1,0) Vì cosα≤0, nên ta chọn dấu “-” cho pháp vecto u r n =(1,- 1,0) Tích phân mặt loại – Công thức Stokes u r n =(1,- 1,0) Vậy: I7 = ị Đydx - zdy + dz C 1 = òò [(0 - 1).0 + (0 - 0) + (0 +1)()]ds 2 S S phần mp x=y-2 nằm hình cầu Ta khử x từ pt để hình chiếu S xuống mp x=0 Dyz: 2(y-2)2+z2≤4, ds = 1+ x y¢2 + xz¢2dydz = 2dydz Suy I7 = òò 2dydz Dyz I7 = - 2p Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Cách 2: Viết pt tham số C ìï x + y + z = y ìï 2( y - 2)2 + z = C : ïí Û ïí ïỵï x = y - ïỵï x = y - ìï x = cos t ìï x ¢= - sin t ïï ïï ï y = + cos t ù y Â= - sin t ù ị C :í ïï ïï z = sin t ïï z Â= 2cos t ùù ợ ùùợ t di tu den 2p I7 = ị Đydx - zdy + dz C 2p = ò [(2 + cos t )(0 sin t ) - sin t ]dt I7 = - 2p Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 = ò Ñ( x + y )dx + (2 x - z )dy + ydz C Với C giao tuyến x2+y2=1 z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 1: Dùng CT Stokes Vì C giao tuyến mặt trụ, ta chưa biết nên chọn S mặt nên ta dùng CT Stokes để viết I8 dạng Tp mặt loại trước I8 = ị Đ( x + y )dx + (2 x - z )dy + ydz C = òò (2 - 1)dxdy + (0 - 0)dzdx + (1+1)dydz S Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Để tính I8, ta phải tính : theo dxdy dydz Tức ta phải tìm hình chiếu S xuống mp z=0 x=0 Như vậy, ta chọn S cho hình chiếu xuống mặt dễ tìm, chọn xong trụ mặt S phải tính Ta chọn S phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trụ trịn xoay x2+y2=1 lấy phía trên, suy γ≤π→cosγ≥0 Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-z Ñ F = (0,2y ,- 1) Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Pháp vecto mặt S: u r n =- y +1 (0,2y ,- 1) I8 = ị Đ( x + y )dx + (2 x - z )dy + ydz C = òò (2 - 1)dxdy + (0 - 0)dzdx + (1+1)dydz S Để tính mặt loại trên, ta có cách: tính trực tiếp đưa mặt loại Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Tính trực tiếp: Vì S mặt trụ song song với Ox (Pt chứa y, z) nên theo dydz Do đó: I8 = ịị dxdy Với cosγ>0 hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 S Vậy : I8 = +ịị dxdy = p Dxy Tích phân mặt loại – Công thức Stokes Đưa I8 thành mặt loại Ta có: u r n =(0,2y ,- 1) = (cos a,cos b,cos g) Suy y +1 cos a = 0, cos b = - 2y , cosg= 2 y +1 y +1 I8 = òò (2 - 1)dxdy + (0 - 0)dzdx + (1+1)dydz Do đó: S = ịị [1.cos g + 2.cos a ]ds S Pt mặt S: z=y2 nên ds = 1+ y 2dxdy I8 = òò y +1dxdy I8 = p 2 x +y £ y + Vậy: Tích phân mặt loại – Cơng thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 = ị Đ( x + y )dx + (2 x - z )dy + ydz C Với C giao tuyến x2+y2=1 z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 2: Tính trực tiếp cách viết pt tham số C ìï x = cos t ïï ìï x + y = ï y = sin t C : ïí Û íï ïï z = y ïï z = sin2 t ỵ ïï Vậy: ïỵ t di tu den 2p 2p I8 = ò [(cos t + sin t )(- sin t ) + (2cos t - sin2 t )cos t + sin t.2sin t cos t ]dt I8 = p ... xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S F(x,y,z)=0 ta rút z theo x, y để z=z(x,y) Biểu thức 1+ zx¢2 + zy¢2 dxdy = ds gọi vi phân mặt S Tích phân mặt loại Ví dụ 1: Tính tích phân I1 mặt S phần mặt. .. + r ) rdr 2p I1 = Tích phân mặt loại Ví dụ 2: Tính tích phân I2 hàm f(x,y,z)=x+2y+3z mặt S mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 Mặt S gồm mặt nên I2 chia làm Vì mặt x=0 nên x’y=x’z=0... pt mặt Dyz: y2≤1, z2 ≤ Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: x = ± 1- y Tích phân mặt loại Do pt mặt chẵn x nên mặt S nhận x=0 mặt đối xứng Hơn nữa, hàm dấu hàm chẵn với x nên ta tính phần mặt