Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Phn I L DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn học lớp 12, tốn tính thể tích khối đa diện (đặc biệt khối chóp) giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp năm gần Mặc dù phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét tốn tính thể tích khối chóp Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần cịn gặp nhiều khó khăn Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải tập tính thể tích khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính thể tích khối chóp, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt, qua giúp học sinh khơng phải e sợ phần quan trọng hơn, đứng trước toán học sinh bật cách giải, định hướng trước làm qua có cách giải tối ưu cho toán Mặc dù vậy, điều kiện thời gian cịn hạn chế nên phân loại chưa triệt để mang tính chất tương đối, mong bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thnh cm n! Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Phn II Biên soạn: Lê Văn Lục NI DUNG CA TI I C s lí thuyết Để tính thể tích khối chóp ta sử dụng hai cách sau: Tính trực tiếp dựa vào định lí sau: Định lí Cho khối chóp có đỉnh S đáy B Kí hiệu V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao khối chóp Khi V = S h (1) Định lí Thể tích V khối tứ diện ABCD cho công thức sau: ur ur ur uu uu uu V = AB, AC AD (2) 6 Tính gián tiếp a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Ý tưởng phương pháp là: cách thay đỉnh mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích khối chóp cho việc tính thể tích khối chóp đặc biệt Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) M, N ∈ ∆ d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N khơng trùng với I) d ( M ;( P )) MI = d ( N ;( P )) NI Đặc biệt, M trung điểm NI d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) I trung điểm MN d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) Kết Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC cho MB = kMC (k > k S ABC 0) Khi S ABM = kS ACM hay S ABM = 1+ k Đặc biệt, M trung điểm BC 2S ABM = S ABC b) Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2) VH = VH + VH hay VH = VH − VH c) Phương pháp dùng công thức tỉ số hai khối chóp tam giác Bài tốn Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên tia SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi ta có cơng thức sau VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC 2 Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục II Bi ỏp dng Phng phỏp tính trực tiếp Cơ sở phương pháp công thức V = S h Phương pháp thích hợp ta dễ dàng tính diện tích đáy S chiều cao h khối chóp Một dấu hiệu ta xác định chân đường vng góc hạ từ đỉnh Sau số ví dụ minh họa Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ Phân tích Khối chóp A’.ABC có đáy ABC tam giác vng chiều cao A’H (H trung điểm BC) nên áp dụng trực tiếp công thức Lời giải Gọi H trung điểm BC Giả thiết suy A’H ⊥ (ABC) Ta có VA ' ABC = A ' H S ABC a2 S ABC = AB AC = 2 Tam giác ABC vuông A suy 1 AH = BC = AB + AC = a 2 Tam giác AHA’ vuông H suy A ' H = AA '2 − AH = a 1 a2 a3 Vậy VA ' ABC = S ABC A ' H = a = 3 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a ; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Phân tích Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, theo giả thiết SI ⊥ (ABCD) nên SI chiều cao hình chóp Lời giải Hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) cắt theo giao tuyến SI suy SI ⊥ (ABCD) Bởi VS ABCD = S ABCD SI 3 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng ( AB + DC ) AD = 3a Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc (SBC) (ABCD) 600 Cách Gọi K hình chiếu I BC, suy CB ⊥ IK Kết hợp với CB ⊥ SI ta CB ⊥ SK Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) · · (ABCD) góc SKI ⇒ SKI = 600 Biªn soạn: Lê Văn Lục S S ABCD = A B I D K C Tam giác IBC có IB = a 5, IC = a 2, BC = a nên phương pháp diện tích 3a 15 ta tính IK = Tam giác SIK vng I suy SI = IK tan 600 = a 5 15 15 Vậy VS ABCD = 3a a= a 5 Cách Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ I, D(a ; ; 0), C(a ; a ; 0), S(0 ; ; h) suy B(-a ; 2a ; 0), A(-a ; ; 0) Từ giả thiết góc (SBC) (ABCD) 600 ta tính h Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD a) Chứng minh SC ⊥ (AHK) b) Tính thể tích khối chóp OAHK Phân tích SC ⊥ (AHK) nên chân đường vng góc hạ từ O xng (AHK) xác định theo phương SC, nữa, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích Lời giải a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC S Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) b) Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK) Do VOAHK = S AHK OJ K SA = AC = a ⇒ ∆SAC cân A ⇒ I D H trung điểm SC A O B C Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục 1 a Vy OJ = IC = SC = 2a = 4 1 a a ; ∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH = = + = ⇒ AH = 2 AH AB AS 2a 3 Ta có HK BD đồng phẳng vng góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên HK SG 2 2a Tam giác AHK cân tai A, G trung điểm = = ⇒ HK = BD = BD SO 3 2 1 2a HK nên AG ⊥ HK AG = AI = SC = 2a = 3 3 1 2a 2a 2a S AHK = AG.HK = = 2 3 1 2a a 2a VOAHK = S AHK OJ = = 3 27 Cách Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OHK) khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD) Tứ diện ASBD vuông A nên 1 1 a 10 = + + = ⇒h= 2 2 h AS AB AD 2a Tam giác OHK cân O nên có diện tích S 1 a 10 2a 5a 2a S = OG.HK = = ⇒ V = Sh = 2 27 Cách Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a ) 2a a 2a a a a Tính SH, SK suy tọa độ H 0; ; ÷, K ;0; ÷, O ; ;0 ÷ 3 3 2 uu uu uu u r ur ur Áp dụng công thức V = AH , AK AO 6 Bài Cho Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Phân tích Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC) Mặt khác tam giác SAC cân có góc 600 nên SAC đều, tính diện tích ∆SAM Lời giải Cách Gọi O tâm hình vng ABCD, I giao điểm AM SO Dễ thấy EF qua I EF // BD SO ⊥ ( ABCD ) BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục EF ⊥ (SAC) Ta có OA hình chiếu SA (ABCD) nên góc SA · · (ABCD) góc SAO Tam giác SAC cân S có SAO = 600 nên tam giác SAC a a cạnh a suy AM = AM ⊥ SC , SM = SC = 2 2 a3 Do tính đối xứng nên VS AEMF = 2VEAMS = .S AMS EI = AM SM EI = 3 18 Cách EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF, SC ⊥ (AEMF) S EF SI 2 2a EF // BD ⇒ = = ⇒ EF = BD = BD SO 3 M (I trọng tâm tam giác SAC) F Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên I a2 S AEMF = AM EF = D C E Vậy thể tích V hình chóp S.AEMF O 1 a a a V = S AEMF SM = = A B 3 18 Cách Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O tâm hình a a a 6 ;0;0 ÷, C 0; ;0 ÷, S 0;0; vuông ABCD, B ÷ 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA x, tất cạnh cịn lại có độ dài Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo x tìm x để thể tích lớn Phân tích Chân đường vng góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác định đường cao OA = OC = OS nên tam giác SAC vuông S, tính SH, AC diện tích ABCD Lời giải Gọi H hình chiếu S mp(ABCD) Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tam giác BCD cân C nên H thuộc CO, O giao AC BD ∆CBD = ∆ABD = ∆SBD ⇒ OC = OA = OS ⇒ ∆SAC vuông S ⇒ AC = x + 1 x = 2+ ⇒ SH = 2 SH SA SC x2 + 1 − x2 ABCD hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ⇒ OB = AB − AO = Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng S ABCD = Biên soạn: Lê Văn Lục 1 AC.BD = x + − x ⇒ V = x − x 2 1 x2 + − x2 áp dụng BĐT Cơsi ta có V = x − x ≤ = 6 Đẳng thức xảy ⇔ x = 6 Vậy V lớn x = 2 A S D C H O B Bài Cho mặt cầu tâm O bán kính R Lấy điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm · · · A, B, C thuộc mặt cầu cho SA = SB = SC ASB = BSC = CSA = α 00 < α < 900 ) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R α Phân tích Từ giả thiết suy S.ABC hình chóp đều, S tính VS ABC theo α SA = a Giả sử SO cắt (S) S’, tâm I tam giác ABC thuộc SS’ tam giác SAS’ vng A nên tính a O Theo R α C Lời giải I A J Theo giả thiết S.ABC hình chóp B Gọi I trọng tâm ∆ABC I S’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC SI ⊥ ( ABC ) Do OA = OB = OC nên O ∈ SI Giả sử SI cắt lại mặt cầu S’ SS’ = 2R SA2 a 2 ’ ' Đặt SA = SB = SC = a ∆SAS vuông A nên SA = SI.SS ⇒ SI = = SS ' R Trong tam giác SAB ta có AB = SA2 + SB − SA.SB.cos α α α = 2a (1 − cos α ) = 4a sin ⇒ AB = 2a.sin 2 α α a a 2α S∆ABC = AB AC.sin 600 = a sin ⇒ V = a sin = sin 2 2R 6R 2 Để tính a theo R α , ta ý AI = AJ , J trung điểm BC AB α α AJ = = a sin ⇒ AI = a sin Tam giác SAI vuông I nên 2 a4 4a 2 α α 2 ⇒ a2 = + sin ⇒ a = R − sin SA = SI + AI 4R2 3 3 2α α Vậy V = R sin (1 − sin ) 3 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Bi Cho hỡnh chúp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Phân tích Từ giả thiết tính diện tích ∆ABC Các mặt bên hợp với đáy góc 600 nên chân đường vng góc hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, tính đường cao Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABC); E, F, I hình chiếu H AB, BC, CA Khi SH ⊥ (ABC) · · · AB ⊥ SH, AB ⊥ HE ⇒ AB ⊥ SE ⇒ SEH = 600 Tương tự SFH = SIH = 600 Các tam giác vuông SHE, SHF, SHI suy HE = HF = HI = r (r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC) Kí hiệu p, S lần S lượt nửa chu vi diện tích tam giác ABC, p = 9a, S = 6a (theo công thức hêrông) Mặt S 6a Áp dụng hệ thức lượng = P tam giác SHE ta có SH = r tan 600 = 2a 1 Vậy VSABC = S SH = 6a 2a = 3a 3 khác S = pr ⇒ r = I C A E H F B Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng · BB’ mặt phẳng (ABC) 60 0, tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu điểm B’ mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Phân tích Gọi G trọng tâm ∆ABC B' A' B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên d ( A ';( ABC )) = d ( B ';( ABC )) = B ' G Từ tính C' B’G diện tích ∆ABC a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, B’G ⊥ (ABC), góc BB’ mặt · phẳng (ABC) góc B ' BG B A G · M ⇒ B ' BG = 600 Ta có A’B’ // (ABC) d ( A ';( ABC )) = d ( B ';( ABC )) = B ' G C Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục a VA ' ABC = S ABC B ' G Tam giác BB’G có BG = BB '.cos600 = , 3 3a a Ta có BM = BG = Tam giác ABC vng C B ' G = BB '.sin 600 = x · có góc BAC = 600 nên đặt AB = 2x AC = x ⇒ MC = , BC = x Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng BCM ta 9a x2 3a x 3a BM = BC + MC ⇔ = 3x + ⇔ x = ⇒ S ABC = CB.CA = = 16 4 2 32 3a a 9a Vậy VA ' ABC = = 32 64 *Nhận xét Ở toán ta thay đỉnh A’ đỉnh B’ mà thể tích không thay đổi, với đỉnh B’ ta dễ dàng xác định chân đường vng góc Việc làm nhiều thuận lợi nội dung phương pháp sau Vậy Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Cơ sở phương pháp cách thay đỉnh mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích khối chóp cho việc tính thể tích khối chóp đặc biệt Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy việc tính thể tích khối tứ diện AMNP việc tính thể tích khối chóp nói Trong mặt khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ P đến (AMN) thay khoảng S cách từ C đến (SAB) Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD, SO ⊥ (ABCD) M, N trung điểm SA SB M N 1 nên S AMN = S ANS = S ABS D P PC / /( AMN ) ⇒ d ( P ;( AMN )) = d(C ;( AMN )) Vậy C A O B Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục 1 1 1 VP AMN = S AMN d ( P;( AMN )) = S ABS d (C ;( AMN )) = VC ABS = VS ABC = S ABC SO 3 4 4 a S ABC = a , SO = SA2 − AO = 2 1 a a3 Vậy VAMNP = a = 12 2 48 Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc · ABC = 300 ; SA = 3a nằm đường thẳng vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm SC SD, O giao điểm AC BD Tính thể tích khối tứ diện OAMN S Phân tích Khối tứ diện OAMN có mặt AOM mở rộng thành tam giác SAC, khoảng cách từ N đến (AOM) thay nửa khoảng cách từ D đến (SAC) Lời giải Ta có VOAMN = SOAM d ( N ;( OAM )) O, M trung điểm AC 1 SC nên SOAM = SCAM = S SAC , đường thẳng DN cắt (OAM) S N M A D O B C 1 N trung điểm SD nên d( N ;( OAM )) = d ( D ;(OAM )) = d ( D ;( SAC )) Vậy 2 1 1 1 a3 VOAMN = S SAC d ( D;( SAC )) = VS ACD = S ACD SA = DA.DC.sin 30 SA = 4 12 Bài 11 Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b; góc ( AB, CD) = α , khoảng cách AB CD d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, d α A Phân tích Nếu dựng hbh BCDE tam giác ABE hồn tồn xác định S BCD = S BDE nên VABCD = VABDE = VD ABE Lời giải a E D b 10 B b C Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lơc Dựng hình bình hành BCDE suy BE / / CD BE = CD = b , góc AB · · CD bù với góc ABE ⇒ sin ABE = sin α S BCD = S BDE ⇒ 1 VABCD = VABDE = VDABE = S ABE d ( D ;( ABE )) S ABE = ab sin α Mp(ABE) chứa AB song song với CD nên d (CD ; AB ) = d (CD ;( ABE )) = d( D ;( ABE )) = d 1 Vậy VABCD = ab sin α d = abd sin α 3 Bài 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax By chéo nhận AB làm đoạn vng góc chung Các điểm M, N chuyển động Ax By (M khác A N khác B) cho AM + BN = MN Chứng minh thể tích tứ diện ABMN khơng phụ thuộc vào M N Phân tích Bài có lời giải tương tự Lời giải Trong mặt phẳng (ABN), dựng hình bình · hành ABNN’ Đặt AB = a, MAN ' = α a α cố định, đặt AM = x, BN = y AN’ = BN = x, NN’ // AB ⇒ NN’ ⊥ Ax, NN’ ⊥ At ⇒ NN’ ⊥ (AMN’) S ABN = S ANN ' ⇒ VMABN = VMANN ' = VN AMN ' 1 = S AMN ' NN ' = xy sin α a 3 NN ' ⊥ N ' M ⇒ MN = NN '2 + N ' M x M t N' y A N B ⇔ ( x + y ) = a + x + y − xy cos α ⇔ xy (1 + cos α ) = a ⇔ xy = Vậy VABMN 2 2 a2 4cos α a2 α = sin α a = a tan 4cos α 12 không phụ thuộc vào M N Bài 13 Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích V tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích ABCD tứ diện gần nên ta dựng tứ diện vuông AA 1A2A3 cho B, C, D trung điểm A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 Lời giải 11 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Trong mt phng (BCD), từ đỉnh ∆BCD kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt tạo thành ∆A1 A2 A3 Ta có BCA3 D, BCDA2 , BDCA1 hình bình hành nên AB = DC = A1 A2 ⇒ ∆AA1 A2 vuông A Tương tự ∆AA1 A3 , ∆AA2 A3 vuông A A 1 S BCD = S A1 A2 A3 ⇒ VABCD = VAA1 A2 A3 4 đặt x = AA1, y = AA2, z = AA3 x y c ∆AA2 A3 => y2 + z2 = 4a2 Trong tam giác vuông b a (1) z B c c Trong tam giác vuông ∆AA1 A3 => x2 + z2 = 4b2 A b a (2) b a 2 c Trong tam giác vuông ∆AA1 A2 => x + y = 4c C D b (3) a Cộng vế ta x2 + y2 + z2 = 2(a2 + b2 + c2) A 2 x = 2(b + c − a ) x = 2(b + c − a ) ⇒ y = 2(a + c − b ) ⇔ y = 2(a + c − b ) z = 2(b + a − c ) 2 z = 2(b + a − c ) 1 VAA A A = xyz= 2(b + c − a ) 2(a + c − b ) 2(b + a − c ) 6 = 2(b + c − a )(a + c − b )(b + a − c ) ⇒ V = VABCD = 2(b + c − a )(a + c − b )(b + a − c ) 12 3 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mp(SAB) vng góc với mp đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB BC Tính theo a thể tích S khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN Phân tích Tam giác ABS vng S nên ta tính SH Diện tích tứ giác BMDN tính gián tiếp qua diện tích hình vuông ABCD Lời giải A H D M 12 B N C A1 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Ta có SA2 + SB2 = AB2 suy tam giác SAB vng S Gọi H hình chiếu S AB (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) SB.SC 3a Từ SH AB = SB.SC ⇒ SH = = AB 1 1 S BMDN = S BMD + S BND = S BAD + S BCD = S ABCD = 2a.2a = 2a Do 2 2 1 3a a VS BMDN = S BMDN SH = 2a = 3 3 Phương pháp phân chia lắp ghép khối chóp Cở sở phương pháp là: Nếu khối chóp phức tạp chưa tính thể tích ta phân chia khối chóp thành khối chóp đơn giản mà việc tính thể tích khối chóp phân chia khả quan ta coi khối chóp cho phần bù khối chóp khác Bài 15 Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' theo V A' Phân tích Việc tính trực tiếp thể tích tứ diện ACB ' D ' theo công thức (1) không khả thi, ta khó xác định chân đường vng góc hạ từ đỉnh Trong D' B' C' A B D C B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' có chiều cao chiều cao khối hộp diện tích đáy nửa dt đáy khối hộp Lời giải Khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' phân chia thành khối tứ diện: B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' Do V = VB ' ABC + VD ' ACD + VAA'B'D' +VCB'C'D' + VACB ' D ' Các khối tứ diện B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' có chiều cao chiều cao khối hộp diện tích đáy nửa dt đáy khối hộp nên 1 V VD ' ACD = VAA'B'D' =VCB'C'D' = VB ' ABC = S ABC d ( B ';( ABC )) = S ABCD d ( B ';( ABCD )) = 6 V V Từ ta có VACB ' D ' = V − = 13 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lơc Bài 16 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính thể tích V khối chóp S.ABCD b) Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Phân tích Mp(MNP) chia khối chóp thành khối đa diện phức tạp nên để tích thể tích ta chọn phương án lấy hiệu Lời giải a2 a a) Gọi H tâm đáy ⇒ SH ⊥ (ABCD) SH = SA − HA = a − = 2 1 a a V = S ABCD SH = a = 3 S b) MN cắt CD J, cắt CB I; PJ cắt SD F, PI cắt SB E Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) ngũ giác MNFPE P Mặt phẳng (MNP) chia khối F chóp S.ABCD thành hai phần E N Gọi V1 phần phần chứa A M điểm S V2 phần lại I B C Dễ thấy V2 = VPCIJ − VFDNJ − VEBMI 1 Vì P trung điểm SC nên d ( P ;( ABCD )) = d ( S ;( ABCD )) = SH 2 Gọi K trung điểm CD, MK // ND, KP // DF suy DF JD ND 1 1 a a = = = ⇒ DF = KP = SD = , JD = JK = KP JK MK 2 2 2 a a Tương tự BE = , BI = 1 SH 3 VPCIJ = SCIJ d ( P ;(CIJ )) = CI CJ = a a.SH = a SH = V 3 2 12 2 16 16 1 a a SH VFDNJ = VEBMI = S BMI d ( E ;( BMI )) = = V 3 2 32 9V V V V − = ⇒ V1 = Vậy V2 = 16 32 2 2 Phương pháp sử dụng cơng thức tỉ số thể tích hai khối chóp Cơ sở phương pháp tốn sau: 14 J D Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Bi toỏn Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC Trên tia SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ khơng trùng với điểm S Khi ta có cơng thức sau VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Việc chứng minh đơn giản có sách giáo khoa Cái hay toán chỗ: biết thể tích khối chóp S.ABC tỉ số nói ta tính thể tích khối chóp S.A’B’C’ (đơi việc tính trực tiếp thể tích khối chóp S.A’B’C’ gặp nhiều khó khăn) Ta minh họa điều số ví dụ sau Bài 17 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c góc BAC, CAD, DAB 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích Nếu a = b = c tứ diện ABCD hình chóp đỉnh A nên ta tính thể tích Nếu a, b c khơng đồng thời ta lấy C’ D’ tia AC, AD cho AC’ = AD’ = a để hình chóp Tiếp theo ta dùng cơng thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD Lời giải Khơng giảm tổng quát, giả sử a nhỏ Trên tia AC, AD lấy C’ D’ cho AC’ = AD’ = a · Tam giác ABC’ cân A có BAC ' = 600 nên tam giác ABC’ cạnh a Tương tự tam giác ABD’ AC’D’ cạnh a nên tứ diện ABC’D’ cạnh a Gọi H trọng tâm tam giác BC’D’ a a a AH ⊥ (BC’D’) BH = = ⇒ AH = 3 3 1 a a VABC ' D ' = S BC ' D ' AH = a.a.sin 600 = 3 12 Theo công thức tỉ số thể tích ta có A D’ B C’ C VA.BCD AB AC AD bc bc a abc = = ⇒ VA.BCD = = VA.BC ' D ' AB AC ' AD ' a a 12 12 Bài 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM 15 D Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Phõn tớch Ta dễ dàng tính thể tích khối chóp S.ABC tỉ số SM SN , nên tính thể tích khối chóp S.AMN Mặt khác, khối chóp SB SC S.ABC phân chia thành hai khối chóp S.AMN A.BCNM nên VABCNM = VSABC − VSAMN Lời giải 1 a2 a3 VSABC = S ABC SA = 2a = 3 S N M C A B VSAMN SM SN SM SB SN SC SA2 SA2 16 = = = 2 = VSABC SB SC SB SC SB SC 25 16 16 a 3 8a 3 ⇒ VSAMN = VSABC = = 25 25 75 3 a 8a 7a 3 VABCNM = VSABC − VSAMN = − = 75 25 S Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a; SA vng góc với đáy SA = a Gọi B’, C’, D’ hình chiếu A SB, SC, SD a) Chứng minh A, B’, C’, D’ đồng phẳng b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ C' D' B' D C 2a O Phân tích Do AB ', AC ', AD ' vng A a B góc với SC nên chúng đồng phẳng Để làm câu b) ta lưu ý cơng thức tỉ số hai khối chóp áp dụng cho khối chóp tam giác nên ta nghĩ đến việc phân chia khối chóp S.AB’C’D’ thành hai khối chóp tam giác 16 Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Li gii a) Ta cú AB ' SB, AB ' ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAB)) ⇒ AB ' ⊥ SC AD ' ⊥ SD, AD ' ⊥ DC (do DC ⊥ ( SAD)) ⇒ AD ' ⊥ SC Hiển nhiên AC ' ⊥ SC suy AB ', AC ', AD ' thuộc mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC Vậy A, B’, C’, D’ đồng phẳng b) Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có VS AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 9 = = = 2 = ⇒ VS AB ' C ' = VS ABC VS ABC SB SC SB SC SB SC 32 32 VS AC ' D ' SC ' SD ' SC '.SC SD '.SD SA2 SA2 9 = = = 2= ⇒ VS AC ' D ' = VS ACD 2 VS ACD SC SD SC SD SC SD 56 56 a3 Kí hiệu V thể tích khối chóp S.ABCD V = S ABCD SA = 3 ABCD hình chữ nhật nên VS ABC = VS ACD = V Từ V V 33 3a VS AB ' C ' D ' = VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = + = 32 56 448 Bài 20 Cho khối chop S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a Hai mặt bên SAB SAD vng góc với đáy, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 450 a) Tính thể tích V khối chop S.ABCD b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) c) Gọi M trung điểm cạnh SB, mặt phẳng (ADM) cắt SC N Tính thể tích khối chop S.AMND Phân tích Câu a) ta tính trực tiếp Để giải câu b) ta dùng phương pháp thể tích, cịn câu c) có cách giải tương tự 19 Lời giải a) Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mp(ABCD) cắt theo giao tuyến SA suy SA ⊥ (ABCD) Gọi O trung điểm AD tam giác OAB cạnh a S 3a S ABCD = 3SOAB = · Góc ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N M ⇒ BD ⊥ AB, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ SB Do đó, góc (SBD) · · (ABCD) góc SBA ⇒ SBA = 450 suy tam giác SAB O A D vuông cân A ⇒ SA = a B 17 C Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục 1 3a 3 Vậy V = S ABCD SA = a = a 3 4 1 3 b) Ta có VSBCD = S BCD SA = CB.CD.sin1200.SA = a 3 12 Mặt khác VSBCD = VC SBD = S SBD d ( C ;( SBD )) Tam giác SBD vuông B nên 3V a 1 a2 Vậy d(C ;( SBD )) = SBCD = S SBD = SB.BD = a 2.a = S SBD 2 c) Mặt phẳng (ADM) song song với BC nên cắt (SBC) theo giao tuyến MN // BC, M trung điểm SB nên N trung điểm SC Ta có VS AMND = VS AMN + VS AND VS AMN SM SN 1 1 1 a3 = = = ⇒ VS AMN = VS ABC = S ABC SA = VS ABC SB SC 2 4 48 VS AND SN 1 a3 = = ⇒ VS AND = VS ACD = S ACD SA = VS ACD SC 2 12 Vậy VS AMND a 3 a 3 5a 3 = + = 48 12 48 Bài 21 Cho hình chóp O.ABCD có ABCD hình bình hành, AC cắt BD I, P trung điểm OI Xét mặt phẳng chứa AP, mặt phẳng cắt OB, OC, OD M, K, N Gọi V1 V thể tích khối chóp O.AMKN O.ABCD Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tỷ số V1 V Phân tích Do đáy ABCD hình bình hành u cầu tốn tính tỉ số thể tích nên ta phân chia khối chóp O.AMKN thành hai khối chóp tam giác áp dụng OK = Vấn đề lại tìm mối quan hệ cơng thức Ta dễ dàng tính OC OM ON OB OD Lời giải O Vì ABCD hình bình hành ta có: K 1 VO.ABC = VO.ADC = VO.ABD = VO.CBD = VO.ABCD = V P 2 K' Do P trung điểm OI ⇒ OK = OC A I C (Thí sinh phải chng minh) 18 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục OM ON = x, = y (0 < x, y ≤ 1) thì: OB OD VOAMK OM OK x.V = ⇒ VOAMK = VOABC OB OC Đặt Tương tự: VOANK = O y.V Vậy V1 = VOAMK +VOANK = P N B V (x + y) (1) V V V + x.y = 4.x.y 6 C I A Mặt khác ta có: V1 = VOAMN + VOMNK = x.y K M D (2) x 4x − 1 1 Do x > 0, y > x > Mặt khác y ≤ suy x ≥ ≤ x ≤ 3 V 2 x x = Từ (1) suy = (x + y) = x.y = x V 3 4x − 4x − 2x(2x − 1) x ⇔x= Xét hàm số f(x) = có f '(x) = = (4x − 1) 4x − Bảng biến thiên: 1 x f'(x) + 1 f(x) 3 1 V Từ bảng biến thiên ta có ≤ f(x) ≤ hay ≤ ≤ V 1 Suy giá trị nhỏ là: x = y = 2 x = x = giá trị lớn là: y = y = Bài 22 Cho tứ diện ABCD Một điểm M thay đổi nằm tam giác BCD (M không nằm cạnh tam giác BCD) Từ M kẻ đường thẳng tương ứng song song với AB, AC, AD Các đường thẳng cắt mặt bên ACD, ABD, Từ (1) (2) ta có: x + y = 4x.y ⇔ y(4x -1) = x y = 19 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục ABC theo thứ tự B’, C’, D’ Tìm vị trí M cho tứ diện MB’C’D’ tích lớn Phân tích Để tính thể tích khối tứ diện MB’C’D’ ta dùng phép đối xứng tâm I để biến tứ diện MB’C’D’ thành tứ diện AB1C1D1 Tiếp theo ta dùng cơng thức tỉ số thể tích để tính thể tích tứ diện Lời giải MB ' PM S MCD MB '// BA ⇒ = = BA PB S BCD Tương tự ta có MC ' S MBD MD ' S MBC = DA = S CA SCBD DBC Cộng vế lại ta MB ' MC ' MD ' + + = (1) Gọi I trung BA CA DA điểm AM Phép đối xứng ĐI tâm I biến M thành A, biến B’ thành điểm B thuộc cạnh AB AB1 = MB’ Tương tự ta có ĐI(C’) = C1 cho C1 thuộc cạnh AC AC1 = MC’ ĐI(D’) = D1 cho D1 thuộc cạnh AD AD1 = MD’ suy phép đối xứng tâm I biến MB’C’D’ thành AB1C1D1 Do VMB'C'D' VAB1C1D1 AB1 AC1 AD1 MB'.MC'.MD' = = = VABCD VABCD AB.AC.AD AB.AC.AD Áp dụng BĐT AM – GM (1) ta MB' MC' MD' + + VMB'C'D' MB'.MC'.MD' AB AC AD ÷ = ≤ ÷ = VABCD AB.AC.AD 27 ÷ PM QM RM MB' MC' MD' = = = , = = = hay Đẳng thức xảy ⇔ PB QC RD AB AC AD tức M trọng tâm tam giác BCD Phương pháp tọa độ Phương pháp đề cập đến thông qua số tập Cơ sở phương pháp công thức (2) ur ur ur u u u u u u VABCD = AB, AC AD 20 Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục Du hiệu nhận biết để giải theo cách đa diện có góc tam diện vng tạo góc tam diện vng Sau ví dụ đơn giản A' P Bài 23 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N , P trung điểm cạnh BB ', CD, A ' D ' Tính thể tích tứ diện BMNP Phân tích Tứ diện BMNP khơng có đặc biệt nên khó tính thể tích theo cách thơng thường Tuy nhiên với pp tọa độ lại toán dễ Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz cho a a a O ≡ A, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; a) ⇒ M a;0; ÷, N ; a;0 ÷, P 0; ; a ÷ 2 2 D' B' C' M A B C N uu uu r ur ur u u ur ur a uu a a u ur u u u u 5a uu BM = 0;0; ÷, BN = − ; a;0 ÷, BP = − a; ; a ÷ ⇒ VBMNP = BM , BN BP = 2 6 48 III Kết đạt Khi áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho học sinh nhận thấy: Thứ nhất, mảng kiến thức trọng tâm, áp dụng cho diện rộng loại đối tượng học sinh Thứ hai, em học sinh hứng thú học bài, em khơng cịn cảm giác sợ học hình học khơng gian Nhiều em cịn sơi phát biểu, thảo luận tìm nhiều điều mẻ từ đề tài Các em có nhìn tổng qt có hệ thống nên vận dụng cách linh hoạt toán cụ thể Điều quan trọng em định hướng cách giải từ đầu phát lời giải ngắn gọn tối ưu cho toán Thứ ba, áp dụng đề tài xong, khả vẽ hình em tốt, trí tưởng tượng hình không gian phong phú, lối tư sâu sắc tạo tảng chắn để em học tiếp mảng kiến thức khác Kết thu cụ thể lớp giảng dạy 12A1 12A3 sau: * Trong đề thi thử đại học lần năm 2010 (Học sinh học xong chương I hình học 12 chưa áp dụng đề tài này) có câu IV hình: “Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP” Kết Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm câu IV 12A1 40 30 17 12A3 43 25 11 21 D Trung tâm luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục * Trong đề thi thử đại học lần năm 2010 (Học sinh áp dụng đề tài này) có câu IV hình: “Cho tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = h vuông góc với đáy Gọi H, I trực tâm tam giác ABC SBC Tính thể tích tứ diện IHBC theo a h” Kết Lớp Sĩ số Số học sinh làm câu IV Số học sinh làm câu IV 12A1 40 40 36 12A3 43 37 31 Như kết luận sau áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm học sinh tự tin làm tỉ lệ làm cao, hẳn lần thi thứ IV Bài tập tham khảo Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích nhỏ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao 2a Kẻ đường cao SH khối chóp Một điểm M thay đổi SH, đặt HM = x (0 < x < 2a) Qua M dựng mặt phẳng (P) ⊥ SH cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD I, J, P, Q a) Tính thể tích V khối chóp H.IJPQ theo a x b) Xác định vị trí M để V đạt giá trị lớn Bài Cho khối tứ diện ABCD có cạnh có độ dài lớn 1, cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Gọi V thể tích khối tứ diện ABCD, chứng minh V ≤ Bài Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Trên Ox, Oy, Oz lấy · · · điểm A, B, C Cho biết xOy = α , yOz = β , zOx = γ , OA = a, OB = b, OC = c ( α , β , γ góc nhọn) 22 Trung t©m lun thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục a) Tớnh th tớch V ca t diện OABC theo α , β , γ , a, b, c b) Giả sử A, B, C di động cho a + b + c = 3k (k số dương) Tìm giá trị nhỏ V Bài Cho khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M, N trung điểm B ' C ' C ' D ' Mặt phẳng (AMN) chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AC1 = 2a · BAC = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 Tính thể tích khối tứ diện AA1BM, từ suy khoảng cách từ A đến mp(A1BM) Phần III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm giải vấn đề sau: Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính thể tích khối chóp, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề sử dụng thể tích cơng cụ để tính khoảng cách, chứng minh đẳng thức số vấn đề khác Giải cách tương đối triệt để toán tính thể tích khối chóp Thơng qua việc vẽ hình, tính tốn, tìm đường tối ưu để tính thể tích, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần phương pháp Bộ giáo dục đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ tốn hình học không gian Qua thực tế giảng dạy chuyên đề thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách vận dụng vào tốn cụ thể mà cịn hứng thú học tập chuyên đề Khi học lớp qua lần thi thử đại học, số học sinh làm tính thể tích cao hẳn năm trước em không học chuyên đề Một số đề xuất Mỗi toán thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần khuyến khích Song cách giải cần 23 Trung t©m luyện thi đại học trờng THPT Đoàn Thợng Biên soạn: Lê Văn Lục phõn tớch rừ u im v hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần ý tới cách giải bản, có phương pháp áp dụng phương pháp cho nhiều tốn khác Với tinh thần theo hướng thầy cô giáo em học sinh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, tốn ứng dụng thể tích để tính khoảng cách hay chứng minh đẳng thức hình học; tốn tính khoảng cách, xác định tính góc đối tượng hình học, ứng dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian,… Cuối xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám đốc Sở, Ban giám khảo đồng nghiệp giúp đỡ góp ý cho tơi hồn thành đề tài SKKN TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập hình học 12 chương trình chuẩn nâng cao Đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2009 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương từ năm 2006 đến năm 2009 Đề thi Olympic 30-04 (kể đề tham khảo) Tuyển chọn 400 tập toán 12 phần Hình học – Tác giả: Đậu Thế Cấp Tốn nâng cao 12 Hình học – Tác giả: Trần Minh Quới Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Một số toán từ website: Mathlinks.ro, khoia0.com, maths.vn, diendantoanhoc.net, diendankienthuc.net,… 24 ... hình học 12 chương trình chuẩn nâng cao Đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng từ năm 20 02 đến năm 20 09 Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương từ năm 20 06 đến năm 20 09 Đề thi Olympic 30- 04 (kể đề... + y2 + z2 = 2( a2 + b2 + c2) A 2 x = 2( b + c − a ) x = 2( b + c − a ) ⇒ y = 2( a + c − b ) ⇔ y = 2( a + c − b ) z = 2( b + a − c ) 2 z = 2( b + a − c ) 1 VAA A A = xyz= 2( b... A, B(a; 0; 0) , D (0; a; 0) , A’ (0; 0; a) ⇒ M a ;0; ÷, N ; a ;0 ÷, P 0; ; a ÷ 2? ?? ? ?2 D'' B'' C'' M A B C N uu uu r ur ur u u ur ur a uu a a u ur u u u u 5a uu BM = 0; 0; ÷, BN