Phương pháp phân chia và lắp ghép khối chóp Cở sở của phương pháp này là: Nếu khối chóp phức tạp hoặc chưa tính thể tích ngay được thì ta có thể phân chia khối chóp thành những khối chóp[r]
(1)Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Phần I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán tính thể tích khối đa diện (đặc biệt là khối chóp) giữ vai trò quan trọng, nó xuất hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp năm gần đây Mặc dù đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để điểm các kì thi nói trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài và thường tốn khá nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song dừng việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại cách rõ nét các bài toán tính thể tích khối chóp Đối với các giáo viên, thì lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần này còn gặp nhiều khó khăn Trước các lí trên, tôi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải bài tập tính thể tích khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh cái nhìn tổng quát và có hệ thống bài toán tính thể tích khối chóp, hệ thống bài tập đã phân loại cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước bài toán học sinh có thể bật cách giải, định hướng trước làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho bài toán Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên phân loại có thể chưa triệt để và mang tính chất tương đối, mong các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Lop12.net (2) Lê Văn Lục Phần II THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lí thuyết Để tính thể tích khối chóp ta có thể sử dụng hai cách sau: Tính trực tiếp dựa vào các định lí sau: Định lí Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là B Kí hiệu V, S, h là thể tích, diện tích đáy và chiều cao khối chóp Khi đó V = S h (1) Định lí Thể tích V khối tứ diện ABCD cho công thức sau: V = AB, AC AD (2) Tính gián tiếp a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Ý tưởng phương pháp này là: cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích khối chóp đã cho việc tính thể tích khối chóp đặc biệt Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) và M, N ∈ ∆ thì d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N không trùng với I) thì d ( M ;( P )) MI = d ( N ;( P )) NI Đặc biệt, M là trung điểm NI thì d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) I là trung điểm MN thì d ( M ;( P )) = d ( N ;( P )) Kết Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC cho MB = kMC (k > k S ABC 0) Khi đó S ABM = kS ACM hay S ABM = 1+ k Đặc biệt, M là trung điểm BC thì S ABM = S ABC b) Phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì VH = VH + VH hay VH = VH − VH c) Phương pháp dùng công thức tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC 2 Lop12.net (3) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương II Bài tập áp dụng Phương pháp tính trực tiếp Cơ sở phương pháp này là công thức V = S h Phương pháp này thích hợp ta có thể dễ dàng tính diện tích đáy S và chiều cao h khối chóp Một dấu hiệu nó là ta có thể xác định chân đường vuông góc hạ từ đỉnh Sau đây là số ví dụ minh họa Bài Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ Phân tích Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H (H là trung điểm BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức Lời giải Gọi H là trung điểm BC Giả thiết suy A’H ⊥ (ABC) Ta có VA ' ABC = A ' H S ABC a2 S ABC = AB AC = 2 Tam giác ABC vuông A suy 1 AH = BC = AB + AC = a 2 Tam giác AHA’ vuông H suy A ' H = AA '2 − AH = a 1 a2 a3 Vậy VA ' ABC = S ABC A ' H = a = 3 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a ; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Phân tích Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao hình chóp Lời giải Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cắt theo giao tuyến SI suy SI ⊥ (ABCD) Bởi VS ABCD = S ABCD SI 3 Lop12.net (4) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương ( AB + DC ) AD = 3a Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc (SBC) và (ABCD) 600 Cách Gọi K là hình chiếu I trên BC, suy CB ⊥ IK Kết hợp với CB ⊥ SI ta CB ⊥ SK Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SKI ⇒ SKI = 600 S S ABCD = A B I D K C 3a , BC = a Ta có S IBC = S ABCD − S ABI − S DCI = 2S 5a Mặt khác S IBC = BC.IK ⇒ IK = IBC = Tam giác SIK vuông I suy BC 15 15 15 SI = IK tan 600 = a Vậy VS ABCD = 3a a= a 5 Cách Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ I, D(a ; ; 0), C(a ; a ; 0), S(0 ; ; h) suy B(-a ; 2a ; 0), A(-a ; ; 0) Từ giả thiết góc (SBC) và (ABCD) 600 ta tính h Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SD a) Chứng minh SC ⊥ (AHK) b) Tính thể tích khối chóp OAHK Phân tích SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định theo phương SC, nữa, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích nó Lời giải a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC S Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) b) Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J là trung điểm AI, đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK) Do đó VOAHK = S AHK OJ K SA = AC = a ⇒ ∆SAC cân A ⇒ I là D H trung điểm SC A O Lop12.net C B (5) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 1 a IC = SC = 2a = ∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH , SK = SH 4 SK SH Suy = ⇒ HK / / BD SD SB AI cắt SO G là trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên HK SG 2 2a = = ⇒ HK = BD = Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm BD SO 3 2 1 2a HK nên AG ⊥ HK và AG = AI = SC = 2a = 3 3 1 2a 2 a 2a S AHK = AG.HK = = 2 3 1 2a a 2a VOAHK = S AHK OJ = = 3 27 Cách Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OHK) khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD) Tứ diện ASBD vuông A nên 1 1 a 10 = + + = ⇒h= 2 2 h AS AB AD 2a Tam giác OHK cân O nên có diện tích S 1 a 10 2a 5a 2a S = OG.HK = = ⇒ V = Sh = 2 27 Cách Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ≡ A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a ) 2a a 2a a a a Tính SH, SK suy tọa độ H 0; ; , K ;0; , O ; ;0 3 3 2 Áp dụng công thức V = AH , AK AO Vậy OJ = Bài Cho Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt SB E và cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Phân tích Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC) Mặt khác tam giác SAC cân và có góc 600 nên SAC đều, đó tính diện tích ∆SAM Lời giải Cách Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm AM và SO Dễ thấy EF qua I và EF // BD và SO ⊥ ( ABCD) BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC) Ta có OA là hình chiếu SA trên (ABCD) nên góc SA và Lop12.net (6) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Tam giác SAC cân S và có SAO = 600 nên tam giác SAC (ABCD) là góc SAO a a cạnh a suy AM = , SM = SC = và AM ⊥ SC 2 2 a3 Do tính đối xứng nên VS AEMF = 2VEAMS = .S AMS EI = AM SM EI = 3 18 Cách EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF, đó SC ⊥ (AEMF) S EF SI 2 2a = = ⇒ EF = BD = EF // BD ⇒ BD SO 3 M (I là trọng tâm tam giác SAC) F Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên I a2 S AEMF = AM EF = D C E Vậy thể tích V hình chóp S.AEMF là O 1 a a a = V = S AEMF SM = A B 3 18 Cách Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O là tâm hình a a a 6 ;0;0 , C 0; ;0 , S 0;0; vuông ABCD, B 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA x, tất các cạnh còn lại có độ dài Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn Phân tích Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác định đường cao OA = OC = OS nên tam giác SAC vuông S, tính SH, AC và diện tích ABCD Lời giải Gọi H là hình chiếu S trên mp(ABCD) Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tam giác BCD cân C nên H thuộc CO, O là giao AC và BD ∆CBD = ∆ABD = ∆SBD ⇒ OC = OA = OS ⇒ ∆SAC vuông S ⇒ AC = x + 1 x = 2+ ⇒ SH = 2 SH SA SC x2 + 1 − x2 ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ⇒ OB = AB − AO = Lop12.net (7) Lê Văn Lục S ABCD = THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương S 1 AC.BD = x + − x ⇒ V = x − x 2 1 x2 + − x2 áp dụng BĐT Côsi ta có V = x − x ≤ = 6 Đẳng thức xảy ⇔ x = D C H 6 Vậy V lớn x = 2 A O B Bài Cho mặt cầu tâm O bán kính R Lấy điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm = CSA =α ASB = BSC A, B, C thuộc mặt cầu cho SA = SB = SC và ( 00 < α < 900 ) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo R và α Phân tích Từ giả thiết suy S.ABC là hình chóp đều, S tính VS ABC theo α và SA = a Giả sử SO cắt (S) S’, đó tâm I tam giác ABC thuộc SS’ và tam giác SAS’ vuông A nên tính a O Theo R và α C Lời giải I A J Theo giả thiết S.ABC là hình chóp B Gọi I là trọng tâm ∆ABC thì I là S’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và SI ⊥ ( ABC ) Do OA = OB = OC nên O ∈ SI Giả sử SI cắt lại mặt cầu S’ thì SS’ = 2R SA2 a Đặt SA = SB = SC = a ∆SAS ' vuông A nên SA2 = SI.SS’ ⇒ SI = = SS ' R Trong tam giác SAB ta có AB = SA2 + SB − SA.SB.cos α = 2a (1 − cos α ) = 4a sin α ⇒ AB = 2a.sin α α α a a 2α = AB AC.sin 600 = a sin ⇒ V = a sin sin 2 2R 6R 2 Để tính a theo R và α , ta chú ý AI = AJ , J là trung điểm BC AB α α = a sin ⇒ AI = a sin Tam giác SAI vuông I nên AJ = 2 a 4a α α SA2 = SI + AI ⇒ a = + sin ⇒ a = R − sin 2 4R 3 3 2α α 3 3α R sin (1 − sin ) = R sin Vậy V = 3 27 2 S∆ABC = Lop12.net (8) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Phân tích Từ giả thiết tính diện tích ∆ABC Các mặt bên hợp với đáy góc 600 nên chân đường vuông góc hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, tính đường cao Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng (ABC); E, F, I là hình chiếu H trên AB, BC, CA Khi đó SH ⊥ (ABC) = 600 Tương tự SFH = SIH = 600 Các AB ⊥ SH, AB ⊥ HE ⇒ AB ⊥ SE ⇒ SEH tam giác vuông SHE, SHF, SHI suy HE = HF = HI = r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Kí hiệu p, S lần S lượt là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC, đó p = 9a, S = 6a (theo công thức hêrông) Mặt S 6a Áp dụng hệ thức lượng khác S = pr ⇒ r = = P tam giác SHE ta có SH = r tan 600 = 2a I C 1 A Vậy VSABC = S SH = 6a 2a = 3a H 3 F E B Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng = 600 BB’ và mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vuông C và BAC Hình chiếu điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Phân tích Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên d ( A ';( ABC )) = d ( B ';( ABC )) = B ' G Từ đó tính B' A' B’G và diện tích ∆ABC Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, đó B’G ⊥ (ABC), góc BB’ và mặt phẳng (ABC) là góc B ' BG ⇒ B ' BG = 60 Ta có A’B’ // (ABC) d ( A ';( ABC )) = d ( B ';( ABC )) = B ' G C' a B A G M C Lop12.net (9) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương a VA ' ABC = S ABC B ' G Tam giác BB’G có BG = BB '.cos 600 = , a 3 3a B ' G = BB '.sin 600 = Ta có BM = BG = Tam giác ABC vuông C và 2 = 600 nên đặt AB = 2x thì AC = x ⇒ MC = x , BC = x Áp có góc BAC dụng định lí Pitago cho tam giác vuông BCM ta 9a x2 3a x 3a BM = BC + MC ⇔ = 3x + ⇔ x = ⇒ S ABC = CB.CA = = 16 4 2 32 3a a 9a = Vậy VA ' ABC = 32 64 *Nhận xét Ở bài toán trên ta đã thay đỉnh A’ đỉnh B’ mà thể tích không thay đổi, với đỉnh B’ ta dễ dàng xác định chân đường vuông góc Việc làm này nhiều thuận lợi và đó chính là nội dung phương pháp sau đây Vậy Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy Cơ sở phương pháp này là cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích khối chóp đã cho việc tính thể tích khối chóp đặc biệt Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC là dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính thể tích khối tứ diện AMNP việc tính thể tích các khối chóp nói trên Trong các mặt khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN có thể mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay khoảng S cách từ C đến (SAB) Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD, đó SO ⊥ (ABCD) M, N là trung điểm SA và SB M N 1 nên S AMN = S ANS = S ABS D P PC / /( AMN ) ⇒ d ( P ;( AMN )) = d ( C ;( AMN )) Vậy C 1 VP AMN = S AMN d ( P ;( AMN )) = S ABS d (C ;( AMN )) 3 Lop12.net O A B (10) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 1 1 a = VC ABS = VS ABC = S ABC SO ; S ABC = a , SO = SA2 − AO = 2 4 1 a a3 Vậy VAMNP = a = 12 2 48 Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc ABC = 300 ; SA = 3a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm SC và SD, O là giao điểm AC và BD Tính thể tích khối tứ diện OAMN S Phân tích Khối tứ diện OAMN có mặt AOM có thể mở rộng thành tam giác SAC, khoảng cách từ N đến (AOM) có thể thay nửa khoảng cách từ D đến (SAC) Lời giải Ta có VOAMN = SOAM d ( N ;( OAM )) O, M là trung điểm AC 1 và SC nên SOAM = SCAM = S SAC , đường thẳng DN cắt (OAM) S N M A D O B C 1 và N là trung điểm SD nên d ( N ;( OAM )) = d ( D ;(OAM )) = d ( D ;( SAC )) Vậy 2 1 1 1 a3 VOAMN = S SAC d ( D ;( SAC )) = VS ACD = S ACD SA = DA.DC.sin 30 SA = 4 12 Bài 11 Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b; góc ( AB, CD ) = α , khoảng cách AB và CD d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, d và α A Phân tích Nếu dựng hbh BCDE thì tam giác ABE hoàn toàn xác định và S BCD = S BDE nên VABCD = VABDE = VD ABE Lời giải Dựng hình bình hành BCDE suy BE / / CD và BE = CD = b , góc AB và CD bù ABE ⇒ sin ABE = sin α S BCD = S BDE ⇒ với góc a E b B 10 Lop12.net D b C (11) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 1 VABCD = VABDE = VDABE = S ABE d ( D;( ABE )) S ABE = ab sin α Mp(ABE) chứa AB và song song với CD nên d ( CD ; AB ) = d (CD ;( ABE )) = d ( D ;( ABE )) = d 1 Vậy VABCD = ab sin α d = abd sin α 3 Bài 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhận AB làm đoạn vuông góc chung Các điểm M, N chuyển động trên Ax và By (M khác A và N khác B) cho AM + BN = MN Chứng minh thể tích tứ diện ABMN không phụ thuộc vào M và N x Phân tích Bài này có lời giải tương tự bài trên Lời giải Trong mặt phẳng (ABN), dựng hình bình ' = α thì hành ABNN’ Đặt AB = a, MAN a và α cố định, đặt AM = x, BN = y đó AN’ = BN = x, NN’ // AB ⇒ NN’ ⊥ Ax, NN’ ⊥ At ⇒ NN’ ⊥ (AMN’) S ABN = S ANN ' ⇒ VMABN = VMANN ' = VN AMN ' 1 = S AMN ' NN ' = xy sin α a 3 NN ' ⊥ N ' M ⇒ MN = NN '2 + N ' M M t N' y A N B ⇔ ( x + y ) = a + x + y − xy cos α ⇔ xy (1 + cos α ) = a ⇔ xy = 2 2 a2 4cos α a α sin α a = a tan không phụ thuộc vào M và N Vậy VABMN = 4cos α 12 2 Bài 13 Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích V tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích ABCD là tứ diện gần nên ta dựng tứ diện vuông AA1A2A3 cho B, C, D là trung điểm A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 Lời giải Trong mặt phẳng (BCD), từ đỉnh ∆BCD kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt tạo thành ∆A1 A2 A3 Ta có BCA3 D, BCDA2 , BDCA1 là 11 Lop12.net (12) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương các hình bình hành nên AB = DC = A1 A2 ⇒ ∆AA1 A2 vuông A Tương tự ∆AA1 A3 , ∆AA2 A3 vuông A A 1 S BCD = S A1 A2 A3 ⇒ VABCD = VAA1 A2 A3 4 đặt x = AA1, y = AA2, z = AA3 y c Trong tam giác vuông ∆AA2 A3 => y2 + z2 = 4a2 a (1) B c Trong tam giác vuông ∆AA1 A3 => x2 + z2 = 4b2 A b (2) a Trong tam giác vuông ∆AA1 A2 => x2 + y2 = 4c2 D (3) a Cộng vế ta x2 + y2 + z2 = 2(a2 + b2 + c2) x = 2(b + c − a ) x = 2(b + c − a ) 2 ⇒ y = 2(a + c − b ) ⇔ y = 2(a + c − b ) z = 2(b + a − c ) 2 z = 2(b + a − c ) 1 VAA A A = xyz= 2(b + c − a ) 2(a + c − b ) 2(b + a − c ) 6 = 2(b + c − a )(a + c − b )(b + a − c ) ⇒ V = VABCD = 2(b + c − a )(a + c − b )(b + a − c ) 12 x b z c 2 A1 a b c b C A3 Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và mp(SAB) vuông góc với mp đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin góc hai đường thẳng SM và DN S Phân tích Tam giác ABS vuông S nên ta tính SH Diện tích tứ giác BMDN có thể tính gián tiếp qua diện tích hình vuông ABCD Lời giải Ta có SA2 + SB2 = AB2 suy tam giác SAB vuông S Gọi H là hình chiếu S trên AB thì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) A H D M B 12 Lop12.net N C (13) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương SB.SC 3a = AB 1 1 S BMDN = S BMD + S BND = S BAD + S BCD = S ABCD = 2a.2a = 2a Do đó 2 2 1 3a a VS BMDN = S BMDN SH = 2a = 3 Từ SH AB = SB.SC ⇒ SH = Phương pháp phân chia và lắp ghép khối chóp Cở sở phương pháp này là: Nếu khối chóp phức tạp chưa tính thể tích thì ta có thể phân chia khối chóp thành khối chóp đơn giản mà việc tính thể tích khối chóp phân chia là khả quan ta có thể coi khối chóp đã cho là phần bù khối chóp khác Bài 15 Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' theo V A' D' B' Phân tích Việc tính trực tiếp thể tích tứ diện ACB ' D ' theo công thức (1) là không khả thi, vì ta khó xác định chân đường vuông góc hạ từ đỉnh nào đó Trong B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' có chiều cao chiều cao khối hộp và diện tích đáy nửa dt đáy khối hộp Lời giải Khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' phân chia thành khối tứ diện: B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' Do đó V = VB ' ABC + VD ' ACD + VAA'B'D' +VCB'C'D' + VACB ' D ' Các khối tứ diện B ' ABC , D ' ACD, AA ' B ' D ', CB ' C ' D ', ACB ' D' có chiều cao chiều cao khối hộp và diện tích đáy nửa dt đáy khối hộp nên 1 V VD ' ACD = VAA'B'D' =VCB'C'D' = VB ' ABC = S ABC d ( B ';( ABC )) = S ABCD d ( B ';( ABCD )) = 6 V V Từ đó ta có VACB ' D ' = V − = C' A B D C Bài 16 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên a a) Tính thể tích V khối chóp S.ABCD b) Gọi M, N, P là trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích 13 Lop12.net (14) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Phân tích Mp(MNP) chia khối chóp thành khối đa diện phức tạp nên để tích thể tích nó ta chọn phương án lấy hiệu Lời giải a2 a = a) Gọi H là tâm đáy ⇒ SH ⊥ (ABCD) và SH = SA − HA = a − 2 1 a a3 V = S ABCD SH = a = 3 S b) MN cắt CD J, cắt CB I; PJ cắt SD F, PI cắt SB E Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MNFPE P Mặt phẳng (MNP) chia khối F chóp S.ABCD thành hai phần E N Gọi V1 là phần là phần chứa A M điểm S và V2 là phần còn lại I B C Dễ thấy V2 = VPCIJ − VFDNJ − VEBMI 1 Vì P là trung điểm SC nên d ( P ;( ABCD )) = d ( S ;( ABCD )) = SH 2 Gọi K là trung điểm CD, đó MK // ND, KP // DF suy DF JD ND 1 1 a a = = = ⇒ DF = KP = SD = , JD = JK = KP JK MK 2 2 2 a a Tương tự BE = , BI = 1 SH 3 VPCIJ = SCIJ d ( P ;( CIJ )) = CI CJ = a a.SH = a SH = V 3 2 12 2 16 16 1 a a SH VFDNJ = VEBMI = S BMI d ( E ;( BMI )) = = V 3 2 32 9V V V V − = ⇒ V1 = Vậy V2 = 16 32 2 2 J D Phương pháp sử dụng công thức tỉ số thể tích hai khối chóp Cơ sở phương pháp này là bài toán sau: Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC 14 Lop12.net (15) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Việc chứng minh nó khá đơn giản và đã có sách giáo khoa Cái hay bài toán này là chỗ: đã biết thể tích khối chóp S.ABC và các tỉ số nói trên thì ta tính thể tích khối chóp S.A’B’C’ (đôi việc tính trực tiếp thể tích khối chóp S.A’B’C’ gặp nhiều khó khăn) Ta minh họa điều này số ví dụ sau Bài 17 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Phân tích Nếu a = b = c thì tứ diện ABCD là hình chóp đỉnh A nên ta tính thể tích nó Nếu a, b và c không đồng thời thì ta lấy C’ và D’ trên các tia AC, AD cho AC’ = AD’ = a để hình chóp Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp A.BCD Lời giải Không giảm tổng quát, giả sử a nhỏ Trên các tia AC, AD lấy C’ và D’ cho AC’ = AD’ = a Tam giác ABC’ cân A và có BAC ' = 600 nên tam giác ABC’ cạnh a Tương tự các tam giác ABD’ B và AC’D’ cạnh a nên tứ diện ABC’D’ cạnh a Gọi H là trọng tâm tam giác BC’D’ thì a a a AH ⊥ (BC’D’) và BH = = ⇒ AH = 3 3 1 a a VABC ' D ' = S BC ' D ' AH = a.a.sin 600 = 3 12 Theo công thức tỉ số thể tích ta có VA BCD AB AC AD bc bc a abc = = ⇒ VA.BCD = = 12 VA BC ' D ' AB AC ' AD ' a a 12 A D’ C’ C Bài 18 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Phân tích Ta dễ dàng tính thể tích khối chóp S.ABC và các tỉ số SM SN , nên tính thể tích khối chóp S.AMN Mặt khác, khối chóp SB SC S.ABC phân chia thành hai khối chóp S.AMN và A.BCNM nên VABCNM = VSABC − VSAMN 15 Lop12.net D (16) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương Lời giải 1 a2 a3 2a = VSABC = S ABC SA = 3 VSAMN SM SN SM SB SN SC SA2 SA2 16 = = = 2 = VSABC SB SC SB SC SB SC 25 16 16 a 3 8a 3 ⇒ VSAMN = VSABC = = 25 25 75 3 a 8a a 3 VABCNM = VSABC − VSAMN = − = 75 25 S N M C A B S Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a; SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu A trên SB, SC, SD a) Chứng minh A, B’, C’, D’ đồng phẳng b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ C' D' B' D C 2a O Phân tích Do AB ', AC ', AD ' cùng vuông A a B góc với SC nên chúng đồng phẳng Để làm câu b) ta lưu ý công thức tỉ số hai khối chóp áp dụng cho các khối chóp tam giác nên ta nghĩ đến việc phân chia khối chóp S.AB’C’D’ thành hai khối chóp tam giác Lời giải AB ' ⊥ SB, AB ' ⊥ BC (do BC ⊥ ( SAB )) ⇒ AB ' ⊥ SC a) Ta có AD ' ⊥ SD, AD ' ⊥ DC (do DC ⊥ ( SAD )) ⇒ AD ' ⊥ SC Hiển nhiên AC ' ⊥ SC suy AB ', AC ', AD ' cùng thuộc mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với SC Vậy A, B’, C’, D’ đồng phẳng b) Theo công thức tỉ số thể tích ta có VS AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 9 = = = = ⇒ V = VS ABC S AB ' C ' VS ABC SB SC SB SC SB SC 32 32 VS AC ' D ' SC ' SD ' SC '.SC SD '.SD SA2 SA2 9 = = = 2= ⇒ VS AC ' D ' = VS ACD 2 VS ACD SC SD SC SD SC SD 56 56 16 Lop12.net (17) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương a3 Kí hiệu V là thể tích khối chóp S.ABCD thì V = S ABCD SA = và 3 ABCD là hình chữ nhật nên VS ABC = VS ACD = V Từ đó V V 33 3a VS AB ' C ' D ' = VS AB ' C ' + VS AC ' D ' = + = 32 56 448 Bài 20 Cho khối chop S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBD) tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 450 a) Tính thể tích V khối chop S.ABCD b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) c) Gọi M là trung điểm cạnh SB, mặt phẳng (ADM) cắt SC N Tính thể tích khối chop S.AMND Phân tích Câu a) ta tính trực tiếp Để giải câu b) ta dùng phương pháp thể tích, còn câu c) có cách giải tương tự bài 19 Lời giải a) Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mp(ABCD) và cắt theo giao tuyến SA suy SA ⊥ (ABCD) Gọi O là trung điểm AD thì tam giác OAB cạnh a và S 3a S ABCD = 3SOAB = Góc ABD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) N M ⇒ BD ⊥ AB, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ SB Do đó, góc (SBD) ⇒ SBA = 450 suy tam giác SAB và (ABCD) góc SBA O A D vuông cân A ⇒ SA = a 1 3a 3 B C Vậy V = S ABCD SA = a = a 3 4 1 3 b) Ta có VSBCD = S BCD SA = CB.CD.sin1200.SA = a 3 12 Mặt khác VSBCD = VC SBD = S SBD d ( C ;( SBD )) Tam giác SBD vuông B nên 1 a2 3V a S SBD = SB.BD = a 2.a = Vậy d ( C ;( SBD )) = SBCD = 2 S SBD c) Mặt phẳng (ADM) song song với BC nên cắt (SBC) theo giao tuyến MN // BC, M là trung điểm SB nên N là trung điểm SC Ta có VS AMND = VS AMN + VS AND 17 Lop12.net (18) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương VS AMN SM SN 1 1 1 a3 = = = ⇒ VS AMN = VS ABC = S ABC SA = 4 48 VS ABC SB SC 2 VS AND SN 1 a3 = = ⇒ VS AND = VS ACD = S ACD SA = 2 12 VS ACD SC Vậy VS AMND a 3 a 3 5a 3 = + = 48 12 48 Bài 21 Cho hình chóp O.ABCD có ABCD là hình bình hành, AC cắt BD I, P là trung điểm OI Xét các mặt phẳng chứa AP, mặt phẳng đó cắt OB, OC, OD M, K, N Gọi V1 và V là thể tích các khối chóp O.AMKN và O.ABCD Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tỷ số V1 V Phân tích Do đáy ABCD là hình bình hành và yêu cầu bài toán là tính tỉ số thể tích nên ta phân chia khối chóp O.AMKN thành hai khối chóp tam giác và áp dụng OK = Vấn đề còn lại là tìm mối quan hệ công thức Ta dễ dàng tính OC OM ON và OB OD Lời giải O Vì ABCD là hình bình hành cho nên ta có: K 1 VO.ABC = VO.ADC = VO.ABD = VO.CBD = VO.ABCD = V P 2 K' Do P là trung điểm OI ⇒ OK = OC A I C (Thí sinh phải chứng minh) OM ON = x, = y (0 < x, y ≤ 1) thì: OB OD VOAMK OM OK x.V = ⇒ VOAMK = VOABC OB OC Đặt Tương tự: VOANK = O K M P y.V Vậy V1 = VOAMK +VOANK = V (x + y) (1) V V V + x.y = 4.x.y 6 D (2) Từ (1) và (2) ta có: x + y = 4x.y ⇔ y(4x -1) = x ⇔ y = 18 Lop12.net C I A Mặt khác ta có: V1 = VOAMN + VOMNK = x.y N B x 4x − (19) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương 1 Mặt khác y ≤ suy x ≥ ≤ x ≤ 3 V 2 x x Từ (1) suy = (x + y) = x.y = x = V 3 4x − 4x − x 2x(2x − 1) Xét hàm số f(x) = có f '(x) = = ⇔ x = 4x − (4x − 1) 2 Bảng biến thiên: 1 x f'(x) + 1 f(x) 3 1 V Từ bảng biến thiên ta có ≤ f(x) ≤ hay ≤ ≤ V 1 Suy giá trị nhỏ là: x = và y = 2 x = x = giá trị lớn là: y = y = Bài 22 Cho tứ diện ABCD Một điểm M thay đổi nằm tam giác BCD (M không nằm trên các cạnh tam giác BCD) Từ M kẻ các đường thẳng tương ứng song song với AB, AC, AD Các đường thẳng này cắt các mặt bên ACD, ABD, ABC theo thứ tự B’, C’, D’ Tìm vị trí M cho tứ diện MB’C’D’ có thể tích lớn Do x > 0, y > cho nên x > Phân tích Để tính thể tích khối tứ diện MB’C’D’ ta dùng phép đối xứng tâm I để biến tứ diện MB’C’D’ thành tứ diện AB1C1D1 Tiếp theo ta dùng công thức tỉ số thể tích để tính thể tích tứ diện này Lời giải MB ' PM S MCD = = MB '// BA ⇒ BA PB S BCD Tương tự ta có MC ' S MBD MD ' S MBC = và = CA SCBD DA S DBC Cộng vế lại ta 19 Lop12.net (20) Lê Văn Lục THPT Đoàn Thượng - Gia Lộc – Hải Dương MB ' MC ' MD ' + + = (1) Gọi I là trung điểm AM BA CA DA Phép đối xứng ĐI tâm I biến M thành A, biến B’ thành điểm B1 thuộc cạnh AB và AB1 = MB’ Tương tự ta có ĐI(C’) = C1 cho C1 thuộc cạnh AC và AC1 = MC’ ĐI(D’) = D1 cho D1 thuộc cạnh AD và AD1 = MD’ suy phép đối xứng tâm I biến MB’C’D’ thành AB1C1D1 Do VMB'C'D' VAB1C1D1 AB1 AC1 AD1 MB'.MC'.MD' = = = VABCD VABCD AB.AC.AD AB.AC.AD Áp dụng BĐT AM – GM và (1) ta MB' MC' MD' + + VMB'C'D' MB'.MC'.MD' AB AC AD = ≤ = VABCD AB.AC.AD 27 MB' MC' MD' PM QM RM Đẳng thức xảy ⇔ = = = hay = = = , PB QC RD AB AC AD tức là M là trọng tâm tam giác BCD Phương pháp tọa độ Phương pháp này đã đề cập đến thông qua số bài tập trên Cơ sở phương pháp này là công thức (2) VABCD = AB, AC AD Dấu hiệu nhận biết để có thể giải theo cách này đó là đa diện có góc tam diện vuông có thể tạo góc tam diện vuông Sau đây là ví dụ đơn giản A' P D' B' Bài 23 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh BB ', CD, A ' D ' Tính thể tích tứ diện BMNP Phân tích Tứ diện BMNP không có gì đặc biệt nên khó có thể tính thể tích nó theo cách thông thường Tuy nhiên với pp tọa độ thì đây lại là bài toán dễ Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz cho a a a O ≡ A, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; a) ⇒ M a;0; , N ; a;0 , P 0; ; a 2 2 C' M A B a a a BM = 0;0; , BN = − ; a;0 , BP = − a; ; a ⇒ VBMNP = 2 20 Lop12.net C BM , BN BP = 5a 48 N D (21)