luyện thi tích phân (có giải)

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x Đặt x = |a| sint; với ; . 2 2 t           hoặc x = |a| cost; với   0; .t   2 2 x a Đặt x = a . sint ; với   ; \ 0 . 2 2 t           hoặc x = . a cost ; với   0; \ . 2 t          2 2 a x Đặt x = |a|tant; với ; . 2 2 t           hoặc x = |a|cost; với   0; .t   . a x a x   hoặc . a x a x   Đặt x = acos2t    x a b x  Đặt x = a + (b – a)sin 2 t 2 2 1 a x Đặt x = atant; với ; . 2 2 t           Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 . x I dx x    Giải: Đặt x = cost, ; . 2 2 t           .  dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4  t 1 0 Khi đó: 1 2 2 2 2 1 . x I dx x    0 2 2 4 1 os .c t sint dt cos t      4 2 0 sin .sint t dt cos t    = 2 4 2 0 sin t dt cos t    = 4 2 0 1 1 dt cos t             tan 4 0 t t    = 1 4   . (vì . 0; 4 t         nên sint . 0 sin sint t   ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 . a I x a x dx   Giải: 2 Đặt x = asint, ; 2 2 t           .  dx = acostdt Đổi cận: x 0 a t 0 2  Khi đó: 2 2 2 0 . a I x a x dx     2 2 2 2 2 0 sin 1 sin .a t a t acostdt     2 4 2 2 0 sina tcos tdt      4 2 0 1 4 8 a cos t dt     4 1 sin 4 2 8 4 0 a t t          4 16 a   Bài 3: Tính 1 2 2 0 . 1I x x dx   Giải: Đặt x = sint, ; 2 2 t           .  dx = costdt Đổi cận: x 0 1 t 0 2  Khi đó: 1 2 2 0 . 1I x x dx   2 2 2 0 sin 1 sin .t t costdt     2 2 2 0 1 sin 4 tcos tdt    2 2 0 1 sin 2 4 tdt      2 0 1 1 4 8 cos t dt     1 1 sin 4 2 8 4 0 t t          16   Bài 4: Tính 1 3 2 0 . 1I x x dx   Giải: Đặt t = 2 . 1 x  t 2 = 1 – x 2 .  xdx = -tdt Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 . 1I x x dx   = 1 2 2 0 1x x xdx     1 2 0 1 . .t t tdt     1 2 4 0 t t dt   3 5 1 03 5 t t         2 . 15  Bài 5: Tính 2 5 . ln e e dx I x x   Giải: 3 Đặt t = lnx  dt = dx x Đổi cận: x e e 2 t 1 2 Khi đó: 2 5 . ln e e dx I x x   = 2 5 1 . dt t  = 4 2 1 15 . . 1 4 64t         Bài 6: Tính   1 4 3 4 0 1 .I x x dx   Giải: Đặt t = x 4 + 1  dt = 4x 3 dx 3 . 4 dt x dx  Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó:   1 4 3 4 0 1 .I x x dx   = 2 4 5 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t          Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx    Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx  Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó: 1 2 5 5 0 0 1 sin 6 I xcoxdx t dt       . Bài 8: Tính 12 4 0 tanI xdx    Giải: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 4 x xdx dx cos x      Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4 4 dt dt in xdx xdx      Đổi cận: x 0 12  t 1 1 2 4 Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 . ln ln 2. 1 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t cos x t t              Bài 9: Tính 2 5 0 .I cos xdx    Giải: Ta có:   2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx          Đặt t = sinx ; dt cosxdx  Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó:       3 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 0 0 0 0 1 2 5 1 sin 1 1 2 . 03 5 18 t t I cos xdx x coxdx t dt t t dt t                           Bài 10: Tính 4 4 0 1 .I dx cos x    Giải: Đặt t = tanx ; 2 1 dt dx cos x   Đổi cận: x 0 4  t 0 1 Khi đó:     1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 0 1 1 1 4 1 tan 1 . 03 3 t I dx x dx t dt t cos x cos x                    Bài 11: Tính 3 2 2 6 . s cos x I dx in x     Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx  Đổi cận: x 6  2  t 1 2 1 5 Khi đó: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 (1 s ) 1 1 1 1 1 1 s s 2 2 cos x in x t I dx cosxdx dt dt t in x in x t t t                                Bài 12: Tính 2 3 3 0 sin .I xcos xdx    Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx  Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó:       1 1 4 6 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 1 1 sin sin 1 sin 1 04 6 12 t t I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt                       Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin 2 . x I e xdx    Giải: Đặt t = sin 2 x ; s 2dt in xdx  Đổi cận: x 0 2  t 0 1 Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin 2 1 0 x t t I e xdx e dt e e         Bài 14: Tính 2 2 0 sin 2 . 1 x I dx cos x     Giải: Đặt t = 1 + cos 2 x ; s 2 s 2dt in xdx in xdx dt      Đổi cận: x 0 2  t 2 1 Khi đó:   1 2 2 2 0 2 1 2 sin 2 ln ln 2 11 x dt dt I dx t cos x t t            Bài 15: Tính 4 3 0 tan .I xdx    Giải: Đặt t = tanx ;     2 2 2 1 tan 1 . 1 dt dt x dx t dt dx t         6 Đổi cận: x 0 4  t 0 1 Khi đó:       2 1 1 1 1 1 3 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 tan 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 1 ln2 . 0 2 2 2 2 2 d t t t t t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t                                   Bài 16: Tính 1 0 1 . 1 I dx x    Giải: Đặt t = x ; 2 2t x dx tdt    Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó:     1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 . 01 1 1 t I dx dt dt t t t t x                      Bài 17: Tính 1 33 4 0 1 .I x x dx   Giải: Đặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt       Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 1 33 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 04 16 16 I x x dx t dt t       Bài 18: Tính 0 2 1 1 . 2 4 I dx x x      Giải: Ta có:     0 0 2 2 2 1 1 1 1 . 2 4 1 3 dx dx x x x          Đặt 1 3 tanx t  với   2 ; . 3 1 tan . 2 2 t dx t dt              Đổi cận: x -1 0 t 0 6  7 Khi đó: 0 6 2 1 0 1 3 3 3 6 2 4 3 3 18 0 I dx dt t x x             Bài 19: Tính 1 3 8 0 . 1 x I dx x    Giải: Ta có:   1 1 3 3 2 8 4 0 0 . 1 1 x x dx dx x x      Đặt 4 tanx t với   3 2 1 ; . 1 tan . 2 2 4 t x dx t dt              Đổi cận: x 0 0 t 0 4  Khi đó:   1 1 3 3 2 4 4 2 8 2 4 0 0 0 0 1 1 tan 1 1 4 1 4 1 tan 4 4 16 1 0 x x t I dx dx dt dt t x t x                   Bài 20: Tính 1 1 ln . e x I dx x    Giải: Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x        Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó:   2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x           Bài 21: Tính   1 0 ln 2 . 2 x I dx x     Giải: Đặt   ln 2 . 2 dx t x dt x       Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 Khi đó:   1 0 ln2 2 2 0 ln2 0 ln 2 ln 2 ln 2 02 2 2 x t I dx tdt tdt x            Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x     Giải: 8 Đặt sin tanx t với   2 ; 1 tan . 2 2 t cosxdx t dt              Đổi cận: x 0 2  t 0 4  Khi đó: 2 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 1 sin 1 tan 4 cosx t I dx dt dt x t               Bài 23: Tính 2 3 1 . sin I dx x     Giải: Đặt 2 2 1 2 tan 1 tan . 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t              Ta tính: 2 2 1 1 2 1 . . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t     Đổi cận: x 3  2  t 3 3 1 Khi đó:   1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t           Bài 24: Tính   1 1 . 1 ln e I dx x x    Giải: Đặt 1 ln . dx t x dt x     Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó:   2 1 1 2 1 ln ln 2 11 ln e dt I dx t x x t        Bài 25: Tính 3 1 5 0 . x I x e dx  Giải: Đặt 3 2 2 3 . 3 dt t x dt x dx x dx     9 Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 3 1 1 1 5 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 . 0 03 3 3 3 3 3 x t t t t e I x e dx te dt te e dt e          Bài 26: Tính 1 5 22 4 2 1 1 . 1 x I dx x x       Giải: Ta có: 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 x x x dx dx dx x x x x x x                              Đặt 2 1 1 1 .t x dt dx x x            Đổi cận: x 1 1 5 2  t 0 1 Khi đó: 1 2 0 . 1 dt I t    Đặt   2 tan 1 tan .t u dt u du    Đổi cận: x 0 1 t 0 4  Vậy 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan 4 1 1 tan 4 0 dt u I du du u t u                Bài 27: Tính 2 3 1 . 1 dx I x x    Giải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 . 1 1 dx x dx x x x x      Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 . 3 tdt t x t x tdt x dx x dx         Đổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: 10       2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 . 3 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t                                                    Bài 28: Tính 2 3 2 0 3 . 2 1 x I dx x x     Giải: Ta có:   2 2 3 3 2 2 0 0 3 3 . 2 1 1 x x dx dx x x x       Đặt 1t x dt dx    Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó:             3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 3 . 2 1 1 3 9 1 3 3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln3 8 1 2 2 t t t t x x I dx dx dt dt x x t t x t t t dt t t t t                                                 Bài 29: Tính ln2 2 2 0 3 . 3 2 x x x x e e I dx e e      Giải: Đặt x x t e dt e dx   Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó:     ln2 ln2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 3 4 9 4 27 2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln 1 1 1 2 2 3 4 3 16 x x x x x x x x e e e t I dx e dx dt dt e e e e t t t t dt dt t t t t                                               Bài 30: Tính   4 1 1 dx I x x    Giải: Đặt 2 2x t dx tdt   Đổi cận: x 1 4 t 1 2 [...]...  Đặt dv  sin tdt v  cosx Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: 1 1 1 1 I  2  tcost   2  costdt  2  tcost   2  sin t   2  sin1  cos1 0 0 0 0 B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN u  P  x    ax dv  1 Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e trong đó P(x) là một đa thức Đặt  u  ln x  2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức... 4  0 D THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2010 1 Khối B – 2010 e Tính tích phân I = ln x  x(2  ln x) 2 dx 1 Giải e I  ln x x  2  ln x  1 e 0 1 2 dx ; u  ln x  du  1 x u 1 dx x 1  1 2  2   I  du     du   ln 2  u  2  2  u  2  u 2  2u 0   0 2  u 0  2  3 1   ln 3     ln 2  1  ln    3  2 3 2 Khối D – 2010 1 u 1 31 e 3  Tính tích phân I    2 x   ln... I   x 2 e x dx 0 2 u  x du  2 xdx  Đặt   x x dv  e dx v  e  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 2 x 2 x 1 x I   x e dx  x e  2  xe dx  e  2 xe x dx 0 0 0 0 1 J   xe x dx 0 Tiếp tục tính: u  x du  dx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 x x 1 J   xe dx  xe   xe x dx  1 0 0 0 Vậy I = e - 2 1 Bài 4: Tính I  ...  tet dt 0 u  t du  dt   t t Đặt dv  e dt v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 t t 1 t t 1 t 1  te dt  te 0   e dt  te 0  e 0  1 0 0 Vậy I = 2 25 e Bài 7: Tính I    4 x  1 ln xdx 1 dx  u  ln x  du   x  dv   4 x  1 dx v  2 x 2  x   Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: e e e e I    4 x  1 ln xdx   2 x 2  x  ln x    2 x ...  ln t du   t  dv  dt v  t  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 2 2 2  ln tdt  t ln t 1   dt  2 ln 2  1 1 1 1 Vậy I   x ln  x 2  1 dx  ln 2  0 1 2  2 Bài 9: Tính I   cosx ln  sin x  dx  6 cosx  u  ln  sin x  du  dx  Đặt   sin x dv  cosdx  v  sin x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:     2 2 I   cosx ln  sin x  dx  sin x ln...  dx   v   cot x dv  sin 2 x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    3 3 xdx  1 I   2   x cot x 3   cot xdx    ln sin x   3 3  sin x 4 4 4  3   9  4 3  1 ln 3  36 2 2 4    2 Bài 11: Tính I   e x cos xdx 0 u  cosx du   sin xdx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    2 2 I   e x cos xdx  e x cosx 2   e x sin... dv   x 2 x  v  tan cos  2  2 Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần     2  x 2 2 1 e dx x x x I1    e x tan 2   tan e x dx  e 2   tan e x dx x 2 0 cos 2 2 2 2 0 0 0 2    x x co s 2 2 2 sin 2 sin x x 2 2 e x dx  tan x e x dx I2   e dx    2 x 0 1  cosx 0 0 2cos 2 2 Tính:  2 Vậy I  e C TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP  2 sin x dx sin x  cosx Bài 1: Tính I... 2x dv  e dx v  e  2 23 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 1 2x 1 1 2x 1 2 1 2x 1 2 1 2x 1 1 2 1 2 e2  1 2x I   xe dx  xe  e dx  e   e d  2 x   e  e  e   e  1  2 0 2 2 40 2 4 0 2 4 4 0 0  3 x dx cos 2 x 0 Bài 2: Tính I   u  x du  dx  Đặt  dx   dv  v  tan x  co s 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:      4  3 3 x  3 sin x  3 3...   xdx   xcos 2 xdx  2 2 0 0 0 0    Ta có:   2 x2 2 28  xdx  2 2 8 0 0  2 29 Tính  xcos 2 xdx 0 du  dx u  x    1 dv  cos 2 xdx v  sin 2 x  2 Đặt Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:     2 1 12 cos 2 x 1  xcos 2 xdx  2 x sin 2 x 2  2  sin 2 xdx  0  4 2   2 0 0 0 0  2 Vậy I   x sin 2 xdx  0 2 4 16  2 Bài 6: Tính I   esin x sin 2 xdx 0 Giải: ... tích phân từng phần    2 2 I   e x cos xdx  e x cosx 2   e x sin xdx 0 0 0    I1  2 I1   e x sin xdx 0 Tính u  sin x du  cosxdx   x x Đặt dv  e dx v  e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần    2  2 x x x x I1   e sin xdx  e sin x 2   e co s xdx e sin x 2  I 0 0 0 0  2     1 x e 2 1 x I   e cos xdx  e cosx 2  e sin x 2    2 2  0 0 0    Suy ra: . 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x Đặt x = |a| sint;. x du dx v x dv dx cos x              Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được:     3 3 3 3 1 2 0 0 0 0 3 sin 3 3 tan tan ln