Đang tải... (xem toàn văn)
EUREKA UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH 1 CHƯƠNG 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM Đạo diễn Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo 1 Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế NXB Đại h.
EUREKA! UNI – YOUTUBE GIẢI TÍCH CHƯƠNG CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD ĐH KTQD Nguyễn Ngọc Cừ, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng, Trần Thanh Sơn (2010) Giáo trình Giải tích NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập II Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich2Full XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull TOÁN CAO CẤP NEU: KINH TẾ LƯỢNG: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka! Uni * Vietinbank: 107006662834 - Hoang Ba Manh *Momo: 0986.960.312 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 5.1 DẠNG CHUỖI SỐ: XÉT HỘI TỤ/PHÂN KÌ 5.1.1 Chuỗi số: so sánh với dãy số Cho dãy 𝑢𝑢𝑛𝑛 lập tổng ∞ � 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑢𝑘𝑘 + ⋯ 𝑘𝑘=1 Tiêu chí 𝑆𝑆𝑛𝑛 = � 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑢𝑢1 + 𝑢𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 Chuỗi số +∞ Định nghĩa Giá trị thứ 𝑛𝑛 Hội tụ Phần dư chuỗi hội tụ 𝑛𝑛 � 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢1 , 𝑢𝑢2 , … , 𝑢𝑢𝑛𝑛 , … 𝑆𝑆𝑛𝑛 = � 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 lim 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛→∞ ∞ � 𝑢𝑢𝑘𝑘 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑘𝑘=𝑛𝑛+1 Điều kiện Điều kiện cần hội tụ lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 = Tiêu chuẩn Cauchy Dãy số 𝑛𝑛→∞ Điều kiện cần đủ Điều kiện cần đủ ∀𝜀𝜀 > 0, ∃𝑛𝑛0 : ∀𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 |𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook ∀𝜀𝜀 > 0, ∃𝑛𝑛0 : ∀𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 |𝑢𝑢𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑢𝑢𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Tiêu chuẩn khác Chuỗi số dương - So sánh (lớn-bé, ⇔) D’Alembert (tỉ số) Cauchy (căn) Tích phân Eureka Uni (facebook.com) Đơn điệu (tăng/giảm) bị chặn (trên/dưới) Chuỗi đan dấu - Hội tụ tuyệt đối - Định lý Leibnitz Một số kết quan trọng ∞ ∞ � 𝑝𝑝𝑛𝑛 hội tụ ⇔ |𝑝𝑝| < 𝑛𝑛=1 � 𝑛𝑛=1 hội tụ, → � phân kì, 𝑛𝑛𝛼𝛼 𝛼𝛼 > 𝛼𝛼 ≤ Sự hội tụ/phân kì chuỗi khơng phụ thuộc vào tổng hữu hạn số hạng chuỗi ∞ Nếu ∑∞ 𝑛𝑛=1 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑎𝑎, ∑𝑛𝑛=1 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 với số 𝐶𝐶 ta có: ∞ ∞ � 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑛𝑛=1 � (𝑢𝑢𝑛𝑛 ± 𝑣𝑣𝑛𝑛 ) = 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 𝑛𝑛=1 Tổng chuỗi hội tụ chuỗi phân kì chuỗi phân kì Một số đánh giá thường dùng |𝑎𝑎| − |𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏| ≤ |𝑎𝑎| + |𝑏𝑏| Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛 ≥ �𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛 sin 𝑎𝑎𝑎𝑎 < 𝑎𝑎𝑎𝑎, 𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0 ⇒ � ln 𝑛𝑛 < 𝑛𝑛𝛼𝛼 < 𝑒𝑒 𝛽𝛽𝛽𝛽 , 𝑎𝑎 > 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 > 5.1.2 Bài tập vận dụng Dạng 1.1 Chứng minh chuỗi hội tụ tính tổng chuỗi ∞ ∞ 𝑆𝑆𝑟𝑟1 = � (2𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 3) 𝑛𝑛=0 ∞ 𝑆𝑆𝑟𝑟3 = � 𝑛𝑛=1 𝑆𝑆𝑟𝑟2 = � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) 2𝑛𝑛(2𝑛𝑛 + 2) Tiêu chuẩn Cauchy Chênh lệch tổng riêng nhỏ tùy ý, miễn 𝑛𝑛 đủ lớn Nghĩa ∀𝜀𝜀 > 0, ∃ 𝑛𝑛0 cho ∀𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0 , 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗ ta ln có: |𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 ∞ Giải 𝑆𝑆𝑟𝑟1 = � 𝑛𝑛=0 (2𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 3) Chứng minh hội tụ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑆𝑆𝑛𝑛 = Eureka Uni (facebook.com) 1 1 + + + ⋯+ (2𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 3) 1.3 3.5 5.7 1 1 1 1 = �1 − � + � − � + � − � + ⋯ 3 5 1 1 + � − � = �1 − � 2𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 + 1 ⇒ 𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 = �1 − �, 2(𝑛𝑛 + 𝑚𝑚) + Với 𝜀𝜀 > ta có: 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗ 1 1 |𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 | = � − � 2𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 + 2𝑚𝑚 + 1 1 + < < 𝜀𝜀 ≤ � �< 2𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 + 2𝑚𝑚 + ⇔ 𝑛𝑛 > 1 𝜀𝜀 Theo 𝜀𝜀 > bé tùy ý, chọn 𝑛𝑛0 = � �, với 𝑛𝑛 > 𝑛𝑛0 , 𝑚𝑚 ∈ ℕ∗ ta 𝜀𝜀 ln có: |𝑆𝑆𝑛𝑛+𝑚𝑚 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 | < 𝜀𝜀 Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi cho hội tụ Tính tổng chuỗi 1 1 lim 𝑆𝑆𝑛𝑛 = lim � − �= 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 2 2𝑛𝑛 + ∞ Đáp án: 𝑆𝑆 = 1/4 𝑆𝑆𝑟𝑟2 = � 𝑛𝑛=1 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 2𝑛𝑛(2𝑛𝑛 + 2) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ∞ 𝑆𝑆𝑟𝑟3 = � 𝑛𝑛=1 Giải Hướng dẫn 𝑆𝑆𝑛𝑛 = Eureka Uni (facebook.com) 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) 1 + + ⋯+ 1.2.3 2.3.4 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) 1 1 1 = =� − � 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 1 = − 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 2) (𝑛𝑛 + 1)(𝑛𝑛 + 2) 1 1 = � − − �−� � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 1 1 1 1 1 𝑆𝑆1,𝑛𝑛 = �1 − � + � − � + � − � + ⋯ + � − � 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 2 1 1 1 1 − 2𝑆𝑆1,𝑛𝑛 = �1 − � + � − � + � − � + � − � … + � � 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 + 1 1 1 − +� − �=1+ − 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 1 1 − ⇒ 𝑆𝑆1,𝑛𝑛 = �1 + − � 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2 1 1 1 1 1 𝑆𝑆2,𝑛𝑛 = � − � + � − � + � − � + � − �= − 𝑛𝑛 + 4 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2 1 1 1 − 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑆𝑆1,𝑛𝑛 − 𝑆𝑆2,𝑛𝑛 = �1 + − �−� − � 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2 𝑛𝑛 + 1 1 = − + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Dạng 1.2 Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi dương ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆5 = � √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + ∞ 𝑛𝑛=2 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆8 = � 𝑆𝑆10 𝑆𝑆𝑆𝑆14 ∞ 𝑛𝑛=2 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆9 = � ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆11 = � 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆13 = � ∞ ∞ =� 𝑛𝑛(ln2 𝑛𝑛 + 2) 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆17 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆20 = � �ln 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑛𝑛=1 √𝑛𝑛 − ln sin So sánh “lớn-bé” 𝑛𝑛=2 𝑆𝑆𝑆𝑆15 = � 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 �2 + � 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆18 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 − ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ ln 𝑛𝑛 𝑆𝑆12 = � √𝑛𝑛5 𝑛𝑛=2 𝑛𝑛! = � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 3𝑛𝑛 + 3𝑛𝑛 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 =� 𝑛𝑛 + ln2 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆16 = � ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆7 = � ln ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 𝑛𝑛=1 ∞ √2𝑛𝑛3 + 4𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛=1 √𝑛𝑛 + 𝑆𝑆𝑆𝑆6 = � 𝑛𝑛 − 1 √𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ ln(𝑛𝑛!) ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛(ln2 𝑛𝑛 + 2) 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1) = �� � 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛=2 ∞ 𝑛𝑛 + 1 𝑆𝑆𝑆𝑆19 = � � − ln � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 � So sánh “tương đương” Tiêu chuẩn D’Alembert (“tỉ số”) Tiêu chuẩn Cauchy (“căn”) Tiêu chuẩn tích phân Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ∞ ∞ � 𝑛𝑛=1 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 1 hội tụ, → � phân kì, 𝑛𝑛𝛼𝛼 Hướng 1: So sánh “lớn bé” Kết luận Eureka Uni (facebook.com) 𝛼𝛼 > 𝛼𝛼 ≤ +∞ +∞ 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛=1 ≤ 𝑢𝑢𝑛𝑛 ≤ 𝑣𝑣𝑛𝑛 ⇒ � 𝑢𝑢𝑛𝑛 ≤ � 𝑣𝑣𝑛𝑛 Phía hội tụ Phía phân kì Vận dụng ⇒ Phía hội tụ ⇒ Phía phân kì 𝑛𝑛 ≥ 1: 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + < 3𝑛𝑛2 < 4𝑛𝑛2 ⇒ �𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + < 2𝑛𝑛 ⇒ ∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟4 phân kì � 𝑛𝑛=1 phân kì 𝑛𝑛 √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + > 2𝑛𝑛 Hướng 2: So sánh “tương đương” Kết luận 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 > 𝑛𝑛→+∞ 𝑣𝑣𝑛𝑛 ≤ 𝑢𝑢𝑛𝑛 , 𝑣𝑣𝑛𝑛 ⇒ lim 𝑆𝑆𝑢𝑢 𝑆𝑆𝑣𝑣 hội tụ phân kì Vận dụng Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 Eureka Uni (facebook.com) √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 → +∞ ⇒ �𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 1~�𝑛𝑛2 = 𝑛𝑛 (ngắt bỏ VCL bậc thấp) 𝑛𝑛 =1 lim √𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∞ � 𝑛𝑛=1 ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟4 phân kì phân kì 𝑛𝑛 Hướng 3: Tiêu chuẩn D’Alembert (“tỉ số”) 𝑢𝑢𝑛𝑛+1 = 𝐷𝐷 𝑛𝑛→+∞ 𝑢𝑢𝑛𝑛 lim Kết luận 𝐷𝐷 > ⇒ 𝑆𝑆𝑢𝑢 phân kì 𝐷𝐷 = ⇒ khơng kết luận 𝐷𝐷 < Vận dụng ⇒ 𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 𝑢𝑢𝑛𝑛+1 𝑛𝑛→+∞ 𝑢𝑢𝑛𝑛 lim √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 1 √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + �(𝑛𝑛 + 1)2 + (𝑛𝑛 + 1) + = lim = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ √𝑛𝑛2 + 3𝑛𝑛 + √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + = lim √𝑛𝑛2 𝑛𝑛→+∞ √𝑛𝑛2 = lim = 𝑛𝑛→+∞ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 10 Eureka! Uni - YouTube ⇒ không kết luận Eureka Uni (facebook.com) Hướng 4: Tiêu chuẩn Cauchy (“căn”) lim 𝑛𝑛�𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝐶𝐶 𝑛𝑛→+∞ Kết luận (y hệt D’alembert) 𝐶𝐶 > ⇒ 𝑆𝑆𝑢𝑢 phân kì 𝐶𝐶 = ⇒ không kết luận 𝐶𝐶 < ⇒ 𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ Vận dụng ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 lim �𝑢𝑢𝑛𝑛 = lim � = lim (𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛→+∞ √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ = lim 𝑒𝑒 𝑛𝑛→+∞ − ln�1+𝑛𝑛+𝑛𝑛2 � 2𝑛𝑛 ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟4 khơng kết luận Hướng 5: Tiêu chuẩn tích phân +∞ 𝑆𝑆𝑢𝑢 = � 𝑢𝑢𝑛𝑛 , 𝑛𝑛=1 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 (𝑛𝑛), 𝑺𝑺𝒏𝒏 𝑰𝑰𝒇𝒇 hội tụ, phân kì, nếu: − 2𝑛𝑛 = 𝑒𝑒 = +∞ 𝐼𝐼𝑓𝑓 = � 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)d𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) > liên tục, đơn điệu giảm [1, +∞) lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥→+∞ Vận dụng Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = +∞ � √𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆4 = � 𝑛𝑛=1 1 11 √𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 + lim 𝑥𝑥→+∞ √𝑥𝑥 +∞ + 𝑥𝑥 + 1 Giải =0 d �𝑥𝑥 + � = +∞ phân kì 2 ��𝑥𝑥 + 1� + ∞ Nháp > liên tục, đơn điệu giảm [1, +∞) d𝑥𝑥 = � ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟4 phân kì Eureka Uni (facebook.com) 𝑆𝑆𝑆𝑆6 = � 𝑛𝑛=2 √𝑛𝑛 + 𝑛𝑛2 − √𝑛𝑛 + √𝑛𝑛 ~ ~ 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛2 𝑛𝑛1,5 So sánh “tương đương” 𝑛𝑛 + 1 √𝑛𝑛 + √𝑛𝑛 + � � + 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 lim 𝑛𝑛 − = lim 𝑛𝑛 − = lim = lim =1 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛→+∞ √𝑛𝑛 1− 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 ∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟6 hội tụ � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook hội tụ Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ∞ 12 𝑆𝑆𝑆𝑆7 = � ln 𝑛𝑛=1 Giải 𝑛𝑛 → +∞ ⇒ ln ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟7 phân kì 3𝑛𝑛 + 3𝑛𝑛 Eureka Uni (facebook.com) 3𝑛𝑛 + 2 = ln �1 + � ~ 3𝑛𝑛 3𝑛𝑛 3𝑛𝑛 ∞ � 𝑛𝑛=1 phân kì 𝑛𝑛 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆11 = � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛2 − ln 𝑛𝑛 𝑥𝑥 > 1: 𝑥𝑥 > ln 𝑥𝑥 ⇒ −𝑛𝑛2 < −ln 𝑛𝑛2 Giải Cách 1: so sánh “lớn bé” 1 1 𝑛𝑛 ≥ ⇒ 𝑛𝑛2 − ln 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛2 − ln 𝑛𝑛2 > 𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛2 = 𝑛𝑛2 ⇒ < 2 2 𝑛𝑛 − ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟11 hội tụ � 𝑛𝑛=1 hội tụ 𝑛𝑛2 Cách 2: so sánh “tương đương”: 𝑛𝑛 → +∞ ⇒ (𝑛𝑛2 − ln 𝑛𝑛)~𝑛𝑛2 (ngắt bỏ VCL bậc thấp) ∞ Giải 𝑆𝑆𝑆𝑆13 = � Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑛𝑛=2 ln(𝑛𝑛!) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 13 Eureka! Uni - YouTube Tiêu chuẩn Tích phân Eureka Uni (facebook.com) 𝑛𝑛 ≥ ⇒ 𝑛𝑛! < 𝑛𝑛𝑛𝑛 ⇒ ln 𝑛𝑛! < ln 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 ln 𝑛𝑛 ⇒ Chuỗi cho phân kì chuỗi ∑∞ 𝑛𝑛=2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = +∞ � phân kì 𝑛𝑛 ln 𝑛𝑛 đơn điệu giảm [2, +∞) lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 d𝑥𝑥 = lim � d𝑥𝑥 = lim � d(ln 𝑥𝑥) 𝑡𝑡→+∞ 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 𝑡𝑡→+∞ ln 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆13 phân kì Giải 1 > ln 𝑛𝑛! 𝑛𝑛 ln 𝑛𝑛 = lim (ln|ln 𝑡𝑡| − ln 2) = +∞ phân kì 𝑡𝑡→+∞ ∞ 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆16 = � 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 �2 + � 𝑛𝑛 lim 𝑛𝑛�𝑢𝑢𝑛𝑛 = lim 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛𝑛𝑛 2+ 𝑛𝑛 = lim 𝑛𝑛→+∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆16 phân kì theo tiêu chuẩn Cauchy ln 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑛𝑛 2+ 𝑛𝑛 = đơn điệu giảm lim 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑛𝑛→+∞ 𝑆𝑆𝑢𝑢 hội tụ lim 𝑆𝑆𝑛𝑛 < 𝑢𝑢1 𝑛𝑛→+∞ (−1)𝑛𝑛 �√𝑛𝑛 − (−1)𝑛𝑛 � (−1)𝑛𝑛 √𝑛𝑛 = = + 𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 − √𝑛𝑛 + (−1)𝑛𝑛 (−1)𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆22.1 ∞ ∞ 𝑛𝑛=2 𝑛𝑛=1 1 =� = � phân kì 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑆𝑆22.2 ∞ (−1)𝑛𝑛 √𝑛𝑛 =� 𝑛𝑛 − Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑛𝑛=2 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑣𝑣𝑛𝑛 = 16 Eureka Uni (facebook.com) √𝑛𝑛 √𝑛𝑛 > đơn điệu giảm lim =0 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛 − ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆22.2 hội tụ theo định lý Leibnitz ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆22 phân kì Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 17 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) Đáp án chi tiết phần tự luyện ∞ Giải 𝑆𝑆𝑆𝑆5 = � 𝑛𝑛=1 √2𝑛𝑛3 + 4𝑛𝑛2 − 𝑛𝑛 ≥ ⇒ 2𝑛𝑛3 + 4𝑛𝑛2 − = 𝑛𝑛3 + (𝑛𝑛3 − 1) + 4(𝑛𝑛2 − 1) ≥ 𝑛𝑛3 ⇒ �2𝑛𝑛3 + 4𝑛𝑛2 − ≥ �𝑛𝑛3 = 𝑛𝑛2 ⇒ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟5 hội tụ √2𝑛𝑛3 + 4𝑛𝑛2 − ∞ � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛2 ≤ hội tụ ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆8 = � 𝑛𝑛=2 𝑛𝑛2 ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 𝑥𝑥 > ⇒ 𝑥𝑥 > ln 𝑥𝑥 Giải ln √𝑛𝑛 ln 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 = < = 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 ∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟8 hội tụ � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook hội tụ Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Giải 18 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆9 = � 𝑛𝑛 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 Eureka Uni (facebook.com) 𝑛𝑛−1 số �� +���� 1+ .�.�� +1 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ≥ ⇒ 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 ≤ 𝑛𝑛 = (𝑛𝑛 − 1) + 𝑛𝑛 = 2𝑛𝑛 − < 2𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ⇒ ∞ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟9 phân kì 𝑛𝑛 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 2𝑛𝑛 phân kì 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛=1 ∞ Giải > 𝑆𝑆10 = � 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛 + ln2 𝑛𝑛 2 𝑛𝑛 ≥ ⇒ 𝑛𝑛 + ln2 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 + 4�ln √𝑛𝑛� < 𝑛𝑛 + 4�√𝑛𝑛� = 5𝑛𝑛 ⇒ ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟10 phân kì 1 > 𝑛𝑛 + ln2 𝑛𝑛 5𝑛𝑛 ∞ � 𝑛𝑛=1 phân kì 𝑛𝑛 ∞ ln 𝑛𝑛 𝑆𝑆12 = � √𝑛𝑛5 𝑛𝑛=2 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 19 Eureka! Uni - YouTube Giải 𝑛𝑛 ≥ ⇒ ln 𝑛𝑛 √𝑛𝑛5 ∞ = � ln 𝑛𝑛8 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛 ⇒ 𝑆𝑆𝑟𝑟12 hội tụ ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆14 = � 𝑛𝑛=1 Giải 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 𝑛𝑛4 < hội tụ 8𝑛𝑛8 𝑛𝑛4 Eureka Uni (facebook.com) = 𝑛𝑛 𝑛𝑛(ln2 𝑛𝑛 + 2) liên tục, đơn điệu giảm [1, +∞) lim 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥 (ln2 𝑥𝑥 + 2) =0 ⇒ Chuỗi S tính chất hội tụ/phân kì với tích phân suy rộng: � +∞ 𝑡𝑡 1 d𝑥𝑥 = lim � d𝑥𝑥 𝑡𝑡→+∞ 𝑥𝑥 (ln2 𝑥𝑥 + 2) 𝑥𝑥(ln2 𝑥𝑥 + 2) 𝑡𝑡 = lim � 𝑡𝑡→+∞ = lim � ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆14 hội tụ Giải 𝑡𝑡→+∞ ln 𝑥𝑥 𝑡𝑡 ( ) d ln 𝑥𝑥 = lim arctan � � � 𝑡𝑡→+∞ √2 + (ln 𝑥𝑥)2 √2 1 √2 arctan ln 𝑡𝑡 √2 ∞ 𝑆𝑆𝑆𝑆15 = � 𝑛𝑛=1 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook �= 𝜋𝜋 √2𝜋𝜋 = hội tụ √2 ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛(ln2 𝑛𝑛 + 2) Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 20 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) ln 𝑛𝑛 + ln 𝑛𝑛 + ln 𝑛𝑛 𝑛𝑛(ln 𝑛𝑛 + 2) ln 𝑛𝑛 = lim = lim = lim 2 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ ln 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛→+∞ 1+ 𝑛𝑛(ln 𝑛𝑛 + 1) ln 𝑛𝑛 ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆15 tính chất hội tụ, phân kì với chuỗi ′ 𝑆𝑆𝑆𝑆15 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = +∞ � ∞ =� 𝑛𝑛(ln 𝑛𝑛 + 1) 𝑛𝑛=1 đơn điệu giảm [1, +∞) lim 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥(ln 𝑥𝑥 + 1) 𝑡𝑡 1 d𝑥𝑥 = lim � d𝑥𝑥 𝑡𝑡→+∞ 𝑥𝑥 (ln 𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 (ln 𝑥𝑥 + 1) 𝑡𝑡 = lim � 𝑡𝑡→+∞ 1 𝑡𝑡 d(ln 𝑥𝑥 + 1) = lim �ln|ln 𝑥𝑥 + 1| � � 𝑡𝑡→+∞ ln 𝑥𝑥 + = lim (ln|ln 𝑡𝑡 + 1|) = +∞ phân kì 𝑡𝑡→+∞ ′ ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆15 phân kì ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆15 phân kì Giải 𝑆𝑆𝑆𝑆17 ∞ 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1) = �� � 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛=2 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛−1 (𝑛𝑛−1) ln 𝑛𝑛+1 lim �𝑢𝑢𝑛𝑛 = lim � = lim 𝑒𝑒 � 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛→+∞ 𝑛𝑛 = lim 𝑒𝑒 𝑛𝑛→+∞ −2 = 𝑒𝑒 (𝑛𝑛−1) ln�1+