Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC Sư PHẠM HÀ NỘI 2 Hà Nội, 2019 BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN ELLIPTIC SUY BIEN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC Sư PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIEN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG DẠI HỌC Sư PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIEN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố bất cơng trình khác Hà Nội, tháng 02 năm 2019 NCS Bùi Kim My i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng vơ biết ơn tới Thầy, người truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị có ý nghĩa Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Trần Văn Bằng (trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Phan Quốc Hưng (trường ĐH Duy Tân, Đà Nẵng) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Thầy, Cô Anh, Chị nghiên cứu sinh Xêmina Giải tích, Khoa Tốn, trường ĐHSP Hà Nội Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi thân thiện, giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Duy Tân hỗ trợ phần kinh phí để tác giả hồn thành luận án Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân bên, tin tưởng cho tác giả động lực tinh thần để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em, bạn bè giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận án Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 16 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 16 Phương pháp nghiên cứu 17 Kết luận án 17 Cấu trúc luận án 18 Chương KIẾN THỨC CHUAN BỊ 20 1.1 Toán tử A^-Laplace 20 1.2 Các không gian hàm phép nhúng 23 1.3 Một vài kết lí thuyết điểm tới hạn 29 1.4 Một số điều kiện tiêu chuẩn số hạng phi tuyến 34 Chương Sự TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH 37 2.1 Đạt toán 37 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường 40 2.3 Tính đa nghiệm nghiệm yếu 48 Chương Sự TỒN TẠI VÀ KHÔNG TON TẠI NGHIỆM CỦA HỆ HAMILTON SUY BIEN 53 3.1 Đạt toán 53 3.2 Sự không tồn nghiệm cổ điển dương 57 3.3 Sự tồn dãy vô hạn nghiệm yếu 64 Chương ĐỊNH LÍ KIEU LIOUVILLE CHO HỆ BAT ĐANG THỨC ELLIPTIC SUY BIEN 75 4.1 Đạt toán 75 4.2 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p,q > 76 4.3 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p,q > 82 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN không gian vectơ thực N chiều; I •I chuẩn Euclide không gian ; ộ, •} đối ngẫu X X*; (•; •) tích vơ hướng không gian Hilbert X; Q số chiều không gian ; 2Ạ = ụ'2 số mũ tới hạn phép nhúng kiểu Sobolev; Co°(Q) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Q; L^(Q) không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Q; (•; •) p tích vơ hướng khơng gian L^(Q); II • \\ p chuẩn không gian L^(Q); ! hội tụ mạnh; * hội tụ yếu; ! phép nhúng liên ,!! phép nhúng compact; AẠ toán tử suy biến mạnh AẠ : X @ i (^j@Xi); L L tục; X i=i O WẠ’ (Q) p khơng gian hàm dùng đe nghiên cứu tốn Chương 2, 3; II • ||1 , )P W (Q) j,p O chuẩn không gian WẠ (Q); p không gian hàm dùng để nghiên cứu toán Chương 3; II • ||j)P chuẩn khơng gian W (Q); p giá trị riêng toán tử — AẠ với điều kiện biên j,p Dirichlet nhất; A s lũy thừa bậc s toán tử A với miền xác định D(A ) s MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nhiều phương trình đạo hàm riêng loại elliptic gắn với việc nghiên cứu trạng thái dừng trình tiến hóa vật lí, hóa học, học sinh học Mạt khác, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng xuất phát từ toán hình học vi phân (xin xem chuyên khảo [5, tr.75-138], [25, tr.309-367], [33, tr.13-216], [58, tr.7-68, 251266], [74, tr.1-68]) Vì vậy, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Một mạt việc nghiên cứu phương trình elliptic thúc đẩy cung cấp ý tưởng cho phát triển công cụ kết nhiều chun ngành giải tích Lí thuyết khơng gian hàm, Giải tích hàm phi tuyến, Phép tính biến phân, Mạt khác, phát triển chuyên ngành dẫn đến tiến lớn lí thuyết phương trình elliptic Chính lí thuyết phương trình elliptic thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Trong năm trở lại đây, tồn nghiệm, không tồn nghiệm, tính chất định tính nghiệm nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trường hợp không suy biến hoạc suy biến yếu Tuy nhiên, kết tương ứng lớp phương trình hệ phương trình elliptic trường hợp suy biến mạnh cịn Ngun tính suy biến mạnh hệ gây khó khăn lớn mạt tốn học, địi hỏi phải có ý tưởng tiếp cận Chẳng hạn, khó khăn gây thiếu định lí nhúng cần thiết, thiếu kết cần thiết tính quy nghiệm tốn tuyến tính tương ứng, thiếu kết nguyên lí cực trị, Việc nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Như nói trên, vấn đề nghiên cứu tốn elliptic phương pháp giải tích nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp toán chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến (xem, chẳng hạn chuyên khảo [5, tr.75-138], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] báo tổng quan gần [26, 38]) Trong lớp tốn tử suy biến, có lớp đạc biệt quan trọng lớp tốn tử A^-Laplace có dạng N A u A = X @x< (A (x)@x u); < i=i Ai hàm thỏa mãn số điều kiện phù hợp Lớp toán tử đưa Kogoj Lanconelli năm 2012 [39] (xem thêm [29]), chứa nhiều lớp toán tử quan trọng toán tử Laplace Au = ^2) u i i X X i=i với x , toán tử Grushin G u = A u + |x| “Ayu với (x, y) X a x (xem [34]), toán tử suy biến mạnh kiểu P ;ạu = A u + |x| “Ayu + |y| ^A u với (x,y,z) a x z X X R (xem [67, 68]), |x|; \y | tương N ứng chuẩn Euclide x,y không gian Ax toán tử N1 X Laplace theo biến x : Ax ^2 @“2; A toán tử Laplace theo y i=i * biến y : A = ^2) ,@/2 A toán tử Laplace theo biến z j=i j y R : Az = N z N3 P ,2 £ k=1 k Sự tồn nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, trường hợp số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn, miền bị chạn không bị chạn (xem [1, 2, 13]) Sự không tồn nghiệm cổ điển phương trình elliptic trường hợp miền hình số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn chứng tỏ cơng trình tiếng Pohozaev [55] kết mở rộng cơng trình [47, 57] Tuy nhiên, kết toán elliptic lớp tốn tử suy biến cịn ít, chủ yếu phương trình vơ hướng với số hạng phi tuyến dạng tiêu chuẩn, xem [39, 51, 67] báo [1, 2, 3, 4, 10, 47, 50, 65] chuyên khảo [5, tr.75-138], [24, tr.1-26, 137-158], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] kết tiêu biểu trường hợp toán tử Laplace Dưới đây, điểm qua số kết quan trọng tồn tính chất định tính nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic, liên quan đến nội dung luận án Phương trình elliptic nửa tuyến tính Trong thập kỉ qua, tốn biên phương trình elliptic nửa tuyến tính có dạng —Au = f (x, u), x E Q, u = 0, xG (1) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nhiều vấn đề quan trọng đạt nghiên cứu lớp phương trình trên, chẳng hạn tồn nghiệm, tính quy nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tôpô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm (xem [25, tr.537-541]), phương pháp bậc tôpô (xem [42]), Tuy nhiên, phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình sử dụng phương pháp biến phân (xem [5, tr.75-138], [37, 59, tr.1-158], [74, tr.1-68]) Ý tưởng phương pháp chuyển tốn (1) việc tìm điểm tới hạn phiếm hàm Euler- Lagrange khả vi J liên kết với tốn có dạng J(u) = ^ Ị |Vu| dx — Ị F(x,u)dx, Q u H1(Q), Q t F(x,t) = f f (x,s)ds nguyên hàm hàm f Theo đó, điều kiện (AR) đưa lần [4] (AR) 9RO > 0, > cho toán tử Grushin thiết lập Dolcetta Cutrì [23] đó, họ nghiên cứu tốn sau u > 0, — G u > u , (x,y) X , p k G u = A u + |x| A u, k > 1, toán tử Grushin họ chứng tỏ k 2k x y có nghiệm khơng âm tốn u = < p < QQJ2 với Q = N1 + (k + 1)N số chiều không gian Trong [6], D’Ambrosio Lucente nghiên cứu điều kiện cần cho tồn nghiệm yếu bất đẳng thức với toán tử vi phân tựa có dạng juj |x| !|y| 2, p L(x,y, Dx, Dy )u ớ (x,y) X, với q > 1, 61, R, k, d > 1, họ xét vài trường hợp đạc biệt thu định lí kiểu Liouville cho tốn tử Tricomi tốn tử Grushin Sau đó, Monti Morbidelli [51] sử dụng phương pháp mạt phẳng di động để nghiên cứu tính chất đối xứng nghiệm cho phương trình tới hạn dạng Q±2 u > 0, —L u = u , -2 a XR , (x,y) N La u = A u + (a + 1) |x| “A u a > 0, Q = N + (a + 1)N Wii x 2 y Uór TIIIQ T m ATI 11 o riviìio r T*1 YƠn TIT'CTA 122 í Q Q+2 \ /-Tt/I TA 111TVÍÌ1 (ỉ' Vớ! jA.ếL tiouvnie nong I iuong J-_Lợp.z p (Q 2, Q 2) cno pnIlung trình chứa tốn tử Grushin (xem báo gần Monticelli [52]), để thu định lí Liouville, họ khai thác tính bất biến phương trình theo biến đổi Kelvin thực kĩ thuật mạt phẳng di động theo hướng song song với mạt suy biến toán tử Trong [73], Yu nghiên cứu phương trình —L u = f (u), a (x,y) R' X R 2, vài giả thiết số hạng phi N tuyến f, chứng tỏ phương trình khơng có nghiệm yếu dương kĩ thuật sử dụng phương pháp mạt phẳng di động dạng tích phân Bên cạnh việc thiết lập định lí Liouville cho phương trình bất đẳng thức vơ hướng, định lí Liouville cho hệ phương trình hệ bất đẳng thức elliptic thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Như chứng minh [63, 66] [49], hệ bất đẳng thức elliptic dạng Í —Au > v , x , p —Av > u , x2 q , khơng có nghiệm khơng âm u,v C (R ) pq < 1, hoạc pq > max(a, b) > N — 2, với a = p+1 j ) b = j t1) q N Ta biết rằng, giả thuyết Lane-Emden phát biểu hệ elliptic Í —Au = v , x p —Av = u , q x2 , với p,q > 0, khơng có nghiệm cổ điển dương cạp (p, q) thỏa mãn 112 p + q + N' Giả thuyết chứng minh cho nghiệm đối xứng cầu, tức u(x) = u(|x|),v(x) = v(|x|) không gian với số chiều [48] Với nghiệm không đối xứng cầu, giả thuyết Lane- Emden chứng minh với số chiều N < Mitidieri Pohozaev [49], với N = Serrin Zou [63], với N = Souplet [65] Khi N > 5, theo hiểu biết chúng tơi giả thiết hồn tồn mở Bên cạnh đó, hướng nghiên cứu thời khác liên quan đến chủ đề thiết lập định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định ổn định bên tập compact Về hướng nghiên cứu xin xem chuyên khảo [24, tr.137-158] số kết gần cho toán tử suy biến [7, 60, 69] Như vậy, ta thấy định lí kiểu Liouville chứng minh cho vài lớp toán tử suy biến yếu kết đạt ít; kết cho trường hợp toán tử suy biến mạnh, nói riêng lớp tốn tử suy biến AA, nhiều trường hợp cịn mở Tóm lại, với phân tích trên, ta thấy rằng, bên cạnh kết đạt được, toán phương trình, hệ phương trình elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh A A nhiều vấn đề mở, chẳng hạn: • Sự tồn tính đa nghiệm phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến mạnh có dạng Í -AA« = f (x,u), u = 0, x ữ, C x @Q, (4) Q miền bị chặn ,N > số hạng phi tuyến f (x,u) khơng thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz • Sự tồn tại, khơng tồn tính đa nghiệm hệ Hamilton elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến A A có dạng —A\U = |v| v, x Q, p_1 < —A\V = |u| u, x Q, q_1 (5) u = v = 0, x @Q, với p,q > Q miền bị chặn , N > • Các định lí kiểu Liouville cho phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến mạnh A A Cụ thể, thiết lập định lí kiểu Liouville cho bất đẳng thức - AyU > up; x hệ bất đẳng thức ; (N > 2;P> 1); (ơ) Í ~A\U > vp; x — A\V > u ; x ; _’ ; (N > 2,p, q> 0) (7) Vì vậy, luận án tập trung vào nghiên cứu tồn khơng tồn nghiệm, tính đa nghiệm, thiết lập định lí kiểu Liouville cho phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh AA Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa toán tử A Ạ phương pháp Giải tích hàm phi tuyến Cụ thể vấn đề sau: • Nghiên cứu tồn nghiệm yếu; • Nghiên cứu tính đa nghiệm; • Nghiên cứu không tồn nghiệm cổ điển không âm miền kiểu hình sao; • Nghiên cứu định lí kiểu Liouville khơng tồn nghiệm cổ điển dương tồn khơng gian Đối tương phạm vi nghiên cứu Với mục đích đạt trên, luận án nghiên cứu nội dung sau: • Nội dung Nghiên cứu tồn tính đa nghiệm trường hợp tới hạn phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử A số hạng phi tuyến khơng thỏa mãn điều kiện Ambrosetti- Rabinowitz Ạ với ... DẠI HỌC Sư PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIEN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn... elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh AA Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa tốn tử A Ạ phương pháp Giải tích hàm phi tuyến... nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tôpô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm