LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chung với các tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả trình bày tr[.]
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố bất cơng trình khác Hà Nội, tháng 02 năm 2019 NCS Bùi Kim My i LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vơ biết ơn tới Thầy, người truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị có ý nghĩa Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Trần Văn Bằng (trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Phan Quốc Hưng (trường ĐH Duy Tân, Đà Nẵng) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Thầy, Cô Anh, Chị nghiên cứu sinh Xêmina Giải tích, Khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi thân thiện, giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Duy Tân hỗ trợ phần kinh phí để tác giả hồn thành luận án Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân ln bên, tin tưởng cho tác giả động lực tinh thần để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em, bạn bè giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận án ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 16 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 16 Phương pháp nghiên cứu 17 Kết luận án 17 Cấu trúc luận án 18 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 1.1 Toán tử ∆λ -Laplace 20 1.2 Các không gian hàm phép nhúng 23 1.3 Một vài kết lí thuyết điểm tới hạn 29 1.4 Một số điều kiện tiêu chuẩn số hạng phi tuyến 34 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH 37 2.1 Đặt toán 37 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường 40 2.3 Tính đa nghiệm nghiệm yếu 48 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA HỆ HAMILTON SUY BIẾN 53 3.1 Đặt toán 53 3.2 Sự không tồn nghiệm cổ điển dương 57 3.3 Sự tồn dãy vô hạn nghiệm yếu 64 Chương ĐỊNH LÍ KIỂU LIOUVILLE CHO HỆ BẤT ĐẲNG THỨC ELLIPTIC SUY BIẾN 75 4.1 Đặt toán 75 4.2 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p, q > 76 4.3 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p, q > 82 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN không gian vectơ thực N chiều; |·| chuẩn Euclide không gian RN ; h·, ·i đối ngẫu X X ∗ ; (·, ·) tích vơ hướng khơng gian Hilbert X; Q số chiều không gian RN ; 2∗λ = 2Q Q−2 số mũ tới hạn phép nhúng kiểu Sobolev; C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω; Lp (Ω) khơng gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Ω; (·, ·)Lp tích vơ hướng khơng gian Lp (Ω); k · kLp chuẩn không gian Lp (Ω); → hội tụ mạnh; * hội tụ yếu; ,→ phép nhúng liên tục; ,→,→ phép nhúng compact; ∆λ toán tử suy biến mạnh ∆λ := ∂xi (λ2i ∂xi ); i=1 ◦ W 1,p λ (Ω) N P không gian hàm dùng để nghiên cứu toán Chương 2, 3; ◦ k · k1,p chuẩn không gian W 1,p λ (Ω); Wλ2,p (Ω) không gian hàm dùng để nghiên cứu toán Chương 3; k · k2,p chuẩn khơng gian Wλ2,p (Ω); µ1 giá trị riêng toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet nhất; As lũy thừa bậc s toán tử A với miền xác định D(As ) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nhiều phương trình đạo hàm riêng loại elliptic gắn với việc nghiên cứu trạng thái dừng q trình tiến hóa vật lí, hóa học, học sinh học Mặt khác, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng xuất phát từ tốn hình học vi phân (xin xem chuyên khảo [5, tr.75-138], [25, tr.309-367], [33, tr.13-216], [58, tr.7-68, 251266], [74, tr.1-68]) Vì vậy, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Một mặt việc nghiên cứu phương trình elliptic thúc đẩy cung cấp ý tưởng cho phát triển công cụ kết nhiều chuyên ngành giải tích Lí thuyết khơng gian hàm, Giải tích hàm phi tuyến, Phép tính biến phân, Mặt khác, phát triển chuyên ngành dẫn đến tiến lớn lí thuyết phương trình elliptic Chính lí thuyết phương trình elliptic thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Trong năm trở lại đây, tồn nghiệm, không tồn nghiệm, tính chất định tính nghiệm nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trường hợp khơng suy biến suy biến yếu Tuy nhiên, kết tương ứng lớp phương trình hệ phương trình elliptic trường hợp suy biến mạnh cịn Ngun tính suy biến mạnh hệ gây khó khăn lớn mặt tốn học, địi hỏi phải có ý tưởng tiếp cận Chẳng hạn, khó khăn gây thiếu định lí nhúng cần thiết, thiếu kết cần thiết tính quy nghiệm tốn tuyến tính tương ứng, thiếu kết nguyên lí cực trị, Việc nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Như nói trên, vấn đề nghiên cứu tốn elliptic phương pháp giải tích nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp toán chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến (xem, chẳng hạn chuyên khảo [5, tr.75-138], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] báo tổng quan gần [26, 38]) Trong lớp tốn tử suy biến, có lớp đặc biệt quan trọng lớp toán tử ∆λ -Laplace có dạng ∆λ u = N X ∂xi (λ2i (x)∂xi u), i=1 λi hàm thỏa mãn số điều kiện phù hợp Lớp toán tử đưa Kogoj Lanconelli năm 2012 [39] (xem thêm [29]), N P chứa nhiều lớp toán tử quan trọng toán tử Laplace ∆u = uxi xi N 2α với x ∈ R , toán tử Grushin Gα u = ∆x u + |x| ∆y u với (x, y) ∈ R i=1 N1 × R N2 (xem [34]), toán tử suy biến mạnh kiểu Pα,β u = ∆x u + |x|2α ∆y u + |y|2β ∆z u với (x, y, z) ∈ RN1 × RN2 × RN3 (xem [67, 68]), Ở |x|, |y| tương ứng chuẩn Euclide x, y khơng gian RN1 , RN2 ∆x tốn tử N1 P ∂ , ∆y toán tử Laplace theo Laplace theo biến x RN1 : ∆x = ∂x2 i=1 biến y R N2 : ∆y = N2 P j=1 RN3 : ∆z = N3 P k=1 ∂2 ∂yj2 i ∆z toán tử Laplace theo biến z ∂2 ∂zk2 Sự tồn nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, trường hợp số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn, miền bị chặn không bị chặn (xem [1, 2, 13]) Sự không tồn nghiệm cổ điển phương trình elliptic trường hợp miền hình số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn chứng tỏ cơng trình tiếng Pohozaev [55] kết mở rộng cơng trình [47, 57] Tuy nhiên, kết toán elliptic lớp tốn tử suy biến cịn ít, chủ yếu phương trình vơ hướng với số hạng phi tuyến dạng tiêu chuẩn, xem [39, 51, 67] báo [1, 2, 3, 4, 10, 47, 50, 65] chuyên khảo [5, tr.75-138], [24, tr.1-26, 137-158], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] kết tiêu biểu trường hợp toán tử Laplace Dưới đây, điểm qua số kết quan trọng tồn tính chất định tính nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic, liên quan đến nội dung luận án • Phương trình elliptic nửa tuyến tính Trong thập kỉ qua, tốn biên phương trình elliptic nửa tuyến tính có dạng −∆u = f (x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω (1) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nhiều vấn đề quan trọng đặt nghiên cứu lớp phương trình trên, chẳng hạn tồn nghiệm, tính quy nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tôpô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm (xem [25, tr.537-541]), phương pháp bậc tôpô (xem [42]), Tuy nhiên, phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình sử dụng phương pháp biến phân (xem [5, tr.75-138], [37, 59, tr.1-158], [74, tr.1-68]) Ý tưởng phương pháp chuyển tốn (1) việc tìm điểm tới hạn phiếm hàm EulerLagrange khả vi J liên kết với tốn có dạng Z Z |∇u|2 dx − F (x, u)dx, u ∈ H01 (Ω), J(u) = Ω F (x, t) = Rt Ω f (x, s)ds nguyên hàm hàm f Theo đó, điều kiện (AR) đưa lần [4] (AR) ∃R0 > 0, θ > cho < θF (x, s) ≤ sf (x, s), ∀|s| ≥ R0 , ∀x ∈ Ω, đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu tốn dạng (1) Điều kiện đảm bảo cho phiếm hàm Euler-Lagrange J liên kết với toán (1) có cấu trúc hình học qua núi mà cịn đảm bảo cho dãy Palais-Smale phiếm hàm Euler-Lagrange bị chặn Với điều kiện (AR) này, ta sử dụng định lí qua núi dạng cổ điển Ambrosetti Rabinowitz (xem [4], [5, tr.117-129], [59, tr.7-22]) để nghiên cứu tồn nghiệm toán Mặc dù điều kiện (AR) đưa cách tự nhiên, có nhiều tốn số hạng phi tuyến f (x, s) khơng thỏa mãn điều kiện (AR), chẳng hạn hàm f (x, s) = s log(1 + |s|) Do đó, năm gần đây, số tác giả nghiên cứu toán (1) loại bỏ điều kiện (AR), chẳng hạn, Schechter Zou [62], Liu Wang [44], Miyagaki Souto [50], Liu [43], Lam Lu [40, 41], Binlin cộng [12] (xem thêm tài liệu tham khảo đó) Để loại bỏ điều kiện (AR) nhiều tác giả đưa số điều kiện thay thế, chẳng hạn, điều kiện tính lồi nguyên hàm F (x, s) (xem Schechter Zou [62]), điều kiện tính đơn điệu f (x, s)/s (xem Miyagaki Souto [50]) điều kiện dạng F (x, s)/s2 → |s| → +∞ (xem Lam Lu [40, 41]) Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường toán (1) toán tử Laplace thay toán tử elliptic suy biến số tác giả quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, toán tử Grushin giới thiệu lần [34], tác giả chứng minh tính hypoelliptic lớp tốn tử Từ cơng trình tiên phong này, nhiều khía cạnh nghiên cứu khác lớp tốn tử cơng bố Chẳng hạn, tồn nghiệm số hạng phi tuyến tăng trưởng tới hạn thỏa mãn điều kiện (AR) chứng minh [68]; kết sau mở rộng sang cho trường hợp tốn tử suy biến mạnh Pα,β [67] (xem thêm [70]) Năm 2017 nhiều tác giả nghiên cứu toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính có phần toán tử suy biến mạnh ∆λ , cụ thể toán −∆λ u + V (x)u = f (x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω, (2) Ω miền bị chặn RN , N ≥ Trong [39], nhờ thiết lập đồng thức tích phân kiểu Pohozaev, Kogoj Lanconelli chứng tỏ khơng tồn nghiệm cổ điển tốn (2) V (x) ≡ 0, sử dụng phương pháp biến phân, tác giả chứng minh tồn tính đa nghiệm tốn (2) V (x) số Ở số hạng phi tuyến f (x, s) xét có tăng trưởng ... elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh ∆λ Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa tốn tử ∆λ phương pháp Giải tích hàm phi tuyến... thức elliptic nửa tuyến tính chứa toán tử ∆λ Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tồn nghiệm tính đa nghiệm sử dụng phương pháp biến phân định lí tổng quát lí thuyết tới hạn • Để nghiên cứu. .. nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tôpô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm