Giải bài tập Toán A2, toán cao cấp có lời giải- trường Đại Học CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH- IUH

Dành cho sinh viên ôn thi toán cao cấp A2 hết học phần hoặc tham khảo khi học đại học , với các dạng toán có hướng dẫn lý thuyết . Lời giải hay và dễ hiểu và có nhiều dạng bài khác nhau, được chia dạng kỹ lưỡng CỦA trường Đại Học CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH- IUH

GIẢI BÀI TẬP NGÂN HÀNG CÂU HỎI TOÁN A2 IUH

(aA) = aA(AT)T=A(AB)T=BTAT

*Tổng quát:

(A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T

Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A

2.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang

2.4.1 Ma trận bậc thang

Là ma trận có tính chất sau:

trên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua)

2.4.2 Các phép biến đổi sơ cấp

Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơcấp đối với hàng như sau:

 Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không: hi  λhh i(λh≠0 )

với một số hi →h i+λhh i(λh≠0)

.

 Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng

* Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến

đổi sơ cấp đối với cột

B ĐỊNH THỨC

1 Định nghĩa

Cho ma trận vuông cấp n: A=[aij]mxn Định thức A kí hiệu là detA hay | A| là

* Tính chất 1: detA = detA

* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0

* Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu

* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0.

* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0

thì detA cũng được nhân lên với số đó

* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.

* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng

thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức

* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì

định thức không thay đổi

* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của

các dòng còn lại thì detA không đổi

3 Một số phương pháp tính định thức

3.1 Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột

Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là Δij : A

ij = (-1)i+j

ij gọi làphần bù đại số của aij.

3.2 Phương pháp Gauss

Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đóđịnh thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

3.3 Khai triển Laplace

n!

k!(n−k)!

3.4 Phương pháp truy toán

Biến đổi định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn để tính

4 Ứng dụng của định thức

 Hạng ma trận: Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không

của A Kí hiệu r(A)

 Tìm hạng ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng ma trận

bậc thang khi đó hạng ma trận bằng số các hàng khác không

b) Ma trận không suy biến

c) Ma trận nghịch đảo

trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

 

Tìm m để  0

6 −8 4

Chọn đáp án (b)

Câu 31:

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)  1 2 b)   2 2 1 c)   2 4 1 d) Các kết qủa trên đều sai

Giải

Ta có: ∆2=2.2|12 5 4 72 3 2

34

68

812

17|=4|12 5 4 72 3 2

34

68

812

Khẳng định nào sau đây đúng?

Giải

∆2=(−2)|1 22 5 4 y −4 3 x−3

34

68

812

z−8 t−12|cột 4 +cột 3

02

52

22

4

4|=2.2|1 1 1 12 0 3 1

11

12

22

11

41

−1

0 |=|−1 0 1 1 10 1 3 3 2

000

000

611

343

31

2|

¿(−1)3 +4+ 5+3+ 4+5|−1 00 1| |61

1

343

31

10

12

 

¿|x +3 x +3 x+3 x +31 x 1 1

11

11

x

11

¿( x +3)|1 1 1 11 x 1 1

11

11

00

00



Giải

Ta có: A=|1 −1 −1 x 1 −1 −1 x2

00

10

12

1

2 |⟶ B=|1 −10 0 0 x−1 x2−x

00

10

12

1

⟶ C=|1 −10 1 −1 x1 1

00

00

20

42

40

10

00

x+1 x

10

7 9 11

00

1 2 3 4 5

5 10 15 20 35A

9 12 1 4

00

10

1 2 3

00

−2

−4

36

00

6

−5]

⟶ C=[10 −11 −1 1 30 0 0

00

00

30

00

00

−1414

−22

5

−218

10

−4

000

3]→ B=[1 20 0 3 −23 4

00

00

23

−1

−1]→C[1 20 0 3 −23 4

00

00

20

810

1620

8 6 12 4 20

10 8 15 5 26

Giải

26]→ B=[20 −2 0 0 03 3 1 5

00

−6

−7

00

00

9

−3]→ B=[14 51 −2 1 43 4 5

52

4

−5

17

52

9

−3]→C=[10 −19 11 0 −115 −2 1 4

00

−21

1111

00

−11

0 −19 11 0 −110

0

−24

00

00

−1]→ B=[ 23 −1 11 0

713

−11

2

2]→ C=[−1 11 0 23

−11

22

7

13]→ D=[−1 10 1 52

00

13

2

915

−20

33

−40

2

2 ]→ C=[10 −52 −1 4 2=−23 −10 −3

00

−20

−30

1218

00

00

00

915

−20

33

−40

2

2 ]→ C=[10 −52 −1 4 2=−23 −10 −3

00

−20

−30

1218

00

00

00

2

18]→ B=[1 −10 3 −2 0 −61 2 2

00

3

−2

−21

00

−1]→ B=[3 −10 2 −1 4 −21 −2 1

00

26

−3

412

00

00

00

10

3 m

5 m+1

00

m+2

00

01

00

m−1

Ta có [m≠ 0 m≠ 1 thì matr ậ n có h ạ ng=4

 m=0 ⟶[3 00 0 0 10 0

00

01

00

01

00

3 m

5 m

00

m+2

00

00

00

00

00

00

00

m+9 m+6]⟶ B=[10 −1 0 −13 2 3

00

−1

−1

00

85

m+9

00

−1

−1

−11

m m

m

00

13

10

−20

m−12

00

00

1216

13

26

m+4 m+10]⟶ B=[1 20 1 1 12 3

00

12

35

m+3 m+6]

⟶ C=[1 2 1 10 1 2 3

00

00

11

13

−2

−6

m−12 m−20]

m−9

00

00

00

m+2 m−11]

13

m−11]

00

m−9 m−11]

Để r(A) = r(D) =2 ⟺ không có giá tr ị m đ ể matr ậ n có h ạ ng=2

79

m

11]⟶ B=[10 −12 −3 42 −3

00

−311

1 1 4 3A

Tính ma trận nghịch đảo của ma trận

10 1A

Từ giả thiết suy ra hệ phương trình sau:

PhÇn 1 Tãm t¾t lý thuyÕt

1 Một số khái niệm cơ bản

… , xn dạng:

Gọi là hệ phương trình tuyến tính (1)

+ Nếu b1 = b2 = …= bn thì (1) gọi là hệ phương trình thuần nhất

Áp dụng quy tắt nhân ma trận, hệ (1) có thể viết dưới dạng:

c.Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chung nghiệm hoặc

cùng vô nghiệm

Do đó vấn đề đặt ra là: + Hệ tương thích hay không tương thích

+ Nếu hệ tương thích thì xác định hay không xác định + Tìm nghiệm khi hệ tương thích.

3 Phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

+ Hệ (1) có vô số nghiệm r A = r A < n

+ Hệ (1) vô nghiệm rA < r A

5 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss

Nội dung của phương pháp này là biến đổi: AX = B về CX = D, trong đó C là

ma trận tam giác hoặc ma trận bậc thang

Trong quá trình biến đổi cần lưu ý các điểm sau:

ngay mà không cần biến đổi tiếp

6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

* Định lý: Hệ thuần nhất (2) không tầm thường  rA < n

* Hệ quả 1: Hệ (2) với số pt bằng số ẩn (m = n) có nghiệm không tầm thường

A = 0

*Hệ quả 2: Nếu hệ (2) có số phương trình bé hơn số ẩn (m < n) thì luôn luôn có

nghiệm không tầm thường

PhÇn 2 Bµi tËp tr¾c nghiÖm

Tìm m để hệ phương trình tuyến tính

Thay m=2 vào hệ trên ta được

2

m

m m A

Trường hợp m = 0: Hệ phương trình tuyến tính trở thành

*Vậy  m Rthì hệ phương trình tuyến tính trên có nghiệm duy nhất.

* Trường hợp A  0 2m 2 0  m1thì hệ trên có nghiệm duy nhất

*Trường hợp A 0 2m 2 0  m1 Thay m=1 vào hệ trên ta được

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ trên vô nghiệm,  m R.

b) Hệ trên có nghiệm,  m R.

c) Hệ trên có vô số nghiệm,  m R.

d) Các khẳng định trên đều sai

Giải

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1.

c) Hệ có nghiêm khi và chỉ khi m 1.

d) Hệ trên có nghiệm với mọi m

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ trên có duy nhất nghiệm với mọi m

b) Hệ trên có vô số nghiệm với mọi m

c) Hệ trên có nghiệm với mọi m

d) Hệ trên vô nghiệm khi và chỉ khi m 1.

Giải

* Xét

1 1

11

Do đó hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Vậy phương án đúng là phương án c.

duy nhất

*Kết luận m 4.

Câu 145:

Tìm m để hệ phương trình tuyến tính

2 3

t y

 Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm m.

Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

m m

¿¿ ¿¿ ⇒ ¿ ¿

 Hệ đã cho vô nghiệm

2 2

*Vectơ không là vectơ có tất cả các thành phần bằng không, kí hiệu là 0

* Vectơ đơn vị là vectơ có 1 thành phần bằng 1, còn các thành phần khác bằng

không , kí hiệu Ei = (0,…,0,1,0, ,0)

* Hai vectơ n chiều X và Y bằng nhau Kí hiệu X = Y khi xj = yj (j = 1,…,n)

1.1.2 Các phép toán vectơ

 X + Y = ( x1+y1, x2+y2, , xn+yn)

 kX = (kx1,kx2,…,kxn)

 kX = -X = (-x1,-x2,…,-xn)

*Tính chất các phép toán về vectơ n chiều

X ,Y, Z là các vectơ n chiều và a, b thuộc R:

1.2 Không gian vectơ n chiều

Tập hợp tất cả các vec tơ n chiều với 2 phép toán cộng và nhân với một số thực

2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

k1A1 + k2A2 + ….+ knAn = phụ thuộc tuyến tính khi các số thực k1, k2,…, kn

không đồng thời bằng không

+ Nếu A độc lập tuyến tính thì hệ con cũng độc lập tuyến tính.

+ Nếu hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ ban đầu cũng phụ thuộc tuyến tính + Hệ (A 1 , A 2 ,…, A n ), với n > 2 phụ thuộc tuyến tính khi một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính.

+Nếu 1 vectơ biểu thị tuyến tính thì đó là biểu thị duy nhất.

4 Hệ vectơ đường chéo

*Định lý: Trong Rn nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến tính

6 Cơ sở của không gian R n

Hệ (A1, A2,…, An) gọi là cơ sở của Rn nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vectơ của hệ đều là tổ hợp tuyến tính các vectơ của nó.

* Định lý: Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong R n đều là cơ sở của R n

.

7 Tọa độ vec tơ đối với một cơ sở

Giả sử B = (X1, X2,…, Xn) là một cơ sở của Rn Và X là một vectơ tùy ý của Rn

9 Phép biến đổi tuyến tính

kiện sau:

f (X + Y)= f(X) + f(Y) (X, Y thuộc Rn)

f(aX) = af(X)

10 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính

Giả sử U =(U1, U2,…, Un) là một cơ sở nào đó của không gian Rn xét

Để vectơ (1, m, 1) là tổ hợp tuyến tính của u, v, w thì m−2=−2⇒ m=0

Cộng vế theo vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình (3) ta

được 2 + m + 4 = m + 6 đúng với mọi m.

Vậy vector M = (2, m+4, m+6) luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u = (1,2,3), v =(3,8,11), w = (1,3,4)

 Không tồn tại m thoả điều kiện bài toán.

4 12 16 x

Để M không phải là một tổ hợp tuyến tính thì: m – 2  -3  m  -1

Vậy m  -1 thì M không phải là một tổ hợp tuyến tính của u = (1,2,4), v = (2,1,5), w =

Vậy không có giá trị nào của m để vector M = (1,m,1) không phải là một tổ hợp





Hệ trên vô nghiệm  m tùy ý thì vector M không phải là một tổ hợp tuyến tính

Vậy m tùy ý thì vector M = (1, m+2, m+4) không phải là một tổ hợp tuyến tính của u

= (1,2,3), v = (3,7,10), w = (2,4,6)

Tìm điều kiện m để vectơ x x x1, ,2 3

không phải là một tổ hợp tuyến tính của

 Để M không phải là một tổ hợp tuyến tính thì x2 -2x1  x3 -x1  x2  x3 + x1

Vậy x 2  x 3 + x 1 vector M = (x1,x2,x3) không phải là một tổ hợp tuyến tính của u =(1,2,1), v = (1,1,0), w = (3,6,3)

Tìm điều kiện để vectơ x x x1, ,2 3

không phải là một tổ hợp tuyến tính của

Ma trận trên luôn có nghiệm k1, k2, k3

Vậy không có giá trị nào của x 1 , x 2 , x 3 để vector M = (x1, x2, x3) không phải là một tổhợp tuyến tính của u = (1,2,1), v = (1,1,0), w = (3,6,4)

Cho các vectơ u u u1, ,2 3 độc lập tuyến tính trong R4và  là vectơ không của R4.Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

Trong các mệnh đề trên do tồn tại vector không  nên khi xếp các vector trên vào một

ma trận để tính thức thì det = 0 nên các vector trên không thể độc lập tuyến tính Vì vậy

m

m m m m

m m

m m

Để 3 vector trên phụ thuộc tuyến tính thì hạng của ma trận rA < 3  m 1

Vậy m = 1 thì 3 vectorum,1,3, 4 , vm m m, , 2,6 , w2 , 2,6,10m  phụ thuộc tuyếntính

Hạng của ma trận rA = 3 với m  Không tồn tại m để 3 vector

Do det A = 0 nên hệ luôn luôn phụ thuộc tuyến tính với mọi giá trị của m.

Để 3 vector trên phụ thuộc tuyến tính thì hạng của ma trận rA < 3  m 0

Vậy m = 0 thì 3 vector u2,1,1,m v, 2,1, 4,m w, m2,1,0,0 phụ thuộc tuyếntính

m m

Vì det A = 0 nên hệ đã cho luôn luôn phụ thuộc tuyến tính Do đó không tồn tại giá trị

nào của m để cho hệ độc lập tuyến tính.

của các vector còn lại

Từ đó suy ra phương án đúng là câu a

Do det A ≠ 0 nên  các vector u,v, w độc lập tuyến tính với mọi giá trị của m.

Nên các vectơ u, v, w tạo thành một cơ sở của R3

 Không tồn tại giá trị m để các vectơ u1, u2, u3, u4 tạo thành một cơ sở của R4.

Vậy u3 có thể biểu diễn theo u1 và u2

 vectơ u1, u2 tạo thành một cơ sở của R3

U1= (1, 2, 4)

u2 = (0, 1, 2)

u3 = (0, 0, 1)

Ta thấy u1,u2, u3 sắp xếp tạo thành hệ vector đường chéo và theo bổ đề thì u1,u2, u3

độc lập tuyến tính và chúng ta có thể biểu diễn u4= 2u1+0u2+0u3

Do đó u1 ,u2 , u3 tạo thành một cơ sở của không gian con Wcủa R3

Mặt khác det A  0 nêncác vector u1, u2, u3, u4 tạo thành hệ độc lập tuyến tính

 Các vectơ u1, u2, u3, u4 tạo thành một cơ sở của R3

Phương án đúng là phương án d

Các vectơ nào sau đây tạo thành một cơ sở của không gian con Wcủa R4sinh bởi cácvectơ sau

Ta biểu diễn các vector u1, u2, u3, u4 theo sơ đồ ma trận sau đây:

Hạng của ma trận A = hạng của hệ u u u u1, 2, ,3 4= 3  Không tồn tại m để hệ sau có hạng bằng 2

Ta biểu diễn các vector u1, u2, u3, u4 theo sơ đồ ma trận sau đây:

Tìm tọa độ x x x1, ,2 3 của vectơ um,0,1 theo cơ sở

Giả sử tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho:

Hệ vector đã cho độc lập tuyến tính khim 1

Suy ra: c u u u) , ,1 2 3 tạo thành một cơ sở của khi m 1

12 11

12 11

Tìm ma trận trận chuyển cơ sở chính tắc B1u u u1, ,2 3 sang cơ sởB2 v v v1, ,2 3

Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B1sang cơ sở B2 u u u1, ,2 3 của R3là

và tọa độ vectơ u theo cơ sở B1 là x1 1,x2 1,x3 0. Tìm vectơ u theo cơ sở B 2

Khẳng định nào sau đây là đúng?

1.Trị riêng của phép biến đổi tuyến tính

Số thực  gọi là giá trị riêng của f (với f là phép biến đổi tuyến tính trong Rn)nếu có vectơ X 0; X  Rn sao: f(x)= X

+ X gọi là vectơ riêng của f với giá trị riêng 

Trị riêng của A là số vô hướng  nghiệm của phương trình: Det (A-  I) = 0

Vectơ riêng của A tương ứng trị riêng  là nghiệm không tầm thường hệphương trình thuần nhất: (A - I)X = 0

*Định lí 2

Các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyếntính

*Các bước tìm trị riêng, vectơ riêng

cơ bản sau đây:

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng: det (A - I) = 0

Bước 2: Giải pt đặc trưng tìm các nghiệm  Các giá trị này là trị riêng của A

Bước 3: Ứng với mỗi  tìm vectơ riêng bằng cách tìm nghiệm không tầm thườngcủa hệ: (A-  I)X = 0

+ CHÚ Ý: Nếu A là ma trận tam giác cấp n thì các trị riêng của nó là các phần tử

trên đường chéo chính

*Chéo hóa ma trận vuông cấp n

Ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận có thểchéo hóa

Các bước thực hiện chéo hóa ma trận vuông cấp n

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det (A-  I) = 0 để tìm các giá trị  của A Bước 2: Tìm n vectơ độc lập tuyến tính X1, X2, X3……., Xn của A tương ứng với ntrị riêng 1, 2,…… n Nếu không tồn tại n vecto riêng độc lập tuyến tính thì Akhông thể chéo hóa được

Bước 3: Lập ma trận vuông P có các cột là các vector riêng độc lập tuyến tính X1,

X2, X3…… , Xn nghĩa là:

P =  X X1, 2,X3 X n

Bước 4: Ma trận chéo D = P-1AP có các trị riêng  trên đường chéo chính (cácphần tử khác đều bằng 0) Thứ tự các vector riêng trong ma trận P xác định thứ tự củacác trị riêng trên đường chéo chính của D

Hệ phương trình thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường:

Do đó không tồn tại m để vector um m, là vector riêng của ma trận đã cho

Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường :

Vậy m  0 thì vector um m m, , là vector riêng của ma trận đã cho

Tìm các vector giá trị riêng ứng với trị riêng  0 của ma trận

A m

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

c) A chéo hóa được với mọi m

m A

m



a) A chéo hoá được khi và chỉ khi m 0

c) A chéo hóa được với mọi m

d) A không có một trị riêng nào

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi a0,b0

b) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 0

c) A chéo hóa được với mọi a b,

d) A không chéo hóa được với mọi a b,

Giải

Ta có:

Ma trận A có 3 trị riêng phân biệt

Suy ra: c) A chéo hóa được với mọi a b,

a) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 0

b) A chéo hoá được khi và chỉ khi a 1

10

a) A được chéo hóa và

Giả sử A là một ma trận vuông cấp 3 có đa thức đặc trưng là       2  4.Khẳng định nào sau đây đúng?

a) A chéo hóa được

b) A chéo hóa được khi và chỉ khi ứng với trị riêng 0, A có hai vector riêng độc lập

Giả sử A là một ma trận vuông cấp 3 có đa thức đặc trưng là      2 2  4

Khẳng định nào sau đây đúng ?

a) A không chéo hóa được vì A không có hai trị riêng phân biệt

b) A chéo hóa được

c) A chéo hóa được khi và chỉ khi ứng với trị riêng 2, A có hai vector độc lập tuyến tính d) Các khẳng định trên đều sai

Giải

Giả sử A là một ma trận vuông cấp 3 có đa thức đặc trưng là      2 2  4

Khẳng định sau đây đúng: