Đang tải... (xem toàn văn)
Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT Chuyên đề 7 KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Giả sử có hai đại lượng hiến thuật tổng quát Trong thi môn Toán, chiến thuật quan trọng nhất là dễ trước khó sau, đúng câu dễ mới làm câu khó. Khi nhận đề, các em cần đọc lướt qua một lượt, trong quá trình đọc bắt được ý tưởng lời giải của bài nào thì ghi ngay ra bên cạnh bài đó. Sau đó, bắt tay làm bài từ câu dễ đến câu khó, theo phương châm đúng câu dễ mới sang câu khó. Lưu ý, sai câu dễ nguy cơ trượt cao, không làm được câu khó vẫn có thể đỗ. Với 2 câu vận dụng cao, chỉ nên dành thời gian tối đa cho mỗi câu 10 phút, thời gian còn lại cần kiểm tra các câu đã làm để đảm bảo đạt điểm tuyệt đối. Hãy nhớ 3 bước giải bài toán. Tương tự như 3 bước làm một bài văn là mở bài, thân bài, kết luận, 3 bước giải bài toán lần lượt là: điều kiện, giải bài toán, kiểm + kết. Kỹ năng trình bày: 2Đ Đúng và Đủ ý Đúng luôn là quan trọng nhất, Đủ để không bị trừ điểm lặt vặt. Các em lưu ý, bài làm không viết dài dòng, viết càng dài càng dễ sai. Bên cạnh đó, khi viết dài, việc kiểm tra sẽ mất nhiều thời gian và khó tìm ra lỗi sai. Kỹ năng kiểm tra: 3K K1: Làm đến đâu kiểm tra đến đó, nếu sai cần sửa ngay, tránh tình trạng làm xong cả bài mới phát hiện sai, khi đó có lỗi sai rất khó sửa, thường phải bỏ cả bài. Điều này gây mất thời gian và ảnh hưởng không tốt đến tâm lý làm bài. K2: Xong một bài, tiến hành kiểm tra ngay.biến thiên x và y, trong đó x thuộc tập số D Nếu với mỗi giá trị của x thuộc t.
Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT Chuyên đề KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Giả sử có hai đại lượng biến thiên x y, x thuộc tập số D Nếu với giá trị x thuộc tập D có giá trị tương ứng y thuộc tập số thực ¡ ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập D tập xác định hàm số Cho hàm số Một hàm số cho cách sau: + Hàm số cho bảng; + Hàm số cho biểu đồ; + Hàm số cho công thức Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Đồ thị hàm số y = f ( x ) tập D tập hợp tất điểm M ( x; f ( x ) ) mặt phẳng tọa độ Oxy với x thuộc D Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D Hàm số y = f ( x ) đồng biến tập D ∀x1 x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ; Hàm số y = f ( x ) nghịch biến tập D ∀x1 x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) B Một số ví dụ Ví dụ Cho bảng tiêu thụ điện hộ gia đình 12 tháng sau: Tháng 10 11 12 Điện tiêu thụ 11 90 87 78 99 120 150 90 67 89 87 100 (kw.h) Bảng thể phụ thuộc điện tiêu thụ (kí hiệu y) thời gian x (tính theo tháng) Với giá trị x ∈ D = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12} có giá trị y Vậy ta có hàm số Tập hợp D tập xác định hàm số Các giá trị y = 112,90,87, gọi giá trị hàm số tương ứng x = 1, 2,3, Nhận xét: Một hàm số cho bảng Tuy nhiên bảng hàm số Chẳng hạn: Bảng ghi lại lượng loại áo sơ mi cửa hàng Màu áo Trắng Xanh Số lượng 14 Trong bảng rõ ràng màu áo số y Tuy nhiên dó màu áo ( x) Đỏ Vàng Tím ( x ) đặt tương ứng với số nên quy tắc cho bảng khơng phải hàm số Ví dụ Cho hai số thực x, y cho: Mỗi giá trị x ( −1 ≤ x ≤ 1) tương ứng với y thỏa mãn x + y = Hỏi quy tắc đặt tương ứng x với y nêu có phải hàm số khơng? Giải Ta có: Với x = ⇒ y = ⇔ y = ±1 Như với giá trị x = đặt tương ứng với giá trị y phân biệt nên quy tắc cho hàm số Nhận xét: Một hàm số thường cho công thức Tuy nhiên qua ví dụ ta thấy khơng phải công thức biểu diễn hàm số Một công thức đảm bảo hàm số giá trị x thuộc tập xác định D đặt tương ứng với giá trị y Ví dụ 3: Chứng minh hàm số y = f ( x ) = x + 3x + đồng biến ¡ Giải Với x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ ¡ ) ta có: f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x23 − x13 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 + 3) x 3x Do x12 + x1 x2 + x2 + = x1 + ÷ + + > với x1 , x2 x2 − x1 > nên ta có: 2 f ( x2 ) − f ( x1 ) > ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 < x2 Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét : Để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số tập D Ngoài cách làm trên, ta làm sau : Với x1 , x2 ∈ D bất kỳ, x1 ≠ x2 Ta xét thương : f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 + Nếu f ( x2 ) − f ( x1 ) > ta có hàm số đồng biến D x2 − x1 + Nếu f ( x2 ) − f ( x1 ) < ta có hàm số nghịch biến D x2 − x1 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + b ( a ≠ ) (a, b tham số, x số thực) Chứng minh : Hàm số y = f ( x ) đồng biến a > ; hàm số y = f ( x ) nghịch biến a < Giải Với x1 , x2 phân biệt thuộc ¡ ta có: Hàm số cho đồng biến ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) a ( x2 − x1 ) = =a x2 − x1 x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) >0⇔a>0 x2 − x1 Hàm số cho nghịch biến ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) Xét hiệu: f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 + x1 + − x2 − x1 − ( x2 + 1) ( x1 − 1) − ( x1 + 1) ( x2 − 1) = ( x1 − x2 ) ( x2 − 1) ( x1 − 1) ( x2 − 1) ( x1 − 1) Do x1 < x2 x1 , x2 > nên ta có x1 − x2 < x1 − > x2 − > Từ dẫn đến f ( x2 ) − f ( x1 ) < hay f ( x2 ) < f ( x1 ) Suy hàm số cho nghịch biến x> 7.3 Chứng minh hàm số y = x + x − đồng biến Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y = f ( x ) = x + x − Với x1 < x2 Xét hiệu: f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x23 − x13 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) ( x12 + x22 + x1 x2 ) + 1 = ( x2 − x1 ) x12 + x22 + ( x1 + x2 ) + 1 Do x1 < x2 nên ta có x2 − x1 > Từ dẫn đến f ( x2 ) − f ( x1 ) > hay f ( x2 ) > f ( x1 ) Suy hàm số cho đồng biến 7.4 Cho hàm số y = x − Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số khơng? a ) A ( 1;1) b) B ( 0; −1) c)C ( −1;3) d ) D ( 2; ) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt y = f ( x ) = x − a) Do = f ( 1) nên suy điểm A thuộc đồ thị hàm số cho b) Do −1 = f ( ) nên suy điểm B thuộc đồ thị hàm số cho c) Do ≠ = f ( −1) nên suy điểm C không thuộc đồ thị hàm số cho d) Do ≠ = f ( ) nên suy điểm D không thuộc đồ thị hàm số cho MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY B Các phương pháp giải I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số y = a ' x (a ' ≠ 0) Điểm thuộc hay không thuộc đồ thị: Hệ số a tính theo cơng thức: a = y x2 Để vẽ đồ thị hàm số y = a ' x (a ' ≠ 0) ta lập bảng giá trị ( thường cho x giá trị tuỳ ý) Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) Ví dụ : a/Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) b/ Đồ thị hàm số có qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không? Giải: a/ Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a=1 b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x + Thay x = vào hàm số ta có Y = 32 = = Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2 + Thay x = vào hàm số ta có Y = 32 = ≠ Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2 II/Quan hệ (d): y = ax + b (P): y = a’x2 (a’ 0) 1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = (1) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai công thức y = ax +b y = ax để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (d) (P) 2.Tìm điều kiện để (d) (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau: Từ phương trình (1) ta có: a ' x − ax − b = ⇒ ∆ = (−a) + 4a ' b a) (d) (P) cắt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > b) (d) (P) tiếp xúc với c) (d) (P) khơng giao phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < 3.Chứng minh (d) (P) cắt;tiếp xúc; không cắt với giá trị tham số: + Phương pháp : Ta phải chứng tỏ phương trình: a’x2 = ax + b có : + ∆ > với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức ∆ dạng: ∆ = ( A ± B) + m với m > đường thẳng ln cắt parabol + ∆ = với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức ∆ dạng: ∆ = ( A ± B) đường thẳng ln cắt parabol + ∆ < với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức ∆ dạng: [ ] ∆ = − ( A ± B ) + m với m > đường thẳng không parabol C Bài Tập Bài 1: Cho ba đường thẳng (d1): y = x + 2, (d2): y = - x - 2, (d3): y = - 2x + 2, (d1) cắt (d2) A; (d1) cắt (d3) B, (d2) cắt (d3) C a Xác định toạ độ điểm A, B, C b Tính diện tích tam giác ABC Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + (m ≠ 0) Đường thẳng (d) cắt Ox A; cắt Oy B Tìm m cho: a Tam giác OAB vng cân O; b Diện tích tam giác OAB 3; c Khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) Bài Cho ba đường thẳng (d1): y = x + 2, (d2): y = 2x + 1, (d3): y = (m2+1)x + m Tìm m để ba đường thẳng cắt điểm Bài Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = x + A Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B b Tính diện tích tam giác OAB Bài 5: Cho parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y = mx - a Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt b Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm m cho x21x2 + x22x1 - x1x2 = Bài 6: Cho ba đường thẳng : (d1): y = x + 1, (d2): y = 2, (d3): y = (2m+3)x-1 Tìm m để ba đường thẳng đồng quy Bài Cho parabol (P): y = -2x2 đường thẳng (d): y = x + m - Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt hai phía trục tung Bài 8: Cho parabol (P): y = 3x2 đường thẳng (d): y = 2x - m Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt bên phải trục tung Bài 9: Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2 cho x2 = 8x1 Bài 10 Cho parabol (P): y = - x đường thẳng (d): y = - mx + m - Tìm m để 1 đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2 cho x + x = 2 Bài 11: Cho đường thẳng (d): y = (m + 1) x + Đường thẳng (d) cắt Ox A cắt Oy B Tìm m cho khoảng cách từ gốc toạ độ tới đường thẳng (d) lớn Bài 12 Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d) có hệ số góc k (k ≠ 0) qua điểm M (0;2) a Chứng minh (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B b Gọi E F hình chiếu A B trục hoành Chứng minh tam giác MEF vuông M Bài 13: Đề (2014) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + parabol (P): y = x2 a Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) b Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài 14:Đề (2013) Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx - m2 + m + 2 a Với m = 1, xác định toạ độ giao điểm A, B (d) (P); b Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 cho | x1 - x2| = Bài 15: Đề (2011) Cho pa bol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x - m2 + Tìm toạ độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) m =1 Tìm m để đưởng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Bài 16: Đề (2016) Trong hai mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m 2-1 parabol (P): y = x2 a Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với n b Gọi x1 x2 hồnh độ giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = Bài 17: Đề (2017) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + a Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0;5) với giá trị m b Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 (với x1 < x2) cho |x1| > |x2| Bài 18: Cho parabol (P) : y = -x2 đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung HD: a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phương trình đường thẳng (d) : y = mx + m – Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: - x2 = mx + m – ⇔ x2 + mx + m – = (*) Và phương trình (*) có ∆ = m − 4m + = ( m − ) + > ∀ m nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A B nằm hai phía trục tung ⇔ phương trình : x2 + mx + m – = có hai nghiệm trái dấu ⇔ m – < ⇔ m < Bài 19:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a Chứng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC c HD: a.Đường thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) đường thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đường thẳng AB y = 2x + Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đường thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đường thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàng b.Ta có : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ∆ABC vuông C Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC = 10 10 = ( đơn vị diện tích ) Bài 20: Trên mặt phẳng tọa đọ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M HD: a) A B có hoành độ tung độ khác nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 Giải hệ ta có a = 3; b = -13 Vậy phương trình đường thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) ∈ xx’ ta có MA = (x − 5)2 + (0 − 2)2 MB = (x − 3)2 + (0 + 4)2 Tam giác MAB cân ⇒ MA = MB ⇔ (x − 5)2 + = (x − 3)2 + 16 ⇔ (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 ⇔x = Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) D) Bài tập tự luyện Bài cho parabol (p): y = 2x2 1.Vẽ đồ thị hàm số (p) 2.Tìm giao điểm (p) với đường thẳng y = 2x +1 Bài 2: Cho (P): y = x đường thẳng (d): y = ax + b Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 3: Cho (P) y = x đường thẳng (d) y = 2x + m Vẽ (P) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 4: Cho (P) y = − x2 (d): y = x + m Vẽ (P) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Bài 5: Cho (P): y = x (d): y = x + m 1.Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) m = Bài 6: Cho điểm A(-2;2) đường thẳng ( d1 ) y = -2(x+1) Điểm A có thuộc ( d1 ) khơng ? Vì ? Tìm a để (P): y = a.x qua A Bài 7: Cho (P): y = − x đường thẳng (d): y = mx − 2m − 1 Vẽ (P) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm