Chuyên đề 6 giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn, luyện thi học sinh giỏi toán lớp 9 và thi tuyển sinh toán vào lớp 10 rất hay và có lời giải chi tiết

Chuyên đề 6 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN A Kiến thức cần nhớ Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có ên cạnh đó, Hệ thống Giáo dục HOCMAI đã xây dựng chương trình HM10 Toàn diện nhằm giúp học sinh lớp 9 có lộ trình học tập phù hợp với năng lực. Ông Thưởng nhận định đây là giải pháp luyện thi toàn diện, phù hợp với học sinh có mong muốn thi vào các trường THPT không chuyên trên cả nước. Giải pháp HM10 Toàn diện bao gồm: Phần Trang bị kiến thức học tốt Toán 9 giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, bám sát theo chương trình sách giáo khoa, làm nền tảng cho giai đoạn ôn thi tiếp theo.nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng ( Nâng lên lũy thừa ( Đặt ẩn phụ.

Chuyên đề GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN A Kiến thức cần nhớ Phương trình chứa ẩn dấu có nhiều cách giải, sau số phương pháp thường dùng:  Nâng lên lũy thừa  Đặt ẩn phụ  Đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  Sử dụng bất đắng thức, đánh giá hai vế phương trình B Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x 1 x   x   x   b) 2x   2x   2x   2x   c x4 x4  x4 x4 5 Giải Tìm cách giải Ví dụ thân câu có chứa đẳng thức Nên đưa dạng  a  b  a  b Sau xét khoảng để bỏ giá trị tuyệt đối để giải phương trình Trình bày lời giải a)  x   x  1  x   x     x  2  x  1   x22  3  x  1  x     Vì x     x  nên: x  1   x  x  1   x     x     x  Vậy tập nghiệm phương trình là: S   x /  x  3 b) 5  2x   2x   2x   2x    x   2   2x   x    2x   2x  1   ( x   3)  ( x   1)   2x    2x  1   2x     2x  1  2x  1  1 2x  2x  1   2x     2x    Nên  x3   Vậy tập nghiệm phương trình là: S   x |  x  3   c) x   x    x   x     x  4   x4 2  x4 2     x42  5 x4 2 5 x    3 x  Trường hợp Xét x    x  Phương trình có dạng: x    3 x   x4 5 x4  Trường hợp Xét  x  10, 25  tm  x     x  Phương trình có dạng:  x    x  Không tồn x Vậy tập nghiệm phương trình là: S   10, 25 Nhận xét Câu b giải câu c Tuy nhiên vận dụng bất đẳng thức A  B  A  B , đẳng thức xảy A.B  Dựa vào câu a giải Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x    x   1 Giải Tìm cách giải Trước giải, nên đặt điều kiện Các biểu thức chi có biến bậc nhất, nên nâng lên lũy thừa để giảm bớt số Trình bày cách giải Điều kiện:   x  Với điều kiện phương trình (1)  x     x   3x     x   x   x   2x     x   25  20 x  x x 1  x  11x      tm  x    7 Vậy tập nghiệm phương trình S  1;   4 Ví dụ 3: Giải phương trình x 1   x  Giải Áp dụng đẳng thức:  a  b  a  b3  3ab  a  b  , lập phương hai vế phương trình, ta được: x    x  3  x  1   x     x  1   x     x  1   x    x  1  x  Vậy nghiệm phương trình S   1;7 Ví dụ 4: Giải phương trình: x  x   2 x  Giải Tìm cách giải Nhận thấy việc nâng lên lũy thừa để khử dấu căn, ta phương trình bậc 4, giải cách phân tích đa thức thành nhân tử, song phức tạp Bắt đầu từ 2 x  3, gợi ý cho thêm phần thích hợp để tạo thành đẳng thức, tự nhiên ta thêm x   2 x   Từ ta có lời giải sau: Trình bảy lời giải TXĐ: x   x  x   2 x   x2  2x   2x   2 x      x  1    2x  1   x     x  1 (thỏa mãn TXD)  x    Vậy nghiệm phương trình S   1 Ví dụ 5: Tìm tất số thực x1 ; x2 ; x3 ; x2005 thỏa mãn: x1  12  x2  22   2005 x2005  20052   x1  x2   x2005  (Thi học sinh giói lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi) Giải Tìm cách giải Bài tốn có phương trình, có 2005 ẩn số nên giải theo cách thông thường Do nghĩ tới việc giải phương trình cách đánh giá hai vế phương trình Trình bảy lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si, ta có: K x K2  K  x  K   x Đẳng thức xảy x  K  K Thay x  2 x1 ; x2 ; x3 ; x2005 K 1, 2, 3, …, 2005, ta có: x1  12  x2  22   2005 x2005  20052  1 x1  x2   x2005 2  x1  12   x1      x2  Đẳng thức xảy  x2     x  4022030  2005  x2005  2005  2005 Ví dụ 6: giải phương trình: x   x3  Giải Tìm cách giải Nhận thấy x    x  1  x  x  1 x   x   x  x  1, mặt khác lại xuất x3  nên gợi cho dùng đẳng thức để giải Trình bày lời giải TXĐ: x  1 x   x3   x2    x  1  x  x  1  x2  x     0  x  1  x  x  1  x   x2  x   x   0  x2  x   x   x2  x   x   x2  x   x  x     x  0; x  (thỏa mãn TXĐ) Vậy tập nghiệm phương trình S   0; 2 Ví dụ 7: Giải phương trình    x   x   x  x  12  (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam định, năm học 2014-2015) Giải Tìm cách giải Mới nhìn qua, tốn phức tạp Nâng lên lũy thừa, dùng đẳng thức hay đánh giá hai vế khơng khả thi Quan sát phân tích chúng nhận thấy  x    x    x  x  12 x    x    8, nên tốn giải phương pháp đổi biến Trình bày lời giải ĐKXĐ: x  2, đặt x   a  0; x   b   a  b  phương trình có dạng: a  b 1  ab  a  b   a  b    ab   a  b2   a  b    ab  a  b     • Với a  b, ta có: x   x  Phương trình vơ nghiệm a  • Với  ab  a  b    a  1  b  1    b   x   vônghiệ m   x    x  3 thỏ a mã n  Phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ 8: Giải phương trình sau a) x   x   16 x  48 x  35; b) x   x  x   x  x   x  x  Giải Tìm cách giải Bài tốn phức tạp khó tìm đường lời giải Bài tốn khơng thể nâng lên lũy thừa được, số mũ cao Bài tốn khơng đổi biến được, khơng có nhiều điểm giống Bài tốn khơng thể đánh giá hai vế Quan sát câu a, toán ta thử cho vế tức 2 x   x   16 x  48 x  35  0, nhận x  Do dùng biểu thức liên hợp vế trái để trục thức tử, tốn giải Cũng với suy nghĩ câu a, song với kinh nghiệm có, trước hết ta biến đổi phương trình dạng x   x  x   x  x   x  3x  liên hợp khơng cịn bậc hai tử thức Trình bày lời giải a) x   x   16 x  48 x  35; TXĐ: x  Nhằm dùng biểu thức  x  2   x  9   x    x  5 2x   6x   4x    x    x  5  2x   6x       4x    x  5    2x   6x    Nhận xét: Với x  ta có x   nên   x  5  2x   6x  Vậy phương trình tương đương với  x   x  7  Do tập nghiệm phương trình là: S    4 b) x2 1  x2  3x   x2  x   x2  x   x   x  x   x  x   x  3x      2x  1   x  x  3 2x2 1  2x2  x  2 x  2x2 1  2x2  x  2x   x  x     x  3x   x  x   x  3x  2x   x  x   x  3x  2  x  x   x  3x  2x  x 1  x2  x  0   1   2x  4      * 2 2x2 1  2x2  x    x  x   x  3x  Nhận xét: Ta có x  x   x  3x  2  x   x2  x  Với x thuộc tập xác định Do phương trình (*)  x    x  2 Thử lại, ta thấy x  2 thỏa mãn phương trình cho Vậy tập nghiệm phương trình S   2 Ví dụ 9: Giải phương trình sau 13 x  x  10  x  13 x  17  17 x  48 x  36   36 x  x  21 2 Giải Xét vế trái T  13 x  x  10  x  13x    3x  1   x  3 2 17  17 x  48 x  36 5  3    x    x    x   x   2  2  0  3x  1   x    x 2   Suy vế trái T  x   x  Vế phải P   5  x  x   x   x  x   1 2 12 x    x  12 x     2 1 12 x    x  3    12 x  3  x     2 Từ (1) (2) suy vế trái  x  Đẳng thức xảy x   vế phải Vậy nghiệm phương trình x  C Bài tập vận dụng 6.1 Giải phương trình sau: a) x  x   x   0; b) x  x   x  x   1; c) x   x   x   x   1; d) x  x   x  x   2; Hướng dẫn giải – đáp số a) DKXD: x  ta có x2  x   x     x    x    x  1  x2 0  x  1  1  Trường hợp Trường hợp x    x  (thỏa mãn)  x  1    x  0, không thuộc tập xác định Vậy nghiệm phương trình x  b) Ta có: x2  2x   x2  6x    x   x   Vế trái: x   x   x    x   vế phái Vậy phương trình vơ nghiệm c) ĐKXĐ: x  Ta có: x   x 1  x   x 1   x 1 x 1   x 1 x 1      x 1   x 1      1 x 1   x 1   Vế trái x 1  x 1   x 1    x 1   x     x      x  10 Dấu xảv   x     x   Vậy nghiệm phương trình S   x /  x  10 6.2 Giải phương trình sau: x   y  1 y     10 a) x y    b) x2  x  x  x2  x  Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x  0, y  phương trình viết dạng:  y  1 y   x 1 2 8  x  y  1    x 1 x     y  1   y  1 2 0  x 1  x  x     ;  y   y  y       Vậy phương trình có nghiệm là:  x; y    1;0  ;  x; y    1;  b) áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: x  x2  x  x2  x x  xx    x 1 2 2 Đẳng thức xảy khi:  x  x2 1   x  x   x  x       (vô nghiệm)  1 x   x  x   x  x      0 2  Vậy phương trình vơ nghiệm 6.3 Giải phương trình sau: a)  x  x   x  x  13 ; b) x  94  96  x  x  190 x  9027 Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện:  x  Ta có:   x  x 1    x   x  1  8    x  x   16   x  x 1  Mặt khác x  x  13   x  3    x  x   x  x  13  x  (thỏa mãn) Suy b) Điều kiện: 94  x  96 Ta có:  x  94  96  x   22  x  94   96  x    x  94  96  x   x  94  96  x  Mặt khác x  190 x  9025   x  95    x  94  96  x  x  190 x  9027  x  95 (thỏa mãn) Suy Vậy nghiệm phương trình x  95 6.4 Giải phương trình sau: a) x   x    x  3x  b) x2  7 x 3 c) x   3x   x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt x   a, x   b Phương trình có dạng: a  b  ab    a  1   b   a   x   x     b   x    x  1 Vậy nghiệm phương trình S   0; 1 b) x2  7 x 3  x    x  3 x   x     x     x   27   x  2   x   x    x  27 2  x  1  x2  5x     (thỏa mãn) x  Vậy nghiệm phương trình S   1;6 c) Lập phương hai vế phương trình cho ta được: x   3 x  3x    x   3x   x   x  3 x  x     x  1  15 x  x  1   30 x  19 x   x  0; x  19 30 Với x  hai vế Với x  19 hai vế phương trình cho 30 19 30 Vậy phương trình có nghiệm x  6.5 Giải phương trình sau: a) b) x  3x   x   x   x  x  3;  x 8  x3   x  11x  24   Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: x  Phương trình viết dạng:  x  1  x     x  1  x      x2  x3  x2    x2   x 1 1  x   x 1 1   x  1  x  3  x  1  x  3  x3   x 1 1   x2  x3  Trường hợp x     x  (thỏa mãn) Trường hợp x   x   Không tồn x Vậy nghiệm phương trình x  b) ĐKXĐ: x  3 Phương trình viết dạng:  x   x  3    x  11x  24   x 8  x 3   x  11x  24   x   x   x  x    x   x   x  x   x   x       x  1  x  1  Trường hợp x     x  7 Không thuộc tập xác định Trường hợp x     x  2 Thuộc tập xác định Vậy nghiệm phương trình x  2 6.6 Giải phương trình: a) x  x  20  x  10; b) x x  x   3x   x  x  Hướng dẫn giải – đáp số a) x  x  20  x  10  x  x   x  10  x  10     x  3    xĐKXĐ  10  x  :    10  x     x  3 (thỏa mãn ĐKXĐ)  x  10   Vậy nghiệm phương trình S   3 b) x x  x   3x   x  x  x x  x   3x   x  x  x  x   x x  x   3x    x  x   x x  x   x  3x   x        x2  x   x  3x    0  x  x   x    x 1  x    Thử lại thấy x  thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình S   1 6.7 Giải phương trình: a) x  y  z   x   y   z   b) x  y  z  35  2 x   y   z   Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐK: x  2, y  3, z  Phương trình tương đương với: x   x   1 y   y    z   z        x  1    y 3    x  1  x      y      y   TM     z  14  z     z 5 3  Phương trình có nghiệm  x; y; z    3; 7;14  b) ĐK: x  1, y  2, z  3 Phương trình tương đương với: x   x    y   y    z   z   16        2 x 1   y  3  z 3 4  0  x 1   x      y      y   TM     z  13  z    Phương trình có nghiệm  x; y; z    3;7;13 6.8 Giải phương trình sau:  a)    x   x   x  x   x  3x  b) Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ: 1  x  đặt  x   x  a  0; ta có a    x Phương trình cho trở thành: a3   a  với a   x   x    x2   x2   x  phương trình có nghiệm x  (thỏa mãn) b) ĐKXĐ: x  bình phương hai vế phương trình cho được: x   x  x  x   3x  1  x  3x  x   16  x  x   49 x  14 x   33x  34 x   x   x  33  Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình x  1, x  6.9 Giải phương trình: a) 3 x    x  x   x    b) x   x  1 x   2  x  x    Hướng dẫn giải – đáp số 33 a) Đặt 3 x   a;  x  b; x   c; Suy a  b  c  x    a  b  c  x    a  b  c   x   1 3 3 Mặt khác a  b  c  3x    x  x   x    Từ (1) (2) suy  a  b  c   a  b  c 3 a  b3  c   a  b   b  c   c  a   a  b3  c   a  b  b  c  c  a   3  a  b   x  3 a  b  3x    x     b  c   b3  c3   5  x  x     x   c3  a   c  a   x   3x    x   8  Vậy tập nghiệm phương trình S   3; 4;  5  b) ĐKXĐ: x  1 Đặt y  x  1; z  Khi phương trình có dạng x  y  z   x  y  z   * Chứng minh  *   x  y   y  z   x  z   Với x  y   x  x    x    x  x  1 (thỏa mãn) Với x  z   x    x   (không thỏa mãn) Với y  z   x    (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x  1 6.10 Giải phương trình: a) x  x   x  x    x; b) x    x  x   x  x Hướng dẫn giải – đáp số  x  1 a) ĐKXĐ:  x     4x  x  1   x  x  1   x  3  x  5x   x2  x  9x     x  3  x2  5x   x2  x      x  3   1  2  x  5x   x  x   Ta có x  5x   x2  x   *  x    x  Thử lại ta thấy x    với x thuộc tập xác định, phương trình thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệm phương trình 1  S   3 b) ĐKXĐ: x4 x    x  x   x  x      x  1     x 1   x    x  5x  x  1  x 1 2x  1     x  1  x  3 x  1  x 1 2x  1  x  3 x 3 x3     x  1  x  3  x  1  x 1 2x  1 1     x  3      x  1    x 1 2x    x  1   Trường hợp Xét x    x  Trường hợp Xét 1     x  1  x  1  x 1 2x   1     x  1  x  1 2x  1  x 1    2x 1  x  1 2x  1  x 1  Với điều kiện  x  ta có: 2 Vế trái    1 Vế phải     Vế trái < Vế phải, phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S   3 6.11 Tìm x, y thỏa mãn phương trình: y x   x y   y  x   (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Ninh Thuận, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x  2, y   1  xy  y  y x   2x y 1   y  y x  y  xy  y  x  x y   xy  x  2  y  xy  y   x  xy  x  0  y  xy  y  x  1  x      y  1  y    x  xy  x  6.12 Giải phương trình: a) x  7  x  x   b)   x   x  1  1; x   x x   2x  x2  4x  Hướng dẫn giải – đáp số a) ĐKXĐ:  x  x  7  x  x     x   x  1   x   7  x  x   Đặt   x   x  1 7  x  a; x   b Phương trình có dạng: b  2a  2b  ab b   b  2b  ab  2a    b    b  a     b  a Trường hợp b    x    x   x  (thỏa mãn) Trường hợp b  a  x   7  x  x   7  x  x  (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình S   3; 4 b) ĐKXĐ: x  1 Đặt a  x  3; b  x  (điều kiện a  0; b  0) Phương trình có dạng: a  xb  x  ab  a  ab  x  xb   a  1 b  2x   b     b  a  2x     b  a  x  Trường hợp Xét  b   b   x    x   tm  Trường hợp Xét a  x   a  x  x   x  x  x     x  1  x  3   x  1; x  3 (thỏa mãn) 3   Vậy nghiệm phương trình S  0;1;  4  6.13 Giải phương trình: 6x 1  9x2 1  6x  9x2 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện xác định: x  Đặt a  x  1; b  x  (điều kiện a  0; b  0) Suy a  b  x   x   x  x Từ ta có: a  b  a  b a  b    a  b   a  b  1    a  b   Với a  b   a  b   x   x   (loại) Với a  b    x   x     6x 1  9x2 1  9x2 1 1   x  1  x   3x     x  (thỏa mãn) 9 x   1  Vậy nghiệm phương trình S    3 6.14 Giải phương trình: a) b) x    x  x  x  24  3x   x    x3  x    4.x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt A  x    x ; ĐKXĐ:  x  xét A2  x    x   x  2   x   x  2   x  A2   Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:  x  2   x   x26 x   A2     A  2 A  Mà x  x  24   x  4 8   2 Vậy VT  2  VP VT  2 x    x   x  (thỏa mãn) Bất đẳng thức xảy  x  VP  2 Vậy nghiệm phương trình S   4 b) điều kiện x   3x   x      x  1     x  1    x  1   x  1  1 Phương trình tương đương với  3x  x     x    3x3  x     x     (3 x  1)( x  2)    x    3x   x  3x   x   3x   x  (3 x  1)( x  2)   x   x  3x      0   0  x2 2 0  2 x   x      x     x   tm   x2 2 x     1  Vậy nghiệm phương trình S   ;1; 2 2  6.15 Giải phương trình: x  3x   x3  3x  2 x  Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x  x  x   x  3x  2 x   x  3x   x x   2 x    4x2  4x x   x   2x 1  2 x 1     2x  x     2x 1 1  2 x  x   2 x  x     x  (thỏa mãn)  x     x   Vậy nghiệm phương trình S   1 6.16 Giải phương trình: 3x  x   x   3x  x   x  3x  13 (Thi Học sinh giỏi toán lớp 9, Yên Bái, năm học 2007- 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình đưa dạng: 3x  x    x    x   3x  x   x    x    x  nghiệm phương trình  Nếu x   2  x    3  x    vế trái phương trình nhỏ vế phải  với x  Phương trình cho khơng có nghiệm  Nếu x   2  x    3  x    vế trái phương trình lớn vế phải  với x  Phương trình cho khơng có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm l;à x    6.17 Giải phương trình x3   x  1 x   2  x  x   (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x  1 Đặt y  x  1; z  Khi (1) có dạng x  y  z   x  y  z   2 Chứng minh (2)   x  y   x  z   z  x    Với x  y   x  x    x    x  x  1 (thỏa mãn)  Với x  z   x    x   (không thỏa mãn)  Với y  z   x    0, vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  1 6.18 Giải phương trình: x  x  x  x  (Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số DKXD: x  Ta có: x  x  x  x   x  x  x  12 x      x  10 x    x  x  x   x     x  1  x   x   x   0  x   x   x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x  6.19 Giải phương trình:  x6  x2   1  x  x  12  (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, tỉnh Nam Định, Năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số ĐKXĐ: x  Đặt x   a, x   b  a  0, b    a  b  Phương trình có dạng a  b 1  ab  a  b   a  b    ab   a  b   a  b    ab  a  b     Trường hợp Xét a  b  x   x  vô nghiệm Trường hợp Xét  ab  a  b    a  1  b  1   a   x    x  5  khong thoa man DK    b   x    x   TM   Vậy phương trình có nghiệm x 