Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Chuyên đề 21 A Một số ví dụ Ví dụ 1 Giải hệ phương trình (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014 2015) Giải Xét ta có hệ hệ vô nghiệm Xét.ùng với việc mở rộng đối tượng dự thi, kỳ thi Toán học Quốc tế IKMC 2022 cũng gia hạn thời gian đăng ký dự thi nhiều hơn 3 tuần so với những kỳ thi trước, giúp nhiều bạn thí sinh nhỏ tuổi được tiếp cận với kỳ thi Toán học được cấp chứng nhận quốc tế. Hiện IEG Foundation – Quỹ phát triển giáo dục trực thuộc IEG Global – đơn vị điều phối và tổ chức Kỳ thi Toán học Quốc tế IKMC đã nhận được gần 17.000 đơn đăng ký tham dự kỳ thi IKMC 2022 đến từ 850 đơn vị giáo dục trên 38 tỉnh thành khắp cả nước. Trước việc bị gián đoạn học tập do Covid19 trong suốt năm học 20212022, những con số trên thực sự đáng ghi nhận, thể hiện tinh thần và nỗ lực của học sinh Việt Nam với việc học tập nói chung cũng như tình yêu với môn Toán nói riêng.
Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Chuyên đề 21 A Một số ví dụ 2 x − xy + y = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 x + xy + 2y = (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2014-2015) Giải • y = Xét x = ta có hệ hệ vơ nghiệm y = • x = Xét y = ta có hệ hệ vơ nghiệm x = • Vậy x; y khác đặt x = ty; t ≠ 2 2 2 t y − ty + y = y ( t − t + 1) = ⇔ Ta có hệ 2 (*) 2 2 t y + ty + 2y = y ( t + t + ) = Vì vế hệ (*) khác ta chia vế hệ (*) cho ta : t2 − t + 1 = ⇔ 4t − 4t + = t + t + ⇔ 3t − 5t + = t +t+2 t = ⇔ ( t − 1) ( 3t − ) = ⇔ t = _ Với t = ⇒ x = y thay vào hệ (*) ta : ( x; y ) ∈ { ( 1;1) ; ( −1; −1) } _ Với t = 2 ⇒ x = y thay vào hệ (*) ta được: 3 4 2 7 2 y − y + y = y = ⇔ y + y + 2y = 28 y = 7 ; ; − ; − Giải ta có nghiệm ( x; y ) ∈ ÷ ÷ ÷ ÷ Vậy tập nghiệm hệ phương trình : y = 4y = giải ta có nghiệm 2 7 7 ; ; − ; − ÷ ÷ ÷ ÷ ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; ( −1; −1) ; Nhận xét Hệ phương trình hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Ngồi cách giải , cịn đồng hai phương trình , cách nhân phương trình (1) với vế trừ vế Ta phương trình: 3x − 5xy + 2y = , sau phân tích đa thức thành nhân tử x + y + x + y = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 2 x + y + xy = (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh An Giang , năm học 2008-2009) Giải u − 2v + u = ( 1) Đặt x + y = u; xy = v hệ phương trình có dạng : u − v = ( ) Từ phương trình (2) ta có : v = u − thay vào phương trình (1) ta được: u − ( u − ) + u = ⇔ u − u − = Giải ta u1 = −2; u = • Trường hợp Xét u = −2 suy v = ( −2 ) − = −3 x + y = −2 Ta : Suy x,y nghiệm phương trình xy = −3 X + 2X − = Giải ta : X1 = 1; X = −3 x = x = −3 ; Do nghiệm hệ phương trình : y = −3 y = • x + y = −3 Trường hợp u = −3; v = ( −3) − = , ta xy = Suy x; y nghiệm phương trình : X + 3X − = Giải ta X1 = −3 + 17 −3 − 17 ; X2 = 2 −3 + 17 −3 − 17 x = x = 2 ; Do nghiệm hệ phương trình : y = −3 − 17 y = −3 + 17 2 Vậy nghiệm hệ phương trình : −3 − 17 −3 + 17 −3 + 17 −3 − 17 ; ; ÷ ÷ ÷; ÷ 2 2 ( x; y ) ∈ ( 1; −3) ; ( −3;1) ; Nhận xét Hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình đổi vai trị ẩn cho phương trình khơng thay đổi Để giải hệ phương trình dạng này, thường đặt ẩn phụ x + y = u; xy = v Sau giải hệ phương trình x + = ( x − x + y ) ( 1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : y + = ( y − y + x ) ( ) (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Tiền Giang , năm học 2011-2012) Giải Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta được: x − y3 = ( x − y ) − ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − ( x + y ) + ) = 2 Ta có : x + xy + y − ( x + y ) + = 3( x + y) + ( x − y) ⇔ − 2( x + y) + = ⇔ ( x + y ) + ( x − y ) − ( x + y ) + 16 = 2 ⇔ ( x + y) − 8( x + y) + + ( x + y) + ( x − y) + = 2 ⇔ ( x + y − 2) + ( x + y) + ( x − y) + = 2 Phương trình vơ nghiệm , nên x − y = , thay vào phương trình (1) ta được: x + = 2x ⇔ x − 2x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) = • Trường hợp 1: x − = ⇔ x = • Trường hợp 2: x − = ⇔ x = Giải ta x1 = 1+ 1− ; x2 = 2 Vậy tập nghiệm phương trình : + + − − ; ÷ ÷; ; ÷ ÷ 2 ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; Nhận xét Hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai Hệ phương trình đối xứng loại hai hệ phương trình đổi vai trị ẩn cho phương trình thành phương trình ngược lại Để giải hệ phương trình dạng này, lấy vế trừ vế phân tích đa thức thành nhân tử phương trình vừa nhận x + xy − 2y = Ví dụ 4: Giải hệ phương trình xy + 3y + x = (Thi học sinh giỏi Tốn lớp , tình Hải Dương , năm học 2011-2012) Giải Tìm cách giải Quan sát kỹ phương trình, ta nhận thấy phương trình thứ nhất, vế trái phân tích đa thức thành nhân tử Từ đưa A = A.B = C = ⇔ hệ phương trình tích : B = C = C = Các nghiệm hai hệ phương trình sau nghiệm hệ phương trình cho Trình bày lời giải 2 x − y = x + xy − 2y = ( x − y ) ( x + 2y ) = ⇔ ⇔ 2 xy + 3y + x = xy + 3y + x = xy + 3y + x = x + 2y = xy + 3y + x = • x − y = x = y ⇔ Giải hệ 2 xy + 3y + x = x + 3x + x = x = x = − x = y ⇔ ⇔ ; y = −1 y = 4x + x − = • 4 x + 2y = x = −2y ⇔ Giải hệ 2 xy + 3y + x = −2y + 3y − 2y = x = −2y x = x = −6 ⇔ ⇔ ; y = −1 y = y − 2y − = Vậy nghiệm phương trình : 3 ; ÷; ( 2; −1) ; ( −6;3 ) 4 4 ( x; y ) ∈ ( −1; −1) ; 2 x + y + 2x + 2y = 11 Ví dụ 5:Giải hệ phương trình 2 2 x y + 2x y + 2xy + 4xy = 24 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Quảng Ngãi , năm học 2012-2013) Giải Tìm cách giải Hệ phương trình hệ phương trình đối xứng loại nên giải ví dụ Tuy nhiên nhận thấy vế trái phương trình hai phân tích thành nhân tử mà tổng hai nhân tử vế trái phương trfinh thứu Nên dùng cách đặt ẩn phụ khác cho lời giả ngắn gọn hay Trình bày lời giải 2 x + y + 2x + 2y = 11 ( x + 2x ) + ( y + 2y ) = 11 ⇔ 2 2 2 x y + 2x y + 2xy + 4xy = 24 ( x + 2x ) ( y + 2y ) = 24 u + v = 11 Đặt : x + 2x = u, y + 2y = v Hệ phương trình có dạng : Suy u,v nghiệm uv = 24 phương trình: X − 11X + 24 = Giải phương trình , ta : X1 = 3, X = u = u = ; Suy : v = v = 2 u = x + = ±2 x + 2x = ( x + 1) = ⇔ ⇔ ⇔ Trườn hợp Xét y + 2y = v = y + = ±3 ( y + 1) = Suy nghiệm phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 1; ) , ( 1; −4 ) , ( −3; ) , ( −3; −4 ) } 2 u = x + = ±3 x + 2x = ( x + 1) = ⇔ ⇔ ⇔ Trường hợp Xét y + 2y = v = y + = ±2 ( y + 1) = Suy nghiệm phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 2;1) , ( 2; −3 ) , ( −4;1) , ( −4; −3 ) } Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 1; ) , ( 1; −4 ) , ( −3; ) , ( −3; −4 ) , ( 2;1) , ( 2; −3 ) , ( −4;1) , ( −4; −3 ) } y − 3x + x + 8y = Ví dụ 6: Giải hệ phương trình : x ( x − 3) + y ( y + ) = 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Nam Định , năm học 2011-2012) Giải 2 y − 3x + x + 8y = y − 3x + x + 8y = ⇔ 2 ( y − 3x ) + ( x + 8y ) = 13 x ( x − 3) + y ( y + ) = 13 Đặt y − 3x = u; x + 8y = v ( u ≥ 0; v ≥ ) v = − u u + v = ⇔ Hệ phương trình có dạng 2 u + v = 13 u + ( − u ) = 13 v = − u u = u = ⇔ ; v = u − 5u + = v = • y − 3x = u = y − 3x = ( 1) ⇔ Trường hợp Xét ta có v = x + 8y = x + 8y = ( ) Từ phương trình (1) ta có x = y2 − thay vào phương trình (2) ta : y2 − ÷ + 8y = ⇔ y − 8y + 72y − 65 = ⇔ ( y − 1) ( y + ) ( y − ) ( y − 3) = 12 − = −1 ∗ Với y − = ⇒ y = ⇒ x = ∗ Với y + = ⇒ y = −5 ⇒ x = ∗ Với y − = ⇒ y = ⇒ x = 22 − =0 ∗ Với y − = ⇒ y = ⇒ x = 32 − = 3 • ( −5 ) −4 =7 y − 3x = u = y − 3x = ( 3) ⇔ Trường hợp Xét ta có v = x + 8y = x + 8y = ( ) Từ phương trình (3) suy : x = y2 − , thay vào phườn trình (4) , ta : y − 18y + 81 + 8y = ⇔ y − 18y + 72y + 45 = ⇔ ( y − 6y + 15 ) ( y − 6y + ) = Xét y − 6y + 15 = , phương trình vơ nghiệm Xét y − 6y + = , giải ta : y1 = − 6; y1 = + từ tìm : x1 = −2 6; x = Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ;3 ÷, −2 6;3 − , 6;3 + 3 ( x; y ) ∈ ( −1;1) , ( 7; −5) , ( 0; ) , ( )( 1 x + y + x + y + = Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : xy + + x + y − = xy y x Giải 1 x + x + y + x + y + = ⇔ xy + + x + y − = x + xy y x 1 1 ÷ + y + ÷+ = x y 1 1 ÷ y + ÷− = x y ) Đặt u = x + 1 u + v + = u + v = −4 ; v = y + hệ phương trình có dạng ⇔ x y u.v − = uv = Suy u, v nghiệm phương trình X + 4X + = Giải ta X1 = X = −2 x + x = −2 x = −1 x + 2x + = ⇔ ⇔ Suy u = v = −2 Do y + 2y + = y = −1 y + = −2 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −1; −1) B Bài tập vận dụng x − 3xy + y = −1 21.1 Giải hệ phương trình : 2 3x − xy + 3y = 13 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Nghệ An , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số • y = −1 Xét x = ta có hệ hệ vơ nghiệm 3y = 13 • x = −1 Xét y = ta có hệ hệ vơ nghiệm 3x = 13 • Vậy x; y khác đặt x = ty; t ≠ y ( t − 3t + 1) = −1 t y − 3ty + y = −1 ⇔ Ta có hệ 2 (*) 2 2 3t y − ty + 3y = 13 y ( 3t − t + 3) = 13 Vì vế hệ (*) khác ta chia vế hệ (*) cho ta : t − 3t + −1 = ⇔ 13t − 39t + 13 = −3t + t − ⇔ 2t − 5t + = 3t − t + 13 t = ⇔ ( t − ) ( 2t − 1) = ⇔ t = 2 − y = −1 t = ⇒ x = 2y • Với thay vào hệ (*) ta : 13y = 13 Giải ta có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2;1) ; ( −2; −1) } • Với t = 1 ⇒ x = y thay vào hệ (*) ta : 2 1 2 y − y + y = − − y = −1 ⇔ 2 y − y + 3y = 13 13 y = 13 Giải ta có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 1; ) ; ( −1; −2 ) } Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 2;1) ; ( −2; −1) ; ( 1; ) ; ( −1; −2 ) } x = 2x + y ( 1) 21.2 Giải hệ phương trình : y = 2y + x ( ) (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) (2) vế trừ vế ta : x − y3 = x − y ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − 1) = • Trường hợp Xét x − y = ⇔ x = y vào phương trình (1) ta có : x = 2x + x ⇔ x ( x − ) = suy x = 0; x = 3; x = − • Trường hợp Xét x + xy + y − = Từ phương trình (1), (2) cộng vế với vế ta x + y3 = ( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x − xy + y − 3) = x + y = y = −x y = − x x = −1 ⇔ ⇔ ; Xét 2 2 x + xy + y − = x − x + x = x = y = 2 2 x − xy + y − = x − xy + y − = ⇔ Xét 2 x + xy + y − = 3x + 3xy + 3y − = 2 Vế trừ vế ta : ( x + 2xy + y ) = ⇔ x = − y x = x = −1 ; Giải ta y = −1 y = Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( )( ) 3; ; − 3; ; ( 1; −1) ; ( −1;1) } x + 2y = ( 1) 21.3 Giải hệ phương trình : 2 x + 2y − 2xy = ( ) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (1) suy x = − 2y , vào phương trình (2) ta : ( − 2y ) + 2y − 2y ( − 2y ) = ⇔ y − 3y + = Giải ta y1 = 1; y = • Với y = ta x = − 2.1 = • Với y = ta x = − 2.2 = Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ∈ { ( 3;1) ; ( 1; ) } x + y = 2xy + 21.4 Giải hệ phương trình 3 x − y = 2xy + Hướng dẫn giải – đáp số x + y = 2xy + x − y = x − y = −1 ⇔ 3 3 x − y = 2xy + x − y = 2xy + x − y = 1xy + x − y = 1( 1) • Trường hợp 1: Giải hệ phương trình 3 x − y = 2xy + ( ) Từ phương trình (1) ta có x = y + thay vào phương trình (2) ta : ( y + 1) − y3 = 2y ( y + 1) + ⇔ y + y − = Giải ta y1 = ⇒ x1 = 2; y = −2 ⇒ x = −1 x − y = −1( 3) • Trường hợp : Giải hệ phương trình 3 x − y = 2xy + ( ) Từ phương trình (3) ta có x = y − thay vào phương trình (4) ta ( y − 1) − y3 = 2y ( y − 1) + ⇔ 5y + = phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ∈ { ( 1; ) ; ( −2; −1) } 85 2 = 4xy + ( x + y ) + ( x + y) 21.5 Giải hệ phương trình : 2x + = 13 x+y (Thi học sinh giỏi , Tỉnh Thái Bình , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số 85 85 2 2 = 3( x + y) + ( x − y) + = 2 4xy + ( x + y ) + 3 ( x + y) ( x + y) ⇔ 2x + = 13 ( x + y ) + ( x − y ) + = 13 x+y x+y Đặt x + y = u; x − y = v hệ phương trình có dạng 85 1 103 2 ( 1) 3 u + ÷ + v = 3u + v + u = u ⇔ u + v + = 13 u + = 13 − v ( ) u u Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta 103 13 − v ÷ + v2 = ⇔ 2v − 13v + 11 = 3 Giải ta dược v1 = 1; v = 11 • Trường hợp : Xét v = ⇒ u + 13 = − ⇔ 3u − 10u + = Giải ta u1 = 3; u = u 3 • u = x + y = x = ⇔ ⇔ Xét v = x − y = y = • 1 x= u = x + y = Xét 3⇔ 3⇔ v = x − y = y = − • Trường hợp 2: Xét v = 11 13 11 ta có u + = − u ⇔ 6u + 7u + = phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) ∈ ( 2;1) ; ; ÷ 3 ( x + 1) ( y + 1) = 10 21.6 Giải hệ phương trình : ( x + y ) ( xy − 1) = (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Thanh Hóa , năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải – đáp số ( x + y ) + ( xy − 1) = 10 x y + x + y + = 10 ⇔ ( x + y ) ( xy − 1) = ( x + y ) ( xy − 1) = Đặt u = x + y; v = xy − hệ phương trình có dạng : ( u + v ) = 16 u + v = 10 u + v + 2uv = 16 ⇔ ⇔ uv = uv = uv = • u + v = Trường hợp Xét uv = Suy u, v nghiệm phương trình X − 4X + = ( 1) u = u = ; Phương trình (1) có nghiệm X1 = 1; X = Suy v = v = _ u = x + y = x + y = ⇒ ⇔ Xét v = xy − = xy = Suy x; y nghiệm phương trình X − X + = ( ) phương trình (2) vơ nghiệm _ u = x + y = x + y = ⇒ ⇒ Xét v = xy − = xy = 2 Suy x; y nghiệm phương trình X − 3X + = ( 3) x = x = ; Phương trình (3) có nghiệm X1 = 1; X = suy y = y = • u + v = −4 Trường hợp Xét u.v = Suy u; v nghiệm phương trình X + 4X + = ( ) phương trình (4) có nghiệm u = −1 u = −3 ; : X1 = −1; X = −3 Suy v = −3 v = −1 _ u = −1 x + y = −1 x + y = −1 ⇒ ⇔ Xét v = −3 xy − = −3 xy = −2 Suy x, y nghiệm phương trình X + X − = ( ) Giải phương trình (5) ta X1 = 1; X = −2 x = x = −2 ; Suy y = −2 y = _ u = −3 x + y = −3 x + y = ⇒ ⇔ Xét v = −1 xy − = −1 xy = x = x = −3 ; Suy y = −3 y = Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: ( x; y ) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; ) ; ( 1; −2 ) ; ( −2;1) ; ( 0; −3) ; ( −3;0 ) } x + y + x + y = 21.7 Giải hệ phương trình : x + y2 + + = x y2 (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hà Tĩnh , năm học 2007-2008) Hướng dẫn giải – đáp số 1 2 x + + y + x + y + + = ÷= ÷ x y x y ⇔ x + y2 + + = x + + y2 + = ÷ ÷ x y2 y2 y2 Đặt u = + ;v = y + x y u + v = u + v = ( 1) ⇔ Hệ phương trình có dạng 2 u + v = 13 ( ) u − + v − = Từ phương trình (1) ta có u = − v thay vào phương trình (2) ta v1 = 2; v = • x + Với v = ⇒ u = ta có y + =2 x − 2x + = x ⇔ y y − 3y + = =3 x = x = ; Giải hệ có nghiệm y = y = • x + Với v = u = ta có y + =3 2 x x − 3x + = x − 3x + = ⇔ ⇔ 2 y − 2y + = ( y − 1) + = =2 y vơ nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 1;1) ; ( 1; ) } 1 x + y + x + y = ( 1) 21.8 Giải hệ phương trình : xy + = ( ) xy (Thi học sinh giỏi Toán 9,tỉnh Quãng Ngãi , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình (2) ta có : 2 ( xy ) − 5xy + = ⇔ ( 2xy − 1) ( xy − ) = ⇔ xy = ; xy = 2 • Trường hợp Xét xy = x+ 1 ⇒y= thay vào phương trình (1) ta : 2x 1 + + 2x = ⇔ 2x − 3x + = 2x x 1 Giải ta : x1 = ⇒ y1 = ; x = ⇒ y = 2 • Trường hợp Xét xy = ⇒ y = Thay vào (1) ta có x + x x + + = ⇔ x − 3x + = x x 2 Giải ta x = ⇒ y3 = 3; x = 2; y = Vậy tập nghiệm phương trình : ( x; y ) ∈ 1; ÷; ;1÷; ( 1; ) ; ( 2;1) x + y + xy = 16 21.9 Giải hệ phương trình : x + y = 10 (Thi học sinh giỏi Toán , tỉnh Hải Dương , năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải – đáp số Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Đặt u = x + y; v = xy với u ≥ 0; v ≥ u + 4v = 16 ( 1) Hệ phương trình có dạng : u − 2v = 10 ( ) Từ phương trình (1) suy v = 16 − u thay vào phương trình (2) ta được: 16 − u u2 − 2 ÷ = 10 ⇔ 2u + u − 36 = Giải phương trình ta : u1 = − (loại) u = (thỏa mãn) x + y = Với u = ⇒ v = Suy xy = Suy x; y nghiệm phương trình X − 4X + = Giải ta : X1 = 1; X = x = x = x = x = ; ⇒ ; Suy : y = y = y = y = Vậy tập nghiệm phương trình : ( x; y ) ∈ { ( 1;9 ) ; ( 9;1) } 2x − y = 1( 1) 21.10 Giải hệ phương trình : xy + x = ( ) (Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ , năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2x − y = 1( 1) 4x − 2y = ⇔ 2 xy + x = xy + x = ( ) Suy : 4x − 2y = xy + x ⇔ 3x − xy − 2y = x − y = ⇔ ( x − y ) ( 3x + 2y ) = ⇔ 3x + 2y = • Trường hợp Xét x − y = ⇔ x = y thay vào phương trình (1) ta được: 2x − y = ⇔ x = ±1; y = ±1 • Trường hợp 3x + 2y = ⇔ y = 2x − −3x thay vào (1) 9x x2 =1⇔ − = vô nghiệm 4 Thử lại hệ phương trình Vậy tập nghiệm phương trình ( x; y ) ∈ { ( 1;1) ; ( −1; −1) } ( 2 ( x + y ) = 21.11 Giải hệ phương trình : x + y = x y + xy ) (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm học 2009-2010) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x = a; y = b , hệ phương trình trở thành : ( a + b3 ) = ( a b + ab ) 2 ( a + b ) ( a − ab + b ) − 3ab ( a + b ) = ⇔ a + b = a + b = ( a + b ) − 5ab = a + b = ( a + b ) − 9ab = ⇔ ⇔ ⇔ ab = a + b = a + b = Suy a; b nghiệm hệ phương trình X − 6X + = Giải ta a = a = X1 = 2; X = ; b = b = • x = a = x = ⇒ ⇔ Với b = y = y = 64 • x = a = x = 64 ⇒ ⇔ Với b = y = y = Vậy hệ phương trình có cho nghiệm ( x; y ) ( 8;64 ) ; ( 64;8 ) 3x + xy − 4x + 2y = 21.12 Giải hệ phương trình : x ( x + 1) + y ( y + 1) = (Thi học sinh giỏi toán lớp , tỉnh Hải Dương , năm hcoj 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số 2 3x + xy − 4x + 2y = 3x + xy − 4x + 2y − = ⇔ x + y + x + y − = x ( x + 1) + y ( y + 1) = 2x + xy − y − 5x + y + = ⇔ 2 x + y + x + y − = 2 Ta có : 2x + xy − y − 5x + y + = ⇔ ( y + x − ) ( y − 2x + 1) = ⇔ y = − x y = 2x − • Với y = − x thay vào (2) ta : x − 2x + = suy x = Ta nghiệm ( 1;1) • Với y = 2x − thay vào (2) ta dược : 5x − x − = , suy x = 1; x = −4 −4 −13 Ta tính nghiệm ( 1;1) ; ÷ 5 −4 −13 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 1;1) ; ÷ 5 x + y = 2x y 21.13 Giải hệ phương trình : 2 ( x + y ) ( + xy ) = 4x y (Thi học sinh giỏi Toán lớp , tỉnh Thanh Hóa , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số • Với x = y = nghiệm hệ phương trình • Nhận thấy x ≠ y ≠ ngược lại Xét x ≠ 0; y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 1 x + y2 = x + y = ( 1) ⇔ + + = + + = ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ x y xy x y xy 1 x + y = 1 1 1 ⇒ x = y =1 Thay (1) vào (2) ta + ÷ = ⇔ + = ⇒ x y x y =1 xy Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ( 0;0 ) ; ( 1;1) 4 x x + ÷+ = y y 21.14 Giải hệ phương trình : x + + = ÷ y y (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, năm học 20152016) Hướng dẫn giải – đáp số 4 4x x x + ÷+ = x + y + y2 = y y ⇔ Ta có x + 2x + x + = + =3 ÷ y y y y 2 2x 2x =2 =2 x + ÷ + x + ÷ + y y y y ⇔ ⇔ x 2x x + + = x + =6 ÷ ÷+ y y y y 1 1 Suy x + ÷ − x + ÷ = −4 ⇔ x + − ÷ = y y y ⇔x+ x = ⇒ = −1 ⇒ x = − y y y Từ ta có : x + x = + = ⇔ x − 2x − = ⇔ −x x = − Với x = + ⇒ y = −1 − Với x = − ⇒ y = − x = + x = − ; Thử lại ta thấy : nghiệm hệ phương trình y = − y = − 2 x + y = 21.15 Giải hệ phương trình : 3 x + 2y = 10x + 10y (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên , TP Hà Nội , năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có : x + y = x + y = ⇔ 3 x + 2y = 10x + 10y x + 2y = ( 2x + 2y ) 2 x + y = x + y = ⇔ ⇔ 3 2 3 2 x + 2y = 2x + 2xy + 2x y + 2y x + 2y = ( x + y ) ( 2x + 2y ) x + y = ⇔ 2 x ( x + 2xy + 2y ) = x + y = x = ⇔ Trường hợp Xét y = ± x = 2 2 x + y = x + y = ⇔ Trường hợp Xét vô nghiệm 2 x + 2xy + 2y = ( x + y ) + y = ( )( Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) 0; ; 0; − ) x + y − 3xy = −1 21.16 Giải hệ phương trình : 3 9x − 2y = ( x − y ) ( 4xy − 1) (Tuyển sinh lớp 10 , THPT chuyên , tỉnh Gia Lai , năm học 2014-2015) Hướng dẫn giải – đáp số x + y − 3xy = −1( 1) Ta có : 3 9x − 2y = ( x − y ) ( 4xy − 1) ( ) Thay (1) vào (2) ta : 9x − 2y3 = ( x − y ) ( 4xy + x + y − 3xy ) = ( x − y ) ( x + y + xy ) ⇔ 9x − 2y3 = x − y ⇔ 8x = y3 ⇔ y = 2x Thay y = 2x vào phương trình (1) ta : x − = ⇔ x = ±1 Với x = y = Với x = −1 y = −2 x = x = −1 ; Vậy phương trình có hai nghiệm : y = y = −2