Chương 4 HÀM SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM A Kiến oán học ở các bạn nhỏ, dù có nhiều biến động trong thời gian qua bởi tác động của dịch bệnh Covid19, ban tổ chức cuộc thi Toán học Quốc tế IKMC 2022 vẫn cố gắng đảm bảo tính liên tục của cuộc thi hằng năm. Đặc biệt, trong kỳ thi Toán học Quốc tế IKMC 2022 năm nay, ban tổ chức cũng đưa ra nhiều thay đổi từ phương thức đến phạm vi, tạo điều kiện thuận lợi cho các thí sinh tham gia. Gia hạn thời gian đăng ký, mở rộng đối tượng dự thi Khác với 6 kỳ thi IKMC trước tại Việt Nam, kỳ thi Toán học Quốc tế IKMC 2022 mở rộng đối tượng dự thi, thêm đối tượng từ lớp 9 đến lớp 12. Việc mở rộng 2 cấp độ dự thi (cấp độ 5 – Junior dành cho học sinh lớp 910; cấp độ 6 – Student dành cho học sinh lớp 1112) không chỉ giúp học sinh của 2 cấp độ này có thêm nhiều cơ hội được đánh giá, cọ xát năng lực cũng như trao đổi kinh nghiệm học tập Toán học mà còn giúp học sinh trong giai đoạn chuyển cấp quan trọng có cơ hội tiếp cận với những phương pháp tư duy hiện đại, được phát triển bởi các chuyên gia hàng đầu. Học sinh tham dự kỳ thi Toán học Quốc tế IKMC 2022 sẽ có tiền đề chuẩn bị cho việc du học được thuận lợi, bắt kịp ngang hàng hay thậm chí vượt trội khi tham gia học tập tại môi trường quốc tế. thức cần nhớ 1 Định nghĩa Phương trình bậc hai có một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là p.
Chương HÀM SỐ Y = AX ( A ≠ ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chuyên đề 16 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ CƠNG THỨC NGHIỆM A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Phương trình bậc hai có ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng: ax + bx + c = x : ẩn số a, b, c ( a ≠ ) : hệ số Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) biệt thức ∆ = b − 4ac Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b 2a Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có a c trái dấu tức ac < ∆ = b − 4ac > Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt Cơng thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) b = 2b ′, ∆ ′ = b ′2 − ac Nếu ∆ ′ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b′ + ∆′ −b′ − ∆′ ; x2 = a a Nếu ∆ ′ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − b′ a Nếu ∆ ′ < phương trình vơ nghiệm B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai số thực a; b không âm thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: 18ax + 4bx + 671 − 9a = (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Nam, Năm học 2012 – 2013) Giải Tìm cách giải Để chứng minh phương trình ax + bx + c = ln có nghiệm, chưa có điều kiện a Ta cần xét hai trường hợp: Trường hợp Xét a = , chứng tỏ phương trình bx + c = có nghiệm Trường hợp Xét a ≠ , chứng tỏ ∆ ≥ (hoặc ∆ ′ ≥ ) Trình bày lời giải Xét a = , từ giả thuyết suy 4b ≥ 2013 ⇒ b ≠ nên phương trình 4bx + 671 − 9a = ln có nghiệm Xét a ≠ 2 Ta có: ∆ ′ = 4b − 18a ( 671 − 9a ) = 4b − 12078a + 162a = 4b − 6a.2013 + 162a ≥ 4b − 6a ( 18a + 4b ) + 162a ⇒ ∆ ′ = 4b − 24ab + 54a = ( 2b − 6a ) + 18a ≥ Suy phương trình ln có nghiệm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai x + ax + b = x + cx + d = Trong ac > ( b + d ) Chứng minh hai phương trình có nghiệm Giải Tìm cách giải Những tồn chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh hai ∆ không âm Tức chứng minh ∆1 + ∆ ≥ Trình bày cách giải 2 Xét ∆1 = a − 4b; ∆ = c − 4d Suy ∆1 + ∆ = a − 4b + c − 4d > a + c − 2ac = ( a − c ) ≥ ∆1 + ∆ ≥ Vậy hai phương trình có nghiệm Ví dụ 3: Tìm giá trị tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x + mx + = (1) x + x + m = (2) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2009 – 2010) Giải Tìm cách giải Để giải dạng tốn này, ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, x0 thỏa mãn hai phương trình Từ ta hệ phương trình, sau đó: Khử x02 Tìm x0 tìm m (có biểu thị x0 theo m ) Thử lại với m tìm được, kết luận Trình bày cách giải x02 + mx0 + = Gọi m nghiệm chung hai phương trình, ta có: x0 + x0 + m = Suy ( m − ) x0 + − m = ⇔ ( m − ) ( x0 − 1) = Với m = Hai phương trình có dạng x + x + = ⇔ x = −2 Vậy hai phương trình có nghiệm chung x = −2 Với x0 = thay vào phương trình (1) (2) ta m = −5 Với m = −5 phương trình (1) x − x + = có nghiệm x = 1; x = , phương trình (2) x + x − = có nghiệm x = 1; x = −5 Do hai phương trình có nghiệm chung x = Vậy với m ∈ { 4; −5} hai phương trình có nghiệm chung Ví dụ 4: Giải phương trình x + ax + bx + = , biết a; b số hữu tỉ + nghiệm phương trình (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Giải Tìm cách giải Những dạng tốn ta cần xác định a b trước Khi thay x = + vào phương trình, ta lưu ý a, b số hữu tỉ nên vận dụng tính chất: Nếu x, y , p số hữu tỉ mà x p + y = , p khơng phải bình phương số hữu tỉ x = y = Trình bày cách giải Ta có: x = + nghiệm phương trình nên: (1+ 2) ( + a 1+ ) ( ) + b 1+ +1 = ⇔ ( 2a + b + ) + ( 3a + b + ) = 2a + b + = a = −3 ⇔ Vì a; b số hữu tỉ nên 3a + b + = b = Thay vào phương trình, tra được: x −1 = x − x + x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) = ⇔ x − 2x − = { Giải ra, ta tập nghiệm phương trình là: S = 1;1 − 2;1 + } Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = − xy x; y số thực thỏa mãn x 2013 + y 2013 = x1006 y1006 (1) (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Phú Yên năm học 2012 – 2013) Giải Trường hợp 1: Nếu x = y = (hoặc ngược lại) suy P = Trường hợp 2: Xét x ≠ 0; y ≠ 1006 1006 Chia hai vế (1) cho x 1006 x Đặt ÷ y 1006 y =t⇒ ÷ x y 1006 x ta được: x ÷ y 1006 y + y ÷ x =2 = ⇒ x.t − 2t + y = t Đây phương trình bậc hai t Xét ∆ ′ = − xy Để tồn x; y tức tồn t ∆ ′ ≥ ⇒ − xy ≥ 0; P ≥ Vậy giá trị nhỏ P t nghiệm kép phương trình 1006 x 1 − xy = ⇔ x = ⇒ t = ⇔ ÷ y x y = 1 ⇔ x 2012 = x x ⇔ x =1⇔ y =1 Vậy giá trị nhỏ P Khi x = y = C Bài tập vận dụng 16.1 Cho phương trình x − ( a + b ) x + ab = (1) ( a; b tham số) a) Giải phương trình (1) với a = 1; b = b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với a; b Hướng dẫn giải – đáp số ( ) a) Với a = 1; b = phương trình có dạng: x − x + x + = ( Xét ∆ ′ = + x1 = ) ( − = 1− ( 1+ − 1− )= ) >0 ( ) 1+ + 1− 2 ; x2 = = b) Xét ∆ ′ = ( a + b ) − 4ab = ( a − b ) ≥ với a; b 2 Vậy phương trình ln có nghiệm 16.2 Cho a, b, c, d số thực a + b < Chứng minh phương trình: (a + b2 − 1) x − ( ac + bd − 1) x + c + d − = ln có hai nghiệm (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2004 – 2005) Hướng dẫn giải – đáp số Xét ∆ ′ = ( ac + bd − 1) − ( a + b − 1) ( c + d − 1) (*) + Do a + b < ⇒ a + b − < Nếu c + d ≥ ⇒ c + d − ≥ ⇒ ∆ ≥ Nếu c + d < Đặt u = − a − b ; v = − c − d (Điều kiện < u ≤ 1;0 < v ≤ ) Xét 4∆ ′ = ( − 2ac − 2bd ) − 4uv = ( a + b + u + p + d + v − 2ac − 2bd ) − 4uv 2 2 2 = ( a − c ) + ( b − d ) + u + v − 4uv ≥ ( u + v ) − 4uv = ( u − v ) ≥ ⇒ ∆ ′ ≥ Vậy phương trình ln ln có nghiệm 16.3 Cho phương trình ax + bx + = với a; b số hữu tỉ Tìm a; b biết x = 5− 5+ nghiệm phương trình Hướng dẫn giải – đáp số ( = 5− Ta có: x = − 5+ ( a − 15 ) ( 5−3 ) = − 15 nghiệm phương trình nên: ) + b − 15 + c = ⇔ ( 31a + 4b + 1) − ( 8a + b ) 15 = 31a + 4b + = a = ⇔ Do a b số hữu tỷ nên: 8a + b = b = −8 16.4 Với giá trị b hai phương trình 2011x + bx + 1102 = (1) 1102 x + bx + 2011 = (2) có nghiệm chung (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Tiền Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có: 2011x02 + bx0 + 1102 = 1102 x02 + bx0 + 2011 = ⇔ 2 1102 x0 + bx0 + 2011 = 909 x0 = 909 1102 x02 + bx0 + 2011 = ( 1) ⇔ ( 2) x0 = ±1 Với x0 = thay vào phương trình (1) ta b = −3113 Với x0 = −1 thay vào phương trình (1) ta b = 3113 Thử lại: Với b = −3113 , phương trình (1) 2011x − 3113 x + 1102 = có nghiệm x = 1; x = phương trình (2) 1102 x − 3113 x + 2011 = có nghiệm x = 1; x = chung x = 1102 2011 2011 , nghiệm 1102 b = 3113 , Với x = −1; x = − x = −1; x = 1102 2011 phương trình (1) 2011x + 3113 x + 1102 = phương trình (2) 1102 x + 3113 x + 2011 = có nghiệm có nghiệm −2011 , nghiệm chung x = −1 1102 Vậy với b = ±3113 hai phương trình cho có nghiệm chung 16.5 Tìm số ngun a để hai phương trình sau có nghiệm chung x + ax + = (1) x + x + a = (2) Hướng dẫn giải – đáp số x02 + ax0 + = ( 1) Đặt x0 nghiệm chung phương trình, ta có: , ta có: x0 + x0 + a = ( ) Từ phương trình (1) (2) trừ vế ta được: ( a − 1) x0 + − a = ⇔ ( a − 1) x0 = a − (*) Với a − = ⇔ a = từ (*) không tồn x0 nên điều kiện a ≠ Từ phương trình (*) ta có: x0 = ( a − 8) ( a − 1) + a −8 thay vào phương trình (2) ta được: a −1 a −8 + a = ⇔ a − 24a + 72 = a −1 ⇔ ( a + ) ( a − 6a + 12 ) = (**) Ta có: a − a + 12 = ( a − 3) + > nên (**) ⇔ a + = ⇔ a = −6 Với a = −6 phương trình (1) x − x + = có nghiệm x1 = 2; x2 = Phương trình (2) x + x − = có nghiệm x1 = 2; x2 = −3 nên hai phương trình có nghiệm chung x = Vậy với a = −6 hai phương trình có nghiệm chung x = 16.6 Cho hai phương trình x + mx + n = x − x − n = Chứng minh với giá trị m n , hai phương trình có nghiệm (Thi học sinh giỏi Tốn 9, tỉnh Hứng Yên, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Phương trình x + mx + n = có ∆1 = m − 4n Phương trình x − x − n = có ∆ = 4n + Suy ra: ∆1 + ∆ = m + > với m, n Do hai số ∆1 , ∆ ln có ∆ khơng âm Hay nói cách khác hai phương trình cho ln có phương trình có nghiệm c > 16.7 Chứng minh với điều kiện ( a + c ) < ab + bc − 2ac phương trình: ax + bx + c = ln có nghiệm (Thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải – đáp số Xét trường hợp sau: Nếu a = 0; b ≠ phương trình ln có nghiệm x = − c b Nếu a = 0; b = c < vơ lí Nếu a ≠ từ ( a + c ) < ab + bc − 2ac ⇒ −2ac > ( a + c ) − b ( a + c ) 2 Xét ∆ = b − 4ac > b + ( a + c ) − 2b ( a + c ) = ( a + c − b ) + ( a + c ) ≥ 2 Vậy ∆ > , phương trình ln có hai nghiệm Tóm lại, phương trình ln có nghiệm 2 16.8 Cho phương trình ẩn x tham số m : x − ( m + 1) x − ( m + 2m − 3) = Xác định m để phương trình có hai ngiệm x1 ; x2 cho: 2008 < x2 < x1 < 2013 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh An Giang, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: ∆ ′ = ( m + 1) − ( m + 2m − 3) = Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = m + 3; x2 = m − Phương trình có hai nghiệm: x = m + < 2013 2008 < x2 < x1 < 2013 ⇔ ⇔ 2009 < m < 2010 x2 = m − > 2008 16.9 Chứng minh phương trình: (x + ax + b − 1) ( x + bx + a − 1) = ln có nghiệm với giá trị a b (Thi học sinh giỏi Toán, tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải – đáp số x + ax + b − = ( 1) 2 x + ax + b − x + bx + a − = ⇔ ( )( ) x + bx + a − = ( ) Ta có ∆1 = a − 4b + 4; ∆ = b − 4a + Suy ∆1 + ∆ = ( a − ) + ( b − ) ≥ với a; b có hai giá trị 2 ∆1 ; ∆ khơng âm Vậy phương trình ban đầu ln có nghiệm với giá trị a b II TOÁN TỰ LUẬN LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = b) (2- )x2 + x – – = Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51 Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − (−49) − 51 − (−49) + 51 = −1 ; x2 = = 50 2 + Lời giải 2: Ứng dụng định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − + Lời giải 3: − 50 = 50 ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : x1 + x2 = 49 = (−1) + 50 x = −1 ⇒ x1.x2 = 49 = −50 = (−1).50 x2 = 50 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − − 50 = 50 b) Giải phương trình (2- )x2 + x – – = Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – ) ∆ = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16; ∆=4 Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −2 3+4 −2 3−4 = ; x2 = = −( + ) 2(2 − ) 2( − ) + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- ; b’ = ∆’ = ( )2 - (2 - 3;c=–2– 3) )(– – ) = 4; ∆=2 Do ∆’ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − 3+2 − 3−2 = ; x2 = = −(7 + ) 2− 2− + Lời giải 3: Ứng dụng định lí Viet Do a + b + c = 2- + + (- - 3)=0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = − −2− = −(7 + ) 2− *Yêu cầu: + Học sinh xác định hệ số a, b, c áp dụng công thức + Áp dụng cơng thức (khơng nhẩm tắt dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần ý rèn tính cẩn thận áp dụng cơng thức tính tốn * Bài tương tự: Giải phương trình sau: 3x2 – 7x - 10 = x2 – (1+ )x + 2 x – 3x + = =0 x2 – (1- )x – = x – 4x – = 7.(2+ )x2 - x – + = 3x – x – = Bài 2: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Giải Du u+v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phương trình x2 – 42x + 441 = (*) Ta có: ∆’ = (- 21)2- 441 = Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: Tìm hai số u v biết: a) u + v = -42 u.v = - 400 b) u - v = u.v = 24 c) u + v = u.v = - d) u - v = -5 u.v = -10 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích 30m2 Bài 3: Giải phương trình sau (phương trình quy phương trình bậc hai) a) x + 3x – 2x – = 0; b) 2x x2 − x + = x + ( x + 1)( x − 4) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2; d) 3(x2+x) – (x2+x) – = Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) (1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = ⇔ (x + ⇔x = - ; x = )(x - )(x + 3) = 2;x=-3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - ; x = b) Giải phương trình 2;x=-3 2x x2 − x + = (2) x + ( x + 1)( x − 4) Với ĐK: x≠ -1; x≠ (2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + ⇔ x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = nên phương trình (*) có nghiệm x = -1(không thoả mãn ĐK) ; x = (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = Đặt x2 = t (t ≥ 0) (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 ⇒ ∆ = 23 Nên: t1 = Với t = − (−3) + 23 13 = (thoả mãn t ≥ 0) ; 5 t2 = − (−3) − 23 = −2 (loại) 2.5 13 13 13 ⇔ x2 = ⇔x = ± 5 Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = − 13 ; x2 = 13 d) Giải phương trình 3(x2+x) – (x2+x) – = (4) Đặt x2+x = t Khi (4) ⇔ 3t2 – 2t – = Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nên t1 = 1; t2 = − t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – = ∆1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nên x1 = −1− −1+ ; x2 = 2 1 t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + = (*) 3 ∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < Nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = * Bài tương tự: −1 − −1 + ; x2 = 2 Giải phương trình sau: x3+3x2+3x+2 = (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - = (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 1 1 x + − 4 x + + = x x x4 – 5x2 + = 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = x3 + x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 x+2 +3 = x−5 2− x x x +1 − 10 =3 x +1 x Bài 4: Cho phương trình x2 + 3x- = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: A= 1 + ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1 + 2; x2 x2 D = x13 + x23 Giải Do phương trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = − ; A= x1.x2 = − x + x2 1 − + = = = 15 ; x2 x2 x1 x − 5 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− ) − 2(− ) = + x12 + x 22 + = (3 + ) ; C= 2 = x1 x (− ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− )[3 + − (− )] = −(3 + 15 ) * Bài tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: 1 + 2 ; x2 x2 A= 1 + ; x2 x2 E= x12 + 10 x1 x + x 22 x12 + x1 x + x 22 ; F = x1 x 23 + x13 x x1 x 22 + x12 x B = x12 + x22 ; C= D = x13 + x23 LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài tốn tổng qt) Tìm điều kiện tổng qt để phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ Vô nghiệm ⇔ ∆ < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > (ở đó: S = x1+ x2 = −b c ; P = x1.x2 = ) a a * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động giải loại toán Bài 2: Giải phương trình (giải biện luận): x2 - 2x + k = ( tham số k) Giải ∆’ = (-1)2- 1.k = – k Nếu ∆’< ⇔ 1- k < ⇔ k > ⇒ phương trình vô nghiệm Nếu ∆’= ⇔ 1- k = ⇔ k = ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ∆’> ⇔ 1- k > ⇔ k < ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Kết luận: Nếu k > phương trình vơ nghiệm Nếu k = phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < phương trình có nghiệm x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Bài 3: Cho phương trình (m - 1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải (là nghiệm) a) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ ⇔ m ≥ + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m ≥ phương trình có nghiệm 3 (là nghiệm) b) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m = Khi x = − (thoả mãn m ≠ 1) 1 =− =3 m −1 −1 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = Với m = 2 phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m - 1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0) 4 −3 −3 = = 12 ⇒ x = Theo đinh lí Vi - et ta có: x1.x2 = m − − Vậy m = nghiệm lại x2 = * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót) Bài 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải 15 a) Ta có: ∆ = (m-1) – (– – m ) = m − + 2 ’ 2 15 1 > ⇒ ∆ > với m Do m − ≥ với m; 2 ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < P > 2(m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −3 − (m + 3) > m < −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥ m ≥ m ≥ m ≥ m − ≥ m≥ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ m ≤ m ≤ 2m − ≤ m ≤ Vậy m ≥ m ≤ e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm x1 + x = 2(m − 1) x + x = 2m − ⇔ Theo định lí Viet ta có: x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m − ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − Vậy x1 = − + x2 + x2 ( x2 ≠ − ) Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m -1= ( m tham số) + x2 + x2 a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + 1 ; y = x2 + với x1; x2 nghiệm phương trình x2 x1 Giải a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo ∆' ≥ 2 − m ≥ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m=2 m − = m = P = Vậy m = b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ – m ≥ ⇔ m ≤ (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3) x1 + x2 = −2 x1 + x2 = −4 x1 = x1 = ⇔ ⇔ ⇔ Từ (1) (3) ta có: 3 x1 + x2 = 3 x1 + x2 = x1 + x2 = −2 x2 = −7 Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m ≤ phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) Khi đó: y + y = x + x + y y = (x + 2 x )( x + 2 x1 x + = x1 + x2 + x2 )= xx + 1 xx x1 + x2 x1 x2 + = m −1+ ⇒ y1; y2 nghiệm phương trình: y2 - = −2 + m −1 −2 m −1 +2= = m 2m 1− m (m≠1) m −1 (m≠1) 2m m2 y + = (m≠1) 1− m m −1 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = *Yêu cầu: + HS nắm vững phương pháp + HS cẩn thận tính tốn biến đổi + Gv: cần ý sửa chữa thiếu sót học sinh, cách trình bày khai thác nhiều cách giải khác * Bài tương tự: 1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 x1 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = (1) a) Giải biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m * Tìm m cho x1 − x ≥ Dạng: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước Bài 1: Tìm m để phương trình : x − 2( m − ) x + m − m = có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài 2: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x − m − = có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 Bài 3: Tìm m để phương trình : ( m − ) x − 2( m + ) x + m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = x x + 16 Bài 4: Tìm m để phương trình: ( m − ) x − mx + m + = có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 + + = x x1 Bài 5: Tìm m để phương trình: mx − ( m − ) x + m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn 2( x 12 + x 22 ) − x x = Bài 6: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x + m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 10 Bài 7: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x − m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = Bài 8: Tìm m để phương trình : x − ( m + ) x + 3m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x 12 + x 22 = 10 Bài 9: Tìm m để phương trình : x − 2( m − ) x − m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 x2 + = x2 x1 Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m + ) x − ( m − ) x + m − = có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2 Bài 11: Tìm m để phương trình : x − 2( m + ) x + m − = có nghiệm x1, x2 thoả mãn 2x1 + x2 = DẠNG: lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m + ) x − 2( m − ) x + − m = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 2: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x − 2( m − ) x + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x 1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 3: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 2( m − ) x + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 4: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 3( m + ) x + m + = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 5: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x − ( m + ) x + m + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 2( m + ) x + m = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m