ÔN TẬP TOÁN CAO CẤP A1 2020

Khai triển Maclaurin của e 2x đến x3 không kể phần dư: A.. Khai triển Maclaurin của sin x đến x6 không kể phần dư: A... Khai triển Maclaurin của sin 2x đến x4 không kể phần dư: A.. Khai

ÔN TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ

Câu 1 Tính

0 3

lim

x

x x

2

Câu 2 Tính lim ln(1 )

x

x

e x

1 2

Câu 3 Tính lim 3 3 3 2 2 2

Câu 4 Tính

4

cos sin lim

cos 2

x

x

A 2

2

Câu 5 Tìm giới hạn

1

lim

x x

x x

e

Câu 6 Tính lim ln 3

Câu 7 Tính

0

5sin 7 tan lim

5 4 2

x

x x x



CÔNG THỨC MACLAURIN

Câu 1 Khai triển Maclaurin của e 2x đến x3 không kể phần dư:

A

3

3

x

3

3

x

x x

C

1

3

3

x

x x

Câu 2 Khai triển Maclaurin của sin x đến x6 không kể phần dư:

A

6 120

6 120

x

C

3

6

x

6 120

x

Câu 3 Khai triển Maclaurin của sin 2x đến x4 không kể phần dư:

A

3

4

2

3

x

3

4 2 3

x x

C

3

6

x

3

4

1 2

3

x x

Câu 4 Khai triển Maclaurin của cos x2 đến x8 không kể phần dư:

A

1

2 24

B

1

2 24

C

1

2 24

D

1

Câu 5 Khai triển Maclaurin của 1 2

1 2x đến x5 không kể phần dư:

A 1 2x2 4x4 B 1 2x 4x2 8x3 16x4

Câu 6 Khai triển Maclaurin của e 3x2 đến x7 không kể phần dư:

A

1 3

1 3

x

C

1 3

2

1

x

Câu 7 Khai triển Maclaurin của 1

1 2x đến x3 không kể phần dư:

A 1 x x2 x3 B 1 2x 4x2 8x3

3

Câu 8 Khai triển Maclaurin của ln(1 3 )x2 đến x7 không kể phần dư:

A

4

2

x

4

2

x

C

4

2

x

4

2

x

Câu 9 Khai triển Maclaurin của tan x3 đến x10 không kể phần dư:

A

9

3

3

x

9 3

3

x x

C

9

3

3

x

9 3

3

x x

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Câu 1 Tính tích phân

Câu 2 Tính tích phân

A 1ln 1

x

C

1

x

C x

C

ln 2 1

2 2

x

x C D 1ln 4

x

C x

Câu 3 Tính tích phân

Câu 4 Tính tích phân 2 2

dx

x a



A 1ln

2

C

2

C

C ln x a C

2

C

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Câu 1 Tính tích phân

A ln 2

4 C 1 ln 2

4

Câu 2 Kết quả ln

1

e

x xdx

A

2

1

4

e 

B

2 4

e

2 1 4

e

2 1 4

e



ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Câu 1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x x3 – 1, đường thẳng x 2 và trục tung và trục hoành

A 9

2

1 cos2

dx x

cosx C

dx

2

4 4

x dx x

2

ln 2

0

x

xe dx

3 4

Câu 2 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) y 2 x2 và đường thẳng (d) yx

Câu 3 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) y 2 x2 và đường thẳng (d) y x

A 9

9

Câu 4 Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và parabol (P) .Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh trục hoành

15

Câu 5 Tính diện tích hình phẳng D0  x  ,x  y x sinx

Câu 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): 2

2

y xx và trục hoành

A 4

3



Câu 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3

yx y x

A 11

Câu 8 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường 2

yx y

quay quanh trục Oy

A 81

2 C 543  D 1296

5 

Câu 9 Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tan , 0, 0,

4

y x y x x

xoay quanh trục Ox

A 16

3 

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

Câu 1 Tính tích phân suy rộng 0 e dx x

Câu 2 Tính tích phân suy rộng 1 2

1 x dx

3 4

2

2 –

y x x

6 15

16 2

2

Câu 3 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 2

1

1

dx

x x

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

Câu 5 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

Câu 6 Tính tích phân suy rộng 2

1

dx x

Câu 7 Tính tích phân suy rộng

Câu 8 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 2

0

sin 5

x dx

x x







Câu 9 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

1

1

cos x x dx





1

x

e dx







c

4

1

ln

10

x

dx

x





1

x

e dx







e

1

1

5x lnx dx





1

3 cos

x dx

x x







1

1

5 lnx x dx



1

1

2x 3 5x 9dx





i

  2

1

1

5x 11 ln x dx





1

1

5x 9 3dx



 



k  3 

x

dx



1

1

5x 9 2dx



 



m x 1

e x dx





2 4

cos

ln 5

x dx

x x







3

dx

5

xdx x

1

dx x

LÝ THUYẾT CHUỖI SỐ

Câu 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau

a

1

n

n

n

n







  

1

1

n

n

n n







  



c

1

4n

n

n







1

5

3 !

n

n

n n







1

3



n

n

n n





g

5

1

3

1

n

n

n n



2 2 1

1

n

n

n n







 



i 2

1

3

5ln

n

n

n n



 

2

1

1

n

n n

n n n









 

1

7

ln 1

n

n n

n n







2 1

2

n

n n

n n











Câu 2 Xét sự hội tụ của chuỗi

1

10

!

n

A hội tụ B phân kì C.bán hội tụ D hội tụ tuyệt đối

Câu 3 Xét sự hội tụ của chuỗi  

2 2

2 1 !

2n

n

n n









A hội tụ B phân kì C.bán hội tụ D hội tụ tuyệt đối

Câu 4 Xét sự hội tụ của chuỗi

2

1

1 2

n n







A hội tụ B phân kì C.bán hội tụ D hội tụ tuyệt đối

Câu 5 Xét sự hội tụ của chuỗi

1

n

n

n n

A hội tụ B phân kì C.bán hội tụ D hội tụ tuyệt đối

CHUỖI LŨY THỪA

Câu 1 Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau

a

1

5

n

n n

x n



n

n

x





c

1

7 n n

n

x





1

n n

n n

x n





 



e

2

1

5

1

n n n

x n





1

3

n n n

n x









GIỚI HẠN HÀM HAI BIẾN

Câu 1 nh iới hạn    

2

; 0;0

sin 5 lim

x

x y

y



A 5 B 0

C 1 D Không tồn tại

Câu 2 nh iới hạn   

; 2; 1

lim

2

x y

x xy y

x y

 

A 0 B 1 C 2 D

Câu 3 nh iới hạn    

; 0;0

4 2 lim

x y

x y

x y



  



A 1

4 B 1 C 4 D 1

4



Câu 4 nh iới hạn     3

; 0;0

1 1 lim

x y

xy xy



 

A 1

3

 B 1

3 C 1

2 D 1

2



Câu 5 nh iới hạn    

2

; 0;0

5 lim

3

x y

xy

x y

A 0 B 5

C 5

3 D Không tồn tại

Câu 6 nh iới hạn    

2

; lim 0;0

x y

xy

x y

A Không tồn tại B 1

C  D 0

Câu 7 nh iới hạn     2

; 0;0

2 lim

5

x y

x y

x y







A 0 B 1

C 2

5 D Không tồn tại

TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN

Câu 1 Tìm để hàm số  

;

; 0

x y

x y

f x y x y

a x y



 



liên tục tại 1; 1  

A a 2 B a 0

C 1

2

a D Không tồn tại a

Câu 2 Tìm để hàm số  

;

; 0

xy

xy

f x y xy

  





 



liên tục tại ( 0;0)

3

a B 1

2

a

a

a

C 1

3

a  C Với mọi

Câu 3 Tìm m để hàm số   2 2

cos 1

2

;

; 0

xy xy

x y

f x y





 



liên tục tại (0;0)

4

m B. 1

2

m 

4

m  D Không tồn tại m

   

; ; 0; 0

;

2 ; ; 0; 0

x y

x y

f x y x y







liên tục trên

12

m  B 1

12

m

12

m D Với mọi m

Câu 5 Tìm m để hàm số  

;

;

5 ;

x y

x y

f x y x y

m x y



 



liên tục trên 2

A m 0 B m 3

3

m D Không tồn tại m

   

3

4 4 ; ; 0; 0

;

; ; 0; 0

xy

x y

x y

f x y





 

 



liên tục tại

A m 0 B Không tồn tại m

2

m

Câu 7 Tìm mđể hàm số        

   

2

2 2 ; ; 0; 0

;

; ; 0; 0

x y

x y

f x y x y

 





 



liên tục tại

A m 0 B Không tồn tại m

2

m

   

2

2

; ; 0; 0 5

;

3 ; ; 0; 0

x y

x y

x y

f x y





 

 



liên tục tại

A m 0 B Không tồn tại m

3

6

m

a

2

(0; 0)

(0; 0)

(0; 0)

ĐẠO HÀM RIÊNG

Câu 1 Cho x2 2xy 5

ze   nh z

x





A x2 2xy

ze  B   2 2 5

xy e  

C 2 2 5

2xe x xy D 2 x y 

e 

Câu 2 Cho   3 2 4

f x y x y xy Tính f

y





A 4 3 5

20x y  3x y

5x yx y

cos 2

z xy nh 2z

x y



 

8y cos 2x y

8y cos 2xy

8xy cos 2x y

  D 3  4

8y sin 2x y

 

Câu 4 Cho z cos 2 x 3y nh 2 ;0

4

z

x y

A 3 2

2

 B 3 2

2 C 2

2

 D 0

Câu 5 Cho hàm số   5 4

f x y e  Chọn đáp án đún ?

9

n

n

f

e

x







5 4 5

n

n

f e x









4

n

n

f

e

x



 

5 4

n

x y n

f e x



 



Câu 6 Cho hàm số   9 11 10 12

f x y x  y  x y Chọn đáp án đún ? A

9 f15 12 f12 1

x y x y

11 f13 16 f 8 0

C

15 f 9 10 f14 2

x y x y

24

12 f12 5

x y





Câu 7 Cho  2 2 

z x y  nh z

y





A 2 12

4

x y  B

4

x y

x y



C 2 22

4

y

x y



  D 2 2

2 4

y

x y 

Câu 8 Cho 3

sin x

z x

y

4

z y



  

 

  

sin 2 4

z x y nh 2z

y x



 

Câu 10 Cho z = eysinx – 5y2 nh

Câu 11 Cho hàm số z arccot x

y

CHÚ Ý: XEM LẠI CÁC VÍ DỤ ĐÃ HỌC VỀ TÍNH ĐẠO HÀM RIÊNG

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Câu 1 Cho hàm số z = exy Tính d2z(1, 1)

Câu 2 Cho hàm số z = arccot y

x Tính d2z

Câu 3 Cho z = xy Tính dz

Câu 4 Tính gần đúng giá trị bằng vi phân toàn phần

CHÚ Ý: XEM LẠI CÁC VÍ DỤ ĐÃ HỌC VỀ VI PHÂN CẤP HAI

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Câu 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a z = y3 + 5ex – 3y – 5x + 1

b z = x4 – y2 – 2x2 + 4y + 5

c z = x3 – y3 – 27x + 3y + 1

d z = x3 – y3 + 2x2 + 3y + 15x + 4

TÍCH PHÂN KÉP

Câu 1 nh t ch ph n  2

3

D

x xy dxdy

 với miền D: 1   x 1; 1  y 3

A 0 B  24 C  48 D 4

Câu 2 nh t ch ph n  2 3

D

x y dxdy

 với miền D: 0  x 2; 1   y 3

A 16 B 8 C  10 D 32

Câu 3 nh t ch ph n 2sin 3cos 

D

x y dxdy

2

D  x    y 

A   B  2  C  3  D 

Câu 4 Diện tích của miền D: 1   x 2; 0  y 3 là

A 9 B 3 C 27

4 D 6

2z

x y

2z

x y

1 ln

ln ln

x dx x x dy

3,01

1, 02

3,01

1, 02 1 0, 06 1, 02 3,01 1 0, 06

3,01

1, 02 1 0, 06

Câu 5 nh t ch ph n  2 1

D

x y dxdy

 với miền D giới hạn bởi các đường cong có phươn trình x 1;x 3;yx y;  2x

A 8 B 30 C 116

3 D 26

Câu 6 nh t ch ph n 2

D

x ydxdy

 với miền giới hạn bởi các đườn c n c phươn trình 2 2

y x y  x y

A 2

3 B 0 C 1

12 D 2

21

Câu 7 Tính 2

D

xydxdy

 , với là miền giới hạn bởi 2

yx y x

A 51

4 B 9

2 C 45

4

 D 45

4

y x  x yx  x

được tính bởi công thức sau:

2

2

;

x x

dx f x y dy

 

2

2

;

x x

dx f x y dy

 

  

2

2

;

x x

dx f x y dy

 

2

2

;

x x

dx f x y dy

 

  

CHÚ Ý: XEM LẠI CÁC VÍ DỤ ĐÃ HỌC VỀ TÍCH PHÂN KÉP

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Câu 1 nh t ch ph n đường  2 4   2 3 

AB

I   xy  x  dx x y x  dy lấy the đường y 2 từ

 0; 2

A đến B 3, 2

A 651

5

 B 231

2 C 651

5 D 2457

10

Câu 2 Tính tích phân

( )L

ydxxdy

 tr n đ là cun đầu của Cycloid với , đi từ 0 đến

A 0 B C D

Câu 3 nh t ch ph n đường  2 

( )L

x xy dxxdy

 lấy the đ ạn thẳng AB với A 2; 2 đến

 1;1

B

A 7

3

 B 7

3 C 19

6 D 19

6



CHÚ Ý: XEM LẠI CÁC VÍ DỤ ĐÃ HỌC VỀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BIẾN PHÂN LY VÀ ĐẲNG CẤP

D

D

( , )

D

I f x y dxdy D

( )L

sin , 1 cos

Câu 1 iải phươn trình y y '   5 6 x

5 3

y  x x C B 2 2

10 6

y  x x C

C 2

10 3ln

y  x xC D 2

y x x C

Câu 2 iải phươn trình y' xsinx

A yxcosx sinx C B y xcosx sinx C

C yxcosx sinx C D y xcosx sinx C

Câu 3 r n các phươn trình vi ph n cấp một sau đ y, phươn trình nà là phươn

trình vi ph n đẳng cấp?

x  y y  xy y x

2ydx x  4y dy 0 D

Câu 4 ng i ng tr n , t đi i n

CHÚ Ý: XEM LẠI CÁC VÍ DỤ ĐÃ HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ BIẾN PHÂN LY VÀ ĐẲNG CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

Câu 1 ng i ri ng ng tr n

Câu 2 Nghiệm tổng quát của phươn trình y t'( ) 4 ( )  y t  3 là :

4

t

y  Ce B 4

y  Ce

4

t

y Ce D 3 4

4

t

y  Ce

Câu 3 Nghiệm tổng quát của phươn trình vi ph ny' 2  xy  2x

y Ce B 2

y  Ce

y Ce D 2

y  Ce

Câu 4 Nghiệm tổng quát của phươn trình vi ph n '

3

y

x

 là:

A

3 2

3 3 2

x

x

3

x



C

3

x x C

y

x

 



3 2 3

3 2

x

y  x C

2

3 1

xy x y

x



 



–

'  x y

2

' y , (1) 1.

y x y x

3

3

y x x

Câu 5 Nghiệm của phươn trình vi ph n y' 2  y 3; (0)y  2 là:

2 2

x

2 2

x

y  e

C 3 1 2

2 2

x

2 2

x

y  e

Câu 6 Giải phươn trình 5

y  ye

3

5

y e Ce

3

y e Ce D 1 5 2

3

y e Ce

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULLI

A Phươn trình vi ph n đẳng cấp

B Phươn trình vi ph n tách biến (có biến phân ly)

C Phươn trình vi phân Bernoulli

D Phươn trình vi ph n tuyến tính cấp 1

Câu 2 Cho phươn trình vi phân 2 5

'

y y xy x

A Phươn trình vi ph n đẳng cấp

B Phươn trình vi ph n tách biến (có biến phân ly)

C Phươn trình vi ph n Bern ulli

D Phươn trình vi phân tuyến tính cấp 1

Câu 3 Phươn trình vi ph n 3xy' 4x 1y x32

y

   là:

A Phươn trình vi ph n đẳng cấp

B Phươn trình vi ph n tách biến (có biến phân ly)

C Phươn trình vi ph n Bern ulli

D Phươn trình vi ph n tuyến tính cấp 1

Câu 4 Phươn trình vi ph n y’ = 2y3 + 5y là

A Phươn trình vi ph n đẳng cấp

B Phươn trình vi ph n tách biến (có biến phân ly)

C Phươn trình vi ph n Bern ulli

D Phươn trình vi ph n tuyến tính cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Câu 1 ng i ng tr n

 

ln

x

xy e y y x 

''   – 2 '  1 –

y y y x

A B.

Câu 2 Nghiệm tổng quát của phươn trình y t''( ) 4 ( )  y t  8 là:

A yC1 sin 2tC2 cos 2t B yC1sin 2tC2cos 2t 2

C ye C t 1 sin 2tC2 cos2t 2 D y sin 2t cos 2t 2

Câu 3 Nghiệm tổng quát của phươn trình vi ph n y'' 4  y  8x

yC e C e  x B 2 2

yC e C e  x

C yC1 sin 2x C 2 cos 2x 2x D 2 2

yC e C e  x

Câu 4 Nghiệm tổng quát của phươn trình vi ph n 5

'' 5 ' 6 6 x

y  y y e

yC e C e e B 2 3 5

yC e C e e

1 sin 2 2 cos 3 2 x

yC x C x e D 2 3 5

yC e C e  e

Câu 5 Nghiệm tổng quát của phươn trình vi ph n y'' 3 ' 4  y  y 8x 10

yC e C e  x B 4

yC e C e  x

yC e C e  x D 4

yC e C e  x

–2

 

4 2

 

2 4

y C e C e x

2 4

y x