Giải Bài tập toán cao cấp a1

Hướng dẫn Toán cao cấp A1 Sử dụng cho các trường Trung cấp,CĐ và ĐH

SÁCH H NG D N H C T P

TOÁN CAO C P (A1)

Biên so n: TS V GIA TÊ

Ths PHI NGA

đ i h c k thu t, giáo trình dành cho h chính qui c a H c vi n Công ngh

BC-VT biên so n n m 2001 và kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , tài li u này có th dùng đ h c t p và tham kh o cho sinh viên c a

t t c các tr ng, các ngành đ i h c và cao đ ng

Cách trình bày trong sách thích h p cho ng i t h c, đ c bi t ph c v đ c

l c trong công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t,

yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i đ c có

th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch ng minh rõ ràng Sau các ch ng, ng i đ c ph i t tr l i đ c các câu h i ôn t p Nh các ví

d minh ho đ c đ a ra t đ n gi n đ n ph c t p, ng i đ c có th coi đó là bài t p m u đ t gi i các bài t p có trong tài li u Ng i đ c có th t ki m tra, đánh giá ki n th c, kh n ng thu nh n d a vào ph n h ng d n và đáp s đ c cung c p nh ng trang cu i sách

C ng c n nh n m nh r ng, n i dung chính c a toán cao c p là phép tính vi phân và phép tính tích phân mà n n t ng c a nó là phép tính gi i h n c a hàm

s Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai ch ng đ u c a tài li u đ

ng i h c t đ c c ng có th có đ c các ki n th c v ng vàng đ đ c ti p các

ch ng sau Trong quá trình t đ c và h c qua m ng, tu theo kh n ng ti p thu, h c viên có th ch c n nh các đ nh lý và b qua ph n ch ng minh c a nó

Nhân đây tác gi c ng l u ý r ng b c trung h c ph thông c a n c ta,

ch ng trình toán c ng đã bao hàm các ki n th c v vi, tích phân Tuy nhiên các n i dung đó ch mang tính ch t gi i thi u do l ng th i gian h n ch , do

c u t o ch ng trình Vì th n u không t đ c m t cách nghiêm túc các đ nh ngh a, đ nh lý c ng s v n ch n m đ c m t cách h i h t và nh v y r t g p khó kh n trong vi c gi i các bài t p toán cao c p

H c ph n này s cung c p các ki n th c v phép tính vi, tích phân c a hàm

s m t bi n, s th c và phép tính vi phân c a hàm nhi u bi n s N i dung c a

h c ph n tuân th theo quy đ nh v h c ph n Toán cao c p A1 c a B GD- T dành cho các Tr ng thu c kh i ngành công ngh

◊ Sách h ng d n h c t p và bài t p: Toán cao c p A1 V Gia Tê,

Nguy n Phi Nga, H c vi n Công ngh BCVT, 2005

◊ Bài gi ng đi n t : Toán cao c p A1 H c vi n Công ngh BCVT,

2005

N u có đi u ki n, sinh viên nên tham kh o thêm: Các tài li u tham kh o

trong m c Tài li u tham kh o cu i cu n sách này

2- t ra m c tiêu, th i h n cho b n thân:

X t ra m c các m c tiêu t m th i và th i h n cho b n thân, và c g ng

th c hi n chúng

Cùng v i l ch h c, l ch h ng d n c a H c vi n c a môn h c c ng nh các môn h c khác, sinh viên nên t đ t ra cho mình m t k ho ch h c t p cho riêng mình L ch h c này mô t v các tu n h c (t h c) trong m t k h c và đánh d u s l ng công vi c c n làm ánh d u các ngày khi sinh viên ph i thi sát h ch, n p các bài lu n, bài ki m tra, liên h v i gi ng viên

X Xây d ng các m c tiêu trong ch ng trình nghiên c u

Bi t rõ th i gian nghiên c u khi m i b t đ u nghiên c u và th th c hi n,

c đ nh nh ng th i gian đó hàng tu n Suy ngh v th i l ng th i gian nghiên

c u đ “Ti t ki m th i gian” “N u b n m t quá nhi u thì gi nghiên c u”, b n

nên xem l i k ho ch th i gian c a mình

3- Nghiên c u và n m nh ng ki n th c đ c t lõi:

Sinh viên nên đ c qua sách h ng d n h c t p tr c khi nghiên c u bài

gi ng môn h c và các tài li u tham kh o khác Nên nh r ng vi c h c thông qua

đ c tài li u là m t vi c đ n gi n nh t so v i vi c truy c p m ng Internet hay s

th i sinh viên c ng có th trao đ i, th o lu n c a nh ng sinh viên khác cùng

l p Th i gian b trí cho các bu i h ng d n không nhi u, do đó đ ng b qua

nh ng bu i h ng d n đã đ c lên k ho ch

5- Ch đ ng liên h v i b n h c và gi ng viên:

Cách đ n gi n nh t là tham d các di n đàn h c t p trên m ng Internet

H th ng qu n lý h c t p (LMS) cung c p môi tr ng h c t p trong su t

24 gi /ngày và 7 ngày/tu n N u không có đi u ki n truy nh p Internet, sinh viên c n ch đ ng s d ng hãy s d ng d ch v b u chính và các ph ng th c truy n thông khác (đi n tho i, fax, ) đ trao đ i thông tin h c t p

6- T ghi chép l i nh ng ý chính:

N u ch đ c không thì r t khó cho vi c ghi nh Vi c ghi chép l i chính là

m t ho t đ ng tái hi n ki n th c, kinh nghi m cho th y nó giúp ích r t nhi u cho vi c hình thành thói quen t h c và t duy nghiên c u

7- Tr l i các câu h i ôn t p sau m i ch ng, bài

Cu i m i ch ng, sinh viên c n t tr l i t t c các câu h i Hãy c g ng

v ch ra nh ng ý tr l i chính, t ng b c phát tri n thành câu tr l i hoàn thi n

i v i các bài t p, sinh viên nên t gi i tr c khi tham kh o h ng d n, đáp án ng ng i ng n trong vi c liên h v i các b n h c và gi ng viên đ

nh n đ c s tr giúp

Nên nh thói quen đ c và ghi chép là chìa khoá cho s thành công c a

vi c t h c!

1

1.1 M C ÍCH

Trong nhi u v n đ lý thuy t c ng nh th c t , ng i ta ph i xét nh ng đ i

l ng mà trong quá trình bi n thiên đ i l ng đó l y nh ng giá tr r t g n đ n

m t h ng s a nào đ y Trong quá trình này, ta g i đ i l ng đang xét là d n

đ n a hay có gi i h n là a Nh v y đ i l ng có gi i h n là a có th đ t đ c giá tr a và c ng có th không bao gi đ t đ c giá tr a, đi u này trong quá trình tìm gi i h n không c n quan tâm đ n

Ví d :

1 G i x là biên đ c a m t con l c t t d n Rõ ràng trong quá trình dao

đ ng, biên đ c a nó gi m d n t i 0 và th c t sau kho ng th i gian xác đ nh con l c d ng l i, ta nói r ng x có gi i h n là 0 trong quá trình th i gian trôi đi

2 Xét dãy s (un) có d ng

1 +

=

n

n

u n Quá trình n t ng lên mãi thì un t ng

d n v s r t g n 1 Nói r ng dãy s có gi i h n là 1 khi n t ng lên vô cùng

Gi i h n là m t khái ni m khó c a toán h c Khái ni m gi i h n đ c cho

b i t “g n”, đ mô t đ nh tính Còn đ nh ngh a chính xác c a nó cho b i c m

t “ bé h n ε” ho c “l n h n M” đ mô t đ nh l ng s đ c gi i thi u trong

ch ng này Khi đã hi u đ c khái ni m gi i h n thì s d dàng hi u đ c các khái ni m đ o hàm, tích phân B i vì các phép toán đó đ u xu t phát t phép tính gi i h n

Trong m c th nh t c n hi u đ c vai trò th c s c a s vô t Nh tính

ch t đ y c a t p s th c mà ng i ta có th bi u di n t p s th c trên tr c s -

g i là tr c th c và nói r ng t t c các s th c l p đ y tr c s Nói khác đi có s

t ng ng 1-1 gi a các s th c và các đi m trên tr c s C ng nên nh n xét

đ c t p Q không có tính đ y H c viên c n n m ch c khái ni m tr tuy t đ i

c a m t s th c và các phép tính v nó

Trong m c th hai c n hi u đ c vai trò c a s ph c v m t lý thuy t c ng

nh ng d ng sau này trong k thu t Th c ch t m t s ph c z là m t t ng

ng 1-1 v i c p có th t các s th c (x,y) C n ph i n m v ng khái ni m

modul và acgumen c a s ph c và các d ng bi u di n s ph c: d ng đ i s ,

d ng l ng giác, d ng hàm m T đó có th làm thông th o các phép tính trên

t p C, đ c bi t dùng công th c Moivre trong các ng d ng vào l ng giác

Trong m c th ba c n n m v ng khái ni m h i t , có gi i h n và phân k

c a dãy s N m v ng các tính ch t: b ch n, không b ch n, đ n đi u c a dãy

s Nh vào các tính ch t này mà thi t l p đ c các đi u ki n c n, đi u ki n đ

đ dãy s có gi i h n Khái ni m dãy con c a m t dãy s c ng là m t khái ni m khó Ng i h c ph i đ c k đ nh ngh a và c g ng hình dung đ hi u rõ khái

ni m này ôi khi s h i t hay phân k c a m t dãy s có th nh n bi t nh vào tính ch t c a vài dãy con c bi t ph i n m đ c khái ni m hai dãy k nhau đ t đó có khái ni m v các đo n l ng nhau đ c dùng trong ch ng minh

∀ ∈ *, * = \ 0 }, ∃ −1, −1 = 1

a a a R

R R a

c b c a b a R c b a

,

, , ,

3 ∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+

X Tính ch t 3: T p R là đ y theo ngh a sau đây: M i t p con X không

r ng c a R b ch n trên trong R đ u có m t c n trên đúng thu c R và

m i t p con không r ng X c a R b ch n d i trong R đ u có m t c n

= +∞

+

x x

x x

) ( ) (

) ( ) (

+ +∞

) ( ) (

) ( ) (

= +∞

x x

x x

) ( ) (

) ( ) (

= +∞

x x

x x

) ( ) (

) ( ) (

4

−∞

= +∞

+∞

) )(

( ) )(

(

) )(

( ) )(

[ ]a,b ={x∈R;a≤x≤b}đ c g i là đo n hay kho ng đóng b ch n

}

}}

[( ) {] { } đ c g i là kho ng n a đóng ho c n a m

b x a R x b

a

b x a R x b

; ,

b x a R x b

a

a x R x a

x a R x a

; ,

; ,

; ,

; ,

; ,

Các s th c a,b g i là các mút c a kho ng

d Giá tr tuy t đ i c a s th c

X nh ngh a: Giá tr tuy t đ i c a s th c x, kí hi u x là m t s th c không âm xác đ nh nh sau

x khi x

n

i i n

i i n

x x R x

x x

R x x x x N

n

y x xy R

y x

, , , ,

, ,

1 1

3 2 1

4

x x R

x∈ *, 1 = 1

∀

5

∀

n i i n

i i

n R x x x

x x N n

y x y x R y x

1 1

2 1

*

, ,

, , ,

, ,

y x y x y

x Max R y x

−

− +

=

− + +

2

1 ) , ( , ,

−

→

× a , :

ó là hình nh tr c quan v kho ng cách gi a 2 đi m x và y trên đ ng

= +

∈

∀

'

' '

' 4

' '

, ,

, ,

y y

x x iy

x iy x R

y x y x

X Phép l y liên h p

Cho z =x+iy∈C,liên h p c a z,kí hi u z cho b i z =x−iy

X Phép l y s ph c đ i

Cho z=x+iy∈C,s ph c đ i c a z, kí hi u –z (đ c là tr z ) đ c xác đ nh: -z = -x-iy

z z z z z z

z z z z

=

⇔

=

− +

=

−

X Phép lu th a,công th c Moavr ( Moivre)

Cho z=r(cos θ +isin θ), ∀k∈Z

G i k là lu th a b c k c a z B ng qui n p ,d ch ng minh đ c

z

z k =r k(coskθ +isinkθ)

πθ

ρ

k n

r n

X Khai tri n cosnθ , sinnθ ,tgnθ

=

k

k k k n k n n

i C

i n

i n

0

sin cos sin

cos sin

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

1 cos

cos cos sin

cos

sin

tg C tg C

tg C tg C n

n n

n tgn

n n

n n

n n

sin cos , sin , cos

ω ω ω ω

θ ω

1 sin

2

1 cos

2 ,

i

e N

p

V y

p p

sin 2

S d ng công th c nh th c Newton và xét các tr ng h p sau đây:

− +

=

+ +

) 1 2 ( 2

2 1

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

) ( 2 cos 2

1 2

cos

2 cos 2

` ) 1 ( 2 cos 2

2 cos 2

1 1

cos 2

m k

k m m

m m

m

m m m

m m

m m m

m m m

m m

m

k m C

C

C C

m C

m

C C

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω θ

−

−

=

− + +

−

−

=

− + +

) 1 2 ( 2

2 1

2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

) ( 2 cos )

1 ( 2

) 1 ( 1 2

sin

) 1 ( )

1 ( 2 cos 2

2 cos 2

) 1 ( 1

1 sin

) 1 ( 2

m k

k m k m

m

m m

m m

m m m m

m m m m

m m m

m m

m m

k m C

C

C m

C m

C C

θ θ

θ θ

ω

ω ω

ω θ

L L

b.Tr ng h p p= 2m+ 1 ,m∈N

∑

− +

+ +

+

−

− +

+ +

+ +

− +

=

+ +

− +

k m m m

m m m

m m m

m m

m m

m m

k m

C

C m

C m

C C

0 1 2 2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 1

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1

2 1 2

) 2 1 2 cos(

2 cos

cos 2

) 1 2 cos(

2 ) 1 2 cos(

2

1 1

1 cos

2

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω ω

ω θ

θ

ω

ω ω

ω θ

) 2 1 2 sin(

) 1 ( 1 2 sin

sin )

1 ( 2 )

1 2 sin(

2 ) 1 2 sin(

2

1 1

sin ) 1 ( 2

1 2 0

2 1

2

1 2 1

1 2

1 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

k m

C

C i

m C

i m

i

C i

k m m

k

k m

m m

m m m m

m

m m m

m m

m m

− +

−

−

=

− + +

−

− +

+ +

−

− +

+ +

+ +

∑

L L

sin

, sau đó th c hi n phép nhân r i cùng tuy n tính hoá các s h ng thu đ c

u: →hay đ n gi n nh t,kí hi u (un)

V i n =n0∈Nxác đ nh, g i là s ph n t th n

0

n

bi u th c ph thu c vào n g i là ph n t t ng quát c a dãy,ch ng h n cho các

n n

1 1 ,

1 ,

) 1 ( ), 1

3 Dãy (un) ti n đ n -∞ thì b ch n trên

X Tính ch t đ i s c a dãy h i t

n n

n n

n n

u b

v a u

n

n n n

n n

nh lí : ( nh lí Bônzanô – Vây xtrase),(Bolzano -Weierstrass): T

m i dãy (un) b ch n đ u có th l y ra m t dãy con h i t

1.3 CÂU H I ÔN T P

Câu 1 S th c là gì? Nêu các tính ch t c a s th c

Câu 2 S h u t có tính đ y không? Cho ví d minh ho

Câu 3 Tr c s là gì? nh ngh a các lo i kho ng s th c

Câu 4 Tr tuy t đ i c a s th c là gì? Nêu các tính ch t c a nó

Câu 5 S ph c là gì? T i sao tr c hoành và tr c tung có tên g i là tr c

Câu 11 Th nào là dãy s b ch n?

Câu 12 Th nào là dãy s đ n đi u?

Câu 13 Dãy s h i t thì b ch n có đúng không? Ng c l i dãy b ch n có

h i t không? T i sao?

Câu 14 Các dãy không h i t có tính ch t đ i s gi ng nh các dãy h i t không?

Câu 15 Nêu đi u ki n đ m t dãy đ n đi u h i t

Câu 16 Th nào là hai dãy k nhau? Th nào là các đo n l ng nhau? Nêu các tính ch t c a chúng

Câu 17 Th nào là m t dãy con? N u dãy phân k thì các dãy con c a nó có

phân k không?

Câu 18 Phát bi u đ nh lý Bolzano-Weierstrass N u dãy không b ch n thì

có th l y ra m t dãy con c a nó h i t đ c không?

a) 3x2 + y2 +z2 =2x(y + z) b) 3x2 + 4y2 +18z2 - 4xy - 12xz = 0

Câu 3 Tìm c n trên đúng,c n d i đúng (n u t n t i) c a t p E sau đây trên R {1 ( 1) n2, n N*}

n E

n

∈

−

− +

1n

4

) 3 ( 3

n k

k k

0

0

) 3 2 (

) 1 3 (

c) n 3+sinn

Câu 7 Cho 3 và b

R)c,b,a

n u v

Câu 8 Cho dãy (xn) v i xn = xn-1 +

1 n

b

a

x = trong đó an = 2an-1 + 3bn-1, bn = an-1 + 2bn-1 , a0 > 0, b0 > 0

lim n

Câu 10 Ch ng t r ng các dãy sau có gi i h n h u h n

a)

2 2

n

n

12

11

! n

1

! 2

11

b)

n

1nlog2

3log1

2log

+++

1 n

−

, x0 = 1 b) xn = 1+ xn−1 , x0 = 3

1 n

− +

1 x

2 1 n n

2 1 n n

x2

x5x

Có th thay s 2 b i s t nhiên k >2 đ c không?

Câu 15 N u xn → a(h u h n hay vô h n).Có th nói gì v

n

1 n

x lim +

∞

S PH C

Câu 1 Cho E,F,G,H 2, xác đ nh b i các h th c sau:

R

⊂ E: 2 2 2 2

y x

x y

y xy

x z

z xz y

y yz x

x

z y x

−

= +

− 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 (

, , Khác nhau t ng đôi m t

Câu 4 Gi i h ph ng trình v i n 3

C)z,y,x

)'()

()'(

)f(z'f(z))

z'f(z

, ) ' , (

) ( ,

2

z f z f zz f

C z z

x x f R x

Ch ng minh [

C z ) (

C z ) (

z z f

Câu 6 Gi i ph ng trình v i n s z∈ C

2z + 6z = 3 + 2 i

Câu 7 Xác đ nh t p các s ph c z ∈ C sao cho z = r0z , r0∈R

Câu 8 V i (a,b,c) 3 tho mãn

k z z

1 1

khi và ch

n) , z , 1 , , ,

C)b,a

a d

−

−

và

a c

b d

c d

++

=++

++

0)yasin(

)xasin(

asin

0)yacos(

)xacos(

acos

Câu 16 Gi i các ph ng trình sau trên tr ng s ph c:

−

=

− +

399 )

y x )(

y x (

819 )

y x )(

y x (

3 3

3 3

x z

z y

y x

Câu 18 Ch ng minh v i α ∈ R

a

α

α α

α

itgn 1

itgn 1

) itg 1

itg 1

Câu 19 Cho (n,x) ∈N* ×R, tính S = ∑

= n

0 k

3

kxcos

n(x) A (x)B

3 x 2

n

n

+ +

c) xn+1 - xn =

2 x

) x 3 )(

x 3 (

n

n n

Câu 10

a) Rõ ràng xn < xn+1 và xn < = − < ∀ n > 1

− + +

n

1 2 n ) 1 n (

1 2

1

x

2 n

2 x

1 n

3 ( 1

1

n n

n n

x x

x x

+ +

1a

k

k x x

C ng liên ti p xn - x1 = (x2 -x1)[ ]

2

) 1 (

2

1 2

3

2(x2 - x1) - (-1)n-2 n 2

1 2

2 3

x x

−

−

2 3

x x ) 1 ( 3

x x 2

lim

2 2

y x

x y

x

y

3 ) 2 2

y xy x

−

0 3

3

1 3 3

3 2

2 3

(-1,1,-1) (1,-1,-1),

(1,1,1) (0,0,0),

,

,

0 ) 1 (

y zx x yz z xy

xyz xyz

Câu 5 Xét (f(i))2 = f(i2) = f(-1) =-1 ⇒ f(i) = εi ε = {± 1 }

Xét (x,y) 2,f(x+iy) = f(x) +f(iy) = f(x) + f(i)f(y) = x + iy

3 −

Câu 7 z ∈R∪iR

abc

ab ca bc c b a c

b) a = 0 ho c b =0 đúng

Xét a ≠ b0 , ≠ 0: t u =

b

b v , a

b u b a

a

+

≥ +

1 m ) 1 , 0

b a

a

−

= +

=

∈ +

)

d = − = vì u2 = v2 =1

Câu 12 Ta có ( d a )( b c )

c b

1 c

b

a d

3 2

2 2

) (

i z

i z z i z

Tr c Oy và đ ng tròn tâm (0,-1) bán kính 1 b đi đi m (0,-1)

= +

+

0 sin sin

0 cos cos

1

y x

y x

(x,y) = ± + m + 2n ), m,n∈Z

3

2 , 2 3

2 ( π π m π π

−

189 )

)(

(

1029 )

)(

(

2 2

2

2 2

2

y x y x

y x y x

=

−

=

u y x v

y x u

(5,2), (-2ω , − 5 ω ), ( 5 i , 2 i ), ( − 2 i ω , − 5 i ω ), ( − 5 , − 2 ), ( 2 ω , 5 ω ), ( − 5 i , − 2 i ), ( 2 i ω , 5 i ω )

trong đó ω =

2

i 1

e2i8 π = +

b) Suy ra x = y2 = z4 = x8 ⇒ x = 0, x7 = 1

x ) 1 n ( sin 2

nx cos 3 2

x 3 sin 2

x ) 1 n ( 3 sin 2

nx 3 {cos 4

+ +

+

Câu 20 An(x) = -1 +

2 sin 2

) 1 ( sin 2 cos 2 1 cos

2

x

n nx kx

n k

+ +

) 2

1 sin(

x x

n+

B n (x) = ∑

=

+

n k

x k

1 sin(

2 sin

1

=

2

2 sin 2

1 sin

CH NG II: HÀM S M T BI N S

2.1 M C ÍCH

M i v t xung quanh ta đ u bi n đ i theo th i gian Chúng ta có th nh n th y

đi u đó qua s chuy n đ ng c h c c a các v t th : ô tô, máy bay; s thay đ i c a các đ i l ng v t lý: nhi t đ , t c đ , gia t c; s bi n đ ng kinh t trong m t xã

h i: Giá c phi u, lãi su t ti t ki m, T t c các lo i hình đó đ c gán m t tên chung là đ i l ng hay hàm s , nó ph thu c vào đ i s nào đó, ch ng h n là th i gian Xem xét hàm s t c là quan tâm đ n giá tr , tính ch t và bi n thiên c a nó

Vi c đó đ t ra nh m t nhu c u khách quan c a con ng i và xã h i

Trong m c th nh t c a ch ng này, ng i đ c c n n m v ng hàm s và

ký hi u hàm s L u ý r ng ánh x f hay “quy lu t” nêu trong đ nh ngh a có tính

t ng quát, không nh t thi t ph i là m t công th c gi i tích trên kho ng xác đ nh

c a nó Nó có th bi u th b ng nhi u công th c trong các kho ng con c a t p xác đ nh ho c b ng s ho c b ng đ th N m v ng các tính ch t c a hàm s là

đi u vô cùng quan tr ng Ch ng h n n u hàm ch n ho c l trên kho ng (-a,a) thì

ch c n xét trên kho ng (0,a), hàm tu n hoàn chu k T, ch c n xét trên kho ng

th chúng ta m i th y đ c đ c tính c a hàm s , đ c bi t đ c tính c a hàm s lân c n x=0 và lân c n vô cùng (nh ng đi m khá xa g c to đ )

Trong m c th hai khái ni m gi i h n c a hàm s là bao hàm khái ni m

gi i h n c a dãy s th hi n qua đ nh ngh a c a nó, đ c bi t qua đ nh lý v m i liên h v i dãy s Nh l i r ng gi i h n là m t khái ni m khó nên các tính ch t

c a hàm có gi i h n, các đi u ki n c n, các đi u ki n đ ph i hi u chính xác Ngoài ra c ng c n ph i l u ý khái ni m gi i h n m t phía b i vì các hàm

th ng đ c cho không ph i luôn luôn d i d ng s c p T t c các khái ni m

trên ng i h c ph i minh ho đ c b ng đ th Cu i cùng là các gi i h n đáng

nh , chúng đ c coi là các gi i h n đi cùng v i chúng ta su t quá trình h c t p Trong m c th ba l p các vô cùng bé, vô cùng l n đ c đ c p m t cách

t nhiên, b i vì chúng có m i liên h tr c ti p v i hàm s có gi i h n H n n a trong các tính toán th ng hay g p các đ i l ng này C n n m đ c các so sánh vô cùng bé, vô cùng l n b i vì nó r t có ích trong quá trình kh các d ng

b t đ nh, trong quá trình đánh giá, tính g n đúng và đ c bi t là cách mô t sau này Bi t các vô cùng bé ho c vô cùng l n t ng đ ng th c s đã có k n ng

k x o gi i các bài t p sau này

Cu i cùng trong m c th t chúng ta đ c p đ n m t l p hàm s đ c bi t quan tr ng b i vì nó luôn luôn xu t hi n trong toán cao c p A1, A3: Hàm s liên

t c Vi c mô t hình h c hàm s liên t c t i x0, liên t c m t phía t i x0, liên t c trên kho ng (a,b), trên đo n [a,b] , là vi c làm vô cùng c n thi t Nó ph n ánh

s hi u th u đáo v tính liên t c, tính gián đo n c a hàm s C ng nh tính ch t liên t c c a hàm s mà có th kh đ c các d ng b t đ nh đ c bi t :

x

x

a( 1 ) log +

:

x f x

R X f

a

y= ( ), ∈ x g i là đ i s , y g i là hàm s

X Hàm ch n, l

Cho X đ i x ng v i 0 t c là ∀x∈X, −x∈X

∀ , ( )

2 Hàm s (x) b ch n df i trong X n u t n t i s B sao cho:

B x f X

:

0

x f g x

R X f g

a

→Hay y = g( (x)) là hàm s h p c a hai hàm và g f f

nh lí:

N u f,g:X → R b ch n trên thì + c ng b ch n trên và f g

Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

X

+

≤ +

1 N u f,g:X → R b ch n trên và không âm thì b ch n trên và f g

Sup(f(x).g(x)) Sup f(x).Sup g(x)

X X

X

≤

2 N u f :X → R b ch n trên và λ ∈R* thì λf b ch n trên đ ng th i Sup .f(x) Sup f(x)

X X

)) ( ( )

(x Sup f x f

Inf

X X

\

* +

\

* +

∈ R

a

exp ∀ (x,y) ∈R+*×R, y= loga x ⇔ x =a y

Tính ch t c a hàm s lôgarit

1 loga1 = 0

2. ∀x,y∈R*+,

y x

y x

y x

xy

a a

a

a a

a

log g

lo log

log log

Các hàm s l ng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đ c xét k trong

ch ng trình ph thông trung h c D i đây chúng ta ch nh c l i m t s tính ch t c b n c a chúng

k T = π và nh n giá tr trên kho ng ( −∞ , +∞ )

- cotgx xác đ nh trên R\{kπ ,k∈Z}, là hàm s l , tu n hoàn v i chu k

1 ,

- Hàm arccos là ánh x ng c c a cos :[ ] [ ]0 , π → − 1 , 1 kí hi u:

arccos :[ ] [ ]− 1 , 1 → 0 , π

x 1 , 1 , 0 , , arccos cos

R arctg

R g arc

V y ta có x R y y arccotgx x cotgy

2 , 0

- Hàm côsinhypebôlic là ánh x ch:R →R xác đ nh nh sau:

, ( x x)

e e chx R

∀

2

1

shx thx R

chx x R

Tính ch t:

- Shx,thx,cothx là các hàm s l còn chx là ch n và∀x∈R,chx > 0

- ∀x,a,b,p,q∈R, các hàm hypebôlic tho mãn công th c sau đây:

b

y a

x Hyperbon x

sh x

acht x

+ ch(a+b) =cha.chb+sha.shb ; sh(a+b) =sha.chb+shb.cha

ch(a−b) =cha.chb−sha.shb ; sh(a−b) =sha.chb−shb.cha

thb tha

thb tha b

a th thb

tha

thb tha b

a th

1 ) (

; 1 ) (

−

−

=

− +

+

= +

+ ch2a=ch2a+sh2a= 2ch2a− 1 = 1 + 2sh2a

sh2a= 2sha.cha

a th

tha a

1

2 2 +

2

1 );

1 2 ( 2

2ch p q ch p q chq

2 2

2

2 2

2

2 2

2

q p sh q p ch shq shp

q p ch q p sh shq shp

q p sh q p sh chq chp

− +

=

−

− +

= +

− +

3 Hàm Actanghypebôlic là ánh x ng c c a th:R → ( − 1 , 1 ),kí hi u: Argth: ( − 1 , 1 ) → R, t c là ∀x∈ ( − 1 , 1 ), ∀y∈R,y =Argthx ⇔ x =thy

n R a a a

P X

x

0

) ( ,

) ( ) ( , 0 ) ( ,

x Q

x P x f x

Q X

∀

G i

) (

) ( ) (

x Q

x P x

A

)

q px x

C Bx

) ( 2+ + +

l k

n x x x p x q x p x q a

x

P( ) = ( − α1) 1 ( − α ) ( 2+ 1 + 1)β1 ( 2 + + )β

Trong đó αi(i = 1 ,l) là các nghi m th c b i k i c a đa th c còn

R q

p j, j, βj∈

v i j = 1 , 2 , ,m và k n p j q j j m

m j j l

i

i 2 2 4 0 ; 1 ,

1 1

=

<

−

= + ∑

∑

=

=

,

± Ng c l i f (x)có gi i h n là ± ∞, nói

r ng nó có gi i h n vô h n

f, , )

( ) ( )

(x g x h x

a x a

= +∞

limg x a x

( ).

( ⎯ ⎯ → ⎯

⇒ f x g x x →a a

6 f(x) ⎯x⎯ →→⎯a l1 và g(x) ⎯x⎯ →→⎯a l2 ⇒ f(x).g(x) ⎯x⎯ →→⎯a l1.l2

7 f(x) ⎯x⎯ →→⎯a l1 và

2

1 2

) (

) ( 0 )

(

l

l x

g

x f l

f( ) ( )

X Gi i h n c a hàm h p

Cho f : X → R, g: Y → R và f(X) ⊂Y

nh lí: N u f x b

a

x⎯ → ⎯

⎯→) ( và g(y) ⎯y⎯ →→⎯b l thì g f x l

a

x⎯

⎯ →

⎯→)) ( (

X Gi i h n c a hàm đ n đi u

nh lí 1: Cho f : (a,b) → R, a,b∈R ho c a,b∈R và là hàm t ng

1 N u b ch n trên thì f lim ( ) ( )

) , (

x f Sup x

f

b b

nh lí 2: N u xác đ n t i a và t ng lân c n c a a thì luôn t n t i

m t gi i h n trái và m t gi i h n ph i h u h n t i a và:

)

(x f

lim f(x) f(a) lim f(x)

a x a

x→ − ≤ ≤ → +

c Các gi i h n đáng nh

sin lim

sin lim

x x

x x

x x

→

1 1 lim

1 1

→ +∞

i x

1

) (

=

n i

i x

1

) (

α

α β

α

a x a

x→ = →

H qu 2: N u α =o( β ) t i a thì α + β ~ β t i a

H qu 3: Qui t c ng t b VCB c p cao: N u là VCB c p th p nh t trong s các VCB

α

a x n

j j

m i i a

1 ) (

x A

i x A

1

) (