Bài giảng toán kinh tế chương 5 nguyễn ngọc lam

HÀM NHIỀU BIẾN1... Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D... HÀM NHIỀU BIẾNTương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y... HÀM NHIỀU BIẾNĐạo hàm riêng cấp

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (x i  R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n

R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i  R, i = 1, n}

Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x.

2 i

i y ) x

( )

y , x ( d

Lân cận: Cho x 0 R n và số r > 0

Tập S(x 0 , r) = {x  R n : 0 < d(x,x 0 ) < r}

được gọi là một lân cận của x 0

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Điểm biên: Điểm x 0  R n được gọi là điểm biên của D 

R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi

là biên của D.

Điểm trong: Điểm x 0 R n được gọi là điểm trong của D

 R n nếu D chứa một lân cận của x 0

Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.

Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.

y x

x , x ( f z

) x ,

x , x ( :

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận

M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M 0 Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu:

 > 0,  > 0: d(M,M 0 ) <  => f(M) – L < 

2 0

2 0

0 ) (x - x ) (y - y ) M

L )

M ( f

y , x ( f

lim

) y , x ( )

y , x ( 0 0





L )

y , x ( f

lim

0

x x





) 0 , 0 ( )

y , x

xy lim





2 2

2 2

) 0 , 0 ( )

y , x

) y x

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu

) y , x ( f )

y , x ( f

) y , x ( )

y , x ( 0 0

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

3 ĐẠO HÀM RIÊNG

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,

M 0 (x 0 ,y 0 )  D Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 Ký hiệu:

) y , x

( x

z ), y

, x

( x

f , ) y , x (

0 x

' x

C5 HÀM NHIỀU BIẾNTương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f

theo biến y.

y

f lim

0 y

' y

3 4

y 2 y

x 5 x

y

x

u 

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1 Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.

) y , x (

f x

f x

f x

' xx 2

f x

y

f x

f y

' yx

f y

x

f y

f x

' xy

f y

y

f y

f y

' yy

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0

hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M 0 thì f xy = f yx tại M 0

Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3)

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạo

hàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng theo x,y thì:

x

v v

f x

u u

f x

f y

u u

f y

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình

F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.

Ví dụ: xy – e x + e y = 0

x ( ' f '

Ví dụ: Tính y’ nếu:

F(x,y) = x 3 + y 3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – e x + e y = 0

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình

F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0.

Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:

z

x

F

F x

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

4 CỰC TRỊ

Cực trị tự do:

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm

M 0 (x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại một lân cận  của M 0 sao cho

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y) Tại

những điểm thỏa z x = z y = 0, ta gọi định thức Hessian:

Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8,

yy yx

xy xx

z z

xy

xx 2

, xx

z

z H

z

• Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0: z đạt cực tiểu

• Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0: z đạt cực đại

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x 1 ,x 2 …x n ) Tại những điểm thỏa f x1 = f x2 = … f xn = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt

Ta có định thức Hessian:

j

i x x

ij f

f 

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

n 22

21

12

11 2

11 1

f

f f

f f

f

f f

H

,

f f

f

f H

, f

• Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0,… |H n |>0 : z đạt cực tiểu

• Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0,… (-1) n |H n |>0 : z đạt cực đại

0 g

f L

0 g

f L

y y

y

x x

x

 là nhân tử Lagrange, điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) của hệ trên gọi là điểm dừng.

Định lý: Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) là cực trị có điều kiện trên.

Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với

g’ x ,g’ y không đồng thời bằng 0 thì:

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.

2 2

y x

c L

0 g

f L

0 g

f L

0 g

f L

n n

n

2 2

2

1 1

1

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M 0 , xét định thức Hessian đóng:

yy yx

y

xy xx

x

y x

2

L L

g

L L

g

g g

0

H 

: f đạt cực đại (cực tiểu) có điều kiện

Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:

f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x 2 + y 2 = 1

Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:

) 0 H

( 0

H 2  2 

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x 1 ,x 2 ,…x n ) với điều kiện g(x 1 ,x 2 ,…x n ) = c H àm Lagrange: L = f + (c-g) Xét tại điểm dừng M 0 , ta xét định thức Hessian đóng:

nn 2

n 1

n n

n 2 22

21 2

n 1 12

11 1

n 2

1

n

L

L L

L L

g

L

L L

g

g

g g

0

H 

: f đạt cực tiểu

0 H

0 H

, 0

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên một miền đóng và

bị chặn:

Cho miền D có biên cho bởi phương trình g=c, ta có qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất như sau:

• Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của f với điều kiện g=c

• Tìm các điểm dừng của f thuộc D

• f max , f min là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên.

Ví dụ , tìm f max , f min của hàm f(x,y) = x 2 + 2y 2 – x

trong miền x 2 + y 2  1

L K

30

Q 

Giả sử doanh nghiệp sử dụng 27 đơn vị tư bản và 64 đơn vị lao động, hãy tìm giá trị biên và cho nhận xét.

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Hệ số co giãn:

Ví dụ: Cho hàm cầu tổng quát của một sản phẩm thịt bò:

Q 1 = 7.300 – 6P 1 + 2,5P 2 + 0,2Y Trong đó : P 1 : Giá thịt bò

P 2 : Giá thịt heo Y: Thu nhập

1) Tính hệ số co giãn của sản phẩm Q 1 theo thu nhập và theo giá của sản phẩm có liên quan khi Y = 20.000,

P 1 = 300, P 2 = 200

2) Nếu giá thịt heo tăng 10% thì nhu cầu thịt bò thay đổi bao nhiều phần trăm?

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Bài toán cực trị tự do:

Ví dụ, DN sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm cầu:

Q 1 = 15 – 1/5P 1 , Q 2 = 20 – 1/3P 2 với hàm tổng chi phí: TC = Q 1 2 + 4Q 1 Q 2 + Q 2 2

DN cần sản xuất bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa.

Bài toán max, min:

Ví dụ, chi phí sản xuất của hai loại hàng hóa là

C = 2x 2 + xy + y 2 + 1000 Tìm mức sản xuất x,y để chi phí tối thiểu với điều kiện

C5 HÀM NHIỀU BIẾN

Cực trị có điều kiện:

Một công ty cần phải cung ứng cho khách hàng 5.000 sản phẩm Công ty có 2 xí nghiệp sản xuất sản phẩm này với chi phí như sau :

Xí nghiệp 1 : C 1 = 0,01x 2 + 70x + 9.300

Xí nghiệp 2 : C 2 = 0,01y 2 + 72y + 5.200 Công ty cần phân bổ số lượng sản phẩm như thế nào để chi phí sản xuất thấp nhất.