Bài giảng Toán rời rạc Bài 11 - TS. Nguyễn Văn Hiệu

BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG Giáo viên: TS Nguyễn Văn Hiệu Email: nvhieuqt@dut.udn.vn Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics Nội dung • • • • Các khái niệm Bài toán luồng cực đại Thuật toán Ford –Fulkerson Minh họa ví dụ Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics Các khái niệm Mạng  Mạng đồ thị có hướng, có số G = (V, E): Ví dụ  Đồ thị có đỉnh phát s đỉnh thu t ∃ ! đỉnh s: deg-(s) = 0, s - đỉnh phát ∃ ! đỉnh t: deg+(t) = 0, t - đỉnh thu ∀ (i,j) ∈ E: cij >0, cij - khả thông qua cung (i,j) Đồ thị liên thông yếu 6 s t  Khả thông qua: c s3 =5 ,… Các khái niệm Luồng Ví dụ  Cho mạng G khả thông qua cij ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸, 𝑠 đỉ𝑛ℎ 𝑝ℎá𝑡, 𝑡 đỉ𝑛ℎ 𝑡ℎ𝑢  Luồng vận tải mạng G hàm f: E  R+ :  Tập luồng f ij miêu tả ngoặc màu xanh f ij ≥0, ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 f ij :- luồng cung (i,j)  f ij  c ij , ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 ∀𝑣 ∶ v ≠ s, v ≠ t: 𝑖,𝑣 ∈𝐸 f iv = 𝑣,𝑗 ∈𝐸 f vj (1) (3) (3) (4) t s (2) (4) (1) (3) Các khái niệm Định lý Giá trị luồng  Cho {f ij } tập luồng mạng G s đỉnh phát t đỉnh thu:  Cho luồng f G giá trị luồng định nghĩa đại lượng: 𝒔𝒊 ∈𝑬 f si = 𝒊,𝒕 ∈𝑬  Nếu (i,j) ∉ 𝐸, 𝑡ℎì f ij = f ij = 𝑗∈𝑉 𝑖∈𝑉 f it Val (f) = = 𝒔𝒊 ∈𝑬 𝒊,𝒕 ∈𝑬 f si f it f ji 𝑗∈𝑉 𝑖∈𝑉 Các khái niệm • Xác định giá trị luồng f 6(5) • 6(6) 5(5) Val(f) = ? 3(1) 3(0) s t 6(1) 5(2) 1(1) Bài toán luồng cực đại Bài toán  Cho mạng G với đỉnh phát s, đỉnh thu t, khả thông qua cij ,∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸  Trong số luồng mạng G tìm luồng có giá trị lớn Ứng dụng  Xác định cường độ lớn dòng vận tải hai nút đồ giao thông Bài tốn luồng cực đại đoạn đường đơng xe  Hệ thống đường ống dẫn dầu: ống – cung, s - tàu chở dầu, t bể chứa, điểm nối ống đỉnh đồ thị cij - diện tích ống Cần phải tìm luồng lớn để bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa Bài toán luồng cực đại Bài toán  Cho mạng G với đỉnh phát s, đỉnh thu t, khả thông qua cij ,∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸  Trong số luồng mạng G tìm luồng có giá trị lớn Ý tưởng  Xuất phát từ luồng đó, ta tìm đường (khơng định hướng) từ s đến t,  Tiến hành hiệu chỉnh giá trị luồng đường cho luồng có gia trị lớn hớn  Nếu khơng tìm luồng cực đại Bài tốn luồng cực đại Bài toán  Cho mạng G với đỉnh phát s, đỉnh thu t, khả thông qua cij ,∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸  Trong số luồng mạng G tìm luồng có giá trị lớn Ý tưởng  Giả sử P = (s, a, ….,i, j , ….,z, t) 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸  Nếu (i,j) cung P cung hướng với P Ký hiệu P+ tập cung hướng với P  Nếu (j,i) cung P, cung ngược hướng với P P- tập cung ngược hướng với P (i,j) = Bài toán luồng cực đại Cơ sở lý luận  Cho f luồng mạng G  Giả sử đường không định hướng từ s đến t: P = (s =a,b, ,i,j, ,z = t)  ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ P+ : f ij < cij  ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ P- : < f ij  Đặt 𝛿:= {x | x ∈ M }  M tập giá trị cij - f ij với 𝑖, 𝑗 ∈ P+ giá trị f ij vớ𝑖 𝑖, 𝑗 ∈ P- Cơ sở lý luận  Xây dựng luồng f* sau: f ij ∀ 𝑖, 𝑗 ∉ 𝑃  f* = f ij + 𝛿∀ 𝑖, 𝑗 ∈ P+ f ij − 𝛿∀ 𝑖, 𝑗 ∈ P−  Giá trị luồng f* lớn luồng f đơn vi 𝛿 > Val(f*) = val(f) + 𝜹 10 Vi dụ  Bước (kiểm tra nhãn đỉnh thu ) ( s, 𝟑)  t chưa có nhãn ->bước a (0) ( a, 𝟐) b (0) (0) ( , ∞) s 2(0) t (0) ( s, 𝟓) 4(0) c (0) d ...Nội dung • • • • Các khái niệm Bài toán luồng cực đại Thuật toán Ford –Fulkerson Minh họa ví dụ Nguyễn Văn Hiệu, 2012, Discrete Mathematics Các khái niệm Mạng  Mạng... W chưa gán nhãn 14 Thuật toán Ford-Fullkerson Thuật toán  Bước ( hiệu chỉnh luồng )  Giả sử (