Bài giảng Tín hiệu số Chương 2: Xác suất và quá trình ngẫu nhiên

CHƯƠNG 2: XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Xác suất Quá trình ngẫu nhiên 6:41 PM Chương Xác suất A, B hai biến cố  Hợp hai biến cố: hai phải xảy  Giao hai biến cố: hai biến cố phải xảy đồng thời  Bao hàm : A xảy B phải xảy  Hiệu: A xảy cịn B khơng xảy 6:41 PM Chương 2 Xác suất A, B hai biến cố P(A): xác suất xuất biến cố A  A B xung khắc: A B không đồng thời xảy  A B đối lập: A xảy B khơng xảy ngược lại ̅ S: biến cố chắn xảy P(S) = ∪ ̅ A B đối lập A B xung khắc A B xung khắc A B khơng đối lập 6:41 PM Chương Xác suất S: thông tin có giá trị 00, 01, 10, 11 A: thơng tin có giá trị 00, 10 A B đối lập B: thơng tin có giá trị 01, 11 A B xung khắc A: thông tin có giá trị 00, 10 A B khơng đối lập B: thơng tin có giá trị 01 6:41 PM A B xung khắc Chương Xác suất Xác suất có điều kiện: P(A/B): xác suất xuất biến cố A biến cố B xảy Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B) 6:41 PM Chương Xác suất Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative distribution function) X: biến ngẫu nhiên, x: số thực F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ x Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function) 6:41 PM Chương Xác suất Hàm biến ngẫu nhiên: Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf biến ngẫu nhiên Y = g(X) VD: Đặt t = ax + b: x= Y = aX + b, a > x = -  t = -  t=y x= dx = dt/a 1 Tính lại VD với a < 0, Y = aX3 + b 6:41 PM Chương Xác suất Hàm biến ngẫu nhiên: Y = aX2 + b, a > | | 6:41 PM Chương Xác suất Hàm đặc trưng: Phương sai: ≡ Trung bình (kỳ vọng tốn): moment thứ n Y = g(X): 6:41 PM Chương Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố nhị thức: ! ! ! [y]: phần nguyên y E[X] = np, 6:41 PM = np(1-p) Chương 10 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố đều: 1 12 6:41 PM Chương 11 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): E[X] = mX 2 erf 1 erfc 2 erf erfc 2 erfc 6:41 PM : error function : complementary error function Chương 2 / : Q function 12 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): mX = : dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1) zero-mean, unit variance gaussian random variable Xác định pdf Y = aX3 + b với X biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc 6:41 PM Chương 13 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): X biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian Y = X2 biến ngẫu nhiên phân bố Gamma X có trung bình = phương sai 2 6:41 PM Γ Γ (phân bố Gamma bậc tự n) Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 Γ ;Γ 2 ! ớChương ∈ / Γ / : hàm Gamma 14 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): (phân bố Gamma bậc tự n) E[Y] = n2 X phân bố Gaussian có trung bình mX phương sai 2 6:41 PM cosh Chương cosh 15 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi phương sai 2 /2 !Γ 6:41 PM x0 / x0 : hàm Bessel sửa đổi loại bậc  Chương 16 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: Y biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh X1 X2 độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 E x0 x0 6:41 PM 2 2 Chương 17 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 / Γ x0 n chẵn (n = 2m): 6:41 PM ! x0 Chương 18 Xác suất Xác định trung bình, phương sai biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf: / - < x <  Cho hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên Cauchy: Xác định hàm đặc trưng pdf của: Trong Xi biến ngẫu nhiên độc lập thống kê có phân bố Cauchy Áp dụng: E(XY) = EX.EY X, Y độc lập 6:41 PM Chương 19 Chương 20 Xác suất 6:41 PM 10 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo thông số t (thường thời gian) Ký hiệu: X(t) Xét tập {t1, …, tn}  biến ngẫu nhiên tạo từ X(t) ≡ tập {t1+t, …, tn+t}  ế , ≡ ,…, , ,…, , ấ ỳ 6:41 PM Quá trình ngẫu nhiên dừng Chương 21 Quá trình ngẫu nhiên Trung bình thống kê Hàm tự tương quan , , , Nếu trình ngẫu nhiên dừng: , 6:41 PM Φ Chương 22 11 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan Nếu q trình ngẫu nhiên khơng dừng có: , Q trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary Hàm tương quan chéo , , , Nếu trình ngẫu nhiên dừng: , 6:41 PM Chương 23 Quá trình ngẫu nhiên Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density) Φ (f): hàm thực, chẵn Φ Φ 6:41 PM Φ∗ Φ Chương 24 12 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan trình ngẫu nhiên X(t) là: (nhiễu trắng: white noise) B Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số: B Xác định tổng công suất ngõ mạch lọc: fc -fc Φ Psd ngõ mạch lọc: Φ Φ Tổng công suất ngõ mạch lọc: Φ 6:41 PM Chương 2 25 Quá trình ngẫu nhiên R Cho trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) ngõ vào mạch hình vẽ X(t) Y(t) C Xác định yy(f), yy() E[Y2(t)] Tính H(f) Φ Φ Áp dụng: Φ 6:41 PM Chương 26 13 ... lập 6:41 PM Chương 19 Chương 20 Xác suất 6:41 PM 10 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo thông số t (thường thời gian) Ký hiệu: X(t) Xét... Nếu trình ngẫu nhiên dừng: , 6:41 PM Chương 23 Quá trình ngẫu nhiên Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density) Φ (f): hàm thực, chẵn Φ Φ 6:41 PM Φ∗ Φ Chương 24 12 Quá trình ngẫu nhiên. .. biến ngẫu nhiên tạo từ X(t) ≡ tập {t1+t, …, tn+t}  ế , ≡ ,…, , ,…, , ấ ỳ 6:41 PM Quá trình ngẫu nhiên dừng Chương 21 Quá trình ngẫu nhiên Trung bình thống kê Hàm tự tương quan , , , Nếu trình ngẫu