Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hồng Lộc

Bài giảng Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Choleski, chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận, những phương pháp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Đặt vấn đề Đặt vấn đề Trong chương này, học số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính   a11x1 + a12x2 + + a1i xi + + a1n xn = b1      ai1x1 + ai2x2 + + aii xi + + ain xn = bi       a x + a x + + a x + + a x = b n1 n2 ni i nn n n (1) thường xuất toán kỹ thuật ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Đặt vấn đề Ta xét hệ gồm n phương trình n ẩn số, A = (aij ) ∈ Mn (K ) detA = Do hệ có nghiệm X = A−1B Tuy nhiên, việc tìm ma trận nghịch đảo A−1 đơi khó khăn gấp nhiều lần so với việc giải trực tiếp hệ phương trình (1) Do cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình n ẩn   a11x1 + a12x2 + + a1j xj + + a1n xn =      ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ain xn =       a x + a x + + a x + + a x = n1 n2 nj j nn n ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) b1 bi bn https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Hệ phương trình tương đương Nếu thực phép biến đổi sơ cấp sau hệ (1): Đổi chỗ phương trình hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại ẩn Nhân vào phương trình hệ số λ = 0(hi → λhi ) Cộng vào phương trình hệ phương trình khác nhân với số (hi → hi + λhj ) ta hệ phương trình tương đương với hệ (1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss  Hệ phương trình tương đương  a11 a12 a1n b1    a21 a22 a2n b2  BĐ sơ cấp hàng   −−−−−−−−−−−−−−→   a a ann bn   n1 n2 c11 c12 c1n d1    c22 c2n d2    với   0 cnn dn cii = 0, i = 1, 2, , n ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) hệ (1) Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng biến đổi ma trận mở rộng ma trận bậc thang Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang Ta giải hệ phương trình ngược từ lên, tìm biến xn sau xn−1, , x1 ta nghiệm ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 + 2x2 + 2x3 = 2x + 4x2 + 9x3 = 23  3x1 + 7x2 + 8x3 = 31 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss Giải  2 2    h2 →h2 −2h1 h3 →h3 −3h1 23  −−−−−−→  0 31   2  x1 = h2 ↔h3 −−−→   ⇔ x2 =  0 5 x3 = ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)  5 https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Định nghĩa Phần tử trội phần tử có trị tuyệt đối lớn nhất, cho không hàng cột với phần tử chọn trước Phương pháp Gauss-Jordan Chọn phần tử trội để biến đổi cho tất phần tử cột phần tử trội khơng ta tìm nghiệm cần tìm ng.com Qua n bước https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 76 Những phương pháp lặp (m) (m) Phương pháp lặp Jacobi (m) m x1 x2 x3 0.1 0.2 0.3 79 63 17 12 70 80 1513 913 69 1120 1680 1120 6847 893 3407 2880 7840 3840 (3) x = (1.1830; 0.8733; 0.2326)T 677 7759 919 T x (3) − x (2) = (− 4032 ; 23520 ; 5376 ) 7759 ||x (3) − x (2)||∞ = 23520 ; ||Tj ||∞ = 56 ||T || (3) ∆x (3) ≤ 1−||Tj j∞ − x (2)||∞ = 1.6495 ||∞ ||x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 63 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập Bài tập Bài Bằng phương pháp lăp Jacobi, tìm nghiệm gần hệ phương trình với sai số 10−3, chọn chuẩn vơ  4x1 − x2 + x3 =  3x1 + 8x2 + 2x3 =  3x1 + 3x2 + 10x3 = Đáp số (x1, x2, x3) = (0.1115, −0.1442, 0.4099), ∆x (7) = 3.94.10−4 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 64 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Nội dung phương pháp Gauss-Seidel Phân tích A = D − L − U,ta có:AX = B ⇔ (D − L − U)X = B ⇔ (D − L)X = UX + B ⇔ X = (D − L)−1UX + (D − L)−1B Ký hiệu Tg = (D − L)−1U Cg = (D − L)−1B Khi cơng thức lặp có dạng X (m) = Tg X (m−1) + Cg , ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) m = 1, 2, https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 65 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Dạng tường minh công thức lặp Gauss-Seidel (m) x1 (b1 − = a11 n (m−1) a1j xj ), j=2 n (m) x2 (m) = (b2 − a21x1 − a2j xjm−1), a22 j=3 i−1 (m) xi ng.com n (m) = (bi − aij xj − aij xjm−1), aii j=1 j=i+1 https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 66 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Phương pháp Gauss-Seidel xem biến dạng phương pháp lặp Jacobi, khác phương pháp Jacobi chỗ: tính thành phần thứ i véctơ lặp X (m) ta sử dụng (m) (m) (m) thành phần x1 , x2 , , xi−1 vừa tính ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 67 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel Ví dụ   6x1 + 2x2 − 3x3 = Xét hệ phương trình 2x + 7x2 + 3x3 =  3x1 + 2x2 + 8x3 = Sử dụng phương pháp Gauss-seidel,với x (0) = (0.1; 0.2; 0.3)T ,hãy tính vectơ lặp x (3) đánh giá sai số theo công thức tiên nghiệm,sử dụng chuẩn vô ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 68 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel −1 −3 A=2 3  −1   0 −2 Tg =    0 −3  0   −1 2   Tg = 21 17 −29 168 112  ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 69 / 76 Những phương pháp lặp Phương pháp Gauss-Seidel   6x1 + 2x2 − 3x3 = 2x + 7x2 + 3x3 = ⇔  1 + 2x2 + 8x3 =  3x (m−1) (m−1) (m)  + 3x3 = − 2x2  6x1 (m−1) (m) (m) = − 3x3 2x1 + 7x2   (m) (m) (m) 3x + 2x + 8x =  (m) (m−1) (m−1)  + 3x3 )/6  x1 = (8 − 2x2 (m) (m) (m−1) ⇔ x2 = (9 − 2x1 − 3x3 )/7   (m) (m) (m) x3 = (7 − 3x1 − 2x2 )/8 ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 70 / 76 Những phương pháp lặp (m) (m) ≤ ||Tg ||3∞ (1) 1−||Tg ||∞ ||x Phương pháp Gauss-Seidel (m) m x1 x2 x3 0.1 0.2 0.3 79 523 17 12 105 3360 1.1604 0.8875 0.2180 1.1465 0.8647 0.2289 x (3) = (1.1465; 0.8647; 0.2289)T 58 97 T x (1) − x (0) = ( 79 60 ; 105 ; − 672 ) ||x (1) − x (0)||∞ = 79 60 ; ||Tg ||∞ = ∆x (3) ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) − x (0)||∞ = 4.5718 https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 71 / 76 Những phương pháp lặp Sự hội tụ phương pháp lặp Định nghĩa Ma trận A gọi ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt thỏa mãn điều kiện n |aij | < |aii |, i = 1, 2, , n j=1,j=i Định lý Các phương pháp lặp Jacobi, Gauss-Seidel cho hệ phương trình AX = b hội tụ A ma trận có đường chéo trội nghiêm ngặt ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 72 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập Bài tập 13x1 − 4x2 = 5x1 + 15x2 = Với x (0) = [0.7; 1.0]T , tìm sai số ∆x (2) vectơ lặp x (2) theo phương pháp Jacobi,sử dụng công thức hậu nghiệm chuẩn vô Giải ||Tj ||∞ = 31 ; T (2) 92 T x (1) = [ 10 = [ 195 ; 195 ] 13 ; 30 ] ;x Bài Cho hệ phương trình ∆x (2) = 0.1488 ||Tj ||∞ (2) 1−||Tj ||∞ ||x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) − x (1)||∞ = 1/3 58 1−1/3 195 = https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 73 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập Bài Cho hệ phương trình 11x1 + 5x2 = Với x (0) = [0.9; 0.2]T , tìm −3x1 + 11x2 = vectơ lặp x (3) theo phương pháp Jacobi Giải x (3) = [0.005; 0.338]T ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 74 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập 15x1 − 4x2 = −4x1 + 7x2 = Với x (0) = [0.2; 0.5]T , tìm sai số ∆x (2) vectơ lặp x (2) theo phương pháp Gauss-Seidel,sử dụng công thức tiên nghiệm chuẩn vô 13 T ; x (1) = [ 15 ; 15 ] ; Giải ||Tg ||∞ = 15 Bài Cho hệ phương trình (2) ∆x = 0.0356 ||Tg ||2∞ (1) 1−||Tg ||∞ ||x ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) (0) − x ||∞ = )2 ( 15 11 1− 15 30 = https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 75 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập Bài Cho hệ phương trình 11x1 − 5x2 = Với x (0) = [0.2; 0.8]T , tìm −6x1 + 11x2 = vectơ lặp x (3) theo phương pháp Gauss-Seidel Giải x (3) = [0.808; 0.986]T ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 76 / 76 Những phương pháp lặp Bài tập Bài  Cho hệ phương trình  38x1 + 2.73x2 − 1.85x3 = 12.89 1.34x1 + 37x2 − 3.24x3 = 15.73 Với  1.18x1 − 4.87x2 + 34x3 = 18.42 x (0) = [0.5; 2.3; 3.4]T , tìm vectơ lặp x (3) theo phương pháp Gauss-Seidel Giải x (3) = [0.3346; 0.4654; 0.5968]T ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 77 / 76 ... ) ta hệ phương trình tương đương với hệ (1) ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss  Hệ phương trình. .. tiếp hệ phương trình (1) Do cần phải có phương pháp để giải hệ (1) hiệu ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp. .. x3 = ng.com Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)  5 https://fb.com/tailieudientucntt HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 76 Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Định