Nội dung của bài giảng bao gồm những kiến thức về khái niệm và tính chất của đồng dư thức; tập hợp các lớp thặng dư; phương trình đồng dư; phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn; hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng Phương trình đồng dư để nắm chi tiết nội dung kiến thức.
PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Bài giảng điện tử Ts Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Ngày 20 tháng năm 2011 Nội dung Đồng dư thức Những khái niệm Tính chất đồng dư thức Tập hợp lớp thặng dư Những khái niệm Tính chất Phương trình đồng dư Phương trình đồng dư bậc ẩn Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Bài tập Đồng dư thức Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Ví dụ 19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8); Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Ví dụ 19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8); Định lý Các mệnh đề sau tương đương: a b đồng dư với theo mô-đun m; Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Ví dụ 19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8); Định lý Các mệnh đề sau tương đương: a b đồng dư với theo mô-đun m; a − b chia hết cho m; Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Ví dụ 19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8); Định lý Các mệnh đề sau tương đương: a b đồng dư với theo mô-đun m; a − b chia hết cho m; tồn số nguyên t cho a = b + mt Đồng dư thức Định nghĩa Cho m số nguyên dương Ta nói số nguyên a, b đồng dư với theo mô-đun m phép chia a b cho m ta số dư Kí hiệu a ≡ b(mod m) Ví dụ 19 ≡ 3(mod 8); −25 ≡ 23(mod 8); Định lý Các mệnh đề sau tương đương: a b đồng dư với theo mô-đun m; a − b chia hết cho m; tồn số nguyên t cho a = b + mt Định lý Quan hệ đồng dư quan hệ tương đương tập số ngun Z, có nghĩa Phương trình đồng dư bậc ẩn Định lý Phương trình ax ≡ b(mod m) a khơng chia hết cho m, có nghiệm ƯCLN(a,m)=d ước b Khi phương trình có nghiệm có d nghiệm Cách xác định nghiệm Xét phương trình ax ≡ b(mod m) với điều kiện (a, m) = < a < m Cách Chia vế cho a Nếu a ước b ta nghiệm x ≡ ba (mod m) Nếu a khơng ước b ƯCLN(a,m)=1 nên ln có số ngun k(1 k a − 1) để b+km chia hết cho a Khi phương trình cho tương đương với ax ≡ b + km(mod m) nên có nghiệm x ≡ b+km a (mod m) Cách Từ giả thiết (a,m)=1, theo định lý Euler ta có aϕ(m) ≡ 1(mod m) Nhân vế cho b ta viết lại a(baϕ(m)−1 ) ≡ b(mod m) Ta x ≡ baϕ(m)−1 (mod m) Ví dụ Ví dụ Giải phương trình 3x ≡ 5(mod 8) Ví dụ Giải phương trình 3x ≡ 5(mod 8) 7x ≡ 3(mod 12) Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Cho hệ phương trình đồng dư bậc x ≡ b1 (mod m1 ) x ≡ b2 (mod m2 ) x ≡ bk (mod mk ) m1 , m2 , , mk số nguyên lớn b1 , b2 , , bk số nguyên tùy ý Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Cho hệ phương trình đồng dư bậc x ≡ b1 (mod m1 ) x ≡ b2 (mod m2 ) x ≡ bk (mod mk ) m1 , m2 , , mk số nguyên lớn b1 , b2 , , bk số nguyên tùy ý Định lý Nếu hệ phương trình đồng dư bậc ẩn có nghiệm nghiệm Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Cho hệ phương trình đồng dư bậc x ≡ b1 (mod m1 ) x ≡ b2 (mod m2 ) x ≡ bk (mod mk ) m1 , m2 , , mk số nguyên lớn b1 , b2 , , bk số nguyên tùy ý Định lý Nếu hệ phương trình đồng dư bậc ẩn có nghiệm nghiệm Định lý (Định lý Trung Quốc.) Nếu mô-đun m1 , m2 , , mk đơi ngun tố hệ phương trình đồng dư bậc ẩn có nghiệm Cho hệ phương trình đồng dư bậc x ≡ b1 (mod m1 ) x ≡ b2 (mod m2 ) với điều kiện b1 − b2 chia hết cho d=ƯCLN(m1 , m2 ) Lúc x ≡ x0 (mod m) x0 = b1 + m1 t0 , m=BCNN(m1 , m2 ) Trong t0 tìm sau: Ta có x = b1 + m1 t ≡ b2 (mod m2 ) Vì d=ƯCLN(m1 , m2 ) ước b1 − b2 nên phương trình b1 + m1 t ≡ b2 (mod m2 ) tương m2 đương với phương trình md1 t ≡ b2 −b d (mod d ) Nhưng ƯCLN( md1 , md2 ) = nên có nghiệm t ≡ t0 (mod md2 ) Ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình x ≡ 5(mod 6) x ≡ 8(mod 15) x ≡ −1(mod 12) x ≡ 13(mod 35) Ví dụ Giải hệ phương trình x ≡ 5(mod 6) x ≡ 8(mod 15) x ≡ −1(mod 12) x ≡ 13(mod 35) Giải hệ phương trình x ≡ 3(mod 4) x ≡ 4(mod 5) x ≡ 5(mod 7) Bài tập Giải phương trình 3x ≡ 7(mod 8) 5x ≡ 4(mod 11) 7x ≡ 6(mod 13) 13x ≡ 1(mod 27) Giải phương trình 6x ≡ 27(mod 33) 10x ≡ 15(mod 65) 18x ≡ 6(mod 42) 15x ≡ 25(mod 70) Giải hệ phương trình x ≡ 4(mod 5) x ≡ 2(mod 7) x ≡ 3(mod 13) Giải hệ phương trình 3x ≡ 5(mod 4) 2x ≡ 3(mod 5) 5x ≡ 1(mod 9) ... dung Đồng dư thức Những khái niệm Tính chất đồng dư thức Tập hợp lớp thặng dư Những khái niệm Tính chất Phương trình đồng dư Phương trình đồng dư bậc ẩn Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Bài tập Đồng. .. Ví dụ Giải phương trình 3x ≡ 5(mod 8) Ví dụ Giải phương trình 3x ≡ 5(mod 8) 7x ≡ 3(mod 12) Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Hệ phương trình đồng dư bậc ẩn Cho hệ phương trình đồng dư bậc x... Phương trình đồng dư bậc ẩn Định lý Phương trình ax ≡ b(mod m) a khơng chia hết cho m, có nghiệm ƯCLN(a,m)=d ước b Khi phương trình có nghiệm có d nghiệm Phương trình đồng dư bậc ẩn Định lý Phương