Bài giải ngân hàng đề thi toán kỹ thuật dành cho sinh viên và học viên cao học, các bải giải ngân hàng đề thi toán kỹ thuật
Trang 1A LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 1:
Cho hàm biến phức f( )z =cos2z, tính f'( )i
Bài giải:
Ta có: f′( )z =(cos2z)′ =2cosz(cosz)′ =2cosz(−sinz)=−sin2z
Vậy: f′( )z =−sin2z⇒f′( )i =−sin2i
i2e23
ifz2e2zf
2cos
ndn1t
xnt
( 2 )2 2
2
9
63
32
32
3ds
d13
sin
−
=
s
s s
s t
t L
9
6
s s
s s
Trang 2Bài giải:
2
13sin2
t sin3 cos42
13sin
13sin
13sin2
=
12
14
172
74
132
32
1
++
+++
+++
=
s s
e L t e
L s
42
14
12
1
++
+
⋅
−+
⋅
=
s
s s
3
2
62
−
=
s s
ds
d e
t L s
5sin2t)ch2 -
L s F
2
5-sin2te2
5-cos3te
2
4cos3te2
L L
542
22
592
22
492
22
4
2 2
2
++
s
s s
Γ
ΓΓ
Trang 3
414
143431
2
4114313
454
Γ
+Γ+Γ
=Γ
ΓΓ
216
32
2
2163
22
2163
24
3163
12
4314316
π
⋅
=
−Γ
Γ
ΓΓ
167
22
142
212
122
14
211122
9
23
4
=
=π
π
=π
−
Γ
⋅
=+
Γ
+Γ+Γ
=Γ
Γ
Γ
12
2
1
9 0
8 8 0
8 0
!8182
ππ
−
−+
1
ππ
−
−
=∑∞
=
Trang 4ez
nxz
3 0
n
n 3 0
n
n 3n n
zez
n
n 3n 3
0 n
n 1 n n
1e
zeeze
znxz
1
6 3
3 3
zez
e
ze
zez
nn
fienf
ie
π
=π
25
252
5
11
10
252
ie
nn
fienf
ie
π
=π
22
242
2
11
20
222
B LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
,
1,
,
y x x
v y
x y u
y x y
v y x x u
Trang 5y y
x
y
Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e-2ysin2x.-3x + C
⇒ f(z) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y +i2xy + i3e-2ysin2x-i3x +Ci
Câu 2:
Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo
3e cosx -6xy 2x 3
x
xy)
2 2
x y v
2
2 3e sinx -3xx
x U
2 2 2
y - 2
y ysin e
y xcosey
y sin eyycosexsiny
Trang 6Có thể tiếp tục như câu 1…
2
cot
2sin
7 1 4 5 2
0
2 2
2
2 2
2
224
xsin
xcos
xcosxsinI
Vậy:
11
314
123
4
74
524
7454
74
524
74
52
+Γ
I
28
3
!24sin4
341
2
!2
4
114
14
34
12
!24
34
34
14
12
I=π∫2
0
2
Bài giải:
Ta có: I (2cos x 1)cos xsin 2 xdx
1 2
1 2
1 2
0
2
1 2
5
xdxsinxcosxdx
sinxcos2
1 1 4 3 2
0
1 4
1 1 4 7
2
12
2 cos xsin xdx cos xsin xdx
=
4
1434
143214
1474
1474
14
32
14
14
π
−Γ
2
22
3224
34
34
322
4
14
34
3
sinsin
I
Câu 6:
Trang 7Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: I=π∫2 cotgxcos xdx
3
1 3
1 2
0
3
1 3
7 2
0
3
1 3
13
2
2 4
3
1 3
1
44
14
4
xdxsinxcosxdx
sinxcosxdx
sinxcos
dxxcosx
cosxsinxcosI
=
6
2,6
42
16
2,6
1026
2,6
162I
6
2642
6
26
1023
6
26
162
−Γ
=
3
1322
12
3
13
23
223
3
13
53
52
⋅
−Γ
⋅
=
132sin2
1
!132sin3
22
!2
32sin3
23
52
π
π
⋅+π
π
⋅
⋅
−π
9462032sin232sin3
43
2sin9
=π
π+π
π
−π
π
=
39
532sin18
5dxxcosgxcot.I
2 0
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
2
2 1
∫
Trang 8k k
2 2
2
x
!nk
!k
12
−
=
0 k
k k
4
2
x
!nk
!k
14
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
1 0 1 1
−λ
=λ
=λ
−λ
0 k
k k
2
!nk
!k
12
J0.J.01
n n
1
1 n 1 n n
x
1 n
n 1
n 1 n n
n
+
− +
xJ.xdxx
xJ
2
2 2
2 3
2 2
k k
0 k
k k
2 2
2
x
!2k
!k
14
12
x
!2k
!k
12
xx
5tneáu0
1
t x
Bài giải:
Trang 9Ta có: X( )f x( )te dt 2 cos(2 ft)dt
5 0
ft 2 i
1
f neáu0
10Csin10f
10Csin10f5.2Csin
1fX
1f
0
ff
ffsin2
1f
f
ffsin
2
1
+π
+π
⋅+
−π
−π
+π
=+
−π
−π
=
−
5f
f
ffsinf
fCsin
4f
f
ffsinf
fCsin
0
0 0
0
0 0
2
1ffCsin2
1f
3ft3tf
x
6
1x
zy
,xZ
2 /
x 2
2
1xGyx
zy
,xZ
/ y
/ x 2
2
2 /
⇒
Trang 10là nghiệm tổng quát của phương trình x y
yx
1y,x
6
1ycosx
yx6
1y,xZ
yx
x y
x 2
2 y x y
x
ukxe
2ke
=
∂
∂
y x y
x 4kxe
ke
4 + + + (1)
y x 2
2 y
y
ukxe
Câu 14:
Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(µ;σ2) Đặt y(t) = Xe-t, t > 0
Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t > 0
Bài giải:
-Ta có hàm trung bình: m( )t =Ex( )t =Const
Trang 1144.48e42XP21X
1X
6
e3
!63
41X3X2;
1XP6
3XP
63X2;
1XP63X21XP
2 3 4
4 1 3 2 2
9
e2
!4
3e1
!2
3
!6e
3
42XP.21X
3 6
3 9
12
9 4 6
3
2.53
2.6.53
21XP
42XP2
1XP
63X2;
1XP21X63XP
Trang 123 3
2
6 4 4
e.12e
!
2
3
e2
!2
3
!1
3121X
!2
3e
!1
321X,11X
P
6 3 3
C
31
++
!1m
1a
;zfs
1 m a
ππ
zisins
Re.i2
π
⋅
⋅π
=
−
→ 4z 1
zisindz
dlim
!1
1i
3
i Z
ππ
2 3
i
zisinz81z4zicosilimi
πππ
zicosilimi2
⋅
π+
+
⋅
πππ
2 2
19
i4
3
sin3
i8
19
i43cosii
⋅++
⋅
ππ
2 2
19
i42
33
i8
19
i42
1ii2
Trang 13321645
9
53
389
5
2 2
π
2
i
;iz3iz2iz2
zisins
Re2
i
;iz31z4
zisins
( )
22
i2512
i5i2
2sini
z3iz2
zisin
−+
π
2
i
;iz3iz2iz2
zisins
Re2
i
;iz31z4
zisins
( )
22i12
ii2
2sini
z3iz2
zisin
i
2i25
2i2I
I
Câu 2:
Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân dx
xsin
xsin
zzxsin
izi3z3
1z4iz
dziz103z3
1z4iz
dz5i2
zz3
i2
zz4dx
5xsin3
xsin4
C
2 C
2 2 C
1
1 2
i3z3
1z4lim3
i
;iz3
izi3z3
1z4s
3
i Z
izi3z3
1z4lim0
;iz3
izi3z3
1z4s
0 Z
Trang 14Vậy = π −
i24
133
1i2
I Hay
3
2i12
zielim1
;21z31z
ziesRe
1 Z
11
lim1
lim
!1
13
1
;2131
Re
3
1 3
1
z z
i z i e z
z i e dz
d z
z
z i e s
Z Z
πππ
339
16134
π
i
i e i
33.22
131
π
ππ
e i dz
z i e I
b) Khi C là đường tròn |z| = 3/2 thì trong C đã cho có 2 cực điểm z = 1và Z=−31
3316
22131
π
ππ
π
e
i e i dz
z i e I
e i
+
+
5s4s3s1s
4s2L
Q
sP
2 + ++
Q
s
P
−+++++
+
=
⇒
Trang 15( )
1s
Q
s
P
1 s
Q
sP
3 s
=
1s
Q
sP
i 2 s
Q
sP
i 2 s
2
1e2
1e2
1t
1L
1s
1s
Q
sP
;2
3i3
3i3ss
1s
Q
s
P
0 s
Q
sP
2 3 i 3
Q
sP
2 3 i 3
2 3 i 3 t
2 3 i 3
e333i
2e
33i3
23
1t
⋅+
s6816s9
s433s2
6Lt
s6816s9
s433s2
6Lt
−+
s68L16s9
s43L3s2
6
2 1 1
3 1
23s
1L2
63s
9
s43
L1 2
ta có hàm ảnh ( )
( ) ( ) (3s 4)(3s 4)
s434
s3
s4316s9
s43sQ
sP
2 2
4 − ( )
25s
Q
sP
3 s
Q
sP
3 s
=
t 3
4 t
3 4 2
24
7e24
2516
s
9
s4
16
s68
L1 2
ta có hàm ảnh ( )
( ) ( ) ( ) (4s 3i)(4s 3i)
s68i
3s4
s689
s16
s68sQ
sP
2 2
;4
i
i916s
Q
sP
4 i 3 s
Q
sP
4 i 3
+
=
Trang 16t 4 i 3 t
4 i 3 t
4 i 3 t
4 i 3 2
12
9i16e
12
9i16e
i12
i916e
i12
i9169s
4 i 3 t
3
4 t
3
4 t
2
3
e12
9i16e
12
9i16e
24
7e24
25e
3t
1L
et 1
1s
1sYsY
s3
−
=+
11
s1s
1s
Y1s
1sY1
=
⇒
−
=+
1s
s1
s
11s
s1s
t
e2
t3cos2
t3sin33
eshtt
y
Câu 8:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’(t) – 4y’(t) +5y(t) = 25(t2 + 1),
thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = 0
Bài giải:
2 2
25250252525
s
s s
s t
t t t t
2{
2550)
54(
2550)
(
2550)(5)(4
)
(
3 2
3
3 2
−
−
−+
+
=+
−
i s i s s
s s
s s s
s s
Y
s
s s
Y s sY
842
25)
54(
)413
)(
42(2)54)(
42(lim2
25
54
2lim
2
250
;)2(
2
2550Re
3 2
2 2
0
2 2 2 0 3
−+
→
→
s s
s s s
s s s
s s
s ds
d i
s i s s
s s
s
s
Trang 17( )
224
25)4(224
425
2(
2lim25
2
;)2(
2
2550Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
( )
224
25)4(224
425
2(
2lim25
2
;)2(
2
2550Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
+ +
+
→ +
i
e i i
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho :
224
)4(2522
4
)4(255
42)(
) 2 ( 2
i
e i i
e i t
y
t t
i
Câu 9:
1213
1
=
zz
zz
11
z33
5z
11
z21z3z
1z
X
4 4
−
−
=
z2
11
z5
1z
3
11z5
11
z22
5z
11
z33
5
z
1
5 5
4 4
nz5n2
15
15
n
nz5n3
15
10
n
nz2
15
z5
10
n
nz3
15
2cos(
322
3)
(
21
31
df ft f
e df ft i e f e t
x
df ft i e f X f
X F
f e F t
x
ππ
21
3)
2cos(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
e
ππ
π
Trang 183 0
3
)2sin(
3)
2sin(
2
322
)2sin(
2
)
t df ft e
t t
ft e
t
π
ππ
ππ
2
13)
2sin(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
e
ππ
π
94
3)
(
)2cos(
2
32
13)
2cos(
2
)2cos(
2
32
13)
2sin(
3
2 2
0
3 0
3
0
3 0
x
df ft e
t t t df ft e
df ft e
t t t df ft e
t
f f
f f
π
ππ
πππ
ππ
ππ
ππ
Bài giải:
42t
ft2iet
xFf
2t
ft2cos22
2dt
0 t2 22
ft2cos
2f2cos22
2f
∫
∞
+λ
λπ
=λ
∫
∞
+λ
λπ
=
∧
Vậy ( ) e 4 f
2f
u
n
n n
n r
n
++
=
⇒
++
0
sincos
2
sincos
,
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
Trang 19từ điều kiện u|S = x2 – xy2 + 2.ta có : (2cos )2 2cos 4sin2 2 4cos2 8cos sin2 2
;
2 2
2 3
2 2
3 2 2
−
=+
−
=
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
r u
r
r r
r r
=
002
0
00
,xu
;xsin,
xu
t,utu
2 2
2 2 2
2 2 2 2
254
100
16100
16
508
525
2,
x
u t
u t
u x u
t t
u
x x u
t x t
x t
x t x u
x
ut
u
x x x
u
ϕ
00,
2sin0,
dv v a
at x at x t
x u
at x
at x
at x
at x
5cos.2sin2
52sin52sin,
02
1:
2
12
,
=
−+
X(t) là quá trình Poisson tham sốλ =3.Theo công thức ta có :X(t)~P(λt) thì E[X(t)]=λt
+ X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số 6 do đó E[X(2)]=6
+ X(1) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số λ =3
Trang 20Khách tới một bưu cục theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ Khách có thể yêu cầu phục
vụ với xác suất p = 0,6 và không yêu cầu phục vụ với xác suất q = 0,4 Tính xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trong số đó 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ
1 2
!5
!
3
4.6
!5
4
!3
6
!
!5
1,3
Trang 21
044,2146,0.1214
24
146,020
1096,02
14
345,1096,0.14255
3434
096,0255
343.14
14
2 3 2 3
2 3 2 3
=
=
=+
−
=
=+
=+
=+
−
=+
=
=
−
=+
W W
L W
W L
W
q q
q
ρρ
ρλ
µρ
λρ
ρ
ρλ
ρλρ
D LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = 10Ω, R2 = 30Ω, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 8sin 20t(Volt)
Đóng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 2:
a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace của
f(t) = cos10t + 2sin10t – e-10t(cos10t + 3sin10t)
Trang 22Biết điện trở R1 = R2 = 10Ω, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động
E = 50sin10t(Volt)
Đóng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = R2 = 10Ω, R = 30Ω, cuộn dây L có độ từ cảm 3,5H, suất điện động E = 203sin 2t(Volt) Đóng mạch tại thời điểm t=0 Hãy tìm cường độ i1(t), i2(t) của dòng điện tại thời điểm t >0
′
+
=
′+
′
+
=
′+
′
yxzx
zxzy
zyyx
thoả mãn điều kiện đầux(0) = 2, y(0) = -3, z(0) = 1 Tìm nghiệm x(t), y(t), z(t)
Giải :
Hệ phương trình :
( ) ( ) ( )
+
=+
+
=+
3'
'
2'
'
1'
'
y x z x
z x z y
z y y x
z y
y x
''
' (I) Đặt X(s)=L {x(t) ; Y(s)=L {y(t) ; Z(s)=L {z(t)
=
−
X sZ
Z sY
Y sX
132
Trang 23Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:
Câu 5:
Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng utt = 4(uxx + uyy + uzz )
=
− sin ze
,z,y,xu
zyx,z,y,xu
x y
0
4 3
xu
t,u
xx tt
e,xu
xsin,
xu
uu
2
0
30
yx,
y,xu0
'
2
dx x J x xf J
x J x
k k
λλ
λλ
; trong đó λk là nghiệm thực dương của phương trình J1(λ) = 0.
Giải:
a- Ta có: (x J ( )x ) x J ( )x
xdx
d.1
1 n 1 n n
n
−
−
Trang 24Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
dx
dx
Jx.xxJxxdx
d.x
1 n
n n
n 1
n 1 n n
Đây là điều phải chứng minh
b-Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
0
z n
m n
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
4 1
4
3
3 1 , 2 3
3 2
3 2 , 3
2 , 3 2
4 2 , 3 2
4 1
4
123
21
14
c- Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Jα(x) theo công thức
'
2
dx x J x xf J
x J x
k k
λλ
λλ
; trong đó λk là nghiệm thực dương của phương trình J1(λ) = 0
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
( ) J ( )z J ( )z
z z
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
2
*
*
− +
α
α α
α
αα
( ) ( )J x
J x
x
f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
k
λλλλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλλλλλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
λ λ
λ
1
1 3 2
2 3
2 3
2 2
2
2
5
2 2
2
2 2
4 3
3 2
4 0 3
3 2
4 0
1
4
0 1
4 2
2 5 1
0
1 4 4 2
2 5 1
0 1
4 2
'
1
42
4242
4
22
Trang 252 xf x J x dxJ
λ
−λ
=∑∞
=
x,J
xJx
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
Đây là điều phải chứng minh
b Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
0
m z
n
m n
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
3 0
3
2
2 2 , 1 2
2 1
2 1 , 2
1 , 2 1
3 1 , 2 1
3 0
3
112
21
13
c- Triển khai Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Jα(x) theo công thức
2 xf x J x dxJ
λ
−λ
=∑∞
=
x,J
xJx
Trang 26
( ) J ( )z J ( )z
z z
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
2
*
*
− +
α
α α
α
αα
( ) ( )J x
J x
x
f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
k
λλλλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλλλλλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
λ λ
λ
0
1 3 1
2 2
1 3
2 2
3 2
2 1
3 0 2
2 1
3 0
0
3
0 0
3 2
2 4 1
0
0 3 3 2
1 4 1
0 0
3 2
'
0
22
2222
2
22
1
.Tìm mật độ phổ b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n)
e e
e e
n K e f
f i f
i
f i n
n
f in n
x f in
π
π
π π
π π
π
2cos4041
14
5
44
5
419
15
49
1
2
2 2
2 2
0 2
0 0
2
31
9
91
9
93
19
99
13
z z
z z z
n z
n x z
X
z
z z
z
n
n n n
n n
n
n
n n
Câu 11:
Trang 27Cho Θ là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn [0, 2π], R là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
−
,
,e
rr
f
r R
0
2 2
2 2
Giả sử Θ và R độc lập
a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + Θ)là một quá trình dừng
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
2 0 2
3 2
2 2
2
0 2
1 2
0 2 2
2222
2
5cos2
5cos2
25cos
5cos5
cos
5cos5
cos)
();
cos
2
22
322
5cos5
cos)
(
2 2
2 2
σσ
σσ
ττ
ττ
ττ
πσσ
σσ
σ
σ
=Γ
++
=
Θ+Θ
++
=+
=
=Θ+
=
=
=
Θ+
=Θ+
e
r R
E
R E
t E
R E
t t
E R E
t R t
R E t x
dt e t dr
e
r R
matkhacE
t E R E t
t r
Vậy {x(t)} là quá trình dừng có hàm tự tương quan K x( )τ =σ2cos5τ
Hàm trung bình : m(t)=E[x(t)]=0 (Đã tính được kết quả ở phần trên)
Ta có :
( )
05cos2
112
1lim
05cos
05cos
5cos2
5cos2
1lim5
cos2
12
1lim
01
1
lim
2 2
2 0
2 2
2 2
0 0
=+
tdt
tdt t
tdt tdt
t
godic quatrinher dt
t K T
t T
n
n T
T
x T
σππ
σ
π
σσ
π
σππ
π π
Trang 28b) Cho quá trình dừng ergodic x(t) có mật độ phổ
nÕu
,
f),
f()
(
x
0
55
e e d
2 2 2
425
10
π
στ
στ
2 5
5
2 2
a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) = a-nu(n), a > 0
i) Tìm biến đổi Z của x(n)ii) Tìm biến đổi Fourier của x(n)iii) Tìm biến đổi Fourier của y(n) = nx(n) b) Tìm biến đổi Fourier ngược của
nÕu
,
f,
e)(X
f i
0
41
n n
n
az
az az
z n u a z
n x z
n x z
X
+ Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là :
f i
f i
n f i nf
ae ae ae
ae e
n x f
π
π
π π
2
11
1
1)
2 2
0
2 2
Trang 29
( ) ( )
2
1
12
2
1)
(
)(2
f i
f i
f i n
fn i n
nf i
ae
ae f
Y
ae
ae df
d i f X df
d f i e
n nx
e n x n i f
X df d
π π
π
π π
π
ππ
nÕu
,
f,
e)(
0
41
21
42
1
42
4
24sin21
42
cos2)
(
4 1 0
4 1
4 1
4 2 4
1
4 1
2 8 2
n c n
n n
n n
x
df f n df
e df e e df e f X n
ππ
π
π π
π π
Câu 14:
Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất
P{Z1 = -1} = P{Z1 = 1} = 1/2 Đặt x(t) = Z1 cos5t + Z2sin5t
a) Chứng minh x(t) là quá trình dừng
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
1 2
Z
Vậy {x(t)} là quá trình dừng
b- Tìm hàm trung bình, hàm tự tương quan:
+ hàm tự tương quan : K x( )τ =cos5τ
+ Hàm trung bình:
m(t)=E[ ] [x(t) = E Z1cos5t+Z2sin5t]=cos5tE[ ]Z1 +sin5tE[ ]Z2
Trang 30a- Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng:
+ hàng M/M/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ có phân bố mũ tốc
14286,01
4286,07
312141412
=+
λλ
µ
λµµλ
q q
q q
W L
W W W
+ hàng M/D/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ không đổi tốc độ µ
12143,02
21
2143,014
3121414.2
122
=
−
−
=+
λλ
λµµ
λ
µµ
λµµλ
q q
q q
W L
W W W
+ hàng M/E5/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang-k với tốc độ µ
1
328,014
1257,01
257,035
9121414.5.2
6.122
=+
λλ
µ
λµµλ
k
k W
L
W W
k
k W
q q
q q
b-Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM / Ek/ 1 không vượt quá 3
Độ dài trung bình của hàng M/Ek/1 là :
Trang 31( )
6
37
11856
114412
14142
122
k k
k k