Giải ngân hàng đề thi trắc nghiệm toán A2 Đại số tuyến tính

Chúng tôi chia bài tiểu luận thành những chương khác nhau, với hai mục riêng biệt là Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập trắc nghiệm trong ngân hàng câu hỏi. Ngoài ra chúng tôi còn giải thêm một số bài tập nâng cao liên quan đến chương đó, nhằm góp cho tất cả các bạn hiểu rõ hơn về chương đó.

Phần một MỞ ĐẦU

hằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả cỏc bạn sinh viờn về phần Đại số tuyến

tớnh Đặc biệt là những kỹ năng cơ bản để làm tốt những bài tập trắc nghiệm,

chuẩn bị cho tất cả cỏc bạn sinh viờn trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này Đú cũng chớnh làmột trong những lý do, mà nhúm 7 chỳng tụi làm đề tài tiểu luận với việc “ Giải ngân hàng đề thi trắc nghiệm toán A2 - Đại số tuyến tính ”

N

Chỳng tụi chia bài tiểu luận thành những chương khỏc nhau, với hai mục riờng

biệt là Túm tắt lý thuyết và Giải bài tập trắc nghiệm trong ngõn hàng cõu hỏi Ngoài

ra chỳng tụi cũn giải thờm một số bài tập nõng cao liờn quan đến chương đú, nhằm gúpcho tất cả cỏc bạn hiểu rừ hơn về chương đú

Tuy nhiờn chắc chắn chỳng tụi sẽ khụng trỏnh khỏi những thiếu sút Nhúm 7 lớp DHTP3 rất mong nhận được những ý kiến đúng gúp của tất cả cỏc thầy cụ và cỏcbạn sinh viờn ở trong trường cũng như ngoài trường, để lần sau nhúm 7 viết tiểu luậnđạt kết quả cao hơn

-Nhúm 7 xin chõn thành cảm ơn Thạc sĩ Hồ Thị Kim Thanh, Khoa Khoa học

cơ bản, Trường Đại học Cụng Nghiệp Thành phố Hồ Chớ Minh đó giỳp nhúm 7 hoàn

thành bài tiểu luận này

Những chỉ dẫn và đúng gúp xin gởi về Nhúm 7 - lớp DHTP3, Trường Đại học

Cụng Nghiệp Thành phố Hồ Chớ Minh, số 12 Nguyễn Văn Bảo, Phường 4, Quận Gũ Vấp, Tp Hồ Chớ Minh Xin chõn thành cảm ơn!

 Hai ma trận bằng nhau: A = B nếu (A)ij = (B)ij, i = 1 m _, , j = 1 n _,

 Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij = k(A)ij, i =1 m , , j = 1 n , , kR

 Phép cộng ma trận: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = 1 m _, , j = 1 n ,

 Hiệu hai ma trận: A – B = A + (- B)

 Phép nhân hia ma trận: (AB)ij = KJ

n k

ik B

A) ( )(

 Tính chất:

(A + B)T = AT + BT

(aA)T = aAT

(AT)T=A(AB)T=BTAT

*Tổng quát:

(A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T

Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A

2.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang

2.4.1 Ma trận bậc thang

Là ma trận có tính chất sau:

 Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không

 Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàngtrên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua)

2.4.2 Các phép biến đổi sơ cấp

Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơcấp đối với hàng như sau:

 Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không: hi  h i(   0 )

 Cộng vào các phần tử của hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã nhânvới một số hi  h i h i(   0 )

.

 Đổi chỗ hai hàng cho nhau: hi hj.

 Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng

* Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến

đổi sơ cấp đối với cột

B ĐỊNH THỨC

1 Định nghĩa

* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0.

* Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu

* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0.

* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0

thì detA cũng được nhân lên với số đó

* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.

* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng

thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức

* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì

định thức không thay đổi

* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của

các dòng còn lại thì detA không đổi

3 Một số phương pháp tính định thức

3.1 Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột

Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là ij : Aij = (-1)i+j

ij gọi làphần bù đại số của aij.

3.2 Phương pháp Gauss

Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đóđịnh thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

3.3 Khai triển Laplace

 Mở rộng công thức khai triển theo một hàng hay một cột thành công thức khaitriển trên k hàng k cột

 Định lý Laplace: Chọn k hàng bất kì trong detA, gọi M1, M2,…,Ms là tất cả cácđịnh thức con cấp k do k hàng vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và

A1,A2,…,AS là phần bù đại số tương ứng ta có detA = M1A1 + M2A2 + ….+

MSAS

S=k(n n k)

3.4 Phương pháp truy toán

Biến đổi định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn để tính

4 Ứng dụng của định thức

 Hạng ma trận: Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không

của A Kí hiệu r(A)

 Tìm hạng ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng ma trận

bậc thang khi đó hạng ma trận bằng số các hàng khác không

n

n n

A A

A

A A

A

A A

2 22

21

1 21

11

A~ gọi là ma trận phụ hợp của A

b) Ma trận không suy biến

Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA 0

Câu 7: (Trần Thị Thuý Nga)

  Tìm m để   0

Giải

Để

 

Để

   Tìm m để   0.

Giải

m2 + 4 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Câu 27: (Trần Thị Thuý Nga)

Chọn đáp án (a) vì hàng 1 cua đổi thành hàng 2 của

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)  1 2 b)   2 2 1 c)   2 4 1 d) Các kết qủa trên đều sai

2 2

2 2

x x

 

 

Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình

Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình.

Vậy số nghiệm phân biệt r là 1

Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình



Vậy số nghiệm phân biệt r là 2

Tìm số nghiệm phân biệt r của phương trình



Giải

Ta có : A

Vậy số nghiệm phân biệt r là 0



Vậy luôn có nghiệm với mọi x

1 2 3 4 5

5 10 15 20 35A

Câu 60: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến)

Vậy không tồn tại m để có hạng bằng 2.

m m

Để r(A) = r(D) =2 thì không tồn tại m để hạng = 2

Để r(A) = r(C) = 2 thì không tồn tại m để hạng = 2

1 1 4 3A

Ta nhận thấy không tồn tại giá trị m nào để A khả nghịch.

Tính ma trận nghịch đảo của ma trận

Câu 117: (Trần Thị Thuý Nga)

Từ XA=B suy ra: X= BA-1

*Vậy không tồn tại ma trận X thỏa XA = B.

11 21

12 22

2 1Ã=

*Vậy không tồn tại ma trận X thỏa XA = B.

Gọi là hệ phương trình tuyến tính (1).

+ Nếu b1 = b2 = …= bn thì (1) gọi là hệ phương trình thuần nhất

+ Ngược lại, nếu tồn tại i thuộc {1,2,…,m}, bi # 0 thì hệ (1) gọi là hệ khôngthuần nhất

Do đó vấn đề đặt ra là: + Hệ tương thích hay không tương thích

+ Nếu hệ tương thích thì xác định hay không xác định + Tìm nghiệm khi hệ tương thích.

3 Phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

5 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss

Nội dung của phương pháp này là biến đổi: AX = B về CX = D, trong đó C là

ma trận tam giác hoặc ma trận bậc thang

Trong quá trình biến đổi cần lưu ý các điểm sau:

 Nếu thấy xuất hiện một dòng không thì có thể xóa bỏ dòng đó

 Nếu thấy xuất hiện 2 dòng bằng nhau hay tỉ lệ với nhau thì có thể xóa đi 1 dòng

 Nếu thấy xuất hiện 1 dòng dạng (0 0…0 a), (a#0) thì kết luận hệ vô nghiệmngay mà không cần biến đổi tiếp

6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

* Định lý: Hệ thuần nhất (2) không tầm thường rA < n

* Hệ quả 1: Hệ (2) với số pt bằng số ẩn (m = n) có nghiệm không tầm thường

A = 0

*Hệ quả 2: Nếu hệ (2) có số phương trình bé hơn số ẩn (m < n) thì luôn luôn có

nghiệm không tầm thường

Thay m = 1 vào hệ phương trình trên ta được 0 0 1( )

*Vậy với m = 1 thì hệ phương trình trên vô nghiệm.

m

m m A

Vậy với m = -1 thì hệ phương trình tuyến tính trên vô nghiệm.

Vậy với m 3 thì hệ phương trình tuyến tính đã cho conghiệm duy nhất

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ trên vô nghiệm,  m R.

b) Hệ trên có nghiệm,  m R.

c) Hệ trên có vô số nghiệm,  m R.

d) Các khẳng định trên đều sai

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1.

b) Hệ vô nghiêm khi m 1.

c) Hệ có nghiêm khi và chỉ khi m 1.

d) Hệ trên có nghiệm với mọi m

Cho hệ phương trình tuyến tính

khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ trên có duy nhất nghiệm với mọi m

b) Hệ trên có vô số nghiệm với mọi m

c) Hệ trên có nghiệm với mọi m

d) Hệ trên vô nghiệm khi và chỉ khi m 1.

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

*Kết luận: Hệ phương trình tuyến tính trên vô nghiệm.

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Câu 149: (Nguyễn Thị Kiều Xinh)

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

t y

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

2

2 1 1 2 1 2 1 2 0

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

4 3

5 3

1 0 4 3 5 3 3 3 4 3 5 3 5 3

17 4 11 2

z x z

z x

t y

t x

7 2 3 9

5 5

4 3

t y

t z

(Với tR)

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

t y

t z

7 11

(Với tR)

Giải hệ phương trình tuyến tính

z x

x

t y

t z

(Với tR)

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

1 0

0 1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0, 2, 1).

Giải hệ phương trình tuyến tính

t z

t

y (Với tR)

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

0 0

1 1

t y

t z

5 2

0 0

0

1

0

z x

z

z





Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-1, 1, 0).

Giải hệ phương trình tuyến tính

2 2

0 1

t z

y

1 2

(Với tR)

Giải hệ phương trình tuyến tính

t x

t y

t z

(Với tR)

Giải hệ phương trình tuyến tính

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1, 0, 0).

Giải hệ phương trình tuyến tính

Vậy hệ phương trình đã cho có họ nghiệm là (3t +1, t, 0) (Với tR)

Giải hệ phương trình tuyến tính

1 3

Giải hệ phương trình tuyến tính

0 1

1 3

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Giải hệ phương trình tuyến tính

Giải hệ phương trình tuyến tính

02

y

t x

2 (Với t  R)

Giải hệ phương trình tuyến tính

4 1

7 3

1 1

2 1

Vậy hệ phương trình có một duy nhất (5, -5, -2)

Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm:

3 2

1 0

0 2

Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

0

1 1

0 1

Câu 180: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến)

Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

1 5

0

2 2

1 0

2 2

9 5

4 2









Để hệ phương trình vô nghiệm  m -1 ≠ 0  m ≠ 1

m m

0 5

1 3

Để hệ phương trình có vô số nghiệm  m +10 = 0  m = -10

Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:





 1 0 1 1 1 3 4 11 8 1 5 1 3

Để hệ phương trình có nghiệm  m – 1 = m  Không tồn tại m

Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:







 0 1 1 1 3 4 12 8 1 5 1 3

0

0 0

0

1 1

0

0

1 1

0

1 1

 Hệ phương trình có vô số nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm m.

Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Vậy với m 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm.

Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

Để hệ phương trình vô nghiệm  m-2 ≠ 1  m ≠ 3

Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

Vậy hệ phương trình vô nghiệm 2 1 0 1

11

m m

2

2m m m m m m

Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

m m

1 2

Hệ phương trình có vô số nghiệm  4(2m - 19) = 12m – 80  m = 1

Vậy đáp số là m = 1

Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm:

Hệ phương trình có vô số nghiệm  2m-19 = 4m-21

 2m = 2  m = 1

Vậy với m = 1 thì hệ đã cho có vô số nghiệm.

Câu 197: (Trần Thị Thuý Nga)

Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

m m m m

Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất :

m

m

m

m

*Vectơ không là vectơ có tất cả các thành phần bằng không, kí hiệu là 0

* Vectơ đơn vị là vectơ có 1 thành phần bằng 1, còn các thành phần khác bằng

không , kí hiệu Ei = (0,…,0,1,0, ,0)

* Hai vectơ n chiều X và Y bằng nhau Kí hiệu X = Y khi xj = yj (j = 1,…,n)

1.1.2 Các phép toán vectơ

 X + Y = ( x1+y1, x2+y2, , xn+yn)

 kX = (kx1,kx2,…,kxn)

 kX = -X = (-x1,-x2,…,-xn)

 X + (-Y) = X – Y

*Tính chất các phép toán về vectơ n chiều

X ,Y, Z là các vectơ n chiều và a, b thuộc R:

1.2 Không gian vectơ n chiều

Tập hợp tất cả các vec tơ n chiều với 2 phép toán cộng và nhân với một số thực

2 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

k1A1 + k2A2 + ….+ knAn = phụ thuộc tuyến tính khi các số thực k1, k2,…, kn

không đồng thời bằng không

+ Nếu A độc lập tuyến tính thì hệ con cũng độc lập tuyến tính.

+ Nếu hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ ban đầu cũng phụ thuộc tuyến tính + Hệ (A 1 , A 2 ,…, A n ), với n > 2 phụ thuộc tuyến tính khi một vectơ của hệ biểu thị tuyến tính.

+Nếu 1 vectơ biểu thị tuyến tính thì đó là biểu thị duy nhất.

*Định lý: Trong Rn nhiều hơn n vector thì phụ thuộc tuyến tính

Hệ (A1, A2,…, An) gọi là cơ sở của Rn nếu nó độc lập tuyến tính và mọi vectơ

của hệ đều là tổ hợp tuyến tính các vectơ của nó.

* Định lý: Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong R n đều là cơ sở của R n

.

7 Tọa độ vec tơ đối với một cơ sở

Giả sử B = (X1, X2,…, Xn) là một cơ sở của Rn Và X là một vectơ tùy ý của Rn

T= … … …

tn1 … tnn

Trong đó cột thứ j của T là tọa độ của X” trong đó B gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B

sang B ”

9 Phép biến đổi tuyến tính

Phép biến đổi tuyến tính trong Rn là một ánh xạ f: Rn Rn thỏa mãn các điềukiện sau:

f (X + Y)= f(X) + f(Y) (X, Y thuộc Rn)

f(aX) = af(X)

10 Ma trận của phép biến đổi tuyến tính

Giả sử U =(U1, U2,…, Un) là một cơ sở nào đó của không gian Rn xét

f : RnRn

Ta có biểu diễn các ảnh f(Ui), i = 1, 2,…, n qua cơ sở U:

f(U1) =

PhÇn 2 Bµi tËp tr¾c nghiÖm

Xác định m để vectơ 1, ,1m là một tổ hợp tuyến tính của

2 1

Để vectơ (1, m, 1) là tổ hợp tuyến tính của u, v, w thìm 2   2  m 0

Cộng vế theo vế của phương trình (1) với phương trình (2) ta được phương trình (3) ta

được 2 + m + 4 = m + 6 đúng với mọi m.

Vậy vector M = (2, m+4, m+6) luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của u = (1,2,3), v =(3,8,11), w = (1,3,4)

Điều kiện của bài toán  với điều kiện của m để hệ trên có nghiệm k2+ k2 + k2 ≠ 0

Tìm điều kiện để vectơ x x x1, ,2 3là một tổ hợp tuyến tính của

Hệ đã cho tương đương với ma trận:

1 2 3

Tìm điều kiện để vectơ x x x1, ,2 3là một tổ hợp tuyến tính của

Tìm m để vectơ 1, ,1m  không phải là một tổ hợp tuyến tính của

1 2 3

4 12 16 x

Để M không phải là một tổ hợp tuyến tính thì: m – 2  -3  m  -1

Vậy m  -1 thì M không phải là một tổ hợp tuyến tính của u = (1,2,4), v = (2,1,5), w =

(3,6,12)

Xác định m để vectơ 1, ,1m không phải là một tổ hợp tuyến tính của

Vậy với m  C thì M là một tổ hợp tuyến tính

Vậy không có giá trị nào của m để vector M = (1,m,1) không phải là một tổ hợp

tuyến tính của u = (1,1,3), v = (2,2,5), w = (3,4,3)

Xác định m để vectơ 1,m2,m4không phải là một tổ hợp tuyến tính của



Hệ trên vô nghiệm  m tùy ý thì vector M không phải là một tổ hợp tuyến tính

Vậy m tùy ý thì vector M = (1, m+2, m+4) không phải là một tổ hợp tuyến tính của u

= (1,2,3), v = (3,7,10), w = (2,4,6)

Tìm điều kiện m để vectơ x x x1, ,2 3không phải là một tổ hợp tuyến tính của

Ma trận trên luôn có nghiệm k1, k2, k3

Vậy không có giá trị nào của x 1 , x 2 , x 3 để vector M = (x1, x2, x3) không phải là một tổhợp tuyến tính của u = (1,2,1), v = (1,1,0), w = (3,6,4)

Trong các mệnh đề trên do tồn tại vector không  nên khi xếp các vector trên vào một

ma trận để tính thức thì det = 0 nên các vector trên không thể độc lập tuyến tính Vì vậy

chúng phụ thuộc tuyến tính (Tính chất 2).

Vậy đáp án đúng là d

Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính:

Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính:

Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính:

Để 3 vector trên phụ thuộc tuyến tính thì hạng của ma trận rA < 3  m 1

Vậy m = 1 thì 3 vectorum,1,3, 4 , vm m m, , 2,6 , w2 , 2,6,10m  phụ thuộc tuyếntính

Xác định m để 3 vector sau đây phụ thuộc tuyến tính:

Xác định m các vector sau đây phụ thuộc tuyến tính:

Để 3 vector trên phụ thuộc tuyến tính thì det A = 0  10(m-1) = 0  m = 1

Vậy m = 1 thì 3 vector u1 = (2,3,1,4), u2 = (4,11,5,10), u3 = (6,10,m+5,18), u4 =(2,8,4,7) phụ thuộc tuyến tính

Xác định m các vector sau đây phụ thuộc tuyến tính: