Giải ngân hàng đề thi toán A2 docx

BÀI GIẢI NGÂN HÀNG ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP A2HỆ 5 NĂM KHÓA 1 PHẦN I: DÙNG CHO NGÀNH ĐTVT và CNTT 4 tín chỉ A.

BÀI GIẢI NGÂN HÀNG ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP A2

HỆ 5 NĂM KHÓA 1 PHẦN I: DÙNG CHO NGÀNH ĐTVT và CNTT (4 tín chỉ)

A LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM

Câu 2: Hệ vectơ sau của không gian 34 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

1 (4, 5, 2,6); 2 (2, 2,1,3); 3 (6, 3,3,9) ; 4 (4, 1,5,6)

Bài giải:

Ta có:

A =

⇔ r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34 phụ thuộc tuyến tính

Câu 3: Hệ vectơ sau của không gian 34 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

v1= (1,3,5, 1) − ; v2 = (2, 1, 3, 4) − − ; v3 = (5,1, 1,7) − ; v4 = (7,7,9,1)

Bài giải:

Ta có:

A =

 − − ÷  − − ÷

− −

⇔ r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34phụ thuộc tuyến tính

Câu 4: Tìm hạng của hệ vectơ sau của không gian  4:

v1= (3,1, 2,4) − ; v2= (2,4,5, 3) − ; v3 = (13,7,6, 3) − ; v4 = − ( 1,7,5,2)

Bài giải:

Ta có:

A =

16 79

−

⇒ r (A) = 3 < n = 4

Vậy không gian 34phụ thuộc tuyến tính.

Câu 13: Tìm hạng của ma trận:

8 4 6 2

3 1 4 2

6 2 8 3

4 2 3 1

A

Bài giải:

Ta có:

A

=  ÷  ⇒ ÷  ⇒ ÷ ⇒  − − − ÷

−

Vậy: r (A) = 3

Câu 14: Tìm hạng của ma trận:

5 2 3 1

4 1 2 3

1 1 1 2

3 4 1 2

A

−

Ta có:

A

− −

Vậy: r (A) = 3

B LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM

Câu 3: Giả sử 3 véc tơ u v , và w độc lập tuyến tính Chứng minh rằng:

a) u v + − 2 w, u v w − − và u w + là độc lập tuyến tính

b) u v + − 3 w, u + − 3 v w và v w + là phụ thuộc tuyến tính

Bài giải:

a) Từ đề bài ta có:

A

=  − − ⇒ ÷  ÷  ⇒ ÷

⇒ r (A) = 3 = n là điều cần chứng minh

b) Từ đề bài ta có:

A

−

=   − ⇒ ÷  ÷  ÷  ÷ ⇒  ÷ 

⇒ r (A) = 2 < n = 3 là điều cần chứng minh

Câu 6: Viết 3 1

1 2

=     thành tổ hợp tuyến tính của:

1 1

0 1

=  − 

 ,

1 1

1 0

=  − 

  và

1 1

0 0

 .

Bài giải:

E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:

Ta có: E = aA + bB + cC

⇔

3

2 1

1 1

3 ( 2) ( 1) 6 2

a b c

a

a b c

b b

c a

+ + =



 + − = −

 ⇔  = −

 − = 

  = − − − − = 

− =



Thay nghiệm vào phương trình còn lại:

a + b – c = -1 ⇔ - 2 – 1 – 6 ≠ - 1 ⇒Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C

1 2

=   − −   thành tổ hợp tuyến tính của:

1 1

0 1

=   −  , 1 1

1 0

=   −   và 1 1

0 0

=    

Bài giải:

E biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C:

Ta có: E = aA + bB + cC

2

1 1

2 1

2

a b c

b

a b c

a b

c a

+ + =



 + − =

⇔  ⇔  =

− = −

  = − − = − 

− = −



Thay nghiệm vào phương trình còn lại:

a + b – c = 1⇔2 + 1 – (-1) ≠1⇒Không thỏa ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Vậy E không biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua A, B, C

Câu 8: Biểu diễn véc tơ u = (3,6, 6,0) − thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:

1 (3, 2, 4,1)

v = − , v2 = (1,5,0,3), v3 = (4,3, 2,5) − .

Bài giải:

Vectơ u biểu diễn tổ hợp tuyến tính qua v v v1, 2, 3:

Giả sử: u a = v v1+ b 2− cv3

3 4 3

2

1

1

a b c

a

a b c

b

a c

c

a b c

+ + =



 + + =

− − = −

  = − 

 + + =



Nghiệm a, b, c thỏa hệ phương trình

Vậy: u = 2 v v v1+ 2− 3

Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1= − (1, 1,1); v2 = (2,1, 3); − v3 = (3, 2, 5) − là một cơ sở của không gian

3

 Tìm toạ độ của vectơ u = (5,3, 4) − trong cơ sở này

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

A

=  − ⇒ ÷  − ÷

 − ÷  − ÷

⇒r (A) = 3 = n

Vậy:E = { v v v1, 2, }3 là một cơ sở của không gian  3

Giả sử tọa độ của vectơ u = (5,3, 4) − trong cơ sở E = { v v v1, 2, }3 là: uE= ( , , ) x y z

Ta có: u x = v1+ y v2+ z v3

⇒ − + +  = ⇒  = −

 − − = −  =

Vậy: tọa độ của vectơ u = (5,3, 4) − trong cơ sở này là uE= (4, 19,13) −

Câu 10: Chứng tỏ rằng hệ vectơ v1= (5,3, 8); − v2 = (3, 2, 5); − v3 = (4,1, 4) −

là một cơ sở của không gian  3 Tìm toạ độ của vectơ u = ( 6 , 2 , − 7 ) trong cơ sở này

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

A

=  − ⇒ ÷  − ⇒ ÷  − ⇒ ÷  − ÷

 − ÷  − ÷  − ÷  − ÷

⇒r (A) = 3 = n

Vậy:E = { v v v1, 2, }3 là một cơ sở của không gian  3

Giả sử tọa độ của vectơ u = ( 6 , 2 , − 7 ) trong cơ sở E = { v v v1, 2, }3 là: uE= ( , , ) x y z

Ta có: u x = v1+ yv2+ zv3

5 3 4 6 1

⇒  + + = ⇒  = −

 − − − = −  =

Vậy: tọa độ của vectơ u = (6, 2, 7) − trong cơ sở này là uE = − (1, 1,1)

Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:















= +

− +

=

− +

+

=

− +

+

= +

+ +

1 3

2

3 7

9 3

2

3 2

3 6

4

3 8

12 8

4 3 2

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x x

x

x x

x x

x x

x x

x mx x

x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

Vậy với∀m hệ phương trình có vô số nghiệm

Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:















=

−

−

−

= +

+

−

= +

+

−

= +

+

−

9 5

6 8

1 7

3

2 4

17 7

3 7

3 4

2

3 5

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

m x x

x x

x x

x x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

5 3 2 4 3 8 6 1 5 9 1 6 8 5 9

m

m

⇒

- Với m = 0 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm

- Với m≠ 0 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm

Câu 14: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:















= +

− +

=

− +

+

= +

+ +

= +

+ +

1 8

9 5

3 2

5 3

13 5

4 5

5

3 7

2

4 3

2

1

4 3

2

1

4 3

2

1

4 3

2

1

x x

x

x

x x

x

x

x x

mx

x

x x

x

x

Bài giải:

Từ đề bài ta có:

- Với m - 18 = 0 ⇒ m = 18 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm

- Với m - 18 ≠ 0 ⇒ m ≠18 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm

Câu 15: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính:

2x 5x x 3x 2 2x 3x 3x mx 7 4x 6x 3x 5x 4 4x 14x x 7x 4









Bài giải:

Từ đề bài ta có:

m

m m

 − − − − ÷

÷  − − − ÷

- Với m - 1 = 0 ⇒ m = 1 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm

- Với m - 1≠0 ⇒ m ≠1 ⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm

C LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM

Câu 1: Đặt 1V , 2V lần lượt là hai không gian vectơ con của  4gồm các véctơ v = ( x1, x2, x3, x4) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):









=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

0 2

2

0 4

4 5

3

0 2

3 3

2

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x









=

− +

+

=

− +

+

= +

− +

0 4

6 5

3

0 3

4 2

0 9

10 2

) (

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Hãy tìm số chiều của các không gian con 1V , 2V , 1V + 2V , 1V ∩ 2V

Bài giải:

I

⇒  − − − ÷  ⇒ − ÷ ⇒  − ÷

(1)

x x2− 3+ 2 x4= ⇒ 0 x x2= 3− 2 x4

x1− 2( x3− 2 x4) − x3− 2 x4= ⇒ 0 x1− 3 x3+ 2 x4= ⇒ 0 x1= 3 x3− 2 x4

V1= ( x x x x1, 2, 3, 4)

(3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)

x x x x x x

⇒ V1= {(3,1,1,0),( 2, 2, 0,1)} − − là một cơ sở , cũng là tập sinh

⇒ dimV1= 2

1 2 4 3 0 1 2 4 3 0

II

⇒  − ÷  ⇒ − − ÷ ⇒  − − ÷

(2)

− x2− 6 x3+ 5 x4= ⇒ 0 x2= − 6 x3+ 5 x4

x1+ − 2( 6 x3+ 5 x4) 4 + x3− 3 x4= ⇒ 0 x1= 8 x3− 7 x4

V 2= ( x x x x1, 2, 3, 4)

(8, 6,1,0) ( 7,5, 0,1)

= − − +

2 {(8, 6,1, 0),( 7,5,0,1)}

V

⇒ = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh

2

Do: x ∈ V1; x ∈ V2⇒ ∈ x V V1I 2

Từ (1) và (2) ta có:

−

⇒ − = ⇒ =

x x2− 3+ 2 x4= ⇒ 0 x x2− 4+ 2 x4= ⇒ 0 x2= − x4

x1− 2 x x2− 3− 2 x4= ⇒ 0 x1+ 2 x x4− 4− 2 x4⇒ x x1= 4

1 2 ( 4, 4, 4, 4)

V V I = x x x x − = x4(1, 1,1,1) −

1 2 {(1, 1,1,1)}

V V I = − là một cơ sở , cũng là tập sinh

dim V V I = 1

Tacó: dim V V1+ 2= dim V1+ dim V2− dim V V1I 2= + − = 2 2 1 3

Câu 2: Trong không gian  4 xét các vectơ: v1= ( 2 , 4 , 1 , − 3 ); v2 = ( 1 , 2 , 1 , − 2 ); v3 = ( 1 , 2 , 2 , − 3 );

) 7

,

3

,

8

,

2

(

u ; u2 = ( 1 , 0 , 1 , − 1 ); u3 = ( 3 , 8 , 4 , − 8 )

Đặt 1V , 2V là hai không gian vectơ con của  4 lần lượt sinh bởi hệ vectơ { v1, v2, v3} và { u1, u2, u3} Hãy tìm số chiều của các không gian con 1V , 2V , 1V + 2V , 1V ∩ 2V

Bài giải:

Ta có:

V

=  − ⇒ ÷  − ⇒ ÷  − ⇒ ÷  − ÷

(1)

1

dim V 3

2

V

−

=  − ⇒ ÷  − ⇒  ÷ − ÷

(2)

2

Từ (1) và (2) ta có:

1

dim

 ÷  ⇒ − ÷  ⇒ − ÷  ⇒ − ÷ ⇒

⇒ V V + 2= 4

Tacó: dim V V1+ 2= dim V1+ dim V2− dim V V1I 2

Câu 3: Đặt 1V , 2V lần lượt là hai không gian vectơ con của  4gồm các véctơ v = ( x1, x2, x3, x4) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):









=

− +

+

=

− +

+

= +

− +

0 3

4 2

0 4

6 5

3

0 3

2 5

4

)

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x









=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

0 2

2

0 6

5 7

4

0 2

3 3

2 ) (

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Hãy tìm số chiều của các không gian con 1V , 2V , 1V + 2V , 1V ∩ 2V

Bài giải:

I

⇒  − ÷  ⇒ − − ÷ ⇒  − − ÷

(1)

(1) ⇒ − − x 6 x + 5 x = ⇒ 0 x = − 6 x + 5 x

⇒ + − x1 2( 6 x3+ 5 ) 4 x4 + x3− 3 x4 = ⇒ = 0 x1 8 x3− 7 x4

Ta có:

( , , , )

(8 , 6 , ,0) ( 7 ,5 ,0, ) (8, 6,1,0) ( 7,5,0,1)

V x x x x

V x x x x x x

=

= − − +

Vậy: E = {(8, 6,1,0),( 7,5, 0,1)} − − là một cơ sở , cũng là tập sinh

⇒ dim V1= 2

1 2 1 2 0 1 2 1 2 0

II

⇒  − − ÷  ⇒ − ÷ ⇒  − ÷

(2) ⇒ − + x x 2 x = ⇒ 0 x = − x 2 x

⇒ − x1 2( x3− 2 ) x4 − − x3 2 x4 = ⇒ = 0 x1 3 x3− 2 x4

Ta có:

( , , , )

(3 , , ,0) ( 2 , 2 ,0, ) (3,1,1,0) ( 2, 2,0,1)

V x x x x

V x x x x x x

=

Vậy: F = {(3,1,1,0), ( 2, 2,0,1)} − − là một cơ sở , cũng là tập sinh

⇒ dim V2 = 2

Ta có: R = {(3,1,1,0),( 2, 2,0,1),(8, 6,1,0),( 7,5,0,1)} − − − −

là một cơ sở , cũng là tập sinh của V V1+ 2

⇔  − ÷ ⇔  − ÷ ⇔  − ÷ ⇔  − − ÷ ⇔  ÷

 − − ÷

⇒ + =

Ta có : dim V1I V2 = dim V1+ dim V2− dim V V1+ = + − =2 2 2 3 1

Câu 4: Trong không gian  4 xét các vectơ: v1 = ( 2 , 1 , 2 , 1 ) ; v2 = ( 3 , 4 , 2 , 3 ); 3v = (2,3,1,2);

) 3 , 1

,

1

,

1

(

1 = − −

u ; u2 = ( 1 , 1 , 0 , − 1 ); 3u = (1,1,1,1) Đặt 1V là không gian vectơ con của  4sinh bởi hệ

vectơ { v1, v2, v3} và 2V là không gian vectơ con của  4sinh bởi hệ vectơ { u1, u2, u3} Hãy tìm số chiều

của các không gian con 1V , 2V , 1V + 2V , 1V ∩ 2V

Bài giải: Từ đề bài ta có:

1

V

 ÷  ⇒ ÷  ⇒ − − − ⇒ ÷ =

Tương tự:

2

V

Ta có:

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

 − − ÷  ⇒ − − ÷  ⇒ − − ÷  ⇒ ÷

 − − ÷  − − ÷  − − ÷  − − ÷

{(1, 2, 2,1),(0,1,1, 0),(0, 0,3,0),(0,0, 1, 1)}

E

⇒ = − − là một cơ sở , cũng là tập sinh của V V1+ 2

Vậy : ⇒ dim V V1+ =2 4

Ta có : dim V1I V2 = dim V1+ dim V2− dim V V1+ = + − =2 3 2 4 1