Hướng dẫn giải các dạng bài tập môn Toán từ các đề thi quốc gia docx

4 Phương trình, hệ phương trình, bất phương, trình bất đẳng thức lượng giác.. PHUONG TRINH VA BAT PHUONG TRINH DAI SO Phương pháp chung Dé giai phương trình, bắt phương trình, đặc biệt

TRAN THI VAN ANH

CUA BO GIAO DUC

& DAO TAO

v4 Dành cho HS lớp 12 chương trình chuẩn và nâng cao

vBiên soạn theo nội dung và định hướng ra đề thi mới của Bộ GD&ĐT

v4 €ó các đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối A, B, D mới nhất của Bộ GD&ĐT

TRAN THI VAN ANH

HUGNG DAN

GIAI CAC DANG BAI TAP

TU CAC DE THI QUOC GIA

MON

TOAN

CUA BO GIAO DUC

& DAO TAO

v/ Dành cho HS lớp 12 chương trình chuẩn và nâng cao

v⁄Biên soạn theo nội dung và định hướng ra đề thi mới của Bộ GD&ĐT v⁄Có6 các dề thị tuzển sinh ĐH-CĐ khối A, B, D mới nhất của Bộ GD&ĐT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

DT (04) 9715013; (04) 7685236 Fax: (04) 9714899

Chịu trách nhiệm xuất bản:

** Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO Tổng biên tập NGUYÊN BÁ THÀNH

Biên tập nội dung

LAN HƯƠNG

Sửa bài HOÀNG MAI CHI Chế bản

LOT NOI DAU

Bắt đầu từ năm học 2001-2002, viéc ra dé thi Tuyén sinh Đại học, Cao đẳng đều do Bộ

Giáo dụ và Đào tạo quản ly Để đáp ứng nhu cẩu học tập của học sinh, tài liệu cham khảo

cho giáo viên, chúng tôi xìn trân trọng giới thiệu đến bạn đọc quyển sách:

Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thí Quốc gia môn Toán của Bộ Giáo

đục và Đảo tạo

Quyển sách được chia thành 11 chuyên đề nhỏ sau:

1 Phương trình, bất phương trình đại số

2 Hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số

3 Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất nhỏ nhất

4 Phương trình, hệ phương trình, bất phương, trình bất đẳng thức lượng giác

5 Phuong trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thúc mi vả lôgariL

11 Phương pháp tọa độ trong không gian

Trong mỗi phần, quyển sách được cấu trúc gồm 4 nội dung chính như sau:

1 Kiến thức cơ bản 2 Các dạng bài tập cơ bản

3 Các để thi tự luyện 4 Hướng dẫn và đáp số

Phần tóm tắt lý thuyết trong mỗi quyển sách đều được trình bày ngắn gọn

nhưng khá đầy đủ Với mỗi dạng bài tập cơ bản đầu có phương pháp giải cụ thể và

ví dụ minh họa Nhiều ví dụ có lời nhận xét để giúp học sinh tránh các sai lầm cơ

bản Các bai tap được lựa chọn từ các để thí Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và các đề

thi Tốt nghiệp THPT từ năm 2002 đến nay Ngoài ra tác giả còn đưa các bài toán trong các để thi trước đó để bạn đọc tự luyện tập thém Hi vọng rằng quyển sách

này sẽ giúp ích cho các bạn trong quả trình học tập và giảng dạy Chúc các em học

sinh va các thầy cô giáo quan tâm đến quyển sách này thành công trên mọi linh

vực

Mặc dù đã có rất nhiều cố-gắng, song cuốn sách không tránh khỏi sai sót Rất

mong nhận được sự góp ý chân thành của các em học sinh và các thầy cô giáo

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ:

- Trung tâm sách giáo dục Anpha

225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp HCM

~ Công tỉ sách - thiết bị giáo dục Anpha

50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, TP.HCM

ĐT: 08.62676463, 38547464

Email; alphabookcenter@yahoo.com

Xin tran trong cam on!

PHUONG TRINH VA BAT PHUONG

TRINH DAI SO

Phương pháp chung

Dé giai phương trình, bắt phương trình, đặc biệt là các phương trình

không mẫu mực người ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau:

* Phương pháp thứ 1: Phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích:

Để giải một phương trình, người ía thường sử dụng phương pháp biến

đổi đưa về Ề phương trình tích với dạng như sau: ƒ(x).g(%) h(x) = 0

trong đó các phương trình: fx) = 0; g4) = 0; h(x) = 0 là những

phương trình đơn giản, đã biết phương pháp giải như phương trình bậc

nhất, phương trình bậc 2 Nghiệm của phương trình là tập nghiệm của

các phương trình: f(x) =0,g(x) =0, ,h(x) =0

* Phương pháp thứ 2: Sử dụng phép biến đỗi trơng đương:

Đối với phương trình chứa căn thức còn gọi là phép khử căn thức:

a(x) 20

Ta cé *f(x) ‘acd f(x) F(a) Ege = :N

2erfF(a) = g(x) © f(x) = Ba)

* Phương pháp thứ 3: Phương pháp đặt ẩn số phụ:

Trong quá trình giải phương trình nói chung và phương trình chứa căn

thức nói riêng, chúng ta cân phải sử dụng phương pháp đặt ấn phụ Người ta dùng dn số phụ đó thay thế cho một biểu thức chứa ẩn nào đó nhằm mục đích hạ bậc của phương trình, đưa phương trình đã cho về những phương trình dạng đã biết Giải phương trình với ẩn phụ, sau đó tìm nghiệm của phương trÌnh

* Phương pháp thứ 4; Phương pháp sử dụng các kiến thức về bắt đẳng thức: Để giải phương trình nói chung và phương trình chứa căn thức nói riêng người ta còn sử dụng các kiên thức về bát đẳng thức các tính chất bắt đẳng thức, bắt đẳng thức chứa dấu giá trị nuyệt đối bắt đẳng thức Cósi, bắt đẳng thức Bunhiacôpski

Trong phương pháp này chủ yếu đưa về 2 dạng sau:

Dang 2: Đưa phương trình cần gidi vé dang hix) = œ (q là hồng số] mỏ ta

luôn có h(x) > a, hoặc h(x) < a thï nghiệm của phương trình lờ gió trị của biến x làm cho dấu đẳng thức xỏy ra -

* Phương pháp thir 5: Phuong pháp chứng mình nghiệm duy nhất Với một sô phương trình ta có thể thử trực tiếp để thấy một vài nghiệm của phương trình, rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm đó ra phương trình không có nghiệm nào khác

* Phương pháp thứ 6: Phương pháp dua vé hệ phương trình: Khi giải phương trình, có những bài chúng ta cân đặt các ấn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình đã cho về một hệ phương trình quer thuộc

* Phương pháp thứ 7: Phương pháp đưa về tổng các số không âm:

Khi giải phương trình nói chưng, và phương trình chứa căn thức nói riêng, ta có thê biến đôi từ phương trình f{x) = 0 về dạng:

£2(x) + £2 (x) + + f‡(x) =0 Vậy nghiệm của phương trình là nghiệm của

* Phương pháp thứ 9: Sử dụng đồ thị và các kiến thức vỀ tam thức bậc

2 để giải và biện luận phương trình chứa căn thức có tham số

* Phương pháp thứ 10: Sử dụng các tính chất của hàm số

Một số ví dụ minh họa

Dạng ]: Giải phương trình

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2Ÿ3x - 2 + 34/6—õx —8 =0 (xe R)

Đề thi Đại học khối A năm 2009

Vĩ dụ 4: Giải phương trình: 2/x+2+2\/x+1 - \x+1=4

(Đê TS Đại học — Cao đẳng 2005— Khối D)

Giải:

Ta có: 2/x+2+2/x+1—Vx+1=4.— Điều kiện x>-—I

Phương trình đã cho tương đương với: 2/(/x+1 +1)? =x+1=4

©& 2(dx+1+1)-vx+1=4 © Vx+1=2 œ x=3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3,

Ví dụ 5: Giải phương trình: /2x—1+x?-3x+1=0 (xeR)

(Đề thi TS Đại học, Cao đẳng 2006- Khối D)

7

Giải:

Đề giải phương trình nay ta su dựng phương pháp đặt Ấn phụ

Dat t=V2x-1 (t20) => xett Ì_ Phương trình đã cho trở thành:

[t=

t'-4t? +4t-1=0 = (t-1 (=1(xe=)=0 2 DU ¡ +2t-1}=0 ©

Với t=l1.tacó x=l Với t=v2 ~1.1acóỏ xe2— v9,

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =1:x —- 2-2

L7 dụ 6: Giải phương trình: (VJ+x +1)(V1+x+2x-ñ)=X

Giữi:

Việc sử dụng các thủ pháp thông thường giải phương trình võ tỉ không

đưa đên kết quả (bạn hãy tự mình thử xem) Ta dùng mẹo sau: Nhản hai

về của phương trình với (V1 tx —1) ta được phương trình hệ qua:

x(V1+x x2x -ä) = x(X +1 — l)

Phương trình nảy tương đương với tuyến:

x0

M†+x~+2x-5=wvxrl-]

Phương trình thứ hai có nghiệm là x = 2 Bây giờ cần kiêm tra 2 nghiệm

x=0 và x= 2 Dễ dàng nhận thấy chỉ có nghiệm thứ 2 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 2

Chú ÿ: Trước khi sang ví dụ khác ta để ý răng biểu thức (/1+x -1) sẽ bằng 0 khi x = 0 Dây chính là nghiệm ngoại lai của phương trình

Hay Suy ra 9x? +3x +ị 5 — Vex” 3x +5 =2

Không nên bình phương 2 về của phương trình thứ 2, tốt hơn là cộng về với về của phương trình này và phương trình đâu

Ta có: 2V2x” + 3x+5 =2+3x Bình phương cả 2 về, ta được phương

trình hệ quả: 8x” +12 + 20 =4+ 12x + 9x” ©x=‡44

Kiểm tra các nghiệm x = 0, x=‡4 Ta thấy chỉ có x = 4 thỏa mãn

phương trình đã cho Vậy phương trinh đã cho có nghiệm: x = 4

Ví dụ 8: Giải phương trình: J10x —1 -Vx+3 =1

§

Gidi:

Binh phuong 2 vé cua phtrong trinh (tức là ta áp dụng phép toán nâng lên lũy thừa bậc 2 — phép toán su dung hàm không đơn điệu — không thu hẹp miền xác định của phương trình đang xét) Do vậy phép toán này dẫn tới phương trình hệ quả:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = [

Nhận xét: Nghiệm ngoai lai x= = nằm trong miễn xác đình của phương trình đầu Diều áy có nghĩa là: nguyên nhân xuất hiện nghiệm ngoại lai không phải do mở rộng miễn xác định mà do việc sử dụng hàm

SỐ không đơn điều Việc giải phương trình có chúa căn thức, không phái bao giờ cũng tìm tập xác định có khi chúng ta giải bằng cách đưa vẻ phương trình hệ qua, sau đó thư lại

Vr du 9: Giai phương trình: V3x+5—-Vx—-1=4

Giải Viết phương trình thanh dang: /3x +6 =Vx-1+4(1)

Trén tap hap K = [1;20) ~ miễn xác định của phương trình, cả 2 về cua phương trình đều không âm Mặt khác hàm s6 q(t)=t? la ham đơn diệu với t>0.nên trong tập K này, phương trình ban đầu tương đương với phương trinh: (J3Bx +5) =(Vx—1 +4)* Phương trình (1) tương dương

3x+5=x-14+16+8Vx-1 eo 4vx-1=x- voi hé sau:

xe[l:œ)

Trong tập hợp L -[5;s), cả 2 về của phương trình đều có giá trị không

âm nên nó tương đương với hệ pl,:rơng trình sau:

Chủ ý: Khi giải phương trình này, có thể làm đơn giản hơn bằng cách 2 lần bình phương 2 về để phá căn Kết quả ta có phương trình bác 2 Sau day kiểm tra lại để loại nghiệm ngoại lai Tuy nhiên vấn đề kiêm tru khóng phải bao giở cũng làm được

-2—-6/11

7 eily- -2+6V11 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -9+6V11

x—]1

Chúng ta trảnh nguy hiểm nay băng cách chuyển tới phương trình hệ

quả: he aint: Leer

Cuối cùng, nhất thiết phải kiểm tra các nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = —]1 hoặc x = 4

H 14+ 2xV1—x?

Vi du 12: Giai phuong trình a +2x? =]

Gidi

Vị x thỏa mãn Mig để v1—x? có nghĩa nên ta có thể đặt x =cosœ,

trong đó œ <[0; x| Khi đó thay vào phương trình đã cho ta có:

Te econ V1— cos? œ sos cos” œ ¬-

>0

lẻ —=x>4 Đặt t=4x+4+vx-4=t? =3x+ 2x? —16

x-420

Ã

Thu lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn x-T—vi-x -

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4: x = 5

Chủ ý: Có nhiều trường hợp, khi giải phương trình chúng ta khong can tim dieu kiện vì việc tìm điều kiện có khi phúc tạp hơn việc giai phương trình, nhưng sau khi giải xong thì phái thư lại trước khi kết luận

Dang 2: Giải bốt phương trình

¡ ý đu †: Giải bắt phương trình: 8x” -6x +1 — 4x +1<0

(Đề dụ: bị 2 - Khói B - 2005) Giải:

Eĩ dự 2: Giài bắt phương trình: V/2x +7 — v5-x2v3x—3

(Đề dự bị I-Khối D 20035)

Giải:

j2x472>0 M3x -7—võ=x > V3 -2 (*) Điều kin: 15x 0 = “<x<ã5

3

Vi du 3: Giai bat phuong trinh: (x? -3x)VJ2x” — 3x—2 >0

(Dé TS Dai hoc — Cao dang Khối D năm 2002)

© X?-10x<0 «+ 0<x<10 Kết hợp với điều kiện, ta có: 23<x< 10

là nghiệm của bắt phương trình đã cho

+ Nếu x>5 thì bất phương trình được thỏa mãn, vì về trái là một số

dương về phải là một sô âm

+ Nêu 4<x<õ thì hat về của bắt phương trình không âm Bình phương tai VỆ tả CÓ:

2(x? -16) > (10 - 2x)” © x” - 90x +66 < 0 © 10-~ V34 < x < 10 + v34

Kết hợp với điều kiện 4 < x <5ta có: 10— 34 <x<5

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x >10- 34

Dạng 3: Tim điều kiện để phương trình, bốt phương trình có nghiệm

Thông thường ở dạng này người ta su dụng mỘt rong các phương pháp sau

a Su dung tinh chat dong bién, nghich biển của hàm so

b Sw dung twong giao cua cdc dé thi ham so

Vi —— mm } => f giảm trên |0: +00) va lim t(x)=0

Vậy hàm số g tăng trên [12]: Do đó, ycbt <> bat phuong trình

t? -2 = có nghiệm te[ti2] e m < max ø(Y) = g(2)=5 2

Khao sat ham sé g(t) =

m <

Vậy giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm là m < :

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3/x-—1 +mNx +] = 2Ÿx" - 1

(Đề TS Đại học, Cao đăng 2007 ~ Khôi A) Giải:

Điều kiện: x >1 Phương trình đã cho -3 =

Phương trình đã clo cé nghiém <= (2) có nghiệm † e[0:1) Dựa vào hàng biên thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi —1 < m Z :

Vĩ dụ 4: Chứng minh răng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trinh

sau có hai nghiệm thực phân biệt: x” +2x—8- Jjm(x—2)

(Dé TS Đại học, Cao đẳng năm 2007 — Khỗi B)

Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m >0 phương trình (1) luôn có một

nghiệm trong khoảng (3:+œ} Vậy với mọi m>(0 phương trình đã cho

luôn có hai nghiệm thực phân biệt

V7 du $: Tìm giá trị của tham sô m đề phương trình sau có đúng hai nghiệm

thực phân biệt: Ÿ2x + V9x +2Ÿ6—x +2 J6—x =m (meR)

(Đề TS Đại học, Cao đăng 2008 — Khối A) Giai:

Diéu kién: 0<x <6 Dat vé trai cba phuong trình là f(x), x ¢ [0:6]

Suy ra các giá tri can tim cua m la: 2V6 + 24/6 <m < 3V2 +6

Vi du 6: Chimg minh rang phuong trình sau có đúng một nghiệm:

Suy ra f(x) đồng biến trên [1:+>) (3)

Tir (1), (2), (3) suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm

Vĩ dụ 7: Xác định m để phương trình sau có nghiệm

Vậy gia tri cua m can tim ld V2-1<ms1

Vĩ dụ 8: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

Jy’ +2y 41 sv? +-8y +16 =7 Vive) + j(v +4)” =7

©|v+1|+|y + 4|= 7 Do y2Ohay 2x~3=1 Suy rax= 3

Thư lại ta có nghiệm của phương trình đã cho là x = 2

6 Dat v =x? -5x-2 Sx? +¢5xev' iD

Nên phương trinh đã cho là:

vỶ-2v+4=0«©(v+2)(y?—-2v+2) =Ø

Ta có vŸ -2v+2=0 có Á <0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy y = —2 hay x” +5x =(—2)`~12 >(x+2)(x+3)=0

Phương trình đã cho có 2 nghiém: x, = —-2.x, =-3

7 Ta có x = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên x—1z0

Dau bang xay rac>a=b Hay x* +x+1=5x-2 5x, =x, =3

Nghiém cua phuong trinh Ja: x, =1; x, =3

Vậy nghiệm của phương trình là 5 < x <10

Áp dung bat đăng thức Bunhiacôpski ta có: (ax + by}? < (a? + b2)(x? + y?) Dấu băng xảy ra khi và chỉ khi ~= bo Từ phương trình (1) ta có:

x Vv (3x + 4y)* < (37 +4?)(x? + y?) = 25(x? +y’)

Dấu băng xảy ra khi và chỉ khi 3 == hay v= aX

x=a Vậy nghiệm của phương trình là: y ~ Sa; acR

Do đó khi x > ! phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình chỉ có nghiệm duy nhat Ja x = 1

16 Điều kiện: x>1 Ta thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình đã cho Nêu 1<x<2 thi:

lx? +28 + 2x? +28 + Vx—1 + Vx < 3 + 2/97 + VÌ + V2 = J2+9

Vậy với 1<x< 2phương trình đã cho vô nghiệm

Nêu x > 2 thì:

Yx? +28 + 20x" +98 + Jx—14+Vx > 932 +2907 +1 + V9 = j9 +9

Vậy với x > 2 phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2

HE PHUONG TRINH

HE BAT PHUONG TRINH

Phuong phap chung

Ta duoc hé phuong trinh:

Lấy (1)—(2) về theo về ta được: :

Hệ phương trình đã cho tương đương: (do y =0 không

thỏa mãn hệ phương trình đã cho)

(1) vô nghiệm: (II) có nghiệm: (xiv) =[155 vax y)=(3: 1)

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

Cách 2: Hệ phương trình đã cho tương đương với:

* + xy? yx? -y"=13 (1) o f -y* =19 [((2)+(1))/2]

ev(x-9) 6 [((2)-(9)/2

3 | y)| (x~ v} +8xy |~19 ° we + 3xy(x—y) =19

” wees=6 © live t)y=6 a ny b2

Vậy hệ phương trình có nghiệm: ro

x? —xy? + yx? —y`=25 (2)

<> x=0 hay x=3v hay x=-4y

* x=0 =-äy” =6, phương trình này vô nghiệm

* x = 3y thay vào (2) có hai nghiệm (3;1) va (~3;-1)

* x =—4y thay vào (2) có nhiệm ~4 aS (5 | ($8)

Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm:

26

Hệ phương trình này vô nghiệm

Khi y #0 chia hat phương trình cho y

Vậy hệ phương trình đã cho co nghiệm: Be ý { : _

Cách 2: Thay y của phương trình thử 2 vào phương trì nh thứ nhất ta có:

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là hay = ~

Hệ phương trình đã cho <> vexeveT-vxty =]

|(2x-vi1)~(x+v)=ð Dat u— J2x +y-1>0 v= x +9 20 Hé phuong trinh (1) trở thành:

XÝV~X ~xv=l

(Dé dw bi 2 khéi A —2007) Giải:

Vậy, hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm;

ex =0 không thỏa măn hệ phương trình

ex=-4 > yi t

Nghiệm của hệ phương trình Ja: (x: y) = (a, at) ,

Vi du 10: Giải hệ phương 1 dụ /Ø: Ciiai hệ phương trình: trình; | Ÿ X?Y= X —3y (x.veR) X,VE

* Trường hợp l: x =-—y Vì y > 0 nên x <0 (loại vì x > Ï)

* Trường hợp 2: x = 2y + Ì „ thể vào phương xJ2y -vx—1 >2x—2y ta được:

(2y +1)J2v - v2y = 2y +2 ©(y +1)(/2y -2) =O y z2: y =—1 (loại)

Điều kiện: L ve x+y20

Phuong trinh (1) © x -y(1-x-y}=0 = fo

x=y+l

Thay x=y vào (2), giải ra ta được: x = y =]

Thay x=y+] vào (2), giải ta fa CÓ: X =>) V “S:

Trường hợp I: | ` rirong hop 1: © % y

gu, lay- xi +] lox =x) +1

Truong hop nay hệ vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình lá:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = v=1

Trường hợp 2: Hệ phương trình này vô nghiệm vì từ

X+V- jxy =3 Jx+1+ Vvel =4

(Dé TS Dai hoc — Cao đẳng - Khối A -2006)

Giải:

Điều kiện: x >—1,y >—1, xy>0 Đặt t= /xy (t>0)

Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra: x+ v=<3+t

Vidu 15: Ciái hệ phương trình: (x,veR)

Bình phương hai về của phương trình thứ hai †a có:

X+aV>2+2jxv+x+v+l=16 (2) Thay xv<=lt2, xtv=3+t vào (2)

ta được:3~tL+2+2Vtf+Ä3++1<16 «+ JVf+t+4=11-E

/0<t<ll 0<t<11

l4 +t+4)=(1-tỷ {a +26t -105=0

Với t=3 ftacó x+y =6, xv=9

Suy ra nghiệm của hệ phương trinh la (x: y) = (3:3)

<> t=

xỶ—3x=V` 3v

x+y ol Giải

Ta co phyrong trinh x" ~ 3x = y* — 3y có thể viết Ñx) = f(y) nhung theo dinh

VỆ trái của các phương trinh cân được phân tích ra thừa số Vì vậy không

thể không áp dụng định lí về căn của một tích

Hệ phương trình đã cho tương đương với tuyến của 2 hệ phương trình:

b) ốm x/Cx" x) + ye -y" pms 36 Tu day T= =—:J-y =2J-x thay vao

IVE Wey) + JCx)”) = vy?

phương trình ta nhận được Vx? = 4, hay x = —2 (vì ch! xét x <0) Tir day

có v— -§ Vậy hệ phương trình đã cho c6 nghiém (—2; -8)

thoạt nhìn có thê biến đôi: ÿ(x—v} =x— v Nhưng, thực ra, dieu nay

không đúng với mọi x, y trong miền xác định mà chi đúng với x>3V Chính điều kiện này có thê làm mất nghiệm Vì vậy, ta phải viết: vx+v+lx-v=6, - và hệ này tương đương với tuyên của hai hệ phương, ¬ cua

Giải hệ phương trình này nghiệm sẽ là cặp sd: (103- 19/17:-77+ 9817)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: (103—19/17:~77 + 95v17), (12: 4)

với y > 0 Suy ra, phép biên đôi này đã tạo thêm sự ràng buộc v > 0 Va

như vậy chỉ tìm được nghiệm dương của hệ phương trình ban dau Ding

Vậy hệ phương trình đã cho co nghiém (64:1).(-1:-64)

Lees Íx”~xy+y° =3(x-y

Vi du 20: Giai hé phvong trình: }x " 2» rs 2 = (xy) (x, veR) (1) 3

Vậy, hệ bat phương trình có nghiệm > f(x)=x? ~(m+9)x+22m+3>0

có nghiệm trong [—1;1] xe|—1:1] Max f(x)>0 < max{f(-1);f(1)} 20

Ta có hàm số f tăng nghiêm ngặt trên từng khoảng xác định và hàm số g

giảm nghiêm ngặt trên từng khoảng xác định

Le oF

Hệ phương trình © |

2007 =0 (2)

x Vx’? -1

Nếu x <1 thi h(x)<e"'T-2007<0 = hệ phương trình vô nghiệm

lim h(x)=+00 Vay h(x) liên tục vả có đỗ thị là đường cong lõm trên

(1;+œ) Do đó để chứng minh (2) có 2 nghiệm đương ta chỉ cản chứng minh tổn tại xạ >1 mà h(xạ) < 0

& u.v là nghiệm của phương trình: †?—ñt +8 =m (1) Hệ đã cho có

nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm L=t,, t=t, thỏa

man: †,>2, tạ>2 (t,, t,không nhất thiết phân biệt) Xét hàm số

f(t)=t?—5t+8 với lÌ>2

38

Bang bién thién:

<> u,v 1a hai nghiém cua phuong trinh: t? -t+m=0 (**)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) © hệ phương trình (*) có nghiệm u>0, v>0 < Phương trình (**) có hai nghiệm † không âm

© <$=120 Osms-

P=m>0

39

a

b

BAT DANG THUC GIA TRI LON NHAT,

GIA TRI NHO NHAT

Kiến thức co ban

Tinh chat

Tinh chat 1: Đốc

b>e

Tinh chất 2: a> b ©> a+c>-b +c,

Hệ quả: a> b+c ©> a— c > b (chuyển về và đổi dấu)

Tính chất 3: eae a+e>b+d cod

Chú ý: Không có quy tắc trừ hai về của hai bất đăng thức cùng chiều

Tính chất 4: sàn em, a ac<be, ¢<0

Tinh chất 5: {re = ac > bả

c>d>0

Chú ý: Không có quy tắc chỉa hai về bất đẳng thức cùng chiều

Tính chất 6: a>b>0 => an>bn, VneN”

Tinh chat 7: a>b2>0= Ja>vb

Tính chất 8: a>b => {a>%b

Hệ quả: ` * Nếu a> 0 và b>0thï a>b < a? > bŸ,

* Nếu a >0 và b >0 thì a>b ca? > bề

Bắt đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Từ định nghĩa ta có: a <|a|;Va e JR

||<a<s-a<x<a vớia>0

jx] >a <>x <-ahoic x>avéia>0

la|~|b|< Ja+ b|<|a|+ lb|

Định lý: (Bắt đẳng thức Cósj) Nếu a > 0 và b> 0 thì ®E Ð> Vap

Dấu “=” Xảy ra a=b