Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình yt, t > 0... Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n... Đóng mạch tại thời điểm t=0.. Hãy tìm cường độ của dòn
Trang 1A LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 1:
Cho hàm biến phức f( )z =cos2z, tính f'( )i
Bài giải:
Ta có: f′( )z =(cos2z)′ =2cosz(cosz)′ =2cosz(−sinz)=−sin2z
Vậy: f′( )z =−sin2z⇒f′( )i =−sin2i
i2e23
ifz2e2zf
2cos
Trang 2xnt
( 2 )2 2
2
9
63
32
2
3ds
d13
sin
−
=
s
s s
s t
t L
9
6
s s
s s
t sin3 cos42
13sin
13sin
2
1
−
⋅+
=
Vậy: F( )s L{e t t} L{e t t} L{e tsint}
4
17sin4
13sin2
=
12
14
172
74
132
32
1
++
+++
+++
=
s s
e L t e
L s
−
=
( 4)1
1
Trang 32
62
−
=
s s
ds
d e
t L s
5sin2t)ch2 -
(4cos3t
2 2t e t
L L
s F
2
5-sin2te2
5-cos3te
2
4cos3te2
L L
542
22
592
22
492
22
4
2 2
2
++
s
s s
Γ
ΓΓ
143432
414
143431
2
4114313
454
Γ
+Γ+Γ
=Γ
ΓΓ
216
32
2
2163
22
2163
24
3163
12
4314316
π
⋅
=
−Γ
Γ
Trang 4
Câu 10:
Tính ( ) ( )
( )9 2
233
Γ
ΓΓ
167
22
142
212
122
14
211122
9
23
4
=
=π
π
=π
−
Γ
⋅
=+
Γ
+Γ+Γ
=Γ
Γ
Γ
!!
!
12
2
1
9 0
8 8 0
8 0
!8182
ππ
−
−+
1
ππ
−
−
=∑∞
=
Trang 5ez
nxz
3 0
n
n 3 0
n
n 3n n
zez
n
n 3n 3
0 n
n 1 n 3 n
1e
zeeze
znxz
1
6 3
3 3
zez
e
ze
zez
nn
fienf
ie
π
=π
25
252
5
11
10
252
fief
ie
nn
fienf
ie
π
=π
22
242
2
11
20
222
Trang 6B LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
,
1,
,
y x x
v y
x
y
u
y x y
v y x x
Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e-2ysin2x.-3x + C
⇒ f(z) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y +i2xy + i3e-2ysin2x-i3x +Ci
Câu 2:
Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo
3e cosx -6xy 2x 3
x
xy)
2 2
x y v
2
2 3e sinx -3xx
x U
2 2 2 y
2
Trang 7y ysin e
y xcosey
y sin eyycosexsiny
7 1 4 5 2
0
2 2
2
2 2
2
224
xsin
xcos
xcosxsinI
Vậy:
11
314
123
4
74
524
7454
74
524
74
52
+Γ
I
28
3
!24sin4
341
2
!2
4
114
14
34
12
!24
34
34
14
12
=
Trang 8Câu 5:
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: dx
tgx
xcos
I=π∫
2 0
2
Bài giải:
Ta có: I (2cos x 1)cos xsin 2 xdx
1 2
1 2
1 2
0
2
1 2
5
xdxsinxcosxdx
sinxcos2
1 1 4 3 2
0
1 4
1 1 4 7
2
12
2 cos xsin xdx cos xsin xdx
=
4
1434
143214
1474
1474
14
32
14
14
2
22
3224
34
34
322
4
14
34
3
sinsin
I
Câu 6:
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân: I=π∫ cotgxcos xdx
2 0
3
1 3
1 2
0
3
1 3
7 2
0
3
1 3
13
2
2 4
3
1 3
1
44
14
4
xdxsinxcosxdx
sinxcosxdx
sinxcos
dxxcosx
cosxsinxcosI
=
6
2,6
42
16
2,6
1026
2,6
162I
6
2642
6
26
1023
6
26
162
−Γ
=
13
213
13
23
223
13
53
52
⋅
−Γ
⋅
=
Trang 91
!132sin3
22
!2
32sin3
23
52
π
π
⋅+π
π
⋅
⋅
−π
9462032sin232sin3
43
2sin9
=π
π+π
π
−π
π
=
39
532sin18
5dxx2cosgxcot.I
2 0
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
2
2 1
k k
2 2
2
x
!nk
!k
12
−
=
0 k
k k
4
2
x
!nk
!k
14
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
Trang 10Đây là điều phải chứng minh.
0
1xxJdxxxJdx
ddxx
1 0 1 1
−λ
=λ
=λ
−λ
0 k
k k
2
!nk
!k
12
J0.J.01
n n
1
1 n 1 n n
x
1 n
n 1
n 1 n n
n
+
− +
xJ.xdxx
xJ
2
2 2
2 3
2 2
k k
0 k
k k
2 2
2
x
!2k
!k
14
12
x
!2k
!k
12
xx
5tneáu0
1
t x
Bài giải:
Ta có: X( )f x( )te dt 2 cos(2 ft)dt
5 0
ft 2 i
1
f neáu0
10Csin10f
10Csin10f5.2Csin
5
2
Trang 11
1f
0
ff
ffsin2
1f
f
ffsin
2
1
+π
+π
⋅+
−π
−π
+π
=+
−π
−π
=
−
5f
f
ffsinf
fCsin
4f
f
ffsinf
fCsin
0
0 0
0
0 0
2
1ffCsin2
1f
2
3ft3tf
, trong đó G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2
b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z(x, 0) = x2, z(1, y) = cos y
x
6
1x
zy
,xZ
2 /
x 2
2
1x
Gyx
6
3
+
=+
=
2
1yx
zy
,xZ
/ y
/ x 2
2
2 /
⇒
Trang 12là nghiệm tổng quát của phương trình x y
yx
yx6
1y,x
6
1ycosx
yx6
1y,xZ
yx
x y
x 2
2 y x y
x
ukxe
2ke
x
++
=
∂
∂
⇒+
=
∂
∂
y x y
x 4kxe
ke
4 + + + (1)
y x 2
2 y
y
ukxe
Trang 13Câu 14:
Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(µ;σ2) Đặt y(t) = Xe-t, t > 0
Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t > 0
(2t τ).e
σt.eτt.e
44.48e42XP21X
1X
Trang 14e3
!63
41X3X2;
1XP6
3XP
63X2;
1XP63X21XP
2 3 4
4 1 3 2 2
9
e2
!4
3e1
!2
3
!6e
3
42XP.21X
3 6
3 9
12
9 4 6
3
2.53
2.6.53
21XP
42XP2
1XP
63X2;
1XP21X63XP
2
6 4 4
e.12e
!
2
3
e2
!2
3
!1
3121X
!2
3e
!1
321X,11X
6
3⋅ −
=
=
Trang 15C LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1:
( z ) ( z i) dz
zisinI
C
31
++
!1m
1a
;zfs
ππ
zisins
Re.i2
π
⋅
⋅π
=
−
→ 4z 1
zisindz
dlim
!1
1i
3
i Z
ππ
=
−
2 3
i
zisinz81z4zicosilimi
πππ
zicosilimi2
⋅
π+
+
⋅
πππ
2 2
19
i4
3
sin3
i8
19
i43cosii
⋅++
⋅
ππ
2 2
19
i42
33
i8
19
i42
1ii2
25
321645
9
53
389
5
2 2
π
2
i
;iz3iz2iz2
zisins
Re2
i
;iz31z4
zisins
( )
22
i2512
i5i2
2sini
z3iz2
zisin
→
Trang 162
i
;iz3iz2iz2
zisins
Re2
i
;iz31z4
zisins
( )
22i12
ii2
2sini
z3iz2
zisin
i
2i25
2i2I
I
Câu 2:
Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân dx
xsin
xsin
zzxsin
izi3z3
1z4iz
dziz103z3
1z4iz
dz5i2
zz3
i2
zz4dx
5xsin3
xsin4
C
2 C
2 2 C
1
1 2
i3z3
1z4lim3
i
;iz3
izi3z3
1z4s
3
i Z
izi3z3
1z4lim0
;iz3
izi3z3
1z4s
0 Z
133
1i2
3
2i1213
I=− π+ π
Trang 17;21z31z
ziesRe
1 Z
11
lim1
lim
!1
13
1
;2131
Re
3
1 3
1
z z
i z i e z
z i e dz
d z
z
z i e s
Z Z
πππ
339
16134
e i
33.22
131
π
ππ
e i dz
z i e I
b) Khi C là đường tròn |z| = 3/2 thì trong C đã cho có 2 cực điểm z = 1và Z=−13
3316
22131
π
ππ
π
e
i e i dz
z i e I
e i
Trang 18
+
5s4s3s1s
4s2L
Q
sP
2 + ++
Q
s
P
−+++++
Q
s
P
1 s
Q
sP
3 s
=
1s
Q
sP
i 2 s
Q
sP
i 2 s
2
1e2
1e2
1t
1L
1s
1s
Q
sP
;2
3i3
3i3ss
1s
Q
s
P
0 s
Q
sP
2 3 i 3
Q
sP
2 3 i 3
2 3 i 3 t
2 3 i 3
e333i
2e
33i3
23
1t
⋅+
−
=
⇒
Trang 19s433s2
6Lt
s6816s9
s433s2
6Lt
−+
s68L16s9
s43L3s2
6
2 1 1
3 1
23s
1L2
63s
9
s43
L1 2
ta có hàm ảnh ( )
( ) ( ) (3s 4)(3s 4)
s434
s3
s4316s9
s43sQ
sP
2 2
4
25s
Q
sP
3 s
Q
sP
3 s
=
t 3
4 t
3 4 2
24
7e24
2516
s
9
s4
16
s68
L1 2
ta có hàm ảnh ( )
( ) ( ) ( ) (4s 3i)(4s 3i)
s68i
3s4
s689
s16
s68sQ
sP
2 2
;4
i3
i916s
Q
sP
4 i 3 s
Q
sP
4 i 3
4 i 3 t
4 i 3 t
4 i 3 2
12
9i16e
12
9i16e
i12
i916e
i12
i9169s
16
s6
4 i 3 t
3
4 t
3
4 t
2
3
e12
9i16e
12
9i16e
24
7e24
25e
3t
Trang 20et 1
1s
1sYsY
s3
−
=+
11
s1s
1s
Y1s
1sY1
=
⇒
−
=+
⇔
3 3 2 2 3
s1
s
11s
s1s
−
t 2
t
e2
t3cos2
t3sin33
eshtt
y
Câu 8:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’(t) – 4y’(t) +5y(t) = 25(t2 + 1),
thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = 0
Bài giải:
2 2
25250252525
s
s s
s t
t t t t
2{
2550)
54(
2550)
(
2550)(5)(4
)
(
3 2
3
3 2
−
−
−+
+
=+
−
i s i s s
s s
s s s
s s
Y
s
s s
Y s sY
Trang 21( )
5
42125
842
25)
54(
)413
)(
42(2)54)(
42(lim2
25
54
2lim
2
250
;)2(
2
2550Re
3 2
2 2
0
2 2 2 0 3
−+
→
→
s s
s s s
s s s
s s
s ds
d i
s i s s
s s
s
s
( )
224
25)4(224
425
2(
2lim25
2
;)2(
2
2550Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
( )
224
25)4(224
425
2(
2lim25
2
;)2(
2
2550Re
) 2 ( )
2 (
3 ) 2 ( ) 2 ( 3
+ +
+
→ +
i
e i i
i e
i s s
s e
i i
s i s s
s s
t t
i s t
Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho :
224
)4(2522
4
)4(255
42)
i
e i i
e i t
Câu 9:
1213
1
=
zz
zz
11
z33
5z
11
z21z3z
1z
X
4 4
−
−
=
z2
11
z5
1z
3
11z5
11
z22
5z
11
z33
5
z
1
5 5
4 4
nz5n2
15
15
n
nz5n
15
10
n
nz2
15
z5
10
n
nz3
15
z
5
1
Trang 22322
3)
(
21
31
df ft f
e df ft i e
f e t
x
df ft i e f X f
X F
f e F t
x
ππ
1 3)
2cos(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
e
ππ
3 0
3
)2sin(
3)
2sin(
2
322
)2sin(
2
)
t df ft e
t t
ft e
t
π
ππ
ππ
13)
2sin(
3 3
ft t
v
df e du df
ft dv
e
ππ
π
94
3)
(
)2cos(
2
32
13)
2cos(
2
)2cos(
2
32
13)
2sin(
3
2 2
0
3 0
3
0
3 0
x
df ft e
t t t df ft e
df ft e
t t t df ft e
t
f f
f f
π
ππ
πππ
ππ
πππ
π
Trang 23Bài giải:
42t
ft2iet
xFf
2t
ft2cos22
2dt
0 t2 22
ft2cos
2f2cos22
2f
∫
∞
+λ
λπ
=λ
∫
∞
+λ
λπ
=
∧
Vậy ( ) e 4 f
2f
u
n r
n
n n
n
++
=
⇒
++
0
sincos
2
sincos
,
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
từ điều kiện u|S = x2 – xy2 + 2.ta có :
(2cos )2 2cos 4sin2 2 4cos2 8cos sin2 2
Trang 24( )
( ); 2cos 4cos sin 4
2
222sinsin22cos22sincoscos
;
2 2
2 3
2 2
3 2 2
−
=+
−
=
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
r u
r
r r
r r
=
002
0
00
,xu
;xsin,
xu
t,utu
2 2
2 2 2
2 2 2 2
254
100
16100
16
508
525
2,
x
u t
u t
u x u
t t
u
x x u
t x t
x t
x t x u
u
x x x
u
ϕ
00,
2sin0,
dv v a
at x at x t
x u
at x
at x
at x
at x
5cos.2sin2
52sin52sin,
02
1:
2
12
,
=
−+
ϕ
Trang 251 2
!5
!
3
4.6
!5
4
!3
6
!
!5
1,3
Trang 26Câu 16:
Số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson {X(t),t ≥ 0} với tham số λ = 5 (trung bình có 5 cuộc gọi trong 1 phút) Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n Hãy tính ES4 và E[X(4) – X(2)|X(1) = 3]
044,2146,0.1214
24
146,020
1096,02
14
345,1096,0.14255
3434
096,0255
343.14
14
2 3 2 3
2 3 2 3
=
=
=+
−
=
=+
=+
=+
−
=+
=
=
−
=+
W W
L W
W L
W
q q
q
ρρ
ρλ
µρ
λρ
ρ
ρλ
ρλρ
Trang 27D LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = 10Ω, R2 = 30Ω, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm1H và suất điện động E = 8sin 20t(Volt)
Đóng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 2:
a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace của
f(t) = cos10t + 2sin10t – e-10t(cos10t + 3sin10t)
Trang 28Biết điện trở R1 = R2 = 10Ω, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H
và suất điện động E = 50sin10t(Volt)
Đóng mạch tại thời điểm t=0
Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0
Câu 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
Biết điện trở R1 = R2 = 10Ω, R = 30Ω, cuộn dây L có độ từ cảm 3,5H, suất điện động E =203sin 2t(Volt) Đóng mạch tại thời điểm t=0 Hãy tìm cường độ i1(t), i2(t) của dòng điệntại thời điểm t >0
′
+
=
′+
′
+
=
′+
′
yxzx
zxzy
zyyx
thoả mãn điều kiện đầux(0) = 2, y(0) = -3, z(0) = 1 Tìm nghiệm x(t), y(t), z(t)
Giải :
Hệ phương trình :
( ) ( ) ( )
+
=+
+
=+
3'
'
2'
'
1'
'
y x z x
z x z y
z y y x
z y
y x
''
' (I) Đặt X(s)=L {x(t) ; Y(s)=L {y(t) ; Z(s)=L {z(t)
Trang 29L {y(t) = sY+3 thay vào hệ phương trình (I)
=
−
X sZ
Z sY
Y sX
132
L {z(t) = sZ-1
Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:
Câu 5:
Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng utt = 4(uxx + uyy + uzz )
=
− sin ze
,z,y,xu
zyx,z,y,xu
x y
0
4 3
xu
t,u
xx tt
e,xu
xsin,
xu
uu
2
0
30
yx,
y,xu0
0 2
'
2
dx x J x xf J
Trang 30chứng tỏ rằng ( ) ( )
82
x J x
k k
λλ
λλ
; trong đó λk là nghiệm thực dương của phương trình J1(λ) = 0
Giải:
a- Ta có: (x J ( )x ) x J ( )x
xdx
d.1
1 n 1 n n
Jx.xxJxxdx
d.x
1 n
n n
n 1
n 1 n n
Đây là điều phải chứng minh
b-Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
0
m z
n
m n
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
4 1
4
3
3 1 , 2 3
3 2
3 2 , 3
2 , 3 2
4 2 , 3 2
4 1
4
123
21
14
c- Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Jα(x) theo
'
2
dx x J x xf J
x J x
k k
λλ
λλ
; trong đó λk là nghiệm thực dương của phương trình J1(λ) = 0
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
( ) J ( )z J ( )z
z z
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
2
*
*
− +
α
α α
α
αα
Ta tính :
Trang 31
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( )J x
J x
x
f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
k
λλλλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλλλλλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
λ λ
λ
1
1 3 2
2 3
2 3
2 2
2
2
5
2 2
2
2 2
4 3
3 2
4 0 3
3 2
4 0
1
4
0 1
4 2
2 5 1
0
1 4 4 2
2 5 1
0 1
4 2
'
1
42
4242
4
22
2 xf x J x dxJ
λ
−λ
=∑∞
=
x,J
xJx
1 n 1 n n
Jx.xxJx
n n
n 1
n 1 n n
Đây là điều phải chứng minh
b Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m thì :
0
z n
m n
I
Áp dụng công thức ta tính được:
Trang 32
( )x dx x J ( )x x J ( )x C J
x
x J x I x
J x dx x J x I
I x J x I x
J x dx x J x
3 0
3
2
2 2 , 1 2
2 1
2 1 , 2
1 , 2 1
3 1 , 2 1
3 0
3
112
21
13
c- Triển khai Fourier-Bessel của hàm f(x),0 < x < 1 theo hàm Jα(x) theo công
2 xf x J x dxJ
λ
−λ
=∑∞
=
x,J
xJx
J
z zJ z J z
zJ
1 1
1 '
2
*
*
− +
α
α α
α
αα
( ) ( )J x
J x
x
f
J J
J
A
J J
J J
x J x x J x dx
x
J
x
dx x J x J
x d x J x J
dx x J x J
k k
k k
k k
k
k k k k k k k k
k k k
k k
k k
k k
k
k k
k
λλλλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλλλλλλλ
λλλ
λλ
λλ
λλ
λ λ
λ
0
1 3 1
2 2
1 3
2 2
3 2
2 1
3 0 2
2 1
3 0
0
3
0 0
3 2
2 4 1
0
0 3 3 2
1 4 1
0 0
3 2
'
0
22
2222
2
22
1
.Tìm mật độ phổ
b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n)
Giải:
a- Tìm mật độ phổ:
Trang 33( ) ( )
f e
e e
e e
n K e f
f i f
i
f i n
n
f in n
x f in
π
π
π π
π π
π
2cos4041
14
5
44
5
419
15
49
1
2
2 2
2 2
0 2
0 0
2
31
9
91
9
93
19
99
13
z z
z z z
n z
n x z
X
z
z z
z
n
n n n
n n
n
n
n n
−
,
,e
rr
f
r R
0
2 2
2 2
Giả sử Θ và R độc lập
a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + Θ)là một quá trình dừng
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
2 0 2
3 2
2 2
2
0 2
1 2
0 2 2
2222
2
5cos2
5cos2
25cos
5cos5
cos
5cos5
cos)
();
cos
2
22
322
5cos5
cos)
(
2 2
2 2
σσ
σσ
ττ
ττ
ττ
πσσ
σσ
σ
σ
=Γ
++
=
Θ+Θ
++
=+
=
=Θ+
=
=
=
Θ+
=Θ+
e
r R
E
R E
t E
R E
t t
E R E
t R t
R E t x
dt e t dr
e
r R
matkhacE
t E R E t
t r
Vậy {x(t)} là quá trình dừng có hàm tự tương quan K x( )τ =σ2cos5τ
Hàm trung bình : m(t)=E[x(t)]=0 (Đã tính được kết quả ở phần trên)
nếu 0< r < ∞nếu ≤ 0
Trang 34Ta có :
( )
05cos2
112
1lim
05cos
05cos
5cos2
5cos2
1lim5
cos2
12
1lim
01
1
lim
2 2
2 0
2 2
2 2
0 0
=+
tdt
tdt t
tdt tdt
t
godic quatrinher dt
t K T
t T
n
n T
T
x T
σππ
σ
π
σσ
π
σππ
π π
ng îc nÕu
nÕu
,
f),
f()
(
x
0
55
e e d
2 2 2
425
10
π
στ
στ
2 5
5
2 2
a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) = a-nu(n), a > 0
i) Tìm biến đổi Z của x(n)ii) Tìm biến đổi Fourier của x(n)iii) Tìm biến đổi Fourier của y(n) = nx(n)
π
−
∧
l¹i
ng îc nÕu
nÕu
,
f,
e)(
0
41
8
Trang 35n n
n
az
az az
z n u a z
n x z
n x z
X
+ Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là :
e z f
i
f i
f i
n f i nf
ae ae ae
ae e
n x f
π
π
π π
21
11
1)
2 2
0
2 2
2
1
12
2
1)
(
)(2
f i
f i
f i n
fn i n
nf i
ae
ae f
Y
ae
ae df
d i f X df
d f i e
n nx
e n x n i f
X df d
π π
π
π π
π
ππ
ng îc nÕu
nÕu
,
f,
e)(
0
41
21
42
1
42
424sin21
42
cos2)
1 0
4 1
4 1
4 2 4
1
4 1
2 8 2
n c n
n n
n n
x
df f n df
e df e e df e f X n
ππ
π
π π
π π
Câu 14:
Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất
Trang 36P{Z1 = -1} = P{Z1 = 1} = 1/2 Đặt x(t) = Z1 cos5t + Z2sin5t.
a) Chứng minh x(t) là quá trình dừng
b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan
c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
1 2
Z
Vậy {x(t)} là quá trình dừng
b- Tìm hàm trung bình, hàm tự tương quan:
+ hàm tự tương quan : K x( )τ =cos5τ
+ Hàm trung bình:
m(t)=E[ ] [x(t) =E Z1cos5t+Z2sin5t]=cos5tE[ ]Z1 +sin5tE[ ]Z2
Câu 15:
Giả sử hệ thống sắp hàng có tốc độ đến λ = 12, tốc độ phục vụ µ = 14
a) Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng
thái cân bằng trong các trường hợp sau: M / M /1, M / D /1, M / E5/1
b) Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM / Ek/ 1 không vượt quá 3.
14286,01
4286,07
312141412
=+
λλ
µ
λµµλ
q q
q q
W L
W W W
+ hàng M/D/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ
Trang 3721
2143,014
3121414.2
122
=
−
−
=+
λλ
λµµ
λ
µµ
λµµλ
q q
q q
W L
W W W
+ hàng M/E5/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến λ, thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang-k với tốc độ µ
1
328,014
1257,01
257,035
9121414.5.2
6.122
=+
λλ
µ
λµµλ
k
k W
L
W W
k
k W
q q
q q
b-Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM / Ek/ 1 không vượt quá 3
Độ dài trung bình của hàng M/Ek/1 là :
6
37
11856
114412
14142
122
k
k
k k
k k
k k
k
λµµλ