Ngân hàng đề thi toán kỹ thuật

Đóng mạch tại thời điểm t=0.. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0... Đóng mạch tại thời điểm t=0.. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

NGÂN HÀNG ĐỀ THI

Môn: TOÁN KỸ THUẬT

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

THỜI GIAN : 120 phút

MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)

A LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM

Câu 1: Biểu diễn hàm biến phức f z( )z32iz dưới dạng u x y( , )iv x y( , ), trong đó u x y( , ),

( , )

v x y là phần thực và phần ảo của hàm f z( )

Câu 2: Biểu diễn hàm biến phức f z( )e z2 dưới dạng u x y( , )iv x y( , ), trong đó u x y( , ),

( , )

v x y là phần thực và phần ảo của hàm f z( )

Câu 3: Cho hàm biến phức f z( )cos2z, tính f i'( )

Câu 4: Cho hàm biến phức f z( )e2z, tính '

3

i

f  

 

Câu 5: Tìm hàm biến phức f z( ) thoả mãn f z '( )  6 z  1 và f (1  i )  9 i

Câu 6: Tìm biến đổi Laplace X s ( )  L  t sin 3 t 

Câu 7: Tìm biến đổi Laplace X s ( )  L  e2tcos 2 sin 32 t t 

Câu 8: Tìm biến đổi Laplace X s ( )  L  e4tsin 32 t 

Câu 9: Tìm biến đổi Laplace X s( )L t e3 2t

Câu 10: Tìm biến đổi Laplace X s ( )  L  (4 cos 3 t  5sin 2 )ch2 t t 

Câu 11: Tính    

 

7 / 4 5 / 4 3

Câu 12: Tính  

 

(3) 3 / 2

9 / 2

Câu 13: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân 8 2

0

x

x e dx







Câu 14: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x n( )e3n u n( )

Câu 15: Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x n( )e3(n1)u n( )

Câu 16: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: ( )x n 5n u n( )

Câu 17: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x n( )2 n 1u n( )

B LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM

( ) t sin(2 ) t cos(3 ) t

X s  L t e  t e  t e

Câu 2: Tìm biến đổi Laplace X s ( )  L  ( t2   1) ( t 1) 

Câu 3: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân:

0

sin 2 cotg

x

x



Câu 4: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân:

2

0

cos 2 tg

x

x



Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân:

2

2 3

0 cotg cos 2



Câu 6: Tìm hàm phức khả vi f z( ) (viết công thức theo z x iy ), biết rằng

f z u x y iv x y có phần thực

u x y( , )exxcosyysiny và f(0)i

Câu 7: Tìm chuỗi Fourier phức dạng ( ) n int

n





t

x t

t

  



 



nÕu nÕu

Câu 8: Tìm chuỗi Fourier phức dạng ( ) n int

n





  của hàm số ( )x t  t,     t

Câu 9: Tìm biến đổi Fourier của các hàm số x t( ) ( ) cos 3t t

Câu 10: Tìm chuỗi Fourier phức dạng ( ) n int

n





  của hàm số x t( )t, 0 t 2

Câu 11: Tìm chuỗi Fourier dạng cực của hàm số x t( )t,     t

Câu 12: Tìm biến đổi Fourier của ( ) 1 5

t

x t

t



 





nÕu nÕu

Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình u tt 9u xx thỏa mãn điều kiện đầu

2 2

( , 0) cos 4 ( , 0) x

t









Câu 14:Tìm nghiệm của phương trình u tt 4u xx thỏa mãn điều kiện đầu

2

( , 0) sin 3 ( , 0) x

t











Câu 15: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

1

!

n

n

z n









Câu 16: Tìm hàm phức khả vi f z( ) (viết công thức theo z ), biết rằng

f z( )u x y( , )iv x y( , ) có phần thực

u x y( , )x2y23e2ycos 2x3y, với z x iy

Câu 17: Tìm hàm phức giải tích f z( ) (viết công thức theo z ), biết rằng

f z( )u x y( , )iv x y( , ) có phần ảo

2 2



C LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM

Câu 1: Tính tích phân phức ( 2 2)

C

I z  z dz , trong C là nửa trên của đường tròn z  theo 1 chiều từ phải sang trái

Câu 2: Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính tích phân

2

0

4 sin

x dx x





Câu 3: Tính tích phân phức 2sin( ) 2

C

i z





a) C là đường tròn z 5 12

b) C là đường tròn z  1

Câu 4: Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình u0 phía trong hình tròn tâm O bán kính bằng 2, biết rằng trên đường tròn S tâm O bán kính bằng 2 thỏa mãn: u x2xy22

Câu 5: Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt

2 2 2

a



  ,  x ,t0 thỏa mãn

điều kiện đầu ( , 0) 1

0

u x



 





nÕu

Câu 6: a) Chứng tỏ rằng ( , ) 1 3 2 ( ) ( )

6

zz x y  x y G x H y là nghiệm tổng quát của phương

trình

2

2

z

x y

x y





  , trong đó G H, là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2

b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z x( , 0)x z2, (1, )y cosy

Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

2

e



một nghiệm riêng dạng ukxe 2x y , k là một hằng số

Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y '"( ) t  y t ( )  et, thoả mãn điều kiện đầu:

(0) '(0) "(0) 0

Câu 9: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y t"( ) 4 '( ) 5 ( ) y t  y t 25(t2t),

thoả mãn điều kiện đầu: y ( 0 )  y ' ( 0 )  0

Câu 10: Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích ( ) 4 1

X z



1



z

Câu 11: Tìm biến đổi Fourier ngược 1 3 

x t  F e

Câu 12: Tìm biến đổi Fourier của hàm số ( ) 21

4

x t t





Câu 13: Tính tích phân phức

2 ( 1)(3 1)

i z

C

e

dz



a) C là đường tròn z 1 2

b) C là đường tròn z 3 2

Câu 14: Tìm biến đổi Laplace ngược 1

2

( )

s

x t

Câu 15: Tìm biến đổi Laplace ngược 1

3

1 ( )

( 1) 1

x t

s

Câu 16: Tìm biến đổi Laplace ngược 1

( )

x t

Câu 17: Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N( ; 2) Đặt ( )y t  Xet,t Hãy 0 tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y t( ), t 0

D LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM

Câu 1: Cho hệ phương trình vi phân

' ' ' ' ' '







   



thoả mãn điều kiện đầu

x  y   z  Tìm nghiệm x t( ), ( ), ( )y t z t

Câu 2: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R 1 10, R 2 30

tụ điện C có điện dung 0, 01F,

cuộn dây L có độ tự cảm 1H và

suất điện động E8sin 20t(Volt)

Đóng mạch tại thời điểm t=0

Hãy tìm cường độ của dòng điện

qua tụ điện C tại thời điểm t >0

( ) cos10 2 sin10 t cos10 3sin10

1

R

E

i

2

i

1

i

C

là ( )  ( ) 2 5002

s

L

b) Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R1R2 10, tụ điện C có điện

dung 0, 01F, cuộn dây L có độ tự cảm 1H

và suất điện động E50 sin10t(Volt) Đóng mạch tại thời điểm t=0

Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t >0

Câu 4: Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R1R2 10,

R 30, cuộn dây L có độ tự

cảm 3,5H, suất điện động

E203sin 2t(Volt)

Đóng mạch tại thời điểm t=0

Hãy tìm cường độ i t i t1( ), ( )2

của dòng điện tại thời điểm t >0

Câu 5: a) Chứng minh rằng u x t( , )F(2x5 )t G(2x5 )t là một nghiệm tổng quát của phương

trình



b) b) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện (0, ) ( , ) 0

( , 0) sin 2 ; t( ,0) 0









Câu 6: Cho  là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn 0,2, R là biến ngẫu nhiên

liên tục có hàm mật độ

























0 ,

0

0 ,

) (

2 2

2 2

r

r e

r r f

r R

nÕu

Giả sử  và R độc lập

a) Chứng minh rằng x t( )Rcos(5t )là một quá trình dừng

b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan

c) Quá trình x (t) có phải là quá trình ergodic không?

Câu 7: a) Cho x (t) là quá trình dừng với hàm tự tương quan K t x( )2e5t , t

Tìm mật độ phổ

E

i

2

i

1

i

C

L

1

R

2

R

1

R

E

b) Cho quỏ trỡnh dừng ergodic x (t) cú mật độ phổ 2

1

( )

0 ,

x





 



nếu ngược lại

Tỡm hàm tự tương quan

Cõu 8: a) Cho dóy tớn hiệu rời rạc x n( )a u n an ( ), 0

i) Tỡm biến đổi Zcủa x (n )

ii) Tỡm biến đổi Fourier của x (n )

iii) Tỡm biến đổi Fourier của y ( n )  nx ( n )

b) Tỡm biến đổi Fourier ngược của

( )

0

i f

X f





 





nếu ngược lại

Cõu 9: Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiờn độc lập cú cựng phõn bố xỏc suất

2

1 1

1  P Z  

Z

P Đặt x t( )Z1cos 5tZ2sin 5t

a) Chứng minh x (t)là quỏ trỡnh dừng

b) Tỡm hàm trung bỡnh Tỡm hàm tự tương quan

c) Quỏ trỡnh x (t) cú phải là quỏ trỡnh ergodic khụng?

Cõu 10: a) Cho quỏ trỡnh dừng  





n

x

n

K n   

Tỡm mật

độ phổ

b) Tỡm biến đổi Z của cỏc dóy tớn hiệu x n( )n32n u n( )

Cõu 11: Cho quỏ trỡnh ngẫu nhiờn X t( )Asin(   trong đú A và 0t )  là hằng số và 0  là một biến ngẫu nhiờn cú phõn bố đều trong khoảng ( , ) Xột Y t( )X2( )t

a) Tỡm hàm tự tương quan của Y t( )

b) Tỡm hàm tương quan chộo R XY( ,t t  ) EX t Y t( ) (   của ) X t( ) và Y t( )

c) X t( ) và Y t( ) cú phải là quỏ trỡnh dừng khụng

Cõu 12: Cho hai quỏ trỡnh ngẫu nhiờn X t( ) và Y t( ) dừng, độc lập, cú trung bỡnh bằng 0 và hàm

tự tương quan R XX( ) e , R YY( ) cos(2)

a) Tỡm hàm tự tương quan của tổng W t1( )X t( )Y t( )

b) Tỡm hàm tự tương quan của hiệu W t2( ) X t( )Y t( )

c) Tỡm hàm tương quan chộo R W W1 2( ,t t  ) EW t W t1( ) 2(  ) của W t1( ) và W t2( )

Cõu 13: Cho chuỗi Markov X n n 0

 với khụng gian trạng thỏi E   1, 2,3  và ma trận xỏc suất chuyển

0,3 0,1 0, 6

0, 2 0,3 0,5

P

Giả sử chuỗi có phân bố đầu: P X  0 10, 2; P X  0 20,5; P X  0 30,3

a Tính ma trận xác suất chuyển 2 bước P(2)

b Tính P X 32 X13; P X 32 X0 2

c Tìm phân bố của hệ tại thời điểm n  2

Câu 14: Cho chuỗi Markov X n n 0

 với không gian trạng thái E   1, 2,3  và ma trận xác suất chuyển

0, 40 0,50 0,10

0,10 0, 70 0, 20

0, 30 0,50 0, 20

P

Giả sử chuỗi có phân bố đầu: P X  0 10, 3; P X  0 20,1; P X  0 30, 6

a Tính ma trận xác suất chuyển qua hai bước P(2)

b Tìm xác suất của các biến cố P X 2 1,X03, P X 32,X11

c Tìm phân bố của hệ tại thời điểm n 2

Câu 15: Xét một kênh gồm nhiều trạm thu phát chuyển tiếp các tín hiệu 0, 1 Giả sử mỗi trạm

nhận sai tín hiệu với xác suất không đổi bằng ; 01 Gọi X(0) là tín hiệu ở trạm phát đầu tiên và X là tín hiệu nhận được ở trạm thứ n Cho biết n X n;n 0,1, 2,  lập thành một chuỗi Markov Hai tín hiệu 0, 1 đồng khả năng xuất hiện ở trạm phát đầu tiên

a Tính xác suất P X 0 0,X10,X20

b Tính P X 0 0,X10,X2 0P X 00,X11,X20

c Tính P X 31,X10

d Tìm phân phối giới hạn