HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: TOÁN KỸ THUẬT Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ CÂU ( câu loại 1, câu loại 2, câu loại câu loại 4) A LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Biểu diễn hàm biến phức f ( z ) z 2iz dạng u( x, y) iv( x, y) , u( x, y ) , v( x, y ) phần thực phần ảo hàm f ( z ) Câu 2: Biểu diễn hàm biến phức f ( z ) e z dạng u( x, y ) iv( x, y ) , u( x, y ) , v( x, y ) phần thực phần ảo hàm f ( z ) Câu 3: Cho hàm biến phức f ( z ) cos z , tính f '(i ) i Câu 4: Cho hàm biến phức f ( z ) e2 z , tính f ' 3 Câu 5: Tìm hàm biến phức f ( z ) thoả mãn f '( z ) z f (1 i ) 9i L t sin 3t Câu 7: Tìm biến đổi Laplace X ( s) L e 2t cos 2t sin 3t Câu 8: Tìm biến đổi Laplace X ( s) L e4t sin 3t Câu 9: Tìm biến đổi Laplace X ( s ) L t 3e 2t Câu 10: Tìm biến đổi Laplace X ( s) L (4cos 3t 5sin 2t )ch2t Câu 6: Tìm biến đổi Laplace X ( s ) Câu 11: Tính / / 4 3 Câu 12: Tính (3) / 9 / 2 Câu 13: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân 2 x x e dx Câu 14: Tìm biến đổi Z dãy tín hiệu sau: x( n ) e3n u ( n) Câu 15: Tìm biến đổi Z dãy tín hiệu sau: x( n) e3( n 1)u ( n) Câu 16: Tìm biến đổi Fourier dãy tín hiệu sau: x( n ) 5 n u ( n) Câu 17: Tìm biến đổi Fourier dãy tín hiệu sau: x(n) 2 n1 u (n) B LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM L t 2et sin(2t )et cos(3t )e3t Câu 2: Tìm biến đổi Laplace X ( s ) L (t 1)(t 1) Câu 1: Tìm biến đổi Laplace X ( s) 2 Câu 3: Sử dụng hàm số Bêta tính tích phân: I sin 2 x dx cotg x 2 Câu 4: Sử dụng hàm số Bêta tính tích phân: I cos x dx tg x 2 Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta tính tích phân: I cotg x cos 2 x dx Câu 6: Tìm hàm phức khả vi f ( z ) (viết công thức theo z x iy ), biết f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) có phần thực u ( x, y ) e x x cos y y sin y f (0) i Câu 7: Tìm chuỗi Fourier phức dạng x(t ) nÕu t cn eint hàm số x(t ) 1 nÕu t n cn eint hàm số x(t ) t , t Câu 8: Tìm chuỗi Fourier phức dạng x(t ) n Câu 9: Tìm biến đổi Fourier hàm số x(t ) (t ) cos 3t Câu 10: Tìm chuỗi Fourier phức dạng x(t ) cn eint hàm số x(t ) t , t n Câu 11: Tìm chuỗi Fourier dạng cực hàm số x(t ) t , t t 5 nÕu Câu 12: Tìm biến đổi Fourier x(t ) nÕu t 5 u ( x, 0) cos x thỏa mãn điều kiện đầu 2 x ut ( x, 0) e Câu 13: Tìm nghiệm phương trình utt 9u xx u ( x, 0) sin x Câu 14: Tìm nghiệm phương trình utt 4u xx thỏa mãn điều kiện đầu 2 x ut ( x, 0) e ( z 2) n n! n 1 Câu 15: Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi Câu 16: Tìm hàm phức khả vi f ( z ) (viết công thức theo z ), biết f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) có phần thực u( x, y) x y 3e2 y cos x y , với z x iy Câu 17: Tìm hàm phức giải tích f ( z ) (viết công thức theo z ), biết f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) có phần ảo v( x, y ) x 3e y cos x xy x , với z x iy x y C LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM Câu 1: Tính tích phân phức I ( z z 2)dz , C nửa đường tròn z theo C chiều từ phải sang trái 2 Câu 2: Bằng cách đưa tích phân phức tính tích phân 4sin x 3sin x dx Câu 3: Tính tích phân phức sin(iz ) I (4 z 1)(3z i)2 dz , hai trường hợp sau: C a) C đường tròn z 12 b) C đường tròn z Câu 4: Giải toán Dirichlet phương trình u phía hình tròn tâm O bán kính 2, biết đường tròn S tâm O bán kính thỏa mãn: u S x xy Câu 5: Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt nÕu điều kiện đầu u ( x, 0) nÕu x b x b Câu 6: a) Chứng tỏ z z ( x, y ) trình u 2u a 2 , x , t thỏa mãn t x x y G ( x) H ( y ) nghiệm tổng quát phương 2 z x y , G, H hai hàm khả vi liên tục đến cấp xy b) Tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện z ( x, 0) x , z (1, y ) cos y Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát phương trình 2u 2u e2 x y , biết phương trình có 2 x y nghiệm riêng dạng u kxe 2x y , k số Câu 8: Tìm nghiệm phương trình vi phân y(0) y '(0) y "(0) y '"(t ) y(t ) et , thoả mãn điều kiện đầu: Câu 9: Tìm nghiệm phương trình vi phân y "(t ) y '(t ) y (t ) 25(t t ) , thoả mãn điều kiện đầu: y (0) y ' (0) Câu 10: Tìm biến đổi Z ngược hàm giải tích X ( z ) Câu 11: Tìm biến đổi Fourier ngược x(t ) F e C C b) C a) 3 f 1 Câu 12: Tìm biến đổi Fourier hàm số x(t ) Câu 13: Tính tích phân phức 1 miền z z (3z 1)(2 z 1) t 4 eiz dz , hai trường hợp sau: ( z 1)(3z 1)2 đường tròn z đường tròn z Câu 14: Tìm biến đổi Laplace ngược x (t ) L 1 2s ( s 1)( s 3)( s s 5) Câu 15: Tìm biến đổi Laplace ngược x (t ) L 1 Câu 16: Tìm biến đổi Laplace ngược x (t ) L 1 2s6 s ( 1) 4s 6s s 16 16 s Câu 17: Cho X biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N( ; ) Đặt y(t ) Xe t , t Hãy tìm hàm trung bình hàm tự tương quan trình y(t ) , t D LOẠI CÂU HỎI ĐIỂM x ' y ' y z Câu 1: Cho hệ phương trình vi phân y ' z ' x z thoả mãn điều kiện đầu x ' z ' x y x(0) 2, y (0) 3, z (0) Tìm nghiệm x(t ), y (t ), z (t ) Câu 2: Cho mạch điện hình vẽ: Biết điện trở R1 10 , R2 30 tụ điện C có điện dung 0, 01F , i1 R1 i2 C cuộn dây L có độ tự cảm 1H suất điện động E 8sin 20t (Volt) Đóng mạch thời điểm t=0 Hãy tìm cường độ dòng điện qua tụ điện C thời điểm t >0 i L R2 E Câu 3: a) Chứng tỏ biến đổi Laplace x(t ) cos10t 2sin10t e10 t cos10t 3sin10t X (s ) L x(t ) (s 500 s 100)( s 20 s 200) b) Cho mạch điện hình vẽ: Biết điện trở R1 R2 10 , tụ điện C có điện dung 0, 01F , cuộn dây L có độ tự cảm 1H suất điện động E 50 sin10t (Volt) Đóng mạch thời điểm t=0 Hãy tìm cường độ dòng điện qua tụ điện C thời điểm t >0 R1 i1 i i2 L C R2 E Câu 4: Cho mạch điện hình vẽ: Biết điện trở R1 R2 10 , R 30 , cuộn dây L có độ tự cảm 3,5H, suất điện động E 203sin 2t (Volt) Đóng mạch thời điểm t=0 R1 L R Hãy tìm cường độ i1 (t ), i2 (t ) R2 dòng điện thời điểm t >0 E Câu 5: a) Chứng minh u ( x, t ) F (2 x 5t ) G (2 x 5t ) nghiệm tổng quát phương trình 2u 2u 25 t x u (0, t ) u ( , t ) b) b) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện u ( x, 0) sin x; ut ( x,0) Câu 6: Cho biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đoạn 0, 2 , R biến ngẫu nhiên r r 2 , nÕu r liên tục có hàm mật độ f R (r ) e , nÕu r Giả sử R độc lập a) Chứng minh x(t ) R cos(5t ) trình dừng b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan c) Quá trình x(t ) có phải trình ergodic không? Câu 7: a) Cho x (t ) trình dừng với hàm tự tương quan K x (t ) 2e Tìm mật độ phổ 5 t , t (5 f ), nÕu f b) Cho trình dừng ergodic x (t ) có mật độ phổ Px ( f ) 0, nÕu ngîc l¹i Tìm hàm tự tương quan Câu 8: a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) a n u (n), a Tìm biến đổi Z x(n) i) ii) Tìm biến đổi Fourier x(n) iii) Tìm biến đổi Fourier y (n) nx( n) i 8 f e b) Tìm biến đổi Fourier ngược X ( f ) f 1/ nÕu ngîc l¹i Câu 9: Cho Z1 Z hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất PZ1 1 PZ1 1 Đặt x(t ) Z1 cos 5t Z sin 5t a) Chứng minh x(t ) trình dừng b) Tìm hàm trung bình Tìm hàm tự tương quan c) Quá trình x (t ) có phải trình ergodic không? n n Câu 10: a) Cho trình dừng x(n ) 1 4 có hàm tự tương quan K x ( n) Tìm mật 9 5 độ phổ b) Tìm biến đổi Z dãy tín hiệu x( n) n32 n u ( n) Câu 11: Cho trình ngẫu nhiên X (t ) A sin(0t ) A 0 số biến ngẫu nhiên có phân bố khoảng (, ) Xét Y (t ) X (t ) a) Tìm hàm tự tương quan Y (t ) b) Tìm hàm tương quan chéo RXY (t , t ) E X (t )Y (t ) X (t ) Y (t ) c) X (t ) Y (t ) có phải trình dừng không Câu 12: Cho hai trình ngẫu nhiên X (t ) Y (t ) dừng, độc lập, có trung bình hàm tự tương quan RXX () e , RYY () cos(2) a) Tìm hàm tự tương quan tổng W1 (t ) X (t ) Y (t ) b) Tìm hàm tự tương quan hiệu W2 (t ) X (t ) Y (t ) c) Tìm hàm tương quan chéo RW1W2 (t , t ) E W1 (t )W2 (t ) W1 (t ) W2 (t ) Câu 13: Cho chuỗi Markov X n n 0 với không gian trạng thái E 1, 2,3 ma trận xác suất 0,3 0,1 0, chuyển P 0, 0,3 0,5 0, 0,1 0, Giả sử chuỗi có phân bố đầu: P X 1 0, ; P X 2 0,5 ; P X 3 0,3 a Tính ma trận xác suất chuyển bước P ( 2) b Tính P X X1 3 ; P X X 2 c Tìm phân bố hệ thời điểm n Câu 14: Cho chuỗi Markov X n n 0 với không gian trạng thái E 1, 2,3 ma trận xác suất 0, 40 0,50 0,10 chuyển P 0,10 0, 70 0, 20 0, 30 0,50 0, 20 Giả sử chuỗi có phân bố đầu: P X 1 0, ; P X 2 0,1 ; P X 3 0, a Tính ma trận xác suất chuyển qua hai bước P ( 2) b Tìm xác suất biến cố P X 1, X 3 , P X 2, X 1 c Tìm phân bố hệ thời điểm n Câu 15: Xét kênh gồm nhiều trạm thu phát chuyển tiếp tín hiệu 0, Giả sử trạm nhận sai tín hiệu với xác suất không đổi ; Gọi X (0) tín hiệu trạm phát X n tín hiệu nhận trạm thứ n Cho biết X n ; n 0,1, 2, lập thành chuỗi Markov Hai tín hiệu 0, đồng khả xuất trạm phát a Tính xác suất P X 0, X1 0, X 0 b Tính P X 0, X 0, X 0 P X 0, X 1, X 0 c Tính P X 1, X 0 d Tìm phân phối giới hạn