Câu hỏi, bài tập và hướng dẫn trả lời môn Toán kỹ thuật

Câu hỏi, bài tập và hướng dẫn trả lời môn Toán kỹ thuật gồm ngân hàng câu hỏi và trả lời, có hướng dẫn giải môn toán kỹ thuật, tài liệu cần thiết cho sinh viên các trường ôn luyện cho môn học toán kỹ thuật

CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.1 Nếu hàm phức w  f (z) có đạo hàm tại z0 thì có đạo hàm mọi cấp tại z0

1.6 Tích phân trên một đường cong kín của hàm phức giải tích w  f (z) trong miền đơn liên

D luôn luôn bằng không

c we3z

1.16 Cho

z z

w 1 Tìm đạo hàm w ' z( ) trực tiếp từ định nghĩa Với giá trị nào của z thìhàm số không giải tích

1.17 Chứng minh hàm w  z z không giải tích tại mọi z





1

1

1.23 Cho phép biến hình tuyến tính w(1i)z 1

a Tìm ảnh của đoạn thẳng nối z1 1 i và z2 i

1.24 Tìm phép biến hình bảo giác biến hình tròn z  1 thành nửa mặt phẳng Im w 0 sao chocác điểm  1 , 1 , i biến lần lượt thành  , 0 , 1.

1.25 Tính tích phân 

C dz z

I trong hai trường hợp sau

a C là đoạn thẳng nối 2 điểm  1 và +1

b C là nửa cung tròn tâm 0 nằm trong nửa mặt phẳng trên đi từ điểm  1 đến điểm 1

1.26 Cho C là đường tròn z 1  3, tính các tích phân sau:

a cos

C

z dz

I trong đó C là đường gấp khúc có đỉnh lần lượt là  2 ,  1  2i, 2

3 3

n

n

i z

1sin

1.32 Khai triển Laurent của hàm số

z w

x x

0 sinx cosx 2

dx

1.38 Chứng minh các tính chất sau đây của phép biến đổi Z :

Tín hiệu: x (n) Biến đổi Z tương ứng: X (z)

x n

0 0

) (

n n n

u

nÕu nÕu

.Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau:

a) x(n) e in u(n) b) x(n) nena u(n) c)x(n)  a n u( n 1 ).d) x(n)  2nrectN(n) , trong đó rectN(n)u(n) u(n N): gọi là dãy chữ nhật

1.40 Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích

) 1 2 (

4 )

(



z z z

CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.12. Hàm ảnh F (s) của biến đổi Laplace là một hàm giải tích trong nửa mặt phẳng

0 ) ( )

x( ) Đúng Sai

1.19. Mọi hàm gốc của biến đổi Laplace đều tồn tại biến đổi Fourier

1 tet e ch 2t cos t f et sin 2tcos 4t

2.12 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau:

e

t

bt

at coscos 

2.13 Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc:

( )sin

t t

dt t t

cos

dt t

t t

d 

 0

6 3

dt t

s

b

11 6

3

2 



s s

s

20 4

4 6

2 



s s s

d

16 8

12 4

2 



s s

s

e

3 2

s s 

c

1 ( 3) 2 2

1 (

11 15 5

s s

2.21 Tìm hàm gốc:

a 4 53 4 2 3

5 4

5 4 16 9

s s s

s s s s

3





s s e

s

c

3 2

1



3 4 ) 4 ( 

2.24 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với các điều kiện đầu:

a x"  2x' x t 2e t ,

0)

" , x(0) x'(0)x"(0) 0

c x" x4sint5cos2t, x(0)1, x'(0)2

d x"9x cos2t, x (0) 1, ( / 2)  x   1

2.25 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với các điều kiện đầu:

t y x

"

' '

với điều kiện đầu 

2 ) 0 ( ' , 3 ) 0 (

y

x x

2

"

sin 2

2 ' '

x y x

t y

x y x

với điều kiện đầu 





 0 ) 0 (

0 ) 0 ( ' ) 0 (

y

x x

tx

t te

y

sin '

"

cos 3

2 ) 0 ( ' , 1 ) 0 (

y y

x x

2.27 Cho mạch điện như hình vẽ được nối tiến với suất điện động E volts, điện dung 0,02 farads,

hệ số tự cảm 2 henry và điện trở 16 Ohms Tại thời điểm t = 0 điện lượng ở tụ điện và cường độdòng điện trong mạch bằng 0 Tìm điện lượng và cường độ dòng điện tại thời điểm t nếu:

i i bằng không tại thời điểm t  0

Tìm điện lượng tại tụ điện tại thời điểm t  0

2.29 Chox t ( ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 10 và 5 0

0 3

a Tìm chuỗi Fourier của x t ( ).

b x t ( ) nhận giá trị bao nhiêu tại t  5 0 5 , , để chuỗi Fourier hội tụ về x t ( ) với mọi

[ 5;5]

t  

2.30 Cho x t ( )  2 0 t ,   t 4

a Tìm khai triển Fourier của x t ( ) theo các hàm sin

b Tìm khai triển Fourier của x t ( ) theo các hàm cos

E

F

C  0 02

 16

a Tìm biến đổi Z của x (n).

b Tìm biến đổi Fourier của x (n)

c Tìm biến đổi Fourier của y(n)nx(n)





l¹i

ng îc nÕu

0 )

CHƯƠNG III: CÁC HÀM SỐ VÀ CÁC PHƯƠNG

TRÌNH ĐẶC BIỆT

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.22. Khai triển tiệm cận là khai triển Laurent của hàm số tại 

a z

n z

a z

1

)! 2 ( 2

) 1 ( ln

) ( Ci

; )!

1 ( 1

) 1 ( ln

n n

n

x n x

x n

x n

x

3.12 Tính

x x b 



 0

3

dy e

y y b 



 0

) 1 (

! ) 1 ( )

0

6 cos d c







 2 0

ch½n nÕu

n n

n

n n

n d

1 (

!

! )!

1 ( 2 sin

0

2 0

2

1 ( 2

J

; ) 1 ( 2

) 2

1 (

2 1

dx p

1 1 1 1 1 0

x

dx x

3.22 Chứng minh các công thức truy toán đối với hàm Bessel

);

()

(2)(

)

z z

J      2) zJ'(z)zJ1(z) J(z);

);

()

()

(

)

3 zJ' z J z  zJ1 z  ( ) ( );

2

1)()

4 J' z  J1 z  J1 z

);

())

((

) ( ) 1 ( ) ( z

));

( (

) ( ) ( z

J z

J z zdz

d z

) 9

z

z J z J dz z J

0

3

1 ( ) ( ) 2

) (

)(8

1

1 3 1 0

J

x J x

Trong đó n là nghiệm thực dương của phương trình J0()0

b , 0 1

)('

)()8(2

J

x J x

J a x

f

n n n ; trong đó n là nghiệm thựcdương của phương trình J0()0 thì    







 1

2 1 2 1

0

) (

n

n

n J a dx

x f

) (

) (

J

x J x

dy x dx

y

có nghiệm tổng quát: yAJ(kx)BY(kx)

3.30 Giải các phương trình sau:

a zy" + y' + ay =0 b 4zy" + 4y' + y =0

c zy" + 2y' + 2y = 0 d y" + z2y = 0

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.32. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình chỉ chứa các đạo hàm riêng

2 2 2

u y y

u y x x

0

(

0 )

0 , (

2 sin )

0

,

(

t u

x

u

x x

u

x x

u

cos )

, 1 ( ) 0 ,

4.16 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

a u xx u yy e2xy biết rằng phương trình có nghiệm riêng dạng uke2xy

b u xx 4u yy e2xy biết rằng phương trình có nghiệm riêng dạng u kxe xy

4.17 Một thanh có chiều dài 3 đơn vị, có hệ số khuyếch đại tán bằng hai đơn vị.

Gọi u(x,t) là nhiệt độ vào thời điểm t tại vị trí x trên thanh Giả sử nhiệt độ ban đầutại x là: u(x,0)5sin4x 3sin8x2sin10x

Nhiệt độ hai đầu luôn bằng 0 thì u(x,t) là nghiệm của phương trình:

0 , 3 0

x x

u

t u t u

10 sin 2 8 sin 3 4 sin 5 ) 0 , (

0 ) , 3 ( ) , 0 (

a Giải phương trình bằng phép biến đổi Fourier hữu hạn

b Giải phương trình bằng phép biến đổi Laplace

( t x u

0 ) , 0



4.21 Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình u0 trong các trường hợp sau:

a Tìm nghiệm phía trong hình tròn tâm O bán kính bằng 1 thỏa mãn điều kiện

)20

( 1

2 )

1 ( 2

u y u

y

) ( ), (

; ) ( ) 0 , ( , ) ( ) 0

y x

2 2 3

3 )

0 , , (

) 0 , , (

x y

x y

x u

y x y

x u

u u

u

t

yy xx

0 , , (

) 0 , ,

y x u

y x

y x u

u u

u

t

y y xx

x

x x

t t

e x

u

e x

u

u u

) 0 ,

(

) 0

2

) , , ( , cos cos sin ) 0 , , , (

0 ,



z y x z y x z y x u

t u u u a

u

t u

, sin ) 0 , (

0 ,

u

t u

u t xx

, sin ) 0 , (

0 ,

CHƯƠNG V: QUÁ TRÌNH DỪNG

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.43. Hàm trung bình m(t) Ex(t),tI của quá trình ngẫu nhiên  x(t)tI là một biến

2 / ) (

1 T

T

dt t x

T của quá trình ngẫu nhiên  x(t)tI là một

biến ngẫu nhiên

1.49. Cho  x(t)tI là một quá trình cấp 2 có tính chất Ex(s) và Ex(s)x(st) không phụthuộc vào s Chứng minh rằng  x(t)tI là quá trình dừng

1.50. Cho  x(t)tI là một quá trình dừng với hàm tự tương quan K x() Chứng minh rằng

 y(t)tI, y(t) x(t1) x(t) cũng là quá trình dừng Tìm hàm trung bình và hàm tựtương quan

1.51. Cho  là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn 0 , 2 , A0 ,  0 là haihằng số Chứng minh rằng x(t)A0sin(0t) là một quá trình dừng Tìm hàm tự tươngquan Quá trình x (t) có phải là quá trình ergodic?

1.52. Cho  là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn 0 , 2 , R là biến ngẫu

0

0 ,

)

2

2 2

r

r e

r r

f

r R

nÕu

nÕu

Giả sử  và R độc lập,  0 Chứng minh rằng x(t)Rcos(t)là một quá trìnhdừng với trung bình 0 và hàm tự tương quan K x(t)  2cos t

1.53. Cho A là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N( 0 ; 2) Đặt x(t)Acos(10t).Tìm hàm mật độ xác suất của x (t) Quá trình  x(t)tI có phải là quá trình dừng không?

1.54. Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất

2

11

x( ) có trung bình Ex(n) 2 và hàm tự tương quan

2 )

( Tìm mật độ phổ

1.56. Cho W (t)là quá trình Wiener với tham số 2

 Đặt x(t) e t W(e 2 t ), 0 làhằng số Chứng minh rằng x (t) là quá trình Gauss dừng với hàm tự tương quan

ng îc nÕu

nÕu

, 0

), (

1 )

CHƯƠNG VI: QUÁ TRÌNH POISSON

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.58. Quá trình Poisson có không gian trạng thái là tập các số tự nhiên

Đúng Sai

1.59. Mọi quá trình đếm là quá trình Poisson

Đúng Sai

1.60. Nếu quá trình X(t);t 0 đếm số lần xuất hiện biến cố A là quá trình Poisson tham

số 0 thì  là số lần trung bình xảy ra biến cố A trong khoảng 1 đơn vị thời gian Đúng Sai

1.61. Giả sử X(t);t 0 là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A W (n) làthời gian đến thứ n W (n) là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Poisson Đúng Sai

1.62. Giả sử X(t);t 0 là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A S (n)là thờigian đến trung gian thứ n S (n)là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ Đúng Sai

1.63. Giả sử X(t);t 0 là quá trình Poisson đếm số lần xuất hiện biến cố A Giả sử mỗikhi biến cố A xảy ra thì nó được phân thành hai loại: loại I và loại II Hơn nữa, giả sử sựphân loại biến cố này là độc lập với sự phân loại biến cố kia Ta ký hiệu X1(t) và X2(t) làquá trình đếm tương ứng với biến cố loại I và biến cố loại II thì X1(t) và X2(t)cũng là haiquá trình Poisson

Đúng Sai

6.7 Các bức điện gửi tới bưu điện là quá trình Poisson với tốc độ trung bình 3 bức trong 1 giờ.

a) Tính xác suất để từ 8h00 đến 12h00 không có bức điện nào

b) Tính phân bố của thời điểm tại đó nhận được bức điện đầu tiên sau 12h00

6.8 Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X (t) với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trongmột đơn vị thời gian Hãy tính:

6.10 Cho X1(t),t 0 và X2(t),t 0 là các quá trình Poisson độc lập với các cường độ là

a) Tính xác suất để X1(t)1 trước khi X2(t)1

b) Tính xác suất để X1(t)2 trước khi X2(t)2

c) Tính xác suất để X1(t)n trước khi X2(t)m

6.12 Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 5 người một giờ Biết rằng trong 2

giờ đầu đã có 12 khách tới, tính xác suất (có điều kiện) để có 5 khách tới trong giờ đầu tiên

6.13 Khách tới cửa hàng theo quá trình Poisson với cường độ 10 người một giờ Khách có thể

mua hàng với xác suất p  0 , 3 và không mua hàng với xác suất q 0 , 7 Tính xác suất để tronggiờ đầu tiên có 9 người vào cửa hàng trong số đó 3 người mua hàng, 6 người không mua

6.14 Cho quá trình Poisson X(t),t 0 với tham số  Gọi S n là thời gian đến trung gianthứ n Hãy tính ES4 và E   X (4)  X (2) X (1) 3   

CHƯƠNG VII: LÝ THUYẾT SẮP HÀNG

CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP

1.64. Kết quả nhỏ cho công thức liên hệ giữa các số đo hiệu năng của một hệ thống sắp hàng Đúng Sai

1.65. Trong ký hiệu Kendall A/B/k nếu quá trình đến là quá trình Poisson thì A được kýhiệu là P

Đúng Sai

7.7 Giả sử hệ thống sắp hàng có tốc độ đến 10, tốc độ phục vụ   12

a Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân

bằng trong các trường hợp sau: M / M/1, M / D/1, M/E5/ 1

b Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng LM E/ k không vượt quá 3./1

7.8 Hàng M /M/k/N có phân bố dừng thỏa mãn công thức (7.6)-(7.7) Khi k N các xác suất

0 2

k q

Hãy tính các số đo hiệu năng: L W W; , q.

7.10 Hãy tính các số đo hiệu năng: L L W W, ;q , q của hàng M M/ / 2 với 12,  10

HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG I

62 3 , 0, 1, 2

k i

c Ellipse với tiêu điểm F1( 2;0),  F2(2;0) độ dài trục lớn 2 a  6



1

) thành đường tròn đi qua  1 , 1

và tiếp tuyến tại 1 lập với trục thực một góc

2v  v

1.23 a Đoạn thẳng nối w1 1 và w2 i

b Đường tròn tâm ( 1 ; 2 ) bán kính 4:

1.24 Áp dụng công thức (1.47) ta có:

z

z i w i k i

w z

z k w

)(

;1

1

C C

idy dx y x dz z

:

y x

t x

C

0

; ) sin(

) cos(

n

n n

       

1 s Re 2

1

; 1

1 s Re

z

z i

z

z i

I

1

2

14

12

12

; 4 Re

2 Im 2

1 4

Im 2

2

2 2

e

) 1 (

Im 2 1

e

e z

z z

e s i

z z

z

e s

4

)32(0

;)1(Re

;)1(Re2

Im2

1

2 2 2

z z

e z

e z

n x z

X

n i

n

n in n

a n a n

n

z e

z e z

e z

a a

a a

a n

n na n

z e

z e z

e

z e z z

ne z

n x z

( )

' 0

a z

z a

z z

n u a z

X

n

n n

n n

z z

z X

N n

(

1 1

1 2

1 2

2

1 1

2 )

1 2 (

4 )

(

n

n n n

n

z z

z z z

z z z

2

1)(

5 





 u n n

2.11 Tìm biến đổi Laplace

a.

4

3sinsin3sin)

) 9 )(

1 (

6 )

18

2

2 4 16

438

1)(

s

s s

s s

s X

9 ) 2 (

2 3

ch 9

3 ch

2

22

e s

6 )

2 (

6 )

1 (

3 1 ) (

s s s

2 cos

2 ch )

25

3 )

s s s

f. x t e t t t e t sin 6t sin 2t

2 4 cos 2 sin )





52

137

2

3)

s s

) (

s s

t s

1 s

s b 12

s s

a. Sử dụng câu 2, c,

2 3

4 2 0

2.18 Chứng minh theo quy nạp và sử dụng công thức sau:

a. sin2 1n t'' (2n 1)(2 )sinn 2 1n t (2n 1) sin2 2 1n t

a.  

2 2

1

2

t

e t





d 4 ( 3)3 4( 4)

(1 3)3

a 2 150 4 4

( ) 6 6 cos3t 8 sin3t ( 8 25)

sin

n n

n t n

i f n

4 2

/ ) 4 (

2 / ) 4 ( sin 2 1 )

4 ( 2 cos 2

4 /

1

0

n c n

n n

n df

t T

x df

e f fT I

0 2 / )

( 2

2 2 sin

0

d du

4 sin

2 2

sin 2

2

0 2

2 2

2 2

u du

u

u T

du u

u T

df f

p p B dx x



c

2 2



3.23 a x n J n(x) C b C

x

x J

x x

y  b ( 12)

0 x z

y  c ( )

212

1

x z x

2

1 ( 2

412

1

x z x

8 7 8 3

        

7 7

288 7

32 7

64 7

7 4 7

92

u u

u u

3 2

y x x

sin 2

sin 2

tr ong Elip tic

0 m

tr ong Par abo lic

0 m

tro ng Hyper bolic

2

xy xy xy

1)

b u x y F x y G x y  xe2xy

4

1)2()2(),

1,2

4.22 Đưa phương trình về dạng chính tắc u 0 Tích phân phương trình này và sử dụng các

điều kiện biên ta có: u x y f x y g t dt

y x

y x

2

2

) ( 3

2 )

,

4.23 a u(x,y,z,t) e xcosyt(x2  y2) b ( , , , ) 2 2

t x

x t

z y x u

(2

1)69(3

1

t t x y t

y x x

cos2

1sin)

,,,(x y z t e 2 x e4 2 ye 2 z



x e t

x t

1 ) sin(

) sin(

E )

(

E

2 0 0

0 2

0

0 0

)cos(

E

2 0 0

A d

A T

0

0 0

0

0 0

0 0

2 0 0

2 0 0

cossin

1sin

2

cos21

T T

A

khi0cos

1sin

sin

0 0

0 0

2 0

Theo định lý 5.11  x (t) là một quá trình dừng thoả mãn điều kiện (5.16) do đó là mộtquá trình ergodic

5.10 Theo giả thiết R và  độc lập, do đó E ( )x t  ERcos(t  ) E  R E cos(t )

5.12 Ex(t)EZ1costZ2sintcostE Z1 sintEZ20

Theo giả thiết Z1, Z2 độc lập do đó:

6.7 Gọi X (t) là số bức điện gửi tới bưu điện trong khoảng thời gian t , theo giả thiết X (t) là

quá trình Poisson tham số 3

a) Xác suất để từ 8h00 đến 12h00 không có bức điện nào bằng :

4 ) 2 (

2 ) 1 (

6 ) 3 ( , 2 ) 1 ( 2

) 1 ( 6

X X

P X

X

6.9 X (t) là quá trình Poisson tham số 2

A) X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số 4 do đó EX(2) 4

2

! 1

2 1 2

)

1

(

2 2

e X

! 2

2

! 1

2 2

) 1 ( ) 2 ( , 1 ) 1 ( 3

) 2 ( ,



6.13 Gọi X (t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t , theo giả thiết X (t) là

quá trình Poisson tham số 10 Gọi X1(t), X2(t) lần lượt là số khách hàng tới cửa hàng có

mua hàng và không mua hàng trong khoảng thời gian t thì X1(t) là quá trình Poisson tham số

1 10 0,3 3

    còn X2(t) là quá trình Poisson tham số  2 10 0, 7 7 

7.7 a) Độ dài trung bình của hàng và trễ phục vụ của hệ thống

Hàng M / M /1:

2

1

;6

k q

k q

k q