Bài tập toán cao cấp

NGUYỄN ĐINH TRÍ (C hủ bién) BÀI TẬP TỐN CAO CẤP TẬP MỘT ĐẠI GlẢl TÍCH ■ SỐ VÀ HÌNH HỌC « NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM Chương I TẬP ■ HỢP ■ VÀ ÁNH XẠ • A ĐỂ BÀI 1.0 MỞ ĐẦU 1.1 Dùng kí hiệu học tiết 1.0 viết mệnh đề sau : Định nghĩa ” Tam giác ABC gọi tam giác cân có hai góc Địrilì lí - Nếu tam giác ABC có hai cạnh tam giác cân Địnlĩ lí - Điểu kiện cần đủ để tam giác ABC cân có hai cạnh bằng-nhau I l T Ậ P HỢP VÀ PHẦN TỬ 1.2 Tim lập nghiệm phươĩig trình hay bất phương trình biểu diễn chúng trục số : a) v^ - 4.V + = b) c) d) v^ - V+ = - 4.r + < e) ,v^ - ,v + > f) - 4.V + > + 1< 1.3 Tim tập nghiệm hệ phương trình hay bất phương trình dựới biểu diễn chúng mặl phẳng toạ độ : a) 3.\ + V = ” ■ V - V = c) x - V = d) 3.V V > b) 3.V = ' ■ - \ + V = - e) 3.\ - V < 1.4 Trong trường hợp sau hỏi có A = B khỏns ? a) A tập số thực > 0, tập số thực > trị tuyệt đối cũa ; b) A tập số thực > 0, ; lập số thực < trị tuyệt đối cua c) /4 tập số ngun khơng âm < 100 có tam thừa sô lé không chia hêt cho 3, B tập số nguyên không âm < 100 có bình phương trừ chia hết cho 24 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP 1.5 A, B, c tập E Chứng minh A u c cz A KJ B v ầ A n C d A n B c d B 1.6 A tập E Hãy xác định tập sau ( / \ ) , A Ã A u A , , Ẽ 1.7 /l, tập E Chứng minh a) Nếu A c B B c A b) Nếu A vầ B rời phần tử E thuộc /\ thuộc B c ) / c f i y u i ? = f i A yj B = E d ) A c : B c i > A r \ B = AAn B = e) A u B = AnB f) A r\ B ^ A y j B 1.3 TÍCH ĐỀ CÁC 1.8 Cho ỉ u 2, 3j, j5 {2, 3, 41 Hãy viết láì cà phần lử /\ điểm rnạt phẳnn toạ độ 1.9 Cho /\ - [ , -vịi 2"ì ’2 Chứng minh TZ quan hệ thứ tự tồn phần tập thí sinh 1.5 ÁNH XA 1.16 Các ánh xạ / ; “ » sau đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược có : ) / - R , - R , / ( a-)=: v + ; 2)A 3) = R , B = R , f ( x ) = + 2a- - ; = [4, 9], = [21, ],/ ( a) = 4)A^R,B^ 5) r + 2.V - ; 'JÌ x ) = 3x - A = R , B ^ (0, +00),/(x) = ế ) A = N , B = N , f ( x ) ^ x ự + 1) 1.17 Các ánh xạ sau loại ánh xạ ? Xác định ánh xạ ngược có : 1) Đối xứng điểm o ; 2) Tịnh liến theo veclơ a ; 3) Quay quanh tâm o góc ổ mặt phẳng ; 4) Vị tự tâm o với tỉ số k ^ O 1.18 a) Cho ánh x / : R -> R xác định r, X= _ /(,v) 2.V + X-2 Nó có đơn ánh ? toàn ánh ? Tim ả nh/(R ) b) Cho ánh xạ —> R, R = R - jOỊ xác định V i-> Tim ảnh fog 1.19- Xét hai ánh xạ / : R ^ R xác định bởi/(.v) = I-V : R “ > R, R+ ; = Ị ,v| A* G R, V> OỊ xác định bỏfi A' 1—> Vx So sá n h /o ẹ gof • 1.20 Cho lập hợp /4, 5, c , D ba ánh xạ Chứng minh : /ỉo(ẹq/) = Ợĩoỉ>)of 1.21 1) Cho tập E F ánh x / : E F v4 s hai tập E Chứng minh a) /4 e B f{Ả) c f {B) ; b )/(/ln fi)c/(/l)n /(fi); c)f{A u B) ^ f{A) u / ( f í ) 2) Chứng minh n ế u / l đofn ánh /(A n fi)-/(A )n /(5 ) 1.22 Cho tập £ F ánh x / : £ F B tập F, chứng minh a) ,4 c i S = > / " ' ( / ! ) c / ~ ‘(B); b ) / “ ' ( / l n i ? ) = / “ ’ ( / l ) n / “ '(i?) 1.23 C h o / ; £ - ^ F ; , í í : F - » G Chứng minh : 1) Nếu / g tồn ánh gof\ằ tồn ánh ; N ếu/và đcfn ánh gof\ầ đơn ánh ; N ế u / v g sịng ánh go/là song ánh 2) Nếu gof\ầ song ánh v / l tồn ánh t h ì / v g song ánh .V 24 Với m ỗ i b ộ s ố iiỉiLiycn í/ /), r í/ S.U1 c h o (,-'^ = 15 tức V - = hay (7 /2 )2 ĐÓ hypepol có bán trục thực V3 / đặt trục ỡ x ' bán trục ảo V đặt trục Oy e) Cho phương trình 2x^ + 4xy + = 24 403 Ta suy '2 ĩ' A=i A đối xứng có phương trình đặc trưng -Ẳ 2 -/ = _ â + = Do A có hai trị riêne Á -ị ” 1, với hai vectơ riêng trực chuẩn /^2 “ = ^ ( , - 1), V2 - 2)- Lấy B = {lI|, V2 Ì làm sở m ới kí h iệ u loạ đ ộ m ới (.V, v') th ì ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B !"2 1] phưcmg trình cho trở thành 6v'^ = 24, 4- hay >’ + {■^ÍĨÃỶ 2^ X ,1 đặt trục Ox bán Đó elíp có bán trục lớn trục nhỏ đật trục Oy' f) Cho phương trình + xy + y'^ =18 Ta suy A= ' 1 /2 /2 A đối xứng có phương trình đặc trưng 404 l - Ẫ \/2 1/2 1-i = (1-A)2-1 Do A có hai trị riêng A ị = 1/2, /L, = 3/2 Và hai vectơ riêng trực chuẩn 0:1 1^2 “ ~y~- (K 0- Lấy B = ị v ị , V Ì làm sở kí hiệu toạ độ ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B (x\ ỷ ) 1 D = -1 phương trình cho trở thành hay - (6 ^ )' Đ ó elip có bán trục lớn đặt trục Ox' bán trục nhỏ / V đặt trục Oy' g) Cho phương trình - Sxy + 7y^ = 36 Ta suy -4 k đối xứng có phương trình đặc trưng ỉ-Ã -4 -4 7-Ằ /I - Ẩ - = Do A có hai trị riêng Aj=9, với hai vectơ riêng trực chuẩn -2 ), ^ = -1, v2 = ^ ^ ( , ì) 405 Lấy B ~ U’ị, Ut) làm sở kí hiệu toạ độ ( v\ v') ihì ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở S[-2 I/ phương trình cho trở thành V - y “ 36, hay -v’2 22 62 ĐĨ hypebol có bán trục thực đặt trục ỡ.v' bán trục ảo đặt trục Oỵ h) Cho phương trình 5x^ - 4xy + Sy‘ = 36 Ta suy -2 A -2 A đối xứng có phương trình đặc trimg 5-Ầ -2 -2 S-À = - \ Ĩ Ả + 36 = Do A có hai trị riêng = 4, Ằ2 = với hai vectơ riêng trực chuẩn 1^1 = ^ ( , - ) , U = ^ ( l , 2) Lấy B = {ỉ; I, D2 ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B p = -1 phương trình cho trở thành 4a"“ + y '^ = , 406 ’ >") tức v'2 / — +-y - Đó elip có bán trục lórn đặt trục Ox' bán trục nhỏ đặt trục O ỳ 8.4 Cách làm giống cách giải t ậ p 8.3, khác chỗ ta có toạ độ, ma trận A dạng toàn phương làm việc ma trận cấp (a) Xét phương trình a ' j — x ị J í2 + - > '2 — ^ V ế trái dạng tồn phương /1= có ma trận -1 -1 -1 -1 A đối xứng có phương trình đặc trưng - À -1 - Ả -1 -1 -1 3-Ấ = ( - Ẵ ) { Ẳ ^ - Ẳ + 4) = Do A có ba trị riêng khác Ắ| = 1, /^2 “ 2, /^3 = 4, với ba vectơ riêng trực chuẩn 1, 1), V2 - — (1 ,-1 ,0 ), Vỉ u, (1, ,- ) Lấy i5 = {i; J, ^ , l>3 } làm sở kí hiệu toạ độ ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B p " 1/ V /V l / yj -I/V2 ỉ/yỉẽ ỉ/yỉỉ - / Vó yj, y^) i / V ó ’’ 407 phương trình cho trở thành yỊ + '^ýị ^ýì ~ tức y\ + +4=1 4^ (2V2)" {I^ĩý 2^ yĩ Đó mặt elipxơit có bán trục 4, \ Ỉ , 2, đặt trục ớ>í], ỡ>'2 , )'3 Chú ý : Y ì phương trình cho không chứa sô' hạng bậc nên nhận dạng mặt bậc hai, không cần hệ trục công thức đổi biến cần tính trị riêng ma trận A viết phưcmg trình mặt bậc hai toạ độ từ mà nhận dạng mặt bậc hai cho b) Xét phưcmg trình 2xy + x + 2yz - 6x - 6y - 4z - Bộ phận tồn phương 2xy + 2xz + 2yz có ma trận (0 A= r 1 0^ M a trận đối xứng có phưotig trình đặc trưng -Ắ -Ầ 1 = -(Ắ + i r ( Ắ - ) = -X Do A có trị riêng bội hai Ẳj = Ấ2 = -1 trị riêng đơn Ầ ị - với vectơ riêng Wị = ( - , 1, 0) W2 = (-1,0, 1) ứng trị riêng - ; «;3 = (1, 1, 1) ứng trị riêng H v ectơ «;] v W ch a trự c g ia o VI = 1 + ( - l ) + ( - l ) = ^ Ta thay hai vectơ hai vectơ trực chuẩn cách áp dụng trình G ram -Sm idt vào hai vectơ {u^Ị, w;2)- 408 rrước hết, y j(-\Ỷ - ^ - " ■ ^2 nên ta đặt Wị ì’i - Sau ta đặt w - W 2^ xác định / e R để u; trực giao với Li ị tv ị v ầ Ta có < w , ưị > = < W - Ỉ Vị , V ị > = + t Muốn cho w trực aiao với u, la phải có - tức 1.0 (-1) í = —< W V ị > V ỉ' Do \ f — - p1 , V2 I V2 V2 u; = (-1, 0, ) - - ^ ^ f \ ) \ 2’ =ị-1 1^ j Ta có w Ta đậl 1^2 w ( Ị _ ! _ w V V ó’ ^ /6 ’ ^/6 U], Vj hai vectơ trực ạiao chuẩn hoá vectơ riêng ứne trị riêng bội hai 1, Ẫị = V2 Ầ nghĩa có 1, = AVị —ÀịVị, A v — -^^2’ ~~ "^"2' (bạn đọc kiểm tra lại Tuy nhiêiĩ việc kiểm tra khống cần thiết kết luận tự nhiên cách làm ta, xem Thcc/1, chương , 8.5) Vectơ riêng ^ = (1, 1, 1) ứng trị riêng /I3 = chuẩn hoá thành v-x - w-, I W2 = (1/3, l/-s/3, Ì / \ Ỉ ) Vì ma trận A đối xứng nên B' = {dj, 1^2 , 1^3 } tạo thành sở trực chuẩn R^ Kí hiệu toạ độ sở B' (x', y , 2') ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B' 409 -1/V2 p - 1/ V - /n /6 - /V ố /V I/V 1/ V , 1/V3j phương trình cho trờ thành -A ' ã - y ỉ - - ] p y' 1= ,2 -r o2 z '2 -I-, ; hay -A ' - V - o2 r -2 - Ỉ6 —?=r V - — I r _- n0 y ’ ! ~ ' v6 ; hay -1 Đặt ta ■X^ - Y ^ - 10 Đó phương trình hypebơlơit tầne hệ trục XYZ c) Xét phương trình 7-v^ + y ^ + z ^ - at -1 Ta suy A=- - -2 - 4.vz + 4yz - 12.V + v + 60z 24 -2 10 A đối xứng có phương trình đặc trưng - Ầ -1 -2 -1 -1 -2 10-Ẩ + Ắ ^ - A + 432 = - ( Ẩ - r (Ẩ-12) = A có trị riêng Aị = /^2 = A3 - ứng trị riêng Ắị = /I2 = có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính ( , , ) , M2 = ( , , 1) Hai vectơ chưa trực giao Áp dụng trình trực chuẩn hoá G ram -Sm idt ta : 410 Vị - - ^ { ) 4Ỉ Í,'T - = ( - 1, 1) V3 hai vectơ riêne ứne tri riêng /.Ị - /-2 " chuẩn, ứng trị riêng /3 = 12 có vectơ riêng chuẩn hố *■ ) Vỏ Vì /4 đôi xứng nên B ~ 11; Ị, V2 , ỉ^3 tạo ihành sờ trực chuẩn R'^ Ma trận chuyển sờ từ sở cũ sang sờ B p 1/VỈ ỉ i / VỈ Vo i Ta có : 1/73 -1/V3 1/V3 - / a/6 l /> /6 2/ ^/ p ' = p Kí hiệu toạ độ sở (x’, y \ r') phương trình cho Irở thành r 12 12 ] p\ y' 1= 24 I lị L hay : 6.V '2 + 6>- + 12z '2 + ^ y ■ + z ' = 24 4ẽ S ' hay : x' ^+ y ’^ + 2z'^ + - ^ y ' + ^ z ’ = V3 76 hay : Đặt: tađược: +2 y' + X -X, y X^ + r = 19 , + F, z = — ^ + Z + 2Z = Đó phương trình mặt elipxơit hệ trục XYZ 411 d) Xét phươiig trình ; Zv>’ - 6.V + 1Oy + - 31 = 0 A = 0 Ta suy : 0 A đối xứng có phưcmg trình đặc trưng - Ă 0 - Ẳ 0 -Ẫ Do A có ba trị riêng khác : Ẵị = 1, /Ỉ2 = -1 - ^3 = với ba vectơ riêng trực chuẩn 1 ,0 V2 = ^ , o l - ( o , o , 1) Lấy B' = { ị, 1^2, 1^3 } làm sở kí hiệu toạ độ (x, y \ z') ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B' " 1/ V p = 1/ V 1/ V - 0^ 1/72 0 phưofng trình cho trở thành ẦịX 2.1 + Ầ2ỵ' ,2.1 ,2 + ^ 32' + —6 10 X p y -31 =0 hay : '’^ - y ' ' ^ + - ^ x ' - ^ y ' + z ' - ì = ^/2 V2 Phưofng trình viết { x ' +y Ỉ Ỷ - - ( y ' + y Ỉ ỷ +32 + z ' - ì = Đặt: ta c ó : x ' + ^ = X ■ y ' + j = Y, z'-l= Z , X ^ - Y ^ + Z = Đó phương trình mặt parabơlơit hypebơlic hệ trục mỏi XYZ e) Xét phương trình 2x^ + 2y^ + 5z^ - 4xy - 2xz + 2yz + lOx - y - z ^ 412 -2 -1 , Ta suy A = : - 1-1 J A đối xứng có phương trình đặc trưng 2-A -2 -2 - Ă -1 -1 -Á - - A ( r - A + 18) = Ma trận A có ba Irị riêna khác : Ấ| - 6, /^2 vectơ riêna trực chuẩn : { \ 11 1 ^ /1 » =( I / n / , I/% /ĩ,0) Lấy fi = {í/Ị, Ư2 , 1^3 } làm sở kí hiệu toạ độ (.v\ ma trận chuyển sở từ sở cũ sang sở B l/Vó 1/n/3 I/V -i/> /6 -\ị4ỉ \i ĩ I/V [ ^ z') phương trình cho Irở thành X 2 Ắjx'- + ấ ,v '^ + Ắ3 '^ + [10 - - ] P y’ = 34 , 16 hay : T ò ' ' hay : Đặt: 20 A' + óVó \2 17 + y'+ \2 - n/ z ' = ĩS Ì 20 óVó -Tĩ 17 “ ’ ' 3>/3 ta c ó : ^ + r ^ - n/2 Z = ĐĨ phưofng trình mặt parabơlơit eliptic hệ trục XYZ 413 MỤC LỤC -ưnỉi T h a y lời nói đ ầ u Chương / T Ậ P H Ợ P VÀ ÁNH XẠ A Đề 1.0 Mở đầu Ì Tập hợp phần tử ỉ Các phép tốn tập hợp i.3 Tích Để Các ỉ.4 Quan hộ tương đương quan hộ thứ tự 1.5 Ánh xạ 1.6 Tập hữu hạn - Tập đếm -Tập không đếm 10 1.7 Đại số tổ hợp 10 B Bài giải Hướng dẫn 1ỉ Chương II CẤU TRÚC ĐẠI s ố - s ố PHỨC ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TÌ A Đề 35 2.1 Luật hợp thành tập 35 2.2 Cấu trúc nhóm 35 2.3 Cấu trúc vành 36 2.4 Cấu trúc trường 36 2.5 SỐ phức 37 2.6 Đa thức 39 2.7 Phân thức hữu tỉ 40 B Bài giải Hướng dẫn 40 Chương IU ĐỊNH THỨC - MA TRẬN - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH A Đề 80 3.1 Ma trận 80 3.2 Định thức 82 3.3 Ma trận nghịch đảo 85 3.4 Hệ phương trình tuyến tính 86 3.5 Hạng ma trận - Hệ phưcmg trình tuyến lính tổng quát 90 B Bàỉ giải Hướng dẩn 414 91 Chươiio ỉ\ HÍNH HỌC GIÁI TÍCH K)NĨẴPi 146 A Đ é b i 146 4.2 Đ n a bậc hai t r o n g m ặ t p h ắ n e 146 M ặ t b ậ c hai 146 B Bài giải Hướng dản 148 Chưưn^ V KH ÔNG GIAN VECTƠ - KHÔNG GIAN E t C L I D 165 A Để , ỉ Không gian vectơ - Định nghĩa thí dụ 5.2 Khơng gian hệ sinh 5.3 Họ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 5.4 Khơng gian hữu hạn chiều sở 5.5 Sơ chiểu sở không gian sinh m ột họ vectơ 5.6 Tích vơ hướng khơng gian có lích vơ hướng 5.7 Toạ độ khơng gian n chiểu 5.8 Bài toán đổi sờ 165 165 166 168 Ỉ70 171 173 177 178 B Bài giải H ướng dẫn 180 Chương Vỉ 287 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH A Để 287 6.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 287 6.2 Các tính chất ánh xạ tuyến tính - Hạt nhân ảnh 289 6.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 291 6.4 Sự đồng dạng 294 B Bài giải H ướng dản 295 Chương v n 345 TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠRIÊNG A, Đề 7.1 Trị riêng vectơ riêng ma trận 7.2 Trị riêng vectơ riêng toán tử tuyến không gian hữu hạn chiều 7.3 Vấn để chéo hoá ma irận 7.4 Vấn đế chéo hoá trực giao 345 345 tính 346 346 348 B Bài giải H ướng dần 348 Chương ViU 389 DẠNG TOÀN PHƯƠNG A Đề 8.5 Rút gọn dạng toàn phương 8.6 Áp dụng B Bài giải hướng dẩn 389 389 « 389 390 415 ... 27216 1.29 Gọi E tập có n phần tử Những tập E : - Những tập chứa phần tử, tập rỗng ; có c ° = tập - Những tập chứa phần tử, có tổng số tập - Những tập chứa phần tử, có c l tập - Những tập chứa p phần... cho 24 1.2 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP 1.5 A, B, c tập E Chứng minh A u c cz A KJ B v ầ A n C d A n B c d B 1.6 A tập E Hãy xác định tập sau ( / ) , A Ã A u A , , Ẽ 1.7 /l, tập E Chứng minh a)... gọi F tập ánh x;i Iihư a) Chứng minh rằns /'là song anh /' ' e /• b) Chứng minh / í,' e F /■()