Bài tập toán cao cấp tập 3, phép tính giải tích nhiều biến số

NGUYỄN ĐiNH TRÍ (Chu biên.ì TẠ VÄN ĐĨNH - NGUYỂN Hỏ QUỲ-MH Tập ba N ^ y lc ỉl 4- i C O ' nhỉeu biến sế h NHÀ XUẤT X B Ả N UI ÁC DỤC : N G U Y Ễ N ĐÌNH TRÍ (chủ biên) t V ã n đ ĩ n h - NGUYỄN H ổ QUỲNH Bài tập T O Á N CAO CẤP TẬP BA 'PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN s ố ( T ú i b c ỉn lầ n th t m ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO D ự c LỜI NÓI ĐẦU Quyên tập trinh bày lời giải tập đả qun Tốn học cao cấp tập ba, phép tính giải tích nhiều biến số Một s ố tập khác đả bỗ sung vào Như đả biết, học toán, việc hiêu sâu sác lý thuyết làm thành thạo tập có m ột mơi quan hệ mật thiết Chính q trình học lý thuyết làm tập, từ tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến tập ngày khó hơn, hiểu khái niệm toán học mới, nắm phương pháp bản, nhớ kết Đối với bạn sinh viên dùng quyên sách này, chúng tơi khun bạn tự giải tập đả giáo trinh cỉu xem lời giải sách đê kiêm tra lại, tự m inh đánh giá kết học tập minh Mong quyên sách giúp bạn học tốt tìm lời giải hay Quyên sách viết lần đầu nên không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ỷ kiến đóng góp độc giả Xin chân thành cảm ơn CÁC TÁC GIẢ % Chương I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố A - ĐỂ BÀI Tìm miền xác định hàm số sau a) fix, y) = lnxy; b) f(x, y) = c) f(x, y) = V4 - X2 - y2 + Vx^ + y — - ; _ \ d) f(x, y) = arcsin ; X e) f(x, y) = Vxlny f(x, y) = ^—z ; y - xz g) f(x, y) = lnx + lnsiny; h) f(x, y) = x ; cos^y i) f(x, y) = Vỹ~-~x ln (y + x) Tìm giói hạn (x, y) -> (0, 0) hàm số sau X9 — V2 a) f(x, y) = —— ' ; b) f(x, y) = X2 + y z XVl2 y ; xz + y4 c) f(x, y) = xarctg ^ ; X ÍY y)\ -= + (1 * 2+ e)1 f(x, y y -1 -_ d) f(x, y)= x — y X ■+■y cosy)\ ; n f) ÍY f(x, ; y)\ = — xz - xy + - , (a, ß ) G R g) f(x, y) = si"* - s7 ; shx —shy h) f(x, y) = Tínhcác đạo hàm riêng cấp mộtcủa fa) f(x, y) = x - y ; X2 + y2 shx —siny hàm số sau t b) f(x, y) = ln (x + V(x2 + p~); r 'O < ^ c) > e) ' rg ) i) f(x, y)= y2sin “ ; y ^d) f(x, y) = arctg X —2 2~ ff) f(x, y) = ln ""Ẫr—-nr— “ Vxz + yz + X f(x, y) = arcsin (x - 2y) ; _ I f(x, y) = arctg \ — ^7 ; IxH y^ h) f(x, y)= ln (x + lny) ; f(x, y) = e^cosxsiny j) f(x, y) = xy3 (x > 0) ị ị p k) f(x, y, z) = Ỷ? (x > 0, y >0) ; 1) f(x, y, z) = ex-vz sin ỵ m) f(x, y, z) = e*2 + ỳ* + ìz ; n) f(x, y, z) = zsin— X + z z Khảo sát sư liên tục hàm số sau đạo hàmi riêng cấp chúng a) (x2 + y2) sin ( ) (x, y) * (0, 0) vX + y f(x, y) = (X, y) = (0, 0) b) f(x, y) = « x _ y3 n X2 + n y - xarctg ( ^ ) c) f(x, y) xsiny —ysinx j f(x , y ) (X , y) * (0, 0) (X , y) = (0, 0) X * X = (x, y ) v X ' = d) tì x + íì y2 a) z = eu ■ 2v2, V = V x^ + = — ; y c) z = x2lny, X = — , y = 3u - 2v ; ln u = cosx, ( u 4- V ) , u V 0) (X, y) = (0, 0) Tính đạo hàm hàm số họp sau z = (0 , = l b) * = xy, V ; d) z = u e v -I- v e u, u = ex, V = yx2 ; X e) z - xey , f)z X V l +, = X = c o st, y = X = t e 2t, y = e'_t ; Chứng minh a) Hàm số z = yln (x2 - y2) thỏa mân phương trình I_> zx+ z y — _5_ v x y y b) Hàm số z = yx sin thỏa mãn phương trình X X2z ’x + xyz’y = yz Tìm hàm số z = z(x, y) thỏa mãn phương trình a) 2z’x - z’y = 0, phép đổi biến số u = x + y, v = x + 2y b) x z ’x — yz*y = X2 — y , u = X + phép y, V = đổi biến số xy Tim vi phân toàn phần hàm số a) z = sin (x2 + y2) ; b) z = ex (cosy + xsiny) c) z = lntg ^ ; d) z = arctg “— ^ X X X g) z = / y t2cos2tdt ; h) u = y2Vx^ - 3y Vz^ i) u = xe*v + yez + zex ; j) u = x^ z (x > 0) xy Dùng vi phân, tính gần số sau a) 3V(1,02)2 + (0,05)2 ; c) V9 (1,95)2 + (8,1)2 ; b) ln ( V 17ỠĨ + Võ,98 - 1) d) Vsin2 1,55 + e°’°15 f) (V39 - 3/ ĩ ) 10 Tính đạo hàm hàm số ẩn xác định phưrcmg trình sau: a) x^y —y^x = a4, tính y ’ ; b) xe^ + yex - exy = 0, tính y ’ ; x + y = I , 4.' u y» c)\ arctg tinh a a d) ln Vx2 + y ^ = arctg^", tính y’, y ” ; X e) y5 4- 3x2y2 + 5x4 = 12, tính y ’ ; f) 2y2 + vGẸỹ = 3x2 + 17, tính y ’ ; g) 3sin — - 2cos — + = 0, tính y ’ y y h) X + y + z = e z , t í n h z ’x , z ’y i) X3 + y + z = 3xyz, tín h ; ; z ’x , Z y ; j) xy2z3 + x 3y2z = X + y + z, tính z’x , z y k) xe^ + yz + zex = 0, tính z’x, z’y ; ; 1) xyz = cos (x + y + z), tính z’x , Zy ; m) y2ze*+y — sin(xyz) = 0, tính z*x, z’y ; 11 a) z = f(x, y) hàm số ẩn xác định hệ thức z z —xey = Tính gần f(0,02; 0,99) b) Cho hàm số Ị’ V à*’ u = X + z y + z z hàm số ẩn xác định hệ thức zez = xex + ye-v Tính u’x, u’y c) z = z(x, y) hàm số ẩn xác định bỏi hệ thức :2 + = Chửng minh d) y ' z F(u, v) hàm số khả vi z = z(x, y) hàm số an xác định hệ thức F(cx - az, cy - bz) = (c / 0) Chứng minh az’x + bz’y = c e) z = z(x, y) hàm số ẩn xác định hệ thức X2 + y + z = y f(y ) , Trong f hàm số khả vi Chúng minh (x2 - y2 - z2) z’x + 2xyz’y = 2xz f) Tính đạo hàm hàm số ẩn y(x), z(x) xác định hệ phương trình X + y + z = X2 ,+ y2 ,+ z2 _= 11 g) y = y(x) hàm số ẩn xác định hệ thức *3>" *c X3 + y - 3xy - = Tìm khai triển hữu hạn đến cấp y(x) lân cận điểm X = h) Tìm khai triển hữu hạn đến cấp lân cận điểm X = hàm sô" y = y(x) xác định hệ thức arctg(xy) +1 = ex+y 12 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a) f(x,y) = x 2y + x ự ỹ ; b) f(x, y) = sin(x + y) + cos(x - y) c) f(x,y) = ỉ ự ( x + y 2)3 ; ố d) f(x, y) = x2ln(x + y) e) f(x, y) = ỉn ( \ + y Ị x + y ) ; f) f(x,y) = a r c t g - X g) f(x, y) = xlny ; h) f(x, y) = cos(ax + ey) '1 Tính f ”xy (0, 0) p y x (0, 0) nếu X * - y f(x,y) = x+y X = - y (X, y) * (0, 0) b) f(x ,y )= i X +y (x, y) = (0, 0) 14 a) Tìm hàm số u(x, y) thỏa m ãn phương trình u",^ = b) Tìm hàm số u (x , y) thỏa m ãn phưòng trình u" = c) Tìm hàm sơ" u(x, y, z) thỏa m ãn phương trình =0 d) Tìm hàm sơ' u(x, y), b iết = x 2y + , u'y = X4 - x y , u(0, 0) = 1, u (l, 1) = -2 e) Tìm hàm sơ' u(x, y), biết 10 t*ÕT I* u ’x = X2 - 2xy2 + 3, = y2 - 2x2y + u ’y y f) Tìm hàm số u(x, y) biết , (3x2 - y2) (x2 + y 2) U x_ Xy (3y2 - X2) (x2 + y2) >u y XV , 15 a) Chứng minh hàm số u(x, y) = In ~p~— thỏa mãn V X2 + y phương trình Ỡ2U Au : = d2u , = ởy2 ởx2 (phương trình Laplace khơng gian R ) b) Chứng minh hàm số u(x, y, z) = u „ ■■ ' u thỏa mãn V X 4- y phương trinh Ờ2U Au : = 4- z Ở2U 2+ + (phương trình Laplace R/5) c) Cùng câu hỏi câu b) với hàm sô V u(x, y, z) = arctg X d) Tìm hàm số u(x, V 1' = V x~ + y“ + z X y z dạng u = + arctg ~ + arctg“ z) có f(r), , cho Au = ớ“u + —- + 'i ơx^ ơy^ ở^u —- = liƠZ“ 16 Chứng minh hàm số z = xf* ( ^ ) , f xX hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục, thỏa mãn phương trình z X z ■” (z xv) • 17 a) Chứng minh hàm số 11 s in ( ty) d t + jJ tt y(l + xt) V sin(ty) JJ t y(l ya ++xxt) t) a) Tích phân thứ vế phải hàm số’ liên tục X R* , vi hàm số’ dấu tích p h â n liên tục đơì với (x, t) e R* X [0, 1] Bây ta xét tích phân thứ hai Nếu x0> 0, ta có Vx > Xo sin (ty ) dt < t y (l + xt) Í-^V J ịy+1 tu, - sin (ty) ịí t y(l + xt) x 0t y + yJ + > 1, d t hội tụ X G [x0, +oo), VxD> Vậy tích p h â n h m sô' liên tục X tro n g k ho ản g (0, +oo) Như vậy, hàm s ố f(x) liên tục k h o ản g (0 , +oo) b) Ta có sin(ty) sin(ty ) ôx t y(l+xt) t y_I(l+xt) d_ Để chứng m inh rằ n g h àm sô" f(x) k h ả vi tro n g khoảng (0, +oo), ta việc chứng m inh rằ n g tích p h â n su y rộng +00 sin (ty) dt - Jĩ t- y-i t ^ ^ l + x t )2 hội tụ đơì vối X e (0, +co) ^Ta lim sin t - » t y 1(l + xt) (*) có = Do cần xét hội tụ tích p h â n suy rộng (*) +CO Ta có Vx > x„ > 486 sin (ty) x 2ty + ty !(1 + xt); + 00 dt Tích phân suy rơ n g f ~~7 tu, vây tích phân suy rơng (*) ty + tụ X €: [x0, + 00), V xG > Do hàm số f(x) khả vi (0, +oo) + 00 sin(ty) f(x ) = - / _ ty (1 + xt) dt c) Ap dụng lập lu ận tro n g câu b) cho đạo hàm cấp cao f(x) Ta có sin(ty) ờk ) = (-l)k k ! ởxk v t y ( i + xt) sin(ty) ty " k (1 + xt) k + Ta có Vx > xQ dk sin(ty) dxk ty (1 + xt) k! ,k +• * 4ty V+ Xo Do tích phân suy rộng + 0° /) k f ỡ dxK hội tụ đối vói X sin(ty) ty (1 + xt) e [x0, +oo), VxQ > Vậy hàm số f(x) khả vi k lần ta có Với X + 00 fOO(x) = / ( - l ) k k! sin(tk) tk _ y ( l + xt)k+ > cố định, x ét h àm số 487 r+ °° sin(ty) y G R*+ '-*■ g(y) = J dt = ty (1 + xt) a) - / ty (1 + xt) dt + : 9in(t;,) I t ty (1 + xt) ■ Tích phân thứ n hất vế phải hàm số liên tục y G R*+, hàm số dấu tích phân liên tục đối vói (y, t) E R*+ X [0,1]- Xét tích phân thứ hai Nếu y > a > V t > ta có ty > ta, sin(ty) ty(l + xt) ta (1 + xt) < xt a + Chú ý rằ n g tro n g câu ta giả thiết X > Tích phân + 00d t + 00 sin(ty) f t hội tụ, a + > Vậy / -dt hội tụ đ ê u đôi ã "t" ty (1 + xt) ' • s— r \_I r r \' ĩ 1 / với y Œ [a, + 00), V a > Tích phân m ột hàm số liên tục đối vói , \ * y R*+ Tóm lại hàm số g(y) liên tục khoang (0 , + o o ) b) Nếu X = 0, ta có r+ sin(ty) g (y) = / ty / sin(ty) dt - ĩf t-v +* sin(ty) dt dt + / ty Dễ thấy rằn g tích phân thứ vế phải hàm số liên tục y E R* + Trong tích phân thứ hai, ta đổi biến số ty = u câu Ta 488 +00 u Sin u , f sinu du+ ——— d u f£Ì!!ÍỊỈ>dt= f - ỉ í ^ - d u = f -lly/ y J 1„ 2- 1/ y J „ 2- 1/ y ,í J „2-1 u 1 u u u +00 Y +CO Ta chứng m inh rằn g y > —, th ì vối > cho trước, tồn sô" Ư 0(s) cho sm u du < , u 2-l/y V U > U (e) T h ật vậy, ta xác định sô' n nguyên dương cho (n - l)ĩĩ < u < 1171 Ta có -*-30 nn ủ u ủ u +00 (p + l)rt _• p=n u f Sin u f sin u V’ J r n d u = ^ du+ L f sin u J pn Chuỗi sô" vế phải chuỗi đan dấu, sô' h n g tổng q u t có giá trị tu y ệ t đối giảm d ần tới , giá trị tu y ệ t đối, tổng bé sơ' h n g Do (n+l)rt nn sin u s in u s in u < du du + 2- 1/y du 2-l/y í u u 2-l/y II nít Ư (n+l)n I I (n+1)« 1 f sin u f -2 J 2- ĩ/y du < J u y du a > — Ta có s in u 0, xét h m sô' X i->h(x) = r sin (tx) • : dt = 0J t :‘ (1 + xt) _ f sin (tx) 14 +f sin (tx) ^ = I Y/ — , dt + „ dt Qt (1 + xt) Ị t x(l + xt) a) Tích phân thứ v ế phải liên tục X e R* h àm sơ" dấu tích p h â n liên tục đối vói (x, t) e R + X [0, 1] Xét tích p h â n th ứ hai, ta có Vx > x > sin (tx ) t x ( l + xt) "~x0t x° + Vậy tích p h â n th ứ hai hội tụ X e [x 0, +oo), Vx0 > liên tục X e (0, +oo) Vậy h(x) liên tục đốì với X tron g kho ản g (0, +oo) b) Ta có f— ¿ l + xt Do c) Ta có 490 A h(x) -» X -» + 00 —ln(l + x) -> k hi X -> +00 , X Vì t e [0, 1], n ên t" e [0, 1] c [0, — ] T rên đoạn [0, — ], ta có 2 sin > — a, 71 sin t > — n Do vổi n đủ lớn Vf d t ln(l + n) 2' —1 - — = > -71 + nt 71 n Tin +00 Vậy chuỗi sơ» X v n p h â n kì n=i BÀI TỐN Giả sử phương t r ì n h ( 1) có nghiệm có dạng y = x “ f(x) = x a ] T c n x " = 11 = = c Gx “ + c x + “ + C2X2 + “ + + c „ x u + “ + Ta có y' = c0a x a ■ + Cj(l + a )x a + c2(2 + a)xa + + + c„(n + a)xM+a " + y" = c„a(a - l ) x “ "2 + Cj(a + l ) a x a_1 + v + cn(ot + n)(a + 11- l ) x u +“ " 2+ + T h ế vào phương t r ì n h ( 1), ta đồng n h ấ t thức = xa{[cx(a - 1) 4- (a + l) a + —]c0 + [(ơ + l)a + (a + l)(a + 1) + + —]c.x + {[(a + 2)(a + 1) + (a + l)(oc + 2) + —]c2 + c0}x2 + + + Ị[(oc + n)(a + n - 1) + (a + l)(a + n) + ị ] c u + cêt^ 2}xn + } 491 Do [a(a - 1) + (a + l ) a + —] = [(a + l ) a + (a + l)(a + 1) + —]cj = [(a + 2)(a + 1) + (a + l)(a + 2) + —]c.¿ + c(( = [(a + n)(a + n - 1) + (a + l)(a + n) + —]cn + c n_2 = Đ ảt P(x) = x(x - 1) + (a + l)x + — = X2 + ax + — Ta đươc P(a)c = P (a + l)Cj = (*) (**) P (a + n)cu + cn - = 0, Vn > (***) Giả sử hai nghiệm tam thức bậc h a i P(x) là: Ơ! = a / a / —Va » a ' ~ - — Va 2 2 Bây ta chọn a = ơị Khi đó, ta có: P(o0 = , ' P(a + n) í ũ, Vn e N* Từ (***) ta cn _2 c„ = -, P(a + n) 492 Vn > 1• Từ (**) suy Ci = Do c2n+l = VnGN Từ (*) ta thấy rằn g c lấy giá trị Ta chọn c = Khi đó, ta Cọ * = — — - p (a + 2) °2 _ p (a + 4) °4 ~ c 2n - p (a + 2n) C9n = —„ Nhân đẳng thức với nhau, ta C2n = ( - l ) n P(a 4- 2) P(a + ) P(a + 2n) = ( ~ l ) n n p (a + 2k) , Vn G N! k= Vậy y = X« [ + ỉ ( - 1)" - x2n] n= n p (a k= Đạt + k) 00 I x 2n f(x) = + ỵ ( - I ) n n=1 n p(a + 2k) Ta k= y = x"f(x) , f (0) = ^ , ta có 493 Do bán kính hội tụ chuỗi lũy th a f(x) 00 Chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối R Nếu a = hai nghiệm tam thức bậc hai P(x) = X2 + 2x + - V3 V3 a \ — —1 + a = —1 — ~7~ Theo kểt qua cúa câu trên, z z phương trình (1) có nghiệm riêng yi = x“1 f(x), f(x) tổng m ột chuỗi lũy thừa hội tụ R f(0) = ^ Nếu ta chọn a — CC2, ta củng có P(cr) = P(a + n) 9Ế Vì hiệu a \ — a = VnGN* (£ N* Bằng cách xây dựng câu 1, ta nghiệm riêng Y2 = X g(x), g(x) tổtíg chuỗi lũy hội tụ R g(0) = ^ Ta chứng minh hai nghiệm riêng yi Ỵ2 độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử ta có Cl X f(x) + C X g(x) = Nhân đẳng thức với X cho X CC2 < Cíị D ễ dàng suy Ci = Vậy V X E R% +, ta C2 = 0, y i y độc lập tuyến tính Nghiệm tổng quát phương trìn h (1) y = Ci x"1 f(x) + c x“2 g(x) BÀI TOÁN Phương trinh (1) phương trìn h vi phân cấp tuyến tính Ta tìm nghiệm phương trìn h th u ầ n n h ấ t tương úng x V ’ - 2y = (*) dạng y = xc\ a m ộ t h ằ n g số m ta xác định Ta có y’ = axa ~ \ y ” = a (a — 1) xa ~ Thé vào phương trìn h (*), ta đồng thức (a2 - a - ) x a = Do a —a — = => a = 2, a = —1 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm riêng y = X2 y = —hai nghiệm độc lập tuyến tín h vói nhau, nghiệm tổng quᣠphương trình (*) y = Cpc2 + c2 ị X (**) Dùng phương pháp biến thiên h ằ n g số, ta thấy biểu thức (**) nghiệm phương trình (1) Cl, C2 câc hàm số X thỏa mãn hệ phng trỡnh Cix2 + C2 - X ô Ci 2x - C ’2 ~ X = = Giải hệ phương trìn h ấy, ta 495 A, B số tùy ý Vậy nghiệm tống quát phương trình (1) Apc2 + y= Ả 2X2, + Bi —+ X2 ln X ^2 X + x2ln X IX I x:* — — —“ X e X G (0, + (-0 , 0) 00 ) Muốn cho biểu thức kéo dài, nghiệm xác định tồn R, ta phải có Bi = B = 0, khơng y khơng có giói hạn hữu hạn X = Nhưng có m ặt số hạng x2ln IXI làm cho y ” khơng thể có giói hạn hữu hạn X = Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm xác định tồn R Phương trình (2) phương trình Bernoully hệ số y ’ phương trình (2) lnx, triệt tiêu X = 1, nên ta giải phương trình (2) khoảng l\ = (0, 1) I = ( 1, + 00 ) Rõ ràng y = nghiệm phương trình (2) Nếu y ^ 0, chia hai vế phương trình (2) cho y2, ta y ’y “ ^lnx —^— + 2x = X Đặt z = y“1 Ta có z’ = -y “2y* Phương trinh trở thành z’lnx + - = 2x X Đó ìà phương trình tuyến tính cấp m ột z Phương trình tương ứng (***) z'lnx + — = X Hay z —+ z X ln X =0 ln I z I = - l n I lnx I 4-ln I c I = ln Do c ln x Vậy nghiệm tổng q u t phương trìn h th u ầ n n h ấ t là: z= c In X c số’ tù y ý Xem c hàm s ố X, t h ế biểu thức z = c ln x vào phương trìn h khơng th u ầ n n h ấ t (***), ta được: C' = 2x Do c = X2 - K , K h ằ n g số tùy ý Vậy nghiệm tổng q u t phương trìn h (***) z _ X -K ị ln x X e lị, i = 1, Do nghiệm tổng q u t phương trìn h (2) là: ln X y= X G l ị x2- K j ln X x2- X G K M uôn cho nghiệm y xác định trê n to àn Ij(I2)* ta phải có Kj < Kj > (K ^ 1)Ngoài ra, Kj ^ (Kọ T- 1), ta có y(l) = , đạo hàm bên trá i V tạ i b ằ n g 1- K (y(l) = , đạo hàm bên phải y — -— ) Còn Kj = (Kọ = 1) th ì y(l) = — T n h ữ ng —K 497 n h ậ n xét trê n ta su y rằng: Nếu y s tr ê n ỉ ị f y s I2 V ậ y y = trê n to àn R* x— I X2 - K x x2 - K với K * đạo hàm bên tr i đạo h m bên phải y t i b ằ n g n h a u , ta Kj = K2, Kx = K < N ếu y = — tr ê n Ij vói Kj * 1, th ì y =~ n 0^n x — trê n Ij vối Kị = , th ì y = - — — I X -K x2 - K với K = Trong trư ng hợp N ếu y = lnx y= Ị_ X * X = Có th ể kiểm t r a dễ dàng rằ n g y k h ả vi tạ i X = Tóm lại, nghiệm xác định tr ê n to àn R* là: y - 0, y= ln x x2 vối K < , -K lnx X ^ y= X = Vậy n ếu y e R cho trước, th ì nghiệm xác định trê n tồn R* phương trìn h ( 2) thỏa m ãn điều kiện y (l) = y tồn kh i y = y = — Nếu y = có vơ số nghiệm , 2t yG= — th ì có m ột nghiệm 498 M Ụ C L Ụ C Trang LỜI NÓI ĐẨU Chương I Hàm số nh iều biến số Đề Lời giải 15 Chương II ứ n g dụng phép tính vi phân hình h ọc 95 Đề Lời giải Chương III Tích phân bội 95 100 138 Đề 138 Lài giải 147 Chương IV Tích phân đường - Tích phân mặt 231 Đề 231 Lòi giải 242 Chương V Phương trình vi phân 323 Đề 323 Lời giải 335 M ột số toán tổ n g họp 467 499 Chịu trách nhiệm xuất : Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRAN i Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN q u ý t h a o Biên tập lần đâu tái bàn : PHẠM B Ả O KHUÊ Biên tập m ĩ th u ậ t: TẠ TRỌNG TRÍ Sứa in : PHẠM B Ả O KHUÊ N G U Y Ễ N MINH LÝ Sắp c h ữ : PHÒNG C H Ế B Ả N (N X B GIÁO DỤC) BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP - TẬP BA Mã s ố : 7K282T6 - DA! In Õ.000 cuốn, khổ 14,3 X 20,3 cm Công ty cố phần In Diên Hồnpg 187° Giảng Võ - Hà Nội Số in : 90 SỐXB : 04 - 2006/CXB/123 - 1860'GD.) In xong nộp lư u c h iể u quý II n ăm 2006 ... QUỲNH Bài tập T O Á N CAO CẤP TẬP BA 'PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN s ố ( T ú i b c ỉn lầ n th t m ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO D ự c LỜI NÓI ĐẦU Quyên tập trinh bày lời giải tập đả quyên Toán học cao cấp. .. đả quyên Toán học cao cấp tập ba, phép tính giải tích nhiều biến số Một s ố tập khác đả bỗ sung vào Như đả biết, học toán, việc hiêu sâu sác lý thuyết làm thành thạo tập có m ột mơi quan hệ mật... làm tập, từ tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến tập ngày khó hơn, hiểu khái niệm toán học mới, nắm phương pháp bản, nhớ kết Đối với bạn sinh viên dùng quyên sách này, khuyên bạn tự giải tập đả