Hàm số biến số phức giáo trình dùng cho sinh viên khoa toán các trường đại học sư phạm

GỈÁOTRÌN DŨNG CHO SINH ViÊN KHOA T CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC ỈQGHN L ^ J NHÃ XUÃT BÁN TRƯƠNG VĂN THƯƠNG HÀM SƠ BIÊN SƠ PHỨC (GIÁOTRÌNHDÙNGCHOSINHVIÊNKHOATỐNCÁCTRUỒNGĐAI HỌCSƯPHẠM) (Túi thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Chịu trách nhiệm xuất hán : Chù tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGƠ TRAN i Phó Tổng Giám dốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO Tỏ’chức bán thào chịu trách nhiệm nội du nạ : Phó Tổng Giám dốc kiêm Giám đốc NXBGD Tp Đà Nàng HUỲNH BÁ VÂN Biên tập nội dunịi : TRẦN PHUỚCCHUONG Biên tập tái bàn : NGUYỄN THỊ MINH CHÂU Trình bày bìa : HỒ MINH QUÂN Sửa bàn in : TRỊNH THANH SƠN Chê bán : TRUƠNG VÁN THUONG "Bản thuộc Nhà xuất Giáo dục" _ 11 - 20G7/CXB/232 - 1 9/GD k — —- — - Mã sô : 7K 411 n7 - D LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách Hàm sỏ biến s ổ phức dược biên soạn dựa theo chương trình hành, liùnỊị ciẽ giáng dạy cho sinh viên ngành Tốn Nội dung gốm chưtmg : Chương I , Chương Chương : giới thiệu s ố phức, hàm sơ' biến sơ plìức pliép biên hình bào giác nhờ hàm sơ cấp Chương : giới thiệu vê lích phân phức lí thuyết tích phân Chương : trình bày phần lí thuyết chuỗi lí thuyết thặng dư Niịồi ra, chương giới thiệu sô' ứng dụng cùa lí thuyết thặng dư việc tính tích phản thực mà việc tính tốn chúng giải tích thực phức tạp, chí khó tính bàng phương pháp tích phân thơng thường, trình bày số kết vé nghiệm phương trình dại số Đê có thề đọc tốt sách này, sinh viên cần phải dược trang hị số kiến thức bán phép tính vi tích phân hàm biên nhiều biến thực, số dứng phương trình đườní> quen thuộc hình học giải tích Với mục đích tinh qiàn, nhiừig đầy đù, có vài mục nhò, tác giả chi giới thiệu khơng trình bày chi tiết đưa vào tập đ ể sinh viên tự nghiên cứu Ở phần cuối sách có phần hướng dán giải tập vờ kết nhằm giúp sinh viên phương pháp giải sơ bời tốn kiểm tra kết học tập Cuốn sách dược hiên soạn lần đầu nên khơn(Ị tránh khỏi thiếu sót tác giả mong nhận dược đóng góp ỷ kiến bạn đọc đê’lần in SUII hoàn hảo TRƯƠNG VĂN THƯƠNG C hưưng SỐ P H Ứ C Ịjl SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬ P s ố PHỨC 1 Đ ịn h n g h ĩa Chúng ta biết tập hưp số thực, phương trình bậc n > khơng phải có nghiệm Vì cần phải đưa vào loại số có bân chất tống quát hơn, mà số thực trường liựp đặc biệt T ất nhiên đưa loại số ta cần phải trang bị số phép tốn, mà phép tốn cần phải phù hợp vứi phép toán có tập hợp số thực Có nhiều phương pháp đ ể xảy dựng loại số ta đưa vào số i (gọi đơn vị ảo) nghiệm ciỉa phương trình X2 + = tập hợp số đưa vào Đ in h n g h ĩa Số phức số có dạng = X + iy, X, y G R i gọi (lơn vị ảo (i + = 0) X gọi phần thực số phức , kí hiệu Re ; y gọi phần ảo cứa số phức , kí hiệu I1112 Đặc biệt, y — số phức = X + ¿0 số thực X Nếu X = Ü z — iy gọi số ảo Hai số phức Z\ = Xi + iyi Z2 = X2 + iy -2 gọi b ằ n g n h a u Xị = X yx = V2- Cho số phức z = X + iy , số phức có (lạng X — iy gọi s ố p h ứ c liê n h ợ p ciỉa số phức 2, kí hiệu Z, nghĩa z — X + iy z = X + iy = X —iy Kí hiệu c = { z = X + i y I , 1/G R } tập họp tất cá số phức C c p h é p to n tr ê n cá c s ố p h ứ c Trên tập số phức ta trang bị phép toán 3au: CB P h é p c ô n g Ta gọi tống hai số phức ¿1 — Xi + iy '2 = J~2 + iy số phức z = (x\ + x 2) + i(y\ + ỉ/2 )• (1) Kí hiệu = 21 + 22 ' Từ định nghĩa ciìa phép cộng, ta có tính chất sau: 1) Kết hợp: Z\ + (22 + 23 ) = (zi + 22 ) + 23 2) Giao hoán: Z\ + 22 = 22 + Z\ Các tính chất nàv chứng minh dựa vào tính kết hạp tính giao hốn số thực Đặc biệt Z\ Z2 hai số thực định nghĩa (1) trùng với định nghĩa ciỉa phép cộng số thực P h é p tr Phép cộng có phép tốn ngược Với hai số phức Z\ = X\ + iy\ Z2 = X2 + iy2 ta ró th ể tìm số phức cho Z2 + z = Z \ SỐ phức gọi hiệu cùa hai số phức Z \ 22' kí liiệu z — Z\ - Z2Rõ ràng từ định nghĩa ta cố z = ( n - x ) + i ( y i - y?) P h é p n h â n Ta gọi tích hai số Z\ — X\ + i y \ 22 = số phức xác định bời = (XịX2 - Ỉ/1Ỉ/2 ) + i {x\V + y \ x 2) (2) x '2 + i y -2 (3) Kí hiệu = 21 22 T định nghĩa ta có tính chất sau: 1) Kết hợp: 21 ( 22 -23 ) = (ZI.Z2)Z32) Giao hoán: Z1 Z2 = 22-21 3) Phép nhân có tính phân phối phép cộng Z \ (2 + Z \ , Z 4- Z\ 23) = Nốu Z \ v 22 hai số thực định nghĩa (2) trùng với (lịnh nghĩa thông tlnrờng cứa phép nhân tập hợp số thực Đặc biột lấy Z\ = Z2 = i- T clịnh nghĩa (3) ta có i.i = - = /2 (4) Rõ ràng V(VÌ = Xi -f i y 22 = ^2 ¿3/2 ('ơng thức (3) có (lược cách nhân thơng thường (phép nhản tập hợp số tliưc) thay i = —1 C h ú ý Z.Z = X2 + y > P h é p ch ia Phép toán nhân có phép tốn Iigirưc Iihất tỉ ung liai số đ ó khác khơng Giả sử 22 Khi ta có th ế tìm số phức z = X + i y cho 22*2 = 2i Theo định nghĩa phép nhân ta có hệ phương trinh sau J’2vT — 'ỉ/2V — x \ (5) V2* + *2V = Vi • Vì 2*2 Ỷ w nghĩa định thức cda hộ Cramer khác 0, nên hộ phưcmg trình ln ln có lừi giải Số phức cỏ gọi thương hai số phức Z\ ¿ 2- *1^2 x\ y\X2 y = — xTị X— Giải hệ phương trình (5) ta + 2/12/2 + ỳị - X\XJ2 +T y ị2 , Kí hiên c C h ú ý 1) Hộ tliức (6) có cách nhản ^ với ẳ* 2) Tập hự]) tất số plníc với hai phép tốn cộng Iihản (tirợc xảy (lựng tao thành trường, đirorc goi trirừng số phức L u ỳ th a b âc n Tích cùa 71 lần số phức z gọi luỹ thừa bac 11 ( lia số phức z Kí liiộu Z n C ă n bâc n Số pliức w đưực gọi cản bậc n ciia số phức w'u — z Kí liiộu w = ự z V í d ụ Thực phép tính sau (1 —ỉ) ( l + i) = (1 —ỉ — i + i) = 1+ i _ 1+ i - iy/ + v/2 - n/2 3 + ¿ v /2 ~~ + i v / - t > / ~ ( + ì)2 = + 9i2 + 6ỉ = - + Í.9 Đ in h lí Với số phức Z, Z , Z2 , ta có 1) f = z; Z\ + 22 = Z\ + Zi\ 21.22 = Z\-Z22) z + Z = 2Rez = 2x; z — Z = 2ilni2 = iy 3) Z Z — X + y > 4)(ầ) = feĐ2 B l DIỄN HÌNH HỌC CỦA s ố PHỨC D a n g lư n g g iá c c ủ a s ố p h ứ c Xét mặt phảng tương ứng với hệ toạ độ Descartes x O y ta biểu diễn số phức z = X + i y điểm có toạ độ (x ,y ) Như số thực biểu diễn điểm trục Ox, gọi trục thực; số áo biển diễn bời điểm trục O y , gọi trục ảo Ngược lại, với điểm mật phảng x Oy có toạ độ ( x y) ta đặt tương ứng với số phức z = X + iy Vậy có tương ứng 1-1 tập hợp tất số phức c với tập hợp tất điểm ciỉa mặt phảng Vì điểm có toạ độ [ x, y) mặt phảng tương ứng với vectcr có bán kính vectơ r = \J x + y góc cực tưcrng ứng (p Do số phức z = X + i y có th ể biểu diễn dạng: = r(cos Lp + i silly 1) r, (7) bán kính cực góc circ số phức z Bán kính r gọi mođun cùa số phức , kí hiệu r — |z| Góc cực ọ gọi argument số phức z, kí hiệu ự} = Arg Mođun cùa số Ị)hức (lược xác: định cách \z\ = v /x + y > (8) argumentcủa số phức xác định với sai khác: bội cùa 2n arctg^ + 2kn (k € Z) (nếu số phức z góc phần tư thứ I, IV') ý? = Arg = < artg* + (2k + 1)7T (k € Z) k (liến số phức góc phần tư thứ II, III) với arctg^ [—§ ’ §] giá tri cila hàm arctg V í d u Tìm mođun argument cùa số phức Z\ = 4- i V , Z2 = — ì — i V Hình Từ cơng thức (7) (8) ta có: 2,1 = y j l + (v^ã)2 = ý>i = Argzi /3 arctg-ý- + 2Ả:7r (vì Zi góc phần tư thứ nhất) Vậy Arg^! = -r + U 2/C7T (ả: Z) Tưcmg t ự va — V/ ^ ự>2 — Arg 2‘2 — arctg— h (2k + 1^7T (vì 22 góc phan tư thứ ba) V Vạ V 7T ArgZ2 = — + (2Ẳ’ + )7Ĩ (k G Z) 2 T ín h c h ấ t c iỉa m o đ u n v a r g u m e n t Đ ịn h lí 1) I~1•~2I A llte l 2) 1*1 > |Rez| 3) UI > |Imz| 4) M < |Rez| + |Irnz| 5) 1- 21 + I211 + Iz21 221 < 6)1*1 - 221 > 1*11- - C h ứ n g m in h Tính chất 1), 2) 3), 4) hạn đọc chứng minh ul.ir hài tập ĐỔ chửng minh tính chất 5) Ta viết \z\ + 221 = (z ì + z )(z l + ¿2 ) — (-1 + ¿2 H^l + - ) — Z \ Z \ -Ị- Z '2 z - f Z \ Z + ‘2 Re( Z Z \ ) i 12 - = 22 ~ - IZ ‘2 12 - Chú ý Re( 2-2Ĩ i ) < \Z'2 Zi\ = 12:2 11^11 = I-2111-221* ta suy | ~ + - I : j 12 + | c i | | c | + I - 2 12 < (|* l| + N ) 2Lấy CH11 bậc hai cùa hai vế ciỉa bất đẳng thức trên, ta có 5) 10 Giải Đật Z\ — P ie “*31, 22 = P ié í'*"i ■ Khi đó: |£ ị + 'iị _ \ọ\eikfi' + P £ ^ ¡ l^lị + i -221 pl + p — El C»*>1HI —— Pl + P-2 Pl + (>2 e^ = u ; Mặt khác, ta có Ỉ | - £ L + J L | = | i e ^ ‘ + - e l^ | I-211 = |v| \z2\2211 SỐ phức u nằm dảy cung nối hai điểm e lịfx với é 1* cũa đường tròn đơn vị, số phức V điểm ciỉa dây cung Vậy M > |u|, nghĩa bất đẳng thức đưạc chứng minh Theo cơng thức Moivre ta có (cos X + ỉ sin x ) n = eos n x + i sin n x = ¿ c * ( * ) fc sin* arcos"-* T A*=0 n ■ = É C »P x; p=0 V va n sin n x = ^ C ^ + I ( - ) P TSÍ112 P + J T O S ” - ' ^ - X p=0 Tương tự cho trường hựp lại 134 í sin ^ x c o s T7 X sin Ií4 ^ x sin r4 x a ) -2 * , sin I sin ' - ^ b nb c ) — 7- ^ — c o s ( a + - J - ) ; ¿ d) ; b ) / ; sin I sin — \ sin £ ; nb sin(a+-^-) ¿ Gọi 6k cân bậc TI dan vị, £k = e 2kn " Do tống • '1 ỊtTT Ị) n ■ ( n — l )p w s = + el " + e l n + + e l n 2p i r v n n 2pw = + e ' » + (e " ) 4- + (e " )” , * \ Nếu p bội cùa n = n Nếu p khơng bội eila n 11 — i 2n nf n —e " Ü Ý nghĩa hình học ciỉa hệ thức - | + |z + 2| = Khoảng c ách từ đến \z — 2| khoáng cách từ đến —2 |z -f 2| Vậy tập h(/Ị) tất cá điểm z thoả mãn hệ thức t-lip có trục lớn trục nhỏ 1 Điều kiện cần điỉ —23 - 22- 23 Z\ — Z \ 2 — ~4 - : -— = Q G R 12 Những điểm thoả niản điồu kiện cùa toán thoá phirưng trình sau: (1 - n k )zz + (2jQfc - z 2)z + {Z2(Xk - Z\ )z + (¿122 - Otk Z\Zv) = 0, (1) a = e' *, k — , ,n — Nếu k = (1) phương trình đường thẳng dứới dạng phức qua, hai điêm 21-22Nốu k / (1) đường tròn qua hai điểm 21 , 22 135 C hưưng l.a) i lim Zfi n —oc = lim (n + —) = 00 72 n —► oc b) Nếu I-201 < lim zn — Ti— Nếu ịCo I > dãy ( 2„ ) khơng hội tụ lim (1 + - ) n = e z nrr n —»oc oc a) Hội tụ chuỗi 00 oc Ễ =Ẽ 2k ' n n= ( - )" k=\ 00 oc ê ^ = Ễ /c= n=l (-I)V /r + ’ hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz Không hội tụ tuyệt đối b) Hội tụ với z có \z\ < Phân kì với có \z\ > Với z có \z\ = 1, hội tụ với ^ Là trưừng hợp đặc biệt ciỉa tập (hội tụ không tuyệt đối) a) Hội tụ tuyệt đối b) Hội tụ tuyệt đối c) Hội tụ tuyệt đối d) Phân kì Hướng dẫn: Do f ( z ) liên tục nên > 0, 3Ổ > cho Vz', ” u z' - z ”\\f(z’)-f(z”)\ no, n > 136 n o =>• \Zm —z n \ < ổ theo — f { z n ) I < £ với ra, n lớn no Vậv { / ( ¿ 71)} dãy Cauchy nên hội tụ Hcrn giới hạn khơng phụ thuộc vào dãy |/(2rn) a) Liên tục không liên tục b) Liên tục- không liên tục a) R = 1, R = 0; b) R = 2, R = , c) R — 1/2 , R = a < R = a a > C hương l.a) Thtx) giả thiết hàm f ( z ) giải tích mặt phảng phức (tó điều kiện Cauchy-Riemann thoả mãn Gc hệ phương trình Ta a = —6, c = Khi f ( z ) = (1 — ai)z b) Tưưng tư câu a), ta có hộ phưorng trình: — sin x(chj/ + ashy) = sin x(shy + bchy) cos x(shy + achj/) = —cos x(chy 4- bshy) Hò (2) với (x,y) suy a = b = —1 Khi f { z ) — e i z Hàm giãi tích miền {2e c í — { 2€ c 7T £)7T I < arg < j } u { G C | 7T< argz < — } I 7T Ổ7T - t o7T I I < arg < j } u { ỉ C | y với f ( z ) = - z 137 < ar g < T7T -ỵ } c, Giải Điồu kiện Caiichy-Riemann toạ độ cực chl ờv i)v _r d u fìr ' Dùng (lịnh Iighĩa ciỉa phần thực phần ảo số phức, ta cỏ y _ 2" y _|_ ~ X — — — - w = u + iv 2i h) Họ rác đường thẳng u — - (song song với trục ãc.) trừ đường r = ) b) Họ các* (lirừng thẳng V = —5 (song song vcVi trục thực trừ (lường u = ) c) Họ cắc (lường tròn b ị u + V2 ) + u + V = tiếp xúc với đường thẳng V = — u gốc toạ độ d) Chùm đường tròn qua gốc toạ độ qua điểm Wo = — (kể đường thẳng qua gốc toạ độ điểm W() Đổ miền a) b) D* = { w € c \ \w\ < 1, D* = { U) e c I \w\ < 1, c) D* = { w ẽ C | \w - ¿1 > Im ir < () } \w + -t| > -} 4 > !}• Hàm phân tuyến tính cần tìm ( — + 'Ầi)z + — a) w = — - — - (1 + i)z - + i b c) 10 w = i iz — — (1 + 2i)z + —3* U! = — oz — 5/ Trước hốt ta tìm hàm phan tuyến tính xác định bơi hai ba điểm phân biệt sau (ló ta kiểm tra điều kiện: ảnh đường tròn (lơn 138 vị (lường tròn đơn vị w = (1 - Ai)z - 2(1 - i) (5 - 3i)z - 2(1 - i)z - ( - i) ~ - ( + i ) ’ t Bài có th ể dùng hàm phản tuyến tính dạng _ ~ 20 ít' = e v - —— 202 - (lùng cặp điểm đối xứng qua đường tròn đ ể giải 11 U' = a , b , c , d G R lad —be) > (3) cz + a b) w — iw , W\ ánh xạ 12 w = phần a) iz + i (1 —i)z -f 13 a) w = — + i LS — (a + b i ) z — (a + b i ) w = e “ - —— f- f = i - 7- z — (a —bi) z — (a — bi) b) 11 a) b) 2iz 4- “, = T T Í ' *- l — az JÜ ZA = —aw 15 a) = - 2+ i /2 z + \/3 — Ú 3/2 b ) • c) IX ü i i l ii w — e *~l _ /1 139 2\2 1G Hướng dẫn: Lấy cặp điểm 21,22 đối xứng hai đ àng tròn { \z — 3| = 9} { \z — | = 16}, ảnh ciỉa chúng Wị , u >2 phải đối xứng qua hai đường tròn { \z\ — p} { \z\ = 1} Ta chọn W\ = 0, W'2 = oo Suy ánh xạ phản tuyến tính có dạng w —A + 24 Từ điều kiện cứa tốn, ta tìm p = §■ Chương Hướng dẫn: Dùng cơng thức Sau dùng cơng thức Green đưa tích phân hai lớp với các: hàm lí, V sau: a) u(x, y) = X, v { x , y) = b) u(x, y) = y, v ( x , y) = c) u ( x , y ) = X, v ( x , - y ) = - y a) / = - ( - ị ) , b) / = ( - í), c) / = 4* a) - 7T(e - - ) , e c ) 7TÌ(e H— ), e b)0, d)0 a.)2niea(2 + a), 140 a) —27ri b) —net, c) —7r(2 + e) 10 a) f ( z ) = ze* + 2ÌCOS z + z —iz + Ci , b) f ( z ) = 22 + + C i, (') f ( z ) = z e z — - + Cz, d) f ( z ) = s in —chz + c,