Bài giảng toán cao cấp hàm số một biến số thực giới hạn sự liên tục của hàm

Bài giảng toán cao cấp HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỤC LỤC Bài 4: Khảo sát hội tụ hay phân kì tích phân suy rộng sau: .74 CHƯƠNG I HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM BÀI : HÀM SỐ Định nghĩa hàm số phương pháp cho hàm số I Các tập hợp số thực • Tập số tự nhiên (được ký hiệu N ) tập số { , , , } • Tập số nguyên (được ký hiệu Z ) tập số { , ± , ± , } • Tập số hữu tỷ ( ký hiệu Q ) tập số có dạng p với p, q (q ≠ ) q số nguyên Số hữu tỷ định nghĩa theo cách khác : số hữu tỷ số thập phân thập phân vô hạn tuần hồn Ví dụ : 2,3 = • 23 21 21 56 21539 = 0,33333 = 0, (3) ; 2,1(56) = + 0,0(56) = + = ; 10 10 10 999 9990 Số vô tỷ : số thập phân vơ hạn khơng hồn : số pi ; ; , • Số thực : tập hợp tất số hữu tỷ vơ tỷ, ký hiệu R • Khoảng số thực : Các khoảng hữu hạn : - Khoảng mở ( sau gọi khoảng ) : ( a , b ) - tập giá trị thực x cho a 0, a ≠ 1) - Hàm logarit: y = logax (a > 0, a ≠ 1) - Hàm lượng giác: y = sinx, cosx, tgx, cotgx - Hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx 1.1 Hàm luỹ thừa: y = xm (m∈R) Miền xác định hàm phụ thuộc vào số mũ m , với m hàm số xác định với x > Ví dụ : y = x2 miền xác định với x thuộc R miền xác định ∀x > y= x miền xác định ∀x ≥ y = x-1 = x y = x miền xác định với x thuộc R Tính chất: Xét miền [0,+∞) X +∞ α y=x ,α>0 α y=x ,α0, a≠ 1) Miền xác định: R X y=a,a>1 x -∞ +∞ +∞ Miền giá trị: R+ + Đồng biến với a > +∞ x y=a,a0, a≠ 1) 1.4 Miền xác định: R+ , Miền giá trị: R + Đồng biến với a > + Nghịch biến với a < 1 y = logax, a>1 y = logax, a ( nhỏ tùy ý) ∃ δ > ∀ x : < x − a < δ có f ( x ) − L < L f ( x) = f (a) Nhận xét: Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định a lân cận a lim x a  3 + x sin Ví dụ : cho hàm f ( x) =  x  x ≠ x = Chứng minh lim f ( x) = x →  Theo định nghĩa cho trước ε > ta phải tìm số δ > để ∀ x : < x − a < δ có f (x) − < ε phát từ điều kiện phải thỏa mãn (1) tức x sin 1 < ε x sin < ε cho trước , ∃ δ = ε > ∀ x : < x − a < δ thỏa mãn (2) f ( x) = thỏa mãn (1) Do theo định nghĩa xlim → 1.2 Giới hạn vô cực hàm số x → a Cơng thức gọi cơng thức tính gần nhờ vi phân toàn phần Như vậy, với x = x o + ∆x , y = yo + ∆y giá trị hàm f(x,y) điểm M(x, y) - gần M0(x0, y0) – tính thơng qua giá trị hàm số đạo hàm riêng fx’ fy’ M0 Ví dụ: Tính gần đúng: A = (1,05)2,96 Giải : - Chọn f(x, y) = xy, xo=1, yo = suy ∆x = 0,05; ∆y = -0,04 Vậy A = f(1 + 0,05 , – 0,04 ) ' y-1 ' y ' ' - f ( 1,3) = 1, f x = yx , f y = x ln x � f x (1,3) = 3, f y (1,3) = - Áp dụng cơng thức tính gần : A f (1,3) + f x' (1,3) ∆x + f y' (1,3)∆y + 3.0, 05 − 0.0, 04 1,15 Chú ý: Để áp dụng vi phân vào tính gần ta cần ý: • Chọn dạng biểu thức hàm số f(x,y) • Chọn điểm Mo(xo, yo) cho giá trị hàm đạo hàm riêng điểm tính thuận lợi Từ xác định số gia đối số: ∆x, ∆y • Áp dụng cơng thức tính gần đúng: f ( x o + ∆x, yo + ∆y ) f ( xo , yo ) + f 'x ( xo , yo ) ∆x + f ' y ( xo , yo ) ∆y Ví dụ 1,97 � � � � Tính arctg � − 1� 1,02 Giải : 1,97 � � � � - Chọn hàm số : Ta nhận xét arctg � − 1�là giá trị hàm 1,02 �x �y � Z = f(x,y) = arctg � − 1� điểm M(1,97 ; 1,02) � -Chọn điểm Mo(2, 1) ∆x = 1,97 - = - 0,03 ∆y =1,02 -1= 0,02 -Tính f x' = y + ( x / y − 1) = y y + ( x − y) 2 x f y' = y + ( x − y) 2 Vậy f x' ( M o ) = f x' ( 2,1) = 12 + ( − 1) = 0,5 f y' = f y' ( 2,1) = −1 f ( M o ) = f (2,1) = arctg1= π -Áp dụng cơng thức tính gần : 1,97 � � arctg � − 1�= f ( M o ) 1,02 � � f ( M o ) + f x' ( M o ).∆x + f y' ( M o ).∆y = π / + ( 0,5 ) ( −0, 03) + ( 0, 02 ) 0, 75 Bài tập tương tự : 3) (1,0 2) + (3,9 7) , chọn f(x, y) = x + y , xo = 1, yo = 4, ∆x = 0, 02, ∆y = −0, 03 4) sin620 arctg1,02, chọn f(x, y) = sinx.arctgy, xo = π / 3, yo = 1, ∆x = π / 90, ∆y = 0, 02 5) ln(3 1,0 + 0,9 − 1) , chọn f(x, y) = ln ( ) x + y − , xo = 1, yo = 1, ∆x = 0, 02, ∆y = −0, 08 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN Định nghĩa điểm cực trị Cho hàm hai biến z = f( x, y ) xác định miền D, M( x0, y0) điểm D • Hàm z = f( x, y ) gọi đạt cực đại (CĐ) M0 tồn lân cận U M0 cho f( x, y ) ≤ f( x0, y0) với ∀ ( x, y )∈U Điểm M0 gọi điểm cực đại hàm z = f( x, y ) • Hàm z = f( x, y ) gọi đạt cực tiểu (CT) M0 tồn lân cận U M0 cho f( x, y ) ≥ f( x0, y0) với ∀ ( x, y ) ∈U Điểm M0 gọi điểm cực tiểu hàm z = f( x, y ) • Hàm z = f( x, y ) đạt cực đại hay cực tiểu M0 gọi hàm đạt cực trị M0 Điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung điểm cực trị Định lí 1( Điều kiện cần cực trị) Nếu hàm số z = f( x, y ) đạt cực trị M0 M0 tồn đạo hàm riêng hữu hạn đạo hàm riêng bị triệt tiêu, tức là: fx’(M0) = fy’(M0) = Nhận xét: Từ định lý ta thấy để xét cực trị cần xét điểm đạo hàm riêng bị triệt tiêu điểm khơng tồn đạo hàm Những điểm gọi chung điểm tới hạn hay điểm dừng hàm số Định lí (Điều kiện đủ cực trị) Giả sử hàm z = f( x, y ) xác định miền D, M0( x0, y0) điểm D Nếu hàm z = f( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai lân cận M0 fx’(M0) = fy’(M0) = thì: Đặt fxx’’(M0) = A; fxy’’(M0) = B ; fyy’’(M0) = C, B2 - AC A < >0 =0 Khi đó: Kết luận điểm M0 M0 điểm cực đại M0 điểm cực tiểu M0 không điểm cực trị Chưa kết luận điểm M0 Điểm Mo gọi điểm nghi ngờ Qui tắc tìm cực trị địa phương Quy tắc tìm cực trị Bước 1: Tính zx’ ; zy’, Tính zxx’’=A, zxy’’= B, zyy’’= C, ∆ = B − AC Bước 2:Tìm điểm tới hạn hay điểm dừng : z x ' = Giải hệ  Được nghiệm Mi( xi, yi) z y ' = Bước : Tại điểm Mi tính giá trị : zxx’’(Mi) = Ai; zxy’’(Mi) = Bi; zyy’’(Mi) = Ci, ∆ i = Bi2 – AiCi kết luận điểm Mi dựa vào định lí Chú ý: trường hợp có nhiều điểm dừng ta lập bảng sau: Điểm A B B2 - AC C Kết luận Mi Mi ( xi , yi) Ai Bi Ci Bi – AiCi Ví dụ: Tìm cực trị địa phương hàm số sau: z = x + y − xe y 5.z = x − xy + y + 10 y + z = x3 + y − xy 6.z = y − xy + x + x 3.z = x3 + xy − 30 x − 18 y + z = x − y + xy + x − y + 4.x + y − 14 x − y + 24 x + 8.z = x + y − xy + x − y − Giải: z = x + y − xe y Có ta tính : z 'x = − e y ; z ' y = − xe y ; z xx'' = = A, -Giải hệ: '' z xy = −e y = B, z 'x = − e y = � y = z ' y = − xe y = � x = z ''yy = − xe y = C Vậy hàm số có điểm dừng M(1, 0) -Tính A = 0, B = -1, C = -1, ∆ = > Vậy M(1, 0) không điểm cực trị z = x + y − 3xy − z x' = 3x − y; z 'y = y − x '' z xx = x = A; z xy'' = −3 = B; z ''yy = y = C , -Giải hệ: z x' = 3x − y = z 'y = y − x = ∆ = − 36 xy ta hai điểm dừng M1(0, 0); M2(1, 1) -Lập bảng: Điểm A = 6x ∆ = − 36xy Kết luận M1(0, 0) 9>0 M1không điểm cực trị M2(1, 1) 6>0 – 36.36 < M2 điểm cực tiểu zCT = −1 Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu M2(1, 1) zCT = −1 z = x + 3xy − 30 x − 18 y + − z x' = 3x + y − 30; z 'y = xy − 18 ( ) '' '' z xx = x = A; z xy = y = B; z ''yy = x = C ; ∆ = 36 y − x z x' = 3x + y − 30 = -Giải hệ: �' z y = xy − 18 = x + y = 10 � xy = Hàm số có điểm dừng M1(1, 3); M2(3, 1); M3(-1, -3); M4(-3, -1) Lập bảng: ( Kết luận ) Điểm A = 6x ∆ = 36 y − x M1(1, 3) 6>0 + M1 không điểm cực trị M2(3, 1) 18 > - M2 điểm cực tiểu zCT = −71 -6 < + Không đạt cực trị -18 < - M4 điểm cực đại zCĐ= 73 M3(-1, -3) M4(-3, -1) Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu điểm M2(3, 1) đạt cực đại M4(-3, -1) - Cách làm tương tự cho phần lại Phương pháp bình phương bé ( tối thiểu) Trong khoa học kĩ thuật, ta thường gặp tốn: tìm mối liên hệ hai đại lượng biến thiên x y Mối quan hệ biểu diễn dạng hàm số thơng qua loạt thí nghiệm đo đạc Hàm số gọi hàm thực nghiệm chẳng hạn : mối liên hệ chiều cao h tuổi cây, mối liên hệ thể tích với đường kính thân độ cao 1,3 mét Có nhiều phương pháp xây dựng hàm hàm số từ số liệu thực nghiệm phương pháp phương pháp bình phương bé 5.1 Nội dung phương pháp bình phương bé Bài toán: Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: x y x1 y1 x2 y2 x3 … ………xn y3 ………… yn Giả sử mặt lí thuyết, x y có mối quan hệ dạng y = F(x), quy luật F ta chưa biết cụ thể Ta biết rằng, F(x) có đạo hàm đến bậc n x xấp xỉ F(x) đa thức dạng Tay – lo Mắc- lo –ranh : f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn F(x) xấp xỉ f(x) tổng có dạng chuỗi Fourier : F(x) f(x) = a0 + a1cosx + b1sinx + a2cos2 x + b2sin2x + + ancosnx + bnsinnx Như dạng xấp xỉ hàm f(x) có chứa tham số a1 , a2 , , b1 , b2 , chưa biết Đặt ε i = f ( xi ) − yi gọi độ lệch điểm lí thuyết Mi(xi, f(xi)) điểm thực nghiệm Mi(xi, yi) Thiết lập U = ( f ( x1 ) − y1 ) + ( f ( x2 ) − y2 ) + + ( f ( xn ) − yn ) = 2 n i =1 ( f ( xi ) − yi ) (5- 1) U gọi tổng bình phương độ lệch Yêu cầu đặt ra: xác định tham số y = f(x) cho tổng bình phương độ lệch U nhỏ Ta mơ tả phương pháp cách sau: Trong mặt phẳng Oxy , có điểm thực nghiệm M(xi , yi ) y M4 y = f(x) Mn M3 M2 M1 x Cần xác định hệ số f(x) tổng bình phương khoảng cách từ điểm thực nghiêm M(xi , yi ) đến đường cong y = f(x) nhỏ , với điều kiện ta thay tổng bình phương độ lệch tung độ lý thuyết ( hàm f(x) ) thực nghiệm điểm M(xi , yi ) nhỏ Phương pháp tìm hàm thực nghiệm gọi phương pháp bình phương bé 5.2 Phương pháp bình phương bé 5.2.1 Đa thức suy rộng - nội dung phương pháp bình phương bé Cho hệ hàm số { ϕ 1(x) , ϕ 2(x), , ϕ m(x) } hàm số ϕ k(x) biết Hàm φm (x) = m i =1 a i ϕi (x) gọi đa thức suy rộng hệ hàm sở { ϕ k(x)} , k = 1,m Hai đại lượng x, y qua thực nghiệm có mối quan hệ số theo bảng: x x1 x2 x3 … ………xn y y1 y2 y3 ………… yn r ϕ Thay giá trị xi vào hàm k(x) ta véc tơ ϕk (x) : r ϕ1 (x) = ( ϕ 1(x1) , ϕ 1(x2) , ϕ 1(x3) , , ϕ 1(xn) ) r ϕ2 (x) = ( ϕ 2(x1) , ϕ 2(x2) , ϕ 2(x3) , , ϕ 2(xn) ) (5.2) r ϕm (x) = ( ϕ m(x1) , ϕ m(x2) , ϕ m(x3) , , ϕ m(xn) ) Theo (5.1) cần xác định ak � m � U = �� yi − �a k ϕk (x i ) � i =1 � k =1 � n (5.3) thay (5.2) vào (5.3) ak phải thỏa mãn hệ phương trình U = a1 U = a2 (5.4)  U = am phương trình B.A = C với �b11 � b B = (b r s ) = �21 � � b m1 � y1 � �c1 � �a1 � � b12 b1m � � � � � � c2 � a2 � y2 � � � � � � b 22 b 2m � r � � � � � ; A= , C= gọi y = �   � � � � � � � � � � � � � � b m2 b mm � � � � cm � am � yn � � � � � � � n n r r rr b rs = ϕr , ϕs = �ϕr (x i )ϕs (x i ) , c r = y, ϕr = �y i ϕr (x i ) i =1 i =1 r r r r ( ký hiệu ϕr , ϕs tích vơ hướng hai véc tơ ϕr ϕs ) Như việc xác định ak đưa giải hệ phương trình đại số tuyến tính với ma trận hệ số B – ma trận đối xứng , vế phải C Trong thực tế người ta thường sử dụng hệ hàm { ϕ k(x)} đa thức đại số, tức : { ϕ k(x)} = {1,x, x2, x3, , xq} , f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + aqxq hệ số ak nghiệm hệ : n + a1 �x i a 0n i =1 n n i =1 i =1 a �x i + a1 �x i2 n n n + a �x i2 + + a m �x iq = �yi i =1 + i =1 i =1 n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 + a m �x iq +1 = �x i yi (5.6) n n i =1 i =1 a �x iq + a1 �x iq +1 + + a m �x i2q = �x iq y i 5.2.1 Các trường hợp cụ thể • f(x) = a0 + a1x Trường hợp này, công thức (5.6) ứng với q = ϕ1(x) = ; ϕ2(x) = x n a n + a1 �x i n �y = i =1 n n i =1 i =1 a �x i + a1 �x i i =1 = i (5.7) n �x y i =1 i i Khi đường thẳng y = a0 + a1x tìm đường thẳng tốt theo phương pháp bình phương tối thiểu Ví dụ 1: Giả sử y = a0 + a1x Hãy xác định a b theo phương pháp bình phương bé biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x y -2 0,5 Giải: Qua bảng thực nghiệm ta có 1,5 2 n = Để xác định hệ trên, ta lập bảng sau: i xi yi xi xi yi -2 0,5 -1 0 Vậy ta có hệ 1,5 1,5 2 4 5 25 15 Tổng 34 19,5 5a + 6a1 6a + 34a1 = 155 99 => a0 = ; a1 = = 19,5 134 268 Do hàm thực nghiệm cần tìm y ≈ 99 155 x+ 268 134 Ví dụ 2: Câu hỏi tương tự với bảng số sau: x -1 y 1 Giải: Theo bảng thực nghiệm ta có n = Lập bảng i Tổng yi 1 2 10 xi 1 16 31 xi yi -1 2 12 21 12 a= 12 121 35 Vậy y ≈ x + � 121 35 105 b= 105 31a + 9b = 21 � 9a + 6b = 10 Vậy ta có hệ: • xi -1 f(x) = a0 + a1x + a2x2 Trường hợp ta có ϕ 1(x) = ; ϕ 2(x) = x , ϕ 3(x) = x2 Lập bảng: r x r ϕ 1(x) r ϕ 2(x) r ϕ 3(x) x1 ( 1) ( x) x1 ( x2 ) x12 x3 x13 x4 x14 (y) y1 x.y x1y1 x2.y x12 y1 x2 x2 xn x 42 x 4n x2y2 xn x 32 x 3n y2 n x 22 x 2n yn xnyn x 22 y x 2n y n TT n tổng n i =1 xi n i =1 x 2i r y n i =1 x 3i n i =1 x 4i n i =1 yi n i =1 x i yi n i =1 x i yi Giải hệ phương trình sau để xác định a0 , a1 , a2 n n i =1 i =1 a n + a1 �x i + a �x i n n n i =1 i =1 i =1 n n n i =1 i =1 i =1 a �x i + a1 �x i + a �x 3i a �x 2i + a1 �x 3i + a �x 4i = n �y i =1 = n �x y i i =1 = i n �x i =1 i i yi Ví dụ : Xác định hàm số dạng y = f(x) = a0 +a1x + a2x2 theo phương pháp bình phương bé dựa theo số liệu thực nghiệm sau : x y 1 10 52 80 100 13 300 TT x x2 x3 x4 y x.y x2.y Tổng 1 1 1 6 13 38 36 49 64 169 328 27 216 343 512 2197 3296 81 1296 2401 4096 28561 36436 10 52 80 100 300 543 30 312 560 800 3900 5603 90 1872 3920 6400 50700 62983 Lập bảng Giải hệ : 6a0 + 38 a1 + 328 a2 = 543 Tính a0 ; 3,292 38a0 + 328a1 + 3296 a2 = 5603 a1 ; - 4,08 328a0 + 3296 a1 + 36436 a2 = 62983 a2 ; 2,07 Vậy quan hệ x y theo dạng y = 3,292 - 4,08x + 2,07.x2 Nhận xét • Phương pháp bình phương bé áp dụng đại lượng y biểu diễn tuyến tính qua đại lượng x dạng: y = k i =1 aiϕi ( x) , với ϕi ( x) hàm số cho Ví dụ dạng : y = ax + bx y = ax + b y = ax + bx + c y = asinx + bcosx + Khi việc tìm hệ số theo phương pháp bình phương bé ln dẫn hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn Hệ hệ Cramer nên ln có nghiệm • Một số dạng quan hệ đưa dạng tuyến tính để áp dụng phương pháp bình phương bé α  y = ax � ln y = α ln x + ln a Đặt Y = lny, X= lnx, B = lna => đưa dạng Y =αX + B − bx  y = ae đưa dạng Y = AX + B Y = lny, X = x, A = -b, B = lna… Ví dụ 3: ( sinh viên tự giải) Giả sử y = ax2 + b Hãy lập hệ phương trình xác định a b theo phương pháp bình phương bé xác định a, b biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x y Ví dụ 4: ( sinh viên tự giải) 1.3 9.8 25.1 45.5 73.2 Giả sử y = ax2 + bx Hãy lập hệ phương trình xác định a b theo phương pháp bình phương bé xác định a, b biết kết thực nghiệm cho bảng sau: x y -2 6,5 -1 0,5 0,2 3,5 9,5 21,1 Bài tập tương tự: y = ax + b với bảng X y -1 -7.7 2.3 6.8 12.5 17.1 21.9 Đáp số: Có hệ 56a + 14b = 239 14a + 6b = 52.9 suy a = 4.95, b = -2.74 y = ax2 + b với bảng X Y -1 5.1 2.5 4.5 115a + 19b = 387.1 � 19a + 6b = 69.6 � 13.8 -2 14.2 29.5 -1 6.2 29.5 47.7 a 3.04 � � b 1.97 � Đáp số : Có hệ: � y = ax2 + bx với bảng X Y -1.8 -2 15.5 6.3 2020a + 360b = 2577.8 � 360a + 76b = 413.6 � a 1.965 � � b −3.86 � Đáp số : hệ: � BÀI TẬP CHƯƠNG IV: HÀM HAI BIẾN Bài 1: Tìm miền xác định biểu diễn chúng lên mặt phẳng Oxy z = − x2 a2 − y2 z = R − x2 − y2 z = z = arcsin 1 + + x y x −y z = 1 + x+ y x− y z = − x2 − y + x2 + y −1 z = ln xy y −1 x z = x + y − + 2x − x2 − y Bài 2: Biểu diễn miền phẳng sau lên mặt phẳng tọa độ: D = D = { ( x, y ) :0 x 1, x { ( x, y ) :0 x x 1, − x − x D = { ( x, y ) :1 x 2, x D = } y { ( x, y ) :0 x { ( x, y ) :0 D = { ( x, y ) : x D = { ( x, y ) : x 5.D = y x + 3} 2, x − x x 1, x y } y y } 2x } 2x + y2 2ax, x + y 2 + y2 x, x + y } a2 } 2y Bài 3: Tính đạo hàm riêng hàm số sau theo biến: x3 + y z = x + y2 z = ln( x + x + y ) z = x y z = (1 + xy ) y z = arctg z = x x z = x y + y x + e( x +3 y ) u = x + y + z � x+a� 10 z = ln � sin � � y � � � 13 z = ( x + sin y ) ( x3 + y − e x arctgy y+x y 12.z= arctg x+2y 14.z = tg ( x+y ) e y e3 x + ln xy ) 16 z = a (x + x3 + x y ) 17 z = xy.ln ( xy ) x 15 z = arcsin y z = ( x + 3sin xy ) e ( x + y ) x 11 z = y x 18 z = ( x + y ) x2 y2 y3 ( x > 0) Bài 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: ( x + y )3 x− y z = x+ y z = z = ( x + y ) z = ln( x + x + y ) z = x2 + y z = e x − y + cos ( x +3y ) 2 z = ln ( x + y ) z = x + y e( x + y ) z = x y 10 z = arctg x+y 1-xy Bài 5: Tìm vi phân tồn phần hàm số sau: ( z = sin x + y 2 z = ln tg z = x y ) z = e x ( cosy + xsiny ) y x z = arctg x+y x-y Bài 7: Tính gần giá trị biểu thức sau: ln( 1,03 + 0,98 − (1,04) 2,03 5.e0,02 + (2,03) 3 ( 1,02 ) + ( 0,05 ) 1,97 � � arctg � − 1� 1,02 � � 2 ( 1,04 ) 1,99 + ln(1,02 Bài 8:Tìm cực trị địa phương hàm hai biến sau: z = 4(x-y) –x2 - y2 19 z = x + y x − 39 x − 36 y z = x2 + xy + y2 + x – y + 20 z = y + x y + 24 xy + z = x + y – xey 18.z = y − xy + x − x z = 2x4 + y4 - x2 - 2y2 21 z = x + y − xy + 20 -(x + y2 ) z = (x2 + y2 )e 22 z = x + y − ( x − y ) + 23 z = x + x + y + 13 y − xy + z = x + y − 3xy 3 z = x + y − x + xy − y 4 24 z = x y ( − x − y ) + 25 z = x + y − x y − xy + 12 x + 12 y z =1 + x − x − xy − y 9.z = x y ( − x − y ) , x > 0, y > 26 z = x + y − xy + x + y + 10.z = x y − xy + y 27 z = x − xy + y 11.z = x − xy + y − y + 29.z = x + y − x − xy − y 12 z = y − xy − x + x 30 z = x − y − x + y 13.z = x − xy + y − 21 y + 31 z = x + y − xy + 14.z = x − xy + y + y 32.z = x + xy + xy 15.z = x − xy + y − y 33.z = + ( x − y ) + ( y − 1) 16.z = y − xy − x + x 34.z = y + x y + 24 xy + 17.z = x + y x − 15 x − 12 y 35 z = −3 x − x y + y + y 28.z = x + xy − 30 x − 18 y Bài 8: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc với y= ax+b có bảng giá trị tương ứng sau: x y 4.9 7.9 11.1 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé 14.1 17 Bài 9: Câu hỏi tương tự với bảng số x y 2.9 6.1 9.2 11.8 16 Bài 10: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + b có bảng giá trị tương ứng sau: x y 0.1 3 8.1 14.9 23.9 Xác định giá trị a, b ,c theo phương pháp bình phương bé Bài 11: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + bx + c có bảng giá trị tương ứng sau: x y 2.9 8.9 19.1 33.2 50.8 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé Bài 12: Hai đại lượng x, y có mối quan hệ bậc hai với y = ax2 + bx có bảng giá trị tương ứng sau: x y 4,9 16,5 33 55,5 Xác định giá trị a, b theo phương pháp bình phương bé 84 119